复变函数与积分变换课堂PPT第五章

即 z = 是 f (z) 的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看
极限 是否存在(有限值)，为无穷大或即不存在
又不是无穷大来决定。
当z=是 f (z)的可去奇点, 可以认为 f (z)在是解析 的，只要取 例如函数 。 在圆环域 内可展开成
它不含正幂项, 所以 是 f (z) 的可去奇点。 若取 f ()=1，则 f (z) 在 解析。
例如函数
都以z=0为孤立奇点。但不能认为
函数的奇点都是孤立的。例如 的一个奇点，此外 当n的绝对值逐渐增大时,
，z=0是它
也是它的奇点。
可任意接近 z = 0。
换句话说, 在z=0的不论怎样小的去心领域内总有 f (z) 的奇点存在。所以z=0不是孤立奇点。 把函数 f (z) 在它的孤立奇点 z0的去心邻域内展开 成洛朗级数。根据展开式的不同情况对孤立奇点进行 如下分类。
的一级零点，从而是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
零点。所以这些点中除去1, -1, 2外都是 f (z)的三级极点。 因 －1是 f (z)的2级极点。
以1与-1为一级零点，所以1与
至于z=2，因为
所以z=2是 f (z)的可去奇点。 关于
，因为
可知
使分母为零，当n=1时，
，即z=1；
当n=2时，
，即z=2。这两点上面已经讨 为 不是 的极点。显见当
即
从而有
也就是说，f (z)在z0的留数就是f (z)在以z0为中心的 圆环域内的洛朗级数中负幂项 的系数。
关于留数，有下面的基本定理 定理一(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个 孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。C是D内包围诸奇点的
一条正向简单闭曲线, 则
D C3 zn C n z3 C2 z1 z2 C C1
总可以找到一个趋向于z0 的数列, 当z沿这个数列趋向 于z0时, f (z)的值趋向于A。
例如, 给定复数 A=i, 可把它写成 ，可得 , 显然，当 。则由
时，
而
，所以，当z 沿
趋向于零时， f (z) 的值
趋向于i。
综上所述, 如果 z0为 f (z)的可去奇点，则
存在且有限；如果 z0为 f (z)的极点，则 如果z0为 f (z)的本性奇点，则 ；
若 f (z) 在z0 解析，则z0是 f (z) 的m 级零点的充要 条件是
事实上，如果 z0 是f (z)的m级零点，那么f (z)可表
成如下形式：
设
在z0的泰勒展开式为
其中
, 那么 f (z)在z0的泰勒展开式为
易证z0是 f (z)的m级极点的充要条件是前m项系数
, 这等价于
如z =1是 f (z) = z3 -1的零点，由于f '(1)=3z2|z=1=30, 从而知z=1是 f (z)的一级零点。
顺便指出，由于
在z0解析且
因而它在z0
的邻域内不为零。这是因为 所以给定
在z0解析, 必在z0连续, 时，有
，必存在 ，当
，由此得
所以
在 z0 的去心邻域内不为零，即
不恒为零，只在z0等于零。也就是说，一个不恒为零的 解析函数的零点是孤立的。
定理 如果z0是 f (z)的m级极点，则z0就是 零点，反过来也成立。 [证] 如果z0是 f (z)的m级极点，则有
iii) 含有无穷多的正幂项； 则 z = 是 f (z)的
i) 可去奇点；
ii) m级极点； iii) 本性奇点。 这样一来，对于无穷远点来说，它的特性与其洛朗 级数之间的关系就跟有限远点的情形一样，不过只是把 正幂项与负幂项的作用互相对调就是了。
例 下列函数中，∞的奇点类型。
[解] (1) 当z=∞，令
则z0为 f (z)的一级极
点，而
事实上，因为 一级零点，从而z0为
及
，所以为Q(z)的
的一级极点。因此
其中
在z0解析，
由此得
其中
在z0解析，且
。
故z0为f (z)的一级极点。
根据规则I，
而
所以
令
，即得规则III。 例1 计算积分 ，C为正向圆周|z|=2。 有两个一级极点
不存在且不为 。
反过来结论也成立。这就是说，可以利用上述极限的 不同情形来判别孤立奇点的类型。
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成 其中
在z0解析且
, m为某一正整数, 则z0称为
f (z)的m级零点。 例如当 时, z=0与z=1是它的一级与三
级零点, 根据这个定义, 可以得到以下结论：
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用
§1 孤立奇点
1. 可去奇点 2. 极点 3. 本性奇点 4. 函数的零点与极点的关系
5. 函数在无穷远点的性态
在第二章曾定义函数不解析的点为奇点。 如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某个去心邻 域 内处处解析, 则z0为 f (z)的孤立奇点。
，则
显然
是二级极点，所以
是二级极点。
例 下列函数中，∞的奇点类型。
[解]
所以
是本性奇点。
由前面分析又知道，要确定 t = 0是不是
去奇点，极点或本性奇点，可以不必把 朗级数来考虑，只要分别看极限
的可
展开成洛
是否存在(有限
值)，为无穷大或即不存在又不为无穷大数就可以了。 由于
，对于无穷远点也有同样的确定方法，
[证] 把在C内的孤立奇点zk (k =1,2,...,n)用互不包含的正向
简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有
以
除等式两边，得
即
利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化 为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。由此可 见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是 f (z)
在孤立奇点处z0处的留数。一般说来, 求函数在奇点z0
c-1有用的规则。
2. 留数的计算规则
规则I 如果z0为 f (z)的一级极点, 则
规则II 如果z0为f (z)的m级极点, 则
事实上, 由于
以
乘上式的两端，得
两边求m-1阶导数，得
令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!
就是Res[f(z),z0], 因此即得规则II, 当m=1时就是规则I。 规则III 设 如果 ，P(z)及Q(z)在z0都解析，
又如函数
，含有正幂项，且z为最高正幂
项，所以为它的一级极点。 函数 sin z的展开式：
含有无穷多的正幂项，所以是它的本性奇点。
例2 函数
在扩充平面内有些什么
类型的奇点？如果是极点，指出它的级。
[解] 易知，函数 f (z)除使分母为零的点
外，在 由于 此这些点都是 内解析。 在 处均不为零，因 的三级
个去心邻域
单闭曲线C的积分
内包含 z0 的任意一条正向简
一般就不等于零。
因此将f (z)在此邻域内展开为洛朗级数
后，两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 的一项等于
外, 其余各项积分都等于零, 所以
其中c-1就称为 f (z)的留数, 也就是上面积分两边除以 后所得的数称为 f (z)在z0的留数, 记作 Res[f (z), z0], 即
处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中
c1 ( z z0 )
1
项的系数即可。但如果知道奇点的类型,
对求留数可能更有利。如果z0是f (z)的可去奇点, 则 Res[ f (z), z0]=0, 因为此时f (z)在z0的展开式是泰勒展
开式。如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好 将其按洛朗级数展开。如果z0是极点, 则有一些对求
例如，对有理分式函数 它的三级极点， , z=1是
是它的一级极点。
3. 本性奇点
如果在洛朗级数中含有无穷多个 的负幂项, 则
孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点。
例如，函数 级数 以z=0为它的本性奇点。因为在
中含有无穷多个z的负幂项。 在本性奇点的邻域内, f (z)有以下性质(证明从略):
在本性奇点的邻域内, f (z)有以下性质(证明从略): 如果z0为函数 f (z)的本性奇点, 则对任意给定的复数 A,
所以z=0是
的孤立奇点。 的可去奇点，m 级极点或
规定，如果 t = 0是
本性奇点，则称点z = 是 f (z)的可去奇点，m级极点 或本性奇点。由于 f (z)在R<|z|<+内解析，所以在此
圆环域内可以展开成洛朗级数, 即有
其中C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线。
因此， 到上式得到为
例1 函数 它的级。
有些什么奇点？如果是极点，指出
[解] 函数1/sin z的奇点显然是使sin z=0的点。这些
奇点是
或
。因为从 sin z＝0 得
，从而有
，所以
。显然它们是孤
立奇点。由于
所以
点。
都是sin z的一级零点, 也就是
的一级极
注意：在求函数的孤立奇点时，不能一看函数表面
形式急于作结论。像函数
是函数的奇点。
所以
是六级极点。
5. 函数在无穷远点的性态
到现在为止，讨论函数 f (z) 的解析性和它的孤立 奇点时，都设z为复平面内的有限远点。至于函数在无 穷远点的性态，尚未提及。现在在扩充复平面上对此 加以讨论。 如果函数 f (z)在无穷远点z=的去心邻域 R<|z|< 内解析，称点为 f (z)的孤立奇点。作变换 规定这个变换把扩充 z 平面上的无穷远点 扩充 t 平面上的点
在圆环域
内的洛朗级数可由得
如果在上面级数中 i) 不含负幂项, ii) 含有有限多的负幂项, 且 iii) 含有无穷多的负幂项, 则t = 0是 的 i) 可去奇点, ii) m级极点, iii) 本性奇点。 为最高幂,
因此，根据前面的规定，有： 如果在级数中，
i) 不含正幂项； ii) 含有限多的正幂项, 且zm为最高幂；
所以不论 f (z)原来在z0是否有定义, 如果令 f (z0)=c0,
则在圆域
内就有
从而函数 f (z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所以
z0称为可去奇点。
例如，z = 0是
的可去奇点，因为这个函数在
z=0的去心领域内的洛朗级数
中不含负幂项。如果约定 在 z=0就成为解析的了。
在z=0的值为1(即c0 )，则
的m级
其中g (z)在z0解析，且m级极点，则有 时，有
。所以当
函数 h (z)也在z0解析，且
。又由于
因此只要令
，则可得z0 是
的m级零点。
反过来，如果z0是
的m级零点，那么
这里
在z0解析，且
，由此，当
时，得
而 的m级极点。
在z0解析，并且
，所以z0是 f (z)
这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单 的方法。
2. 极点
如果在洛朗级数中只有有限多个 其中关于 的最高幂为 的负幂项, 且
, 即
则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点。上式也可写成
其中 在 内是解析的函数, 且 。
反过来, 当任何一个函数 f (z)能表示为(5.1.1)的形式,
且g(z0)0时, 则z0是 f (z)的m级极点。
如果z0为 f (z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有 或写作
，并且 映射成
，则扩充 z 平面上每一个向无穷
无穷远点收敛的序列
与扩充 t 平面上向零收敛的序 相对应。反过来也
列对应。反过来也是这样。 是这样。 同时，
把扩充 z平面上 的去心领域 ，又
映射成扩充 t 平面上原点的去心领域
这样，可把在去心领域 内对
对 f (z)的研究化为在 在 内解析，
的研究。显然
极点，其实是一级极点。因为
，初看似乎z=0是它的2级
其中
的z=0 解析，并且
. 类似地，z =0是
的2级极点而不是3级极点。
例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出 它的级。
[解] (1)
显然
是三级极点，
是二级极点。
所以
是可去奇点。
例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出 它的级。
[解] (3) 显然 又
论过。所以当n>2时，
时， 也就是
。所以
的孤立奇点，
不是 f (z)的孤立奇点。
例 判定z=∞是下列函数的什么奇点？
[解] (1)
所以
是可去奇点。
所以
是本性奇点。
所以
是可去奇点。
§2 留数
1. 留数的定义及留数定理
2. 留数的计算规则
3. 在无穷远点的留数
1. 留数的定义及留数定理
如果函数 f (z)在z0的邻域内解析, 那末根据柯西－ 古萨基本定理 其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线。 但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某
1. 可去奇点
如果在洛朗级数中不含
点z0称为 f (z)的可去奇点。 这时, f (z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就 是一个普通的幂级数： 的负幂项，则孤立奇
因此, 这个幂级数的和函数 F (z)是在 z0解析的函数, 且 当 时, F (z)= f (z); 当z=z0时, F(z0)=c0。由于