第12章动能定理-2-BW (1)

§12-6动力学普遍定理综合应用

动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理。它们由不同的侧面建立了运动的变化与力的关系，各自有其应用范围。

动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式的能量转化问题。

动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。有的问题只能用某一个定理求解，有的问题既可用这个定理又可用另一定理求解，有的问题要同时用几个定理联合求解。

求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。

[综1]已知两均质轮：m ,R，轮C纯滚动; 物块：m ；弹簧：k；于弹簧原长处无初速释放。求：重物下降h时的速度、加速度及轮C 与地面的摩擦力。

解：（1

）以系统为研究对象，求重物的速度、加速度

h

当重物下降h 时，设其速度为v

：

w O

w C

视h为变量，将式（*）对t求导：

a

C

（2）以轮C 为研究对象

由刚体平面运动微分方程：

[*综2]重150N 的均质圆盘B 与重60N 、长24cm 的均质杆AB 铰接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B '点时B '点的速度及支座A 的约束反力。解：（1

）取圆盘为研究对象

，圆盘平移。

又开始系统静止，

60o

A B

B'

B

（2）用动能定理求速度。

取系统研究：T 1=0

，

代入数据，得

60o A

B

B'

w

C

（3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。

杆质心C 的加速度：盘质心B

'的加速度：

（4

）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。

代入数据，得

A B'

w C

a

M

O

D r r R

C

B A

[综3]图示系统中，鼓轮B 和轮C 固结，共重Q ，对水平轴O 的回转半径为r ；轮C 只滚不滑；重物A 重G ；定滑轮D 重W ，其上作用一常力偶M ，可视为均质圆盘。各轮半径如图，不计轮C 的滚动摩擦及轮D 轴承处的摩擦，求轮D 轴承的反力。问题：①能否用动能定理求解？

②求反力常用动量定理或质心运动定理，能否以整体为研究对象？

解：（1）以整体为研究对象，用动能定理求a A 。

M O

D r r R C

B A

设任意位置时物A 的速度为v A ，则

w O

w D

其中：

当物A 下降d s A 时：

其中：

两边同除以d t

，得：

M O

D r r R

C

B A

w O

w D

M

D

r

A

其中：于是得：

方向向下

（2）以轮D 和物A 为研究对象，用动量矩定理求绳的拉力。

w D

M

D r A

（3）以轮D 和物A 为研究对象，用质心运动定理求轮D 轴承反力。x

y

由质心运动定理：

a D

另解：（

1）以轮O 为研究对象，

由动量矩定理：

M

D r

A

x

y

a

D

O

r R

C

B a O

P

（2）以轮D 和物A 为研究对象，由动量矩定理：

（3）以轮D 和物A 为研究对象，由质心运动定理求轮D 轴承反力。

由以上两式即可求得F T 、a A （包括a O 、a O 、a D ）