微分方程第4章习题解

( n−2 )
x2 x′ 2 ⋯ x2 ( n) x2
( n −2 )
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
xn x′ n ⋯
( n−2 ) ( n)
，
⋯ ⋯ xn
xn
所以
W ′(t ) + a1 (t )W (t ) x1 ′ x1
= ⋯
x2 x′ 2
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ xn
xn x′ n
=[
d n x2 d n−1 x 2 dx [ n + a1 (t ) n−1 + ⋯ + a n −1 (t ) 2 + a n (t ) x 2 ] dt dt dt
= f 1 (t ) + f 2 (t ) = 右端。
评注： 线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解， 特别对于右端函数可 以分解为几个简单函数之和时更加有用。 4-2 试验证方程
( n−2 )
⋯ ⋯ xn
xn
x1 ′ x1
= ⋯
x2 x′ 2
⋯
( n− 2 )
xn ′ xn
⋯
( n −2 )
x1 ( n) ( n −1) x1 + a1 x1
( n− 2 )
x2 ⋯ ⋯ xn ( n) ( n −1) ( n) ( n −1) x 2 + a1 x 2 ⋯ ⋯ x n + a1 x n
2）设 t 0 ∈ [ a, b] ， x(t ) 是原方程不同于 x1 (t ) 的另一特解，不妨设它满足
W (t 0 ) = W [ x1 (t 0 ), x(t 0 )] =
则
x1 (t 0 ) x (t 0 ) = 1。 ′ (t 0 ) x ′(t 0 ) x1
，
1 ，由此得特解 2
1 1 x1 = e t + e −t = cht ； 2 2
将 x(0) = 0, x ′(0) = 1 代入上式，求得 C1 =
1 1 , C 2 = − ，由此得特解 2 2
x2 =
又
1 t 1 −t e − e = sht 。 2 2
W (t ) =
cht sht
sh t cht
把 x1 (t ) + x 2 (t ) 代入方程（1）的左端得
(i = 1,2) ，
左端=
d n ( x1 + x 2 ) d n−1 ( x1 + x 2 ) d ( x1 + x 2 ) + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) + a n (t )( x1 + x 2 ) 1 n n −1 dt dt dt d n x1 d n−1 x1 dx + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) 1 + a n (t ) x1 ] + 1 n n −1 dt dt dt
t0
t
其中 C1 , C 2 为任意常数， t 0 , t ∈ [ a, b ] 。 证 1）充分性。因为
W ′[ x1 , x 2 ] =
d x1 ̇1 dt x
̇1 x2 x = ̇2 ̇1 x x
̇ 2 x1 x + ̇2 ̇ ̇1 x x
x2 x1 = ̇ ̇2 ̇ ̇1 x x
x2 ， ̇ ̇2 x x2 x1 = ̇2 ̇ ̇1 + a1 (t ) x ̇1 x x x2 =0 ̇ ̇2 + a1 (t ) x ̇2 x
dnx d n−1 x dx + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) + a n (t ) x = 0 1 n n −1 dt dt dt
的任意 n 个解，它们所构成的朗斯基行列式记为 W (t ) 。试证明 W (t ) 满足一阶线性方程
W ′(t ) + a1 (t )W (t ) = 0
第四章 高阶微分方程
4-1 证明线性非齐次方程的叠加原理：设 x1 (t ), x 2 (t ) 分别是线性非齐次方程
dnx d n−1 x dx + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) + a n (t ) x = f 1 (t ) 1 n n −1 dt dt dt dnx d n−1 x dx + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) + a n (t ) x = f 2 (t ) 1 n n −1 dt dt dt
d 2x t dx 1 + − x = 0 有基本解组 t , e t ，并求方程 2 dt 1 − t dt 1 − t
d 2x t dx 1 + − x = t −1 2 dt 1 − t dt 1 − t
的通解。
证 1� 将 t , e t 分别代入方程得
t t − ≡ 0； 1− t 1− t t t 1 t et + e − e ≡ 0。 1− t 1− t
并由此求出方程的适合初始条件 x( 0) = x0 , x ′( 0) = x ′ 0 的解。 解 由于原方程有基本解组： e , e ， 所以通解为
t
−t
x(t ) = C1 e t + C 2 e −t ，且 x ′(t ) = C1 e t − C 2 e − t
将 x( 0) = 1, x ′( 0) = 0 代入上式，求得 C1 = C 2 =
的解，则 x1 (t ) + x 2 (t ) 是方程
dnx d n −1 x dx + a ( t ) + ⋯ + a n −1 (t ) + a n (t ) x = f 1 (t ) + f 2 (t ) 1 n n −1 dt dt dt
的解。 证 由题意，有
（1）
d n xi d n −1 xi dx + a1 (t ) n −1 + ⋯ + a n −1 (t ) i + a n (t ) xi = f i (t ) n dt dt dt
⋯
( n − 2) ( n)
x1 x1′
+ a1 (t ) ⋯
x2 x′ 2
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
xn x′ n
⋯
( n −2 ) ( n −1)
x1 (n) x1
( n−2 )
x2 ( n) x2
( n−2 )
xn
x1 ( n −1 ) x1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
( n − 2)
x2 ( n −1) x2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ − a2 xn
= − a 2 x1 ≡0
x1 ′ x1 ⋯ x1
( n−2 ) ( n −2 )
x2 x′ 2 ⋯ x2
− a2 x2
( n−2 ) ( n−2 )
xn x′ n ⋯ xn
( n − 2) ( n−2 )
− ⋯ − a n x1
− ⋯ − an x2
̇2 + a1 (t ) x ̇ 2 + a 2 (t ) x 2 = 0 ，即 x 2 (t ) 是方程的解。 故有 ̇ x
必要性。因为 W [ x1 , x 2 ] 为方程的解 x1 (t ), x 2 (t ) 的朗斯基行列式，
W ′[ x1 , x 2 ] =
=
x1 ̇ ̇1 x
x2 x1 = ̇ ̇2 ̇ ̇1 + a 2 (t ) x1 x x
W ′[ x1 , x 2 ] + a1 (t )W [ x1 , x 2 ] =
x1 ̇ ̇1 x
x2 x1 + a1 (t ) ̇ ̇2 ̇1 x x
而 x1 (t ) ≠ 0 是已知方程的解，所以
x1 − a 2 (t ) x1
x2 1 x2 = x1 =0 ̇ ̇2 + a1 (t ) x ̇2 ̇2 + a1 (t ) x ̇2 x − a 2 (t ) ̇ x
由此得
′ (t ) = −1 ⎧C1 ⎪ ⎨ t ′ (t ) = t C2 ⎪ e ⎩
百度文库所以
，
C1 (t ) = −t + c1 , C 2 (t ) = −e − t (t + 1) + c 2 ，
因而方程的通解为
x(t ) = C1 t + C 2 e t − (t + 1) 2 。
评注： 常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。 但有时可根据方程的具体 形式采用灵活的方法。将本例方程变形为 (1 − t )
评注：公式 W (t ) = W (t 0 ) e
0
− ∫tt a1 ( s ) ds
0
。
− ∫tt a1 ( s ) ds
是著名的刘维尔（Liouville ）公式，反映了线性齐次
方程 n 个解与系数之间的关系。 由此可得到重要结论： 若线性齐次方程的 n 个解的朗斯基行 列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。 4-4 假 设 x1 (t ) ≠ 0 是 二阶 线性 齐次 方程 ̇ ̇ + a1 (t ) x ̇ + a 2 (t ) x = 0 的 解， 这里 a1 (t ) 和 x
− ⋯ − a n xn
所以 W ′(t ) + a1 (t )W (t ) = 0 。 这说明 W (t ) 满足一阶线性齐次方程（ 1 ） ，因而有 W (t ) = Ce
− ∫tt a1 ( s ) ds
0
，当 t = t 0 时，
C = W (t 0 ) ，所以 W (t ) = W (t 0 )e
a 2 (t ) 于区间 [a , b] 上连续，试证
1） x 2 (t ) 为方程的解的充分必要条件是 W ′[ x1 , x 2 ] + a1W [ x1 , x 2 ] = 0 ； 2）方程的通解可表为 x(t ) = x1 [C1
∫x
1
2 1
exp( −∫ a1 ( s ) ds ) dt + C 2 ]
0+
又
et ≠ 常数，因此 t , e t 是方程的基本解组。 t
2� 用常数变易法，令方程的特解具有以下形式
x(t ) = C1 (t )t + C 2 (t )e t ，
则
t ⎧ ′ (t ) = 0 ⎪ tC1′ (t ) + e C 2 ， ⎨ t ⎪ ′ (t ) = t − 1 ⎩C1′(t ) + e C 2
因而有 W ( t ) = W ( t 0 ) e
− ∫tt a1 ( s ) ds
0
（1）
, t , t 0 ∈ (a, b) 。
证 将行列式的微分法则应用于 W (t ) ，则所得的前 n − 1 项的行列式都有两行相等，即
都等于零，于是有
W ′(t ) =
x1 ′ x1 ⋯ x1 ( n) x1
= ch 2 t − sh 2 t = 1 ≠ 0 ，
所以 cht 和 sh t 线性无关，因而 cht ， sh t 是标准基本解组，并由此得出方程的通解为
x = C1 cht + C 2 sh t 。
′ 因 且 x ′ = C1 sht + C 2 ch t ，将初始条件 x( 0) = x0 , x ′( 0) = x ′ 0 代入得 C1 = x0 , C 2 = x 0 ，
2
d 2x 4-2 已 知 方 程 − x = 0 有 基 本 解 组 e t , e −t ， 试 求 此 方 程 适 合 初 始 条 件 2 dt x(0) = 1, x ′(0) = 0 及 x(0) = 0, x ′(0) = 1 的基本解组（称为标准基本解组，即有 W (0) = 1 ） ，
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
x1 ′ x1
= ⋯
( n−2)
x2 x′ 2
⋯
( n−2)
xn x′ n
⋯
( n−2)
x1 x2 ⋯ ⋯ xn ( n−1) ( n−1) ( n−1) ( n−1) ( n−1) ( n−1) (−a1 x1 −⋯− an x1 ) + a1 x1 (−a1 x2 −⋯− an x2 ) + a1 x2 ⋯ ⋯ (−a1 xn −⋯− an xn ) + a1 xn
x2 ̇ ̇2 + a 2 (t ) x 2 x x2 = −a1 (t )W [ x1 , x 2 ] ̇2 x
x1 ̇1 − a1 (t ) x
x2 x1 = − a1 (t ) ̇2 ̇1 − a1 (t ) x x
即 W [ x1 , x 2 ] 满足 W ′[ x1 , x 2 ] + a1W [ x1 , x 2 ] = 0 。
而满足这个初始条件的解为： x(t ) = x 0 ch t + x ′ 0 sh t 。 评注：标准基本解组是满足初始条件 x(0) = 1, x ′(0) = 0 ，及 x(0) = 0, x ′(0) = 1 的基本 解组。 4-3 设 xi (t )(i = 1,2, ⋯ , n) 是线性齐次方程
d2x dx +t − x = −(t − 1) 2 ，容易发现它可 2 dt dt
能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如 ~ x (t ) = At 2 + Bt + C ，代入方程， 比较系数得 A = C = − 1， B 可任意取值，所以易求得一个特解为 ~ x (t ) = −(t + 1) 。