测绘测量平差中国矿业大学

1. 若令 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⨯⨯121

1Y X Z ，其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21Y Y Y ，已知权阵Z P 为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P ，试求权阵X P ，Y P 及权1Y P ，2Y P 。

需要掌握的要点：向量的协方差阵D 、协因数阵Q 、权阵P 之间的关系和它们里面元素的含义。

解：由于1

-=Z ZZ P Q ，所以

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=12/12/12/14/34/12/14/14/3ZZ

Q ，通过该式

子可以看出，[]4/3=XX

Q ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=12/12/14/3YY Q ，

则3/41

==-XX Q P X ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--==-2/31121

YY Q P Y 且3/41=Y P ，12=Y P

2. 设已知点Ａ、B 之间的附合水准路线长80km ，令每公里观测高差的权等于1，试求平差后线路中点C 点高程的权。

思路：该题可以有三种解法（测量学的单附合水准路线平差、条件平差、间接平差）。千万记住：求什么量的权就一定要把给量的函数表

达式子正确地写出来。即1ˆˆh H H A C +=，或X H C

ˆˆ= 方法一：（测量学的单附合水准路线平差） (1) 线路闭合差

B A h H h h H f -++=21

)(2

1)2121()(212121)

(2

121ˆ2121211111B A B A B A A h A A C H H h h H H h h H h h H h H f h H v h H H ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=++-=-++-+=-+=++=(2) 按照协因数传播定律:

202/12/1400040)212

1(2/12/1)212

1

(22122111ˆ

ˆ

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=h h h h h h h h H H Q Q Q Q Q C

C

(3) 则 20/1/1ˆˆˆ==C

C

C

H H H Q P

方法二：（条件平差法）思路:因为C 点高程平差值是观测值平差值的函数。

（1） 条件方程式：0ˆˆ21=-++B

A

H h h H （2） 改正数条件方程：0)(2121=+----+B A H h h H v v

（3） 系数阵[]11=A ，观测值权阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=40/10040

/1P ， ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡==-4000401

P Q ， 则法方程

01=-⋅-W K A AP T ，其中801==-T A AP N

（4） 由于条件平差中

（5） []⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-202020202020202040004040004011801114000404000401

ˆˆAQ N QA Q Q T

L L 列出平差值的函数式子：1

ˆˆh H H A C +=，通过这个式子可以求出系数阵T f ，因为A C H h h

H +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=21ˆ

ˆ)01(ˆ，则 （6） 则有：()20012020202001ˆˆˆˆ=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅⋅=f Q f Q L L T

H H C

C （7） 所以20/1/1ˆ

ˆ

ˆ==C

C C H H H Q P

方法三：（间接平差法）思路:因为C 点高程平差值就是所选取的未知参数平差值，而未知参数平差值的协因数阵是法方程系数阵的逆阵。

（1） 设C 点高程平差值为未知参数X ˆ，则按照间接平差有 （2） 观测方程 B

A H X h H X h +-=-=ˆˆˆˆ21 （3） 误差方程

)(ˆ)(ˆ022011B A H X h x

v H X h x

v -+--=+--= （4） 系数阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ，观测值的权阵 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=40/10040

/1P ，则法方程0ˆ=-⋅Pl B x PB B T

T ，其中20/1==PB B N T bb

而201

ˆˆ==-bb X X N Q

（5） 所以20/1/1ˆˆˆ==X X H Q P C

3. 如图A 是已知点，边长EF S 的长度和方位角CD T 也已知，确定各种条件数。

思路：测角网，当网中已知点数小2，必要观测数等于2×总点数减去4，还要加上已知的边数和已知的方位角数。所以本题的必要观测数

10)11(462=++-⨯=t 个。条件的类型

是：大地四边形 ABCF 中 3个图形条件、1个极条件；大地四边形BCDF 中 2个图形条件、1个极条件；大地四边形BDEF 中 2个图形条件、1个极条件；共计有

7个图形条件、3个极条件。

边长观测值的平差值，有边长条件方程

0ˆˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 6

532=-⋅AD AB S S ββββ，线性化之。 思路：条件方程的线性化只能用泰勒阶数展开，不能用全微分。

)sin sin sin sin (ˆ6655332265

32=-⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅AD

S AD AB v v a v a v a v a S S ββββ其中226

5322cot 1cot )sin sin sin sin (βρρβββββ⋅=⋅⋅⋅=""AD

AB S S a

同理 33cot βρ⋅-

="

AD

S a 、55cot βρ⋅=

"AD

S a 、66cot βρ

⋅-="AD

S a 代入上式整理后，

0")sin sin sin sin 1("

cot cot cot cot 5

6

23ˆ

66553322=-+-

-+-ρββββρββββAB AD S AD

S S v S v v v v AD