测绘测量平差中国矿业大学
《测量平差》课程标准
课程标准一、课程基本信息课程编号：0406505课程名称：测量平差学时：60实验学时：8总学分: 5课程类别：核心专业课课程性质：必修课先行课程：地形测量、地形测量实训、高等数学、工程数学。
后续课程: 控制测量、GPS测量技术、数字化测图技术、地籍测量、控制测量实训、工程测量实训、地理信息系统。
适用专业（方向）：测绘工程学期周学时:4学时制定人: 陈凡臣制定时间: 2012年2月授课对象: 工程测量与监理专业二、课程定位《测量平差》是工程测量与监理技术专业的核心课程，在工程测量技术专业的整个课程体系中占有重要地位，主要培养学生测量内业的基本技能。
通过本课程的学习，学生应掌握控制测量数据的处理能力和工程测量成果精度的分析能力，具有工程建设一线的工程测量能力，同时为测量专业《控制测量》、《GPS测量》、《工程测量》等课程的学习奠定良好的基础。
三、课程设计打破传统学科课程以知识为主线构建知识体系的模式，采用以测量平差的工作单元为引领，通过工作单元来整合相关知识与技能，将该课程设计成以能力为核心的学习领域课程体系，进行教学做一体化的情境化教学。
本课程所设计的相关工作单元是以工程测量员工作岗位作为课程主线，将本课程分解为误差传播、条件平差、间接平差、误差椭圆、软件平差五个学习情景，有利于学生循序渐进地从误差基本理论入手进而详细的掌握测量平差的具体方法。
学习过程是一个从简到繁，从整体到局部的过程。
教学活动设计中安排了多种训练活动。
同时按照岗位工作单元的操作要求，倡导学生在“做”中“学”。
通过实践训练，以培养学生胜任工程测量岗位的平差能力，适应学生职业生涯发展的需要。
１．课程开发上，采用校企合作进行以能力培养为核心的设计理念以教高[2006]16号文件精神为指导，紧紧围绕职业岗位的实际需求，以职业能力培养为重点，与行业企业合作共同编制《测量平差习题集》，训练教材贯穿课程学习的全过程。
2．能力培养过程是一个由简到繁的过程这个特点在学习情境二中体现最为充分，先让学生认识条件平差的基本原理，然后根据各种控制网的情况组合条件方程式，最后是解算条件方程式和精度评定。
测绘工程专业大学排名
测绘工程专业大学排名测绘工程专业大学排名教育部门并没有公布权威的测绘工程专业大学排名，但是公布了测绘科学与技术学科评估结果，而测绘科学与技术是测绘工程的主干学科，具有参考意义。
全国测绘科学与技术学科评估结果序号学校名称评选结果1武汉大学A+2解放军信息工程大学A+3中国矿业大学A-4北京大学B+5同济大学B+6中南大学B+7山东科技大学B8中国地质大学B9西南交通大学B10长安大学B11辽宁工程技术大学B-12河海大学B-13河南理工大学B-14北京建筑大学C+15北京师范大学C+16东南大学C+17西安科技大学C+18东北大学C19东华理工大学C20中国石油大学C21江西理工大学C-22桂林理工大学C-23昆明理工大学C-测绘工程专业简介测绘工程是利用各种现代化方法来采集、量测、分析、存储、管理、显示、传播和应用各类地学信息的一门综合的信息科学。
专业旨在培养具有扎实的测绘基础知识和技能，学习数字地球框架信息获取、处理、分析、表达和应用的基本原理和方法，掌握现代空间测量技术、数字摄影测量与遥感技术、地图学与地理信息系统的基本理论，能够从事大比例尺数字化测图与地籍图的测绘及其信息系统的建立，各种工程、大型建筑物的各阶段测绘即变形监测，资源合理开发、利用及环境整治等方面工作的高级专门人才。
测绘工程专业主要课程矿山测量学、测量学、误差理论与测量平差、大地控制测量学、工程测量学、摄影测量学、数字图像处理、遥感原理与应用、地图投影、计算机制图、地理信息系统原理、GPS原理与应用、地图学、数据库原理与应用、地籍测量学、数字化测图技术及应用等。
郑州大学是双一流吗郑州大学是双一流。
郑州大学是国家“211工程”重点建设高校、一流大学建设高校和“部省合建”高校。
站在新的历史起点上，学校确立了综合性研究型的办学定位，提出了一流大学建设“三步走”发展战略，力争到本世纪中叶建成世界一流综合性研究型大学。
口腔基础医学专业就业方向与就业前景分析口腔基础医学专业就业方向毕业后从事与医学教育、科研、临床实践相关的工作主要到医疗卫生机构从事口腔常见病、多发病的诊治、修复和预防工作，也可在美容院从事相关的面部整容、美容等工作。
测绘专业研究生学校综合排行
测绘专业研究生学校综合排行
B等（14个）
昆明理工大学、安徽理工大学、吉林大学
河南大学、长沙理工大学、江西理工大学
云南师范大学、南京工业大学、电子科技大学、福州大学太原理工大学、徐州师范大学
C等（10个）
河北理工大学、山东理工大学
重庆交通大学、合肥工业大学、
山东农业大学、河南工业大学
武汉大学
中国测绘科学院
中国科学院测量与地球物理研究所200年硕士研究生招生参考书目.
中国矿业大学
中国地质大学
考研专业排名（仅供参考）
摄影测量与遥感A+ 武汉大学
A 中南大学
北京大学
解放军信息工程大学
同济大学
中国矿业大学
西南交通大学
辽宁工程技术大学
山东科技大学
B
中国测绘科学研究院
中国科学院研究生院
国防科技大学
河海大学
中国地质大学
北京航空航天大学
南京大学
北京师范大学
北京交通大学
东北大学
中国海洋大学
东南大学
西安科技大学
安徽理工大学
长安大学
成都理工大学
重庆大学
大地测量学与测量工程
A+ 武汉大学
A
中国科学院研究生院
解放军信息工程大学
同济大学
河海大学
长安大学
辽宁工程技术大学
山东科技大学
西南交通大学
河南理工大学
B
中国测绘科学研究院
中国矿业大学
中南大学
清华大学
中国地质大学
合肥工业大学
东北大学
东南大学
吉林大学
西安科技大学
重庆大学
安徽理工大学。
《测量平差》课程标准
《测量平差》课程标准一、课程简介《测量平差》是一门重要的测量学课程，旨在培养学生掌握测量平差的基本理论、方法和技能，为后续课程和实际工作奠定基础。
本课程涉及测量误差理论、最小二乘法原理、平差软件应用等方面，是一门理论与实践相结合的课程。
二、教学目标1. 掌握测量平差的基本概念、原理和方法；2. 能够运用最小二乘法原理进行测量数据平差处理；3. 学会使用平差软件进行数据处理；4. 培养学生解决实际问题的能力和创新思维。
三、教学内容与要求1. 基础知识：掌握测量误差的基本概念、性质和分类，了解测量误差的来源和影响；2. 平差基本原理：掌握最小二乘法原理，了解平差方法的选择和适用条件；3. 平差方法与应用：掌握各种测量平差方法的原理和应用，如普通平差、加权平差、随机模型平差等；4. 平差软件应用：学会使用平差软件进行数据处理，包括数据导入、参数设置、结果输出等；5. 实践环节：通过实验和实习，培养学生解决实际问题的能力和团队协作精神。
四、教学方法与手段1. 理论教学：采用多媒体教学，结合案例分析、课堂讨论等形式，激发学生的学习兴趣和积极性；2. 实验教学：安排实验课程，让学生动手操作平差软件，加深对理论知识的理解；3. 课外学习：鼓励学生自主学习，通过阅读文献、参加学术讲座等方式拓宽知识面；4. 考核方式：采用平时成绩、实验成绩和期末考试相结合的考核方式，注重对学生实际应用能力和创新思维的考核。
五、教材与参考书1. 教材：《测量平差原理与方法》；2. 参考书：《测量误差理论》。
六、课程评估1. 平时成绩：包括出勤率、作业完成情况、课堂表现等，占比30%；2. 实验成绩：包括实验报告、实验操作等，占比30%；3. 期末考试：采用闭卷考试形式，占比40%。
七、课程总结与展望通过本课程的学习，学生应该掌握了测量平差的基本理论、方法和技能，具备了解决实际问题的能力和创新思维。
为了进一步提高本课程的教学质量，可以采取以下措施：1. 加强实践教学，增加实习和实地测量的机会，让学生更好地将理论知识与实践相结合；2. 引入先进的教学手段和方法，如在线课程、虚拟仿真等，提高学生的学习效果；3. 鼓励学生参加学术活动和科研项目，拓宽学生的知识面和视野，培养学生的创新能力和团队协作精神。
中国矿业大学成考高升本招生专业介绍.doc
2010年中国矿业大学成考高升本招生专业介绍主要课程：高等数学、离散数学、数据结构、数据库原理与应用、计算机操作系统原理、微机原理与接口、计算机网络技术、计算机组成原理、软件工程、编译方法、网络应用技术、人文科学等。
就业方向：可在政府机关、企事业单位、大中专学校从事计算机应用、开发、管理与维护方面的工作。
★机械工程及自动化（专业代码：080305）主要课程：英语、高等数学、工程力学、电工与电子技术、机械设计基础、测试技术、机械制造系统学、液压传动与气动技术、可编程控制器原理与应用、数控技术及应用、自动控制系统及应用、C语言程序设计、单片微机原理、人文科学等。
就业方向：可在机械、电子、石油、化工、冶金、制造等行业从事自动化生产线的管理与维护等。
★土木工程（专业代码：080703）主要课程：岩石力学、材料力学、结构力学、电工技术基础、工程测量、工程地质与水文地质、房屋建筑学、土力学与地基基础、工程材料、钢筋砼基本构件、钢筋砼与砌体构件、钢结构、抗震结构设计、高层建筑结构设计、土木工程测试与结构检验、建筑监理与合同管理、道路工程、岩土特殊施工、土木工程计算机辅助设计、人文科学等。
就业方向：可在大中型建筑公司、监理公司、工程咨询公司、房地产公司、物业管理公司等从事工程设计、施工、管理、监理、咨询、投资等工作。
★会计学（专业代码：110203）主要课程：运筹学、经济学、管理学、统计学、经济法、财政学、金融学、基础会计、财务会计、成本会计、财务管理、管理会计、高级会计学、电算化会计、审计学、VF程序设计、管理信息系统、人文科学等。
就业方向：各类政府机构、事业单位、国内外企业和会计师事务所从事会计实务和会计鉴证咨询工作。
★国际经济与贸易（专业代码：020102）主要课程：英语精读、英语听说、英语写作、外贸英语会话、外贸英语函电、高等数学、Visual Foxpro 程序设计、统计学、金融学、国际贸易实务、国际商法、国际金融、国际经济学、国际商务谈判、国际经济技术合作、电子商务、人文科学等。
水准网间接平差及可视化程序设计
水准网间接平差及可视化程序设计
段艳慧;葛于祥;张晓莹;郭伟
【期刊名称】《北京测绘》
【年(卷),期】2022(36)4
【摘要】针对测量平差烦琐的矩阵运算问题,本文利用矩阵实验室(matrix laboratory,MATLAB)平台进行水准网平差、精度评价与可视化展示。
由于间接平差误差方程式建立的规律性很强,而条件平差的条件方程式的规律不够明显,本文根据间接平差的原理进行程序设计并进行实例验证,实现了水准网间接平差的程序化及可视化表达,该程序的设计与可视化界面的设计降低了误差出现的概率,极大提高了水准网平差及精度评价的速度和精度,可应用于水准网间接平差的计算中。
【总页数】5页(P488-492)
【作者】段艳慧;葛于祥;张晓莹;郭伟
【作者单位】中国矿业大学(北京)地球科学与测绘工程学院;中国矿业大学环境与测绘学院
【正文语种】中文
【中图分类】P207
【相关文献】
1.粗差探测在水准网平差程序设计中的实现
2.基于Matlab的水准网间接平差程序设计
3.浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同
4.水准网条件平差粗差检测程序设计方法
5.水准网条件平差粗差检测程序设计方法
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测量学第五版课后习题答案（中国矿业大学出版社高井祥）
测量学第五版课后习题答案（中国矿业⼤学出版社⾼井祥）第⼀章绪论1 测量学在各类⼯程中有哪些作⽤？答：测量学在诸多⼯程中有着重要的作⽤，⽐如在地质勘探⼯程中的地质普查阶段，要为地质⼈员提供地形图和有关测量资料作为填图的依据；在地质勘探阶段，要进⾏勘探线、⽹、钻孔的标定和地质剖⾯测量。
在采矿⼯程中，矿区开发的全过程都要进⾏测量，矿井建设阶段⽣产阶段，除进⾏井下控制测量和采区测量外，还要开展矿体⼏何和储量管理等。
在建筑⼯程中，规划和勘测设计的各个阶段都要求提供各种⽐例尺的地形图；施⼯阶段，将设计的建筑物构筑物的平⾯位置和⾼程测设于实地，作为施⼯的依据；⼯程结束后还要进⾏竣⼯测量绘制各种竣⼯图。
2 测定和测设有何区别？答测定是使⽤测量仪器和⼯具，将测区内的地物和地貌缩绘成地形图，供规划设计、⼯程建设和国防建设使⽤。
测设（也称放样）就是把图上设计好的建筑物的位置标定到实地上去，以便于施⼯3 何谓⼤地⽔准⾯、绝对⾼程和假定⾼程?答与平均海⽔⾯重合并向陆地延伸所形成的封闭曲⾯，称为⼤地⽔准⾯。
地⾯点到⼤地⽔准⾯的铅垂距离，称为该点的绝对⾼程。
在局部地区或某项⼯程建设中，当引测绝对⾼程有困难时，可以任意假定⼀个⽔准⾯为⾼程起算⾯。
从某点到假定⽔准⾯的垂直距离，称为该点的假定⾼程。
4 测量学中的平⾯直⾓坐标系与数学中坐标系的表⽰⽅法有何不同?答在测量中规定南北⽅向为纵轴，记为x轴，x轴向北为正，向南为负；以东西⽅向为横轴，记为y轴，y轴向东为正，向西为负。
测量坐标系的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限为顺时针⽅向编号。
测量坐标系与数学坐标系的规定是不同的，其⽬的是为了便于定向，可以不改变数学公式⽽直接将其应⽤于测量计算中。
5 测量⼯作的两个原则及其作⽤是什么?答“先控制后碎部、从整体到局部”的⽅法是测量⼯作应遵循的⼀个原则，保证全国统⼀的坐标系统和⾼程系统，使地形图可以分幅测绘，加快测图速度；才能减少误差的累积，保证测量成果的精度。
中国矿业大学环测学院测绘工程专业《测量平差》复习题真题张书毕
平差模拟试题一、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设对∠A 观测4个测回的权为1，则对∠B 观测9个测回的权为多少？（10分）二、简述测量观测值中可能存在的偶然误差、系统误差和粗差的主要特性，并给出针对这些误差的主要对策。
（10分）三、证明间接平差中，观测值平差值与观测值改正数不相关（ˆ0LV Q =）。
（10分） 四、若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？（10分）五、有三角网（如图1），其中B 、C 为已知点，A 、D 、E 为待定点，观测角i L （i =1，2，…，10）。
试写条件方程式并对非线性的条件方程进行线性化； （15分）图1六、已知某平面控制网经平差后P 点的坐标协因数阵为：22ˆˆ)/(")(192.1314.0314.0236.1dm Q X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=，单位权方差"1ˆ0±=σ， （1）试求极值方向E ϕ和F ϕ，极大值E 和极小值F ；（2）求与X 轴夹角成︒=0.49ϕ方向的位差ϕσ，以及与极大值方向夹角成︒=0.45ψ方向的位差ψσ。
（15分）七、有一长方形如图2 ，(1,,4)i L i = 为独立同精度观测值，1=12.3L mm ，2=8.5L mm ，3=14.6L mm ，4=12.6L mm 。
计算矩形面积的平差值ˆS及其中误差ˆˆS σ。
（15分）图2八、如图3所示的边角网中，已知A 、B 点坐标及观测值为 ⎭⎬⎫==km Y km X A A 00.000.0，⎭⎬⎫==km Y km X B B 00.100.0 角度观测值为：L1=60°00＇05＂，L2=59°59＇58＂，L3=60°00＇00＂ 边长观测值为：S1=999.99m ，S2=1000.01m经过计算的P 点的近似坐标为⎪⎭⎪⎬⎫==km Y km X P P 500.0866.000，设待定点P 的坐标)ˆ,ˆ(P P Y X 为未知参数，试列出线性化后的误差方程式。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第四
2 1
1 11 1.7 5 7 2.7(mm)
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ，计算参数的平差值:
Xˆ X 0 xˆ 即
Xˆ 1 Xˆ 2
X X
0 1
0 2
xˆ1
xˆ
2
1122..050131(m)
12.7.7(mm)
1122..05004873(m)
5．由误差方程计算，求出观测量平差值；
L
B
Xˆ
d
n, 1 n, t t, 1 n, 1
（4-1-4）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般 对参数都取近似值，令
Xˆ X 0 xˆ
代入（4-1-4）式，并令
l L (BX 0 d ) L L0
由此可得误差方程
（4-1-5） （4-1-6）
V Bxˆ l
（4-1-7）
式中 l 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将 未知参数 Xˆ 视为非随机参数，不考虑其先验统计性
质，根据（4-1-5）式，可得平差后 QXˆXˆ Qxˆxˆ ，由 （4-1-6）式可Q得ll QLL 。
间接平差的随机模型为
D
n, n
02
Q
n, n
02
P 1
n, n
平差准则为
V T PV min
V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
转置后得
BT PV 0
（4-1-14）
以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求
量是n个V和t个xˆ ，而方程个数也是n+t个，有唯一
解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-114）式，以便先消去V，得
中国矿业大学测绘工程工程测量学课程设计书
中国矿业大学测绘工程工程测量学课程设计书一、风雨桥施工控制网技术设计书1项目概况1.1项目背景如下图所示，拟在云龙湖北区建立一座跨湖观景桥，桥梁跨越为约1110米，为连续箱梁结构，共三联37（10+17+10）孔。
为了桥梁的施工建设，需布设施工控制网。
控制网需满足工程建设的需求，同时考虑费用和布设难易程度等其他因素，综合选择最优的布设方案。
1.2地形地貌及气象条件2测区已有资料及成果利用2.1地形图资料拟建桥梁区域1:1000地形图（实际是1:1000，实习指导书上说是1:500），作为工作计划图和控制网布设工作底图。
2.2平面控制资料为了使大桥施工坐标系统与大桥勘测资料坐标系统的一致性。
故选用两个国家二等三角网点A,B，这两个控制点都是大桥连接线勘测阶段时建立的线路控制测量的起算点。
2.3高程控制资料为使大桥施工控制网的高程系统与大桥连接勘测时建立的高程系统相一致，故大桥施工控制网的高程系统选择1985黄海高程系，桥两岸有国家二等水准点各两个。
表1 桥梁两侧控制点坐标（单位：米）3作业规范及要求和仪器3.1相关测量规范3.2等级、精度要求桥梁施工平面控制网的建立，应符合下列规定：（1）桥梁施工平面控制网，宜布设成自由网，并根据线路测量控制点定位。
（2）控制网可采用GPS 网、三角形网和导线网等形式。
（3）控制网的边长，宜为主桥轴线长度的0.5-1.5倍。
（4）当控制网跨越江河时，每岸不少于3点，其中轴线上每岸宜布设2点。
3.2.1平面控制测量等级表2平面控制测量等级表3 桥梁施工控制网等级的选择注：1 L 为桥的总长2 l 为跨越的宽度指桥梁所跨越的江、河、峡谷的宽度。
3.2.3水准测量主要技术要求表4 水准测量的主要技术要求注：1.成带节点的水准网时，节点之间或节点与已知点之间的路线长度，不应大于表中规定的0.7倍。
2.L为往返段附合或闭合环的水准路线长度，km。
n为测站数。
3.2.4主要测量仪器表表5 主要测量仪器表4桥梁施工控制网的建立4.1桥梁控制网特点和平面控制网精度4.1.1桥梁施工控制网建立的一般特点桥梁施工的主要任务之一就是正确测设出桥墩、桥台的位置，而桥轴线长度又是设计与测设墩台位置的依据，因此，保证桥轴线测量的必要精度，有着极为重要的意义。
秩亏自由网平差方法研究
目录目录 ............................................................... 1 1 引言 (1)1.1 研究进程 ................................................... 1 1.2 选题目的 ................................................... 2 1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段 ................. 2 2 秩亏自由网平差 .................................................. 3 2.1 问题的提出 ................................................. 3 2.2 秩亏自由网平差原理 ......................................... 5 2.3 S 的具体形式 ............................................... 7 3 平差方法分析及比较 . (8)3.1 重心基准的秩亏自由网平差 ................................... 8 3.2 拟稳平差 (9)3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px................................... 10 3.4 秩亏自由网的广义逆解法 .................................... 11 3.5 分析与比较 ................................................ 13 4 实例分析 ....................................................... 15 结 论 ............................................................ 21 致 谢 ............................................................ 22 参 考 文 献 . (23)1 引言1.1 研究进程近几十年来，测量平差与误差理论得到了很大的发展，除了经典测量平差方法（条件平差法、间接平差法、附有参数的条件平差法、附有限制条件的条件平差法），产生了一些新的测量模型，后者常称为近代测量平差方法.测量平差中的秩亏问题，引起了国内外许多学者的重视，纷纷发表文章从各个不同的角度加以论述.从大多数论文来分析，其中大部分谈论这类问题的求解方法.产生这种现象的原因，一方面是由于秩亏问题较古典平差问题新鲜，另一方面由于解决这类问题存在着各种各样的途径与方法.为了使秩亏问题更好的用于监测的目的，我国测量学者周江文教授于1980年提出一种拟稳平差方法.这种方法的特点，首先通过分析，确定网中相对稳定的未知量，对整个网做自由网平差的同时，是这些稳定未知量拟合于他们的稳定值.这种方法，既区别于传统固定若干未知量作强制符合，使监测网造成不必要的变形；又区别于自由网平差，因后者未知量没有稳定的基准.这种平差方法既不歪曲观测，又有相对稳定的基准，在相对稳定点事先获得较合理、精度较高的近视值得情况下，能够解答出准度较高的待估参数值.我国大地测量学家刘大杰教授在《在论亏秩自由网平差》从传统的测量平差观点出发论述和分析亏秩自由网平差之解的性质着重讨论了：1、按“附加条件法”讨论亏秩自由网平差问题，其结果与“假观测值法”相同，但前者较后者更为恰当.2、亏秩平差之解具有方差最小性，也具有无偏性.3、亏秩平差之解与参考系的关系.于正林教授在《自由网平差中若干问题的讨论》一文中着重讨论了秩亏网平差、拟稳平差、和加权秩亏网平差结果之间的相互转换，以及各种自由网平差所求得的参数估计值的统计性质等问题.中国矿业大学环境与测绘学院，针对自由网秩亏问题，提出一种名为双重条件平差的方法，该方法简洁易懂，且法方程的系数不会出现秩亏问题，对秩亏自由网平差有一定的参考价值.总之，在国内学术界对秩亏自由网平差的研究很多，通过各种途径和方法来探讨和研究.1.2 选题目的“测量平差”是测绘学中一个重要的基础理论和应用学科.近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展．其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统.而秩亏自由网平差在变形监测、GPS 网平差等有着重要的应用.1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段1.3.1 本文研究的问题秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题 因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bb N B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 等价于最小范数准则, 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要从传统的测量平差的观点出发, 来分析和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了亏秩平差之解与传统自由网平差之解的关系, 与广义逆矩阵的关系, 不变量的条件, 以及几种算法.1.3.2 研究途径 （1）文献查阅通过阅读 测量学、测量平差与误差理论 、广义测量平差 等专业书籍.了解与掌握误差理论与平差的基本知识和方法.在期刊网上检索相关文献，了解前人相关研究成果，对做好本次研究有重大的指导作用. （2）请教导师对于论文所涉及的知识，所存在的疑惑，通过咨询指导老师，老师的悉心解答对文章具有重要的指导意义. (3) 采集数据通过网上搜集数据，为文章后面的实例提供了有力的依据，使文章结构更加清晰明了.2 秩亏自由网平差2.1 问题的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B 总是列满秩的，即R(B)=t （t 为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩t B R PB B R N R T bb ===)()()( 法方程具有唯一解.下图水准网中,假定3P 的高程已知为3H ，待定点1P 、2P 的高程平差值为0111ˆˆX X x =+，0222ˆˆX X x =+.各段路线长度为S ，高差为等权观测，误差方程 32312131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- （2-1） 的显式为1112223310ˆ11ˆ01v l x v l x v l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦法方程及其显式为ˆT T B BxB l = (2-2) 1122ˆ21ˆ12xw x w -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦在误差方程系数阵B 中，存在一个二阶行列式不等于零，如10111=-，故B 的秩R （B ）=2，即B 为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为1ˆ()T T xB B B l -= (2-3)这就是经典自由网平差情况.水准网图上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设3P 点的平差值0333ˆˆX X x =+，参与列误差方程，然后另033ˆX X =，将3ˆ0x =作为参数的条件方程，于是其函数模型为33313131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- (2-4)13310ˆT C x⨯⨯= (2-5) 式中[]001T C =,其显式为111222333ˆ101ˆ110ˆ011v xl v x l v x l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123ˆˆ0010ˆxx x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（即3ˆ0x =） 将（2-5）代入（2-4）式即得，可见俩种模型等价，平差结果相同. 在这种情况下，误差方程（2.1-4）的行列式等于零，即1011100011--=- 其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B 为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式（2-5），转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.没有起算数据的并以待定点坐标为待定参数的控制网，也是自由网.是一种特殊用途的控制网.一般网中待定坐标个数为u ，必要观测为t ，全部观测为n ，则B 为n ×u 阶矩阵，其秩R(B)=t ＜u ，列亏数d=u-t ，相应的法方程系数阵N 也是秩亏阵，R(N)=t ＜u ，秩亏数也为d=u-t.这种网称为秩亏自由网.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d 就是网中必要起算数据的个数，对于水准网，必要的起算数据是一个点的高程，故d=1.对于测角网，必要的起算数据是俩个点的坐标，故d=4.对于测边网或边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一个方位，故d=3.秩亏自由网的法方程系数阵N 奇异，即0N =,故N 的凯利逆1N -不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.2.2 秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的误差方程为111ˆn u n u n V B xl ⨯⨯⨯⨯=- (2-6) 式中u 为网中全部坐标参数的个数，系数矩阵的秩rk （B ）=t<u,秩亏数d=u-t ，按最小二乘原理min T V PV =，P 为非奇异，所得法方程为ˆNxW = (2-7) W=T B Pl ，rk （N ）=rk （T B PB ）=t<u ，N 奇异，法方程具有无穷多组解. 在一个不设基准的平差问题即秩亏自由网中，若设其未知参数的个数为u ，必要观测为t<u ，则其基准个数应为d=u-t ，所以上述的秩亏数就是秩亏自由网中的基准秩亏数.为了在秩亏自由网中求得未知参数的唯一解，需对网中u 个参数给定d 个基准约束条件.例如，二位测角网，令其俩个点的坐标为已知，并取已知坐标的近似值，或固定一个点的坐标，一条边长和方位角.就可以给出诸如（2-8）式的基准约束条件.就可以唯一解出在此基准条件下的参数估值，这就是经典自由网平一般，为了获得位置参数的唯一解，给定加权的基准约束条件为1ˆT x d u u u u S P x⨯⨯⨯=0 (2-8) 式中rk （S ）=d ，而且rk T B S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=u (2-9)BS=0 (2-10) 左乘T B P ，既得NS=0 （2-11）T S 行满秩表示（2.2-3）式中d 个方程互不相关，d 个条件与误差方程相互独立，由（2.2-5）式知，S 是矩阵N 的d 个零特征值所对应的d 个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N 的特征值方程求出. x P 称为基准权，x P 不同取值反应了所取基准约束不同，亦即x P 对应了所选的基准数.按最小二乘原理，另函数ˆ2()min T T T x V PV K S P x ϕ=+= （2-12） 得法方程为ˆˆˆ0x Tx Nx P xK W S P x+== (2-13)将上式的第一式左乘T S ，顾及（2-10）和（2-11）式的 T x S P SK=0 因二次型T x S P S 不能为零，故必有K=0于是（2-12）式为T V PV ϕ==min可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与位置的基准约束无关，亦即T V PV 是一个不变量，平差所得得改正数V 不因所选取的基准约束不同而异，这是一个重要将（2-13）式中的第二式左成x P S 后与第一式相加顾及K=0，可得ˆ()T x x N P SS P x W += (2-14) 由（2.2-4）式知系数矩阵满秩，令1()T p x x Q N P SS P -=+ (2-15) 则参数估计为ˆp p xQ W = (2-16) 按协因数传播律，ˆx的协因数为 ˆx p p p Q Q NQ = (2-17)顾及()T x x N P SS P + p Q =E (2-18) 上式也可写成ˆx p Q =p Q -p Q T x x P SS P p Q (2-19)在实际计算中，也可将S 标准化为G,使满足T xG PG E = (2-20) 用S 右乘（2-18）式，考虑NS=0得p Q x P S=S 1()T x S S P S - (2-21)将（2-21）式代入（2-19）式，顾及（2-20）式可得ˆTxp pQ Q GG =- (2-22) 单位权方差估计为20()T V PVn R B σ=- (2-23)2.3 S 的具体形式由（2-11）式确定的S ，具体形式可取为： 一维的水准网，秩亏数 d=1()1111T mS ⨯=⋅⋅⋅ (2-24)三维GPS 网，秩亏数 d=3()3333331TmS E E E ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅ (2-25)二维测边网，秩亏数d=332000000112210101001011Tmmm SY X Y X Y X ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅⋅⋅⎣⎦(2-26) 二维测角网秩亏数 d=4000000421122000000112210101001011Tmmm mm SY X Y X Y X X Y X Y X Y ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥--⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦(2-27) 以上均假设控制点总网点数为m.3 平差方法分析及比较3.1 重心基准的秩亏自由网平差采用重心基准，基准权设为单位阵，x P =E ，一般称为普通秩亏自由网平差 平差的模型为ˆˆ0min T T V Bxl S x V PV =-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⎩⎭(3-1) 由（2-15）（2-16）（2-19）（2-22）式得模型的参数估计为1ˆ()T r r xQ W N SS W -==+ (3-2) ˆTxr r r r Q Q Q SS Q =- (3-3)下面以水准为例，说明重心基准的由来.对于水准网基准约束ˆ0T S x=的具体形式为 12ˆˆˆ0m xx x ++⋅⋅⋅+= 平差后各点高程的平差值为00111111ˆˆ()m m m i i i i i i i X X X xX X m m m =====+==∑∑∑ (3-4) 即平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.3.2 拟稳平差以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差. 将网中参数分为俩类，设 ()12111T TT uu u x x x ⨯⨯⨯=其基准权为1122u u x u u OO P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦式中12u u u +=，2u >d.基准约束式为（2-8），令()12TTTd ud u d u SSS⨯⨯⨯=则拟稳平差的基准约束条件为22ˆ0TS x= (3-5) 顾及上述关系式，由（2-16），（2-14）式得1ˆ()T s sS x QW N S S W -==+ (3-6)()20T TT S x S S P S == (3-7)由（2-21）式得122()TS S Q S S S S -= (3-8)采用2S 标准化矩阵2G ,即2T G 2G =E ，将上式（2-19）式的ˆs T x S Q Q GG =- （3-9）拟稳平差是全部网点分为俩个部分1X 2X ，2X 是拟稳点的坐标参数，基准约束条件（3-5）仅包含参数2X .所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差. 当所取的2u d =时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =通过基准变换推导出ˆp x=ˆx +SD ，从理论上证明了最小范数准则 ˆˆmin Tp p x Px = 与基准约束条件ˆ0T x S P x =等价.即上述的秩亏自由网平差模型（3-10）与（3-11）等价，俩者平差结果相同.说明基准条件与基准要求等价. 在加权范数最小的条件下，即在ˆˆmin T p p x Px = 的条件下，未知数的解为ˆˆP p p x x Q W Q W == 它的协因数阵为ˆP Tx p p pQ Q NQ Q GG ==- 式中1()T p xx Q N PGG P -=+ x P 为表示未知参数稳定程度的权矩阵.对与G 阵满足（2-9）（2-10）（2-11）式的条件.3.4 秩亏自由网的广义逆解法秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法.广义逆解法则采用与（3-10）的等价模型（3-11）来计算. 由（3-11）的前俩式，x 的最小二乘可由以下法方程得出Nx=W (3-12) 此解不唯一，因为N 为奇异阵.考虑参数约束要求ˆˆmin Tp p xPx =由（3-12）式可以解的参数加权最小范数的唯一解为ˆxmp P x N W = (3-13) 式中x m P N 是法方程系数阵N 的加权最小范数逆，xmP N 不唯一，但其解唯一. 根据加权最小范数逆的定义：对于相容方程NX=W ，1/21111()T x X p X ⨯= ，则同时满足,()T x xNGN N GN P PGN == (3-14) 的G 称为N 的加权最小范数逆，为xm P N . 在附加条件法参数解（2-16）式中的1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆，这里就不证明了.加权最小范数逆不唯一，有多种选择，但必须满足（3-14）中的俩个条件. 当x P 正定是，在平差中常用的一种选择是11()x mTT P x x N P N NP N ---= (3-15)特别的当x P 为单位阵时()xm T T P N N NN -= (3-16) 下面对最小范数逆解的唯一性给出证明：设有俩个最小范数逆为1m N -和2m N -，相应的最小范数解为 11,m X N W-= 22m X N W -= 因为最小范数逆满足下列俩个方程：m NN N N -=()T m m N N N N --=所以()T T T m m N NN N N NN --==1T T m N NN N -=,2T T m N NN N -=上述俩式相减的12()T m m N N NN O ---= 俩边右乘以12()T m m N N ---得到1212()()T T m m m m N N NN N N O ------=上式是个二次型，要成立的话，必须有：12()m m N N N O ---=俩边同时右乘以任意解向量Y ,得12()m m N N NY O ---=又因为NY W =,故有：12()m m N N W O ---= 12m m N W N W O ---=所以：12m m N W N W --=可见，最小范数解不因最小范数逆不同而异，最小范数逆的解唯一.3.5 分析与比较秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法，对于重心基准平差，以水准网为例，平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.在拟稳平差中，基准权1122u u x u u O O P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦（其中u1+u2=u ，u2>d.），当u2=d 时，就转换成为了经典自由网平差，也就是说经典自由网平差是拟稳平差的一种特例.最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =与基准约束条件ˆ0Tx S Px =俩者等价，即俩种秩亏自由网平差模型等价.此外最小范数准则还与ˆˆ()min xx x tr Q P =等价（方差最小性）.下面证明：ˆˆˆˆ()(())T TE x Px E tr x Px=ˆˆˆ(())(())T T x x E tr xxP tr E xx P ==及 ˆˆˆˆˆ()()()()T D xE xx E x E x =- 可得 2ˆˆ0ˆˆˆˆ()()(()())T T xx x x E x Px tr Q P tr E x P E x σ=+上式右边为常量，上述等价性得证.当x P =E 时，则有ˆˆ()xx tr Q min =当x P =220u u diag E ⎛⎫⎪⎝⎭时，则有22ˆˆ()min x x tr Q =.重心基准的参数估计具有最小迹的性质，而拟稳平差仅拟稳点坐标参数估计具有最小迹.广义逆解与附加条件的解相同，下面证明附加条件参数解(2-15) 1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆.先证明一个有用的等式，由 ()T x x N P SS P + p Q =E 俩边右乘S ，考虑NS=0，得T p x x Q P S S P S S = 由(3-14)式得()T T p p x x x x NQ N NQ N P SS P P SS P =+-()Tp x x N E Q P SS P =-1(())TTx x N E S S PS S P N -=-=1()(())TT Tp x x x x Q N P E S S P SS P P -=- 1(())T Tx x x P E S S P S S P -=-x p P Q N =故有 1()xT m p x x P Q N P SS P N -=+∈ 也说明采用模型（3-10）与模型（3-11）进行秩亏自由网平差结果是相同的，再次说明俩模型等价.总之，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变.（2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min =）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.4 实例分析例1:图水准网，C B A 、、点全为待定点，同精度独立高差观测值为m h 345.121=，m h 478.32=，m h 817.153-=，平差时选取C B A 、、三个待定点的高程平差值为未知参数321ˆˆˆX X X 、、，并取近似值)823.25345.22100302010m X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵.解：1．直接解法 误差方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=600ˆˆˆ101110011321x xx V 法方程为0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx由法方程易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211211N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1211121N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=061W所以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-6336271)(11111T N N Q未知参数的改正数为)(202)(ˆ111111111m m W Q N W N N N xT T T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===-未知参数的平差值为)821.25345.22002.10ˆˆˆˆˆˆ321030201321m x x x X X X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛未知参数的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==2111211129111111111ˆˆN Q N Q N Q T X X2．附加条件法解法一中已求得法方程为0ˆ=-W xN 的具体形式为： 0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx该水准网有3个待定点，所以附加阵为()11113=⨯TS⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯31313113TG则有TGG N N +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=11111111131211121112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=72227222731 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-522252225911N所以有)(20260652225222591ˆ1m m W N x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-未知参数的的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-211121112911ˆˆT X X GG N Q结果与直接解法完全相同.例2 如图的水准网中，观测高差﹑距离和各带定点高程近视值列于表1中分别进行下列自由网平差.如下图（1） 以6号点为固定点的经典自由网平差； （2） 以重心基准的自由网平差，P=E ；（3） 以1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag （1 1 0 0 1 1）.各种平差的参数估值分别记为ˆc x ˆr x ˆs x 及解向量的各范数值；参数估值的协因数及其迹列于下列图表中.观测数据与改正数 表-1未知参数的估值ˆx（mm ） 表-2 其中ˆx=（1 2 5 6 3 4 ） 1ˆx =（1 2 5 6） 2ˆx =（3 4）未知参数估值ˆx的协因数 表-3由上表所列的数值，可以清楚看到各种自由网平差所具有的特点. （1）各法所得得改正数V 相同，均具有min T V PV =. （2）普通秩亏自由网平差61ˆ0i i x ==∑，且有ˆˆm i n T x x =（ˆˆTx x =248.38）和tr(1ˆi x Q =)=min(ˆx Q =29.40).（3）拟稳平差满足1ˆ0ix=∑且有11ˆˆmin T x x =（1.01）和tr(ˆ1x Q )=min (tr ˆ1x Q )=20.47.（4）经典平差可以看做一种特殊的拟稳平差，满足6ˆ0x =和tr （ˆ6x Q ）=0.(5)总之，各种秩亏自由网平差均满足ˆ0i x i iP x =∑且有ˆˆmin T p p x Px =.结 论通过以上分析和实例验证，在经典间接平差中，必须有足够的起算数据，所选的待定参数之间不存在函数关系时，误差方程的系数阵总是列满秩的，且秩等于必要观测数，法方程系数是一个对称的满秩矩阵，即法方程有唯一解.而秩亏自由网没有起算数据参与的并以待定点参数的网，误差方程不是列满秩，其相应的法方程系数阵为奇异阵，要求出参数的解，一种从传统测量平差观点出发，利用假观测法或附加条件式来讨论，一种是从线性代数观点出发利用广义逆矩阵来讨论，俩种方法得到的结果是相同的，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变. （2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min ）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.致谢首先，向我的指导老师魏东升老师以衷心的感谢！感谢魏东升老师的细心的指导，在论文的进行过程中，魏东升师做了大量的指导工作，对论文的结构及内容提出了许多的意见和建议.在论文定稿期间，魏东升老师还花了大量的时间做了仔细认真的审阅并提出了许多宝贵的意见.同时也感谢教研室龙江平等老师的细心解答与指导.其次，在论文实践期间，感谢同学在论文过程中给予的帮助！在此，向帮助我的老师、同学、表示深深的感谢，感谢他们对我的支持和帮助.谢谢.参考文献[1] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰.广义测量平差. 北京：测绘出版社，1982[2] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,，于正林广义测量平差（第二版）北京：测绘出版社 1992[3]. 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,于正林广义测量平差（第二版）武汉：武汉大学出版社 2009.[4] 武汉大学测绘学院测量平差学科组，误差理论与测量平差基础，武汉：武汉大学出版社 2003[5] 刘大杰论亏秩自由网平差武汉大学测绘学院学报 1981[6] 于正林自由网平差中若干问题的讨论武汉测绘科技大学学报 1986[7] 张卡，张书毕秩亏自由网的双重条件平差徐州：中国矿业大学环境与测绘学院2004[8] 赵超英秩亏自由网平差及其通解长安大学：地球科学与环境学报2010[9] 王帅，高井祥秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析中国矿业大学：勘察科学与技术 2011[10] 鲁铁定，张立亭自由网平差的直接解算西安科技大学学报第24卷4期2004[11] 冯浩鉴论秩亏网平差测绘学报第13卷第4期国家测绘局1984[12] 谢建，朱建军约束秩亏自由网平差的一种新的算法测绘工程第18卷2期中南大学 2009[13] 王军最小范数在秩亏自由网平差中的应用科教前言2012第7期神华宁夏煤业集团有限责任公司银川 2012[14] 武汉测绘学院最小二乘法教研组. 最小二乘法北京中国工业出版社 1961[15] 李庆海概率论统计原理在测量中的应用北京：测绘出版社 1982[16] 高士纯测量平差基础习题集北京：北京测绘出版社 1983[17] 刘大杰于正林控制网测量平差北京：北京测绘出版社 1985[18] 陶本藻自由网平差变形分析武汉：武汉测绘科技大学出版社 1992[19] 黄维斌近代平差理论及应用北京：解放军出版社 1992[20]杨元喜抗差估计理论及其应用北京：八一出版社 1987[21]王维松线性模型的理论及其应用合肥：安徽教务出版社 1987.。
工程测量重点全部知识点（中国矿业大学）
⼯程测量重点全部知识点（中国矿业⼤学）第⼀章1、⼯程测量定义：⼯程测量学是研究各种⼯程在规划设计、施⼯建设和运营管理阶段所进⾏的各种测量⼯作的学科。
2、⼯程测量学科地位:学科交叉、学科综合、学科细分。
测绘学的⼆级学科：⼤地测量学：⼏何⼤地测量、物理⼤地测量、空间⼤地测量、海洋⼤地测量、⼯程测量学（矿⼭测量）；摄影测量学与遥感；地图制图学；地理信息系统；不动产测绘（房地产测绘、地籍测绘）。
3、按服务对象分⼯程测量主要内容包括哪些？建筑⼯程测量、⽔利⼯程测量、线路⼯程测量、桥隧⼯程测量、地下⼯程的测量海洋⼯程测量、军事⼯程测量、三维⼯业测量，以及矿⼭测量、城市测量等。
4、陆⾏乘车，⽔⾏乘船。
，这段描述的含义。
这⾥所记录的就是当时的⼯程勘测情景，准绳和规矩就是当时所⽤的测量⼯具，准是可揆（kui）平的⽔准器，绳是丈量距离的⼯具，规是画圆的器具，矩则是⼀种可定平，可测长度、⾼度、深度和画圆、画矩形的通⽤测量仪器。
5、“⼴义⼯程测量学”的概念：“⼀切不属于地球测量，不属于国家地图集范畴的地形测量和不属于官⽅的测量，都属于⼯程测量”。
第⼆章1、⼯程测量各阶段的任务是什么。
规划设计阶段的测量⼯作：测绘地形图和纵、横断⾯图施⼯建设阶段的测量⼯作：按设计要求将设计的建构筑物位置、形状、⼤⼩及⾼程在实地标定出来，以便进⾏施⼯；⼯程质量监理运营管理阶段的测量⼯作：竣⼯测量以及变形监测与维修养护。
2、测量监理的⼯作任务是什么在正式施⼯开始时，对控制⽹进⾏全⾯复测、检查验收承包⼈的施⼯定线验收承包⼈测定的原始地⾯⾼程对桥梁施⼯还需进⾏桥梁下、上部结构的施⼯放样的检测对每层路基的厚度、平整度、宽度、纵横坡度进⾏抽查，检查施⼯单位的内业资料是否真实审批承包⼈提交的施⼯图第三章1、按范围和⽤途，测量控制⽹分哪⼏类，作⽤分为全球控制⽹、国家控制⽹、⼯程控制⽹全球控制⽹⽤于确定、研究地球的形状、⼤⼩及其运动变化，确定和研究地球的板块运动等。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第六章 误差椭圆
由于观测条件的存在， 由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误 差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点 的平面直角坐标， 的平面直角坐标，并不是真正的坐标值 ~P , ~P ， x y ˆ ˆ 而是待定点的真坐标值的估值 x P , y P 。 在前面几章讲述的几种平差方法中， 在前面几章讲述的几种平差方法中，对坐标估值的 精度估算已有论述，在此基础上， 精度估算已有论述，在此基础上，本节对测量中常 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。
设有两组不同的观测值向量 L 、 2 ，分别代入式 1 L （6-1-3）可得 ）
ˆ xP 1 = xA +α L 1+α 0 ˆ yP1 = yA + β L 1+ β 0
ˆ xP 2 = xA +α L 2+α 0
和 y = y +β L +β ˆP2 A 2 0
对于同一控制网而言，如果观测量相同（ 对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样 的角度、边长等），采取同样的平差方法， ），采取同样的平差方法 的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中 β α β 是不变量，但观测值向量L 的 α、 、 0、 0是不变量，但观测值向量 1、L2不会相 ˆ ˆ ˆ y ˆ 可见，随着观测值L的不 等，因此 xP 1 ≠ xP 2 、P1 ≠ yP 2 。可见，随着观测值 的不 yP 也将取得不同的数值。但P点的真坐标 ~P 同，ˆP和 ˆ 也将取得不同的数值。 点的真坐标 x x 和 ~P 是唯一的，由式 、 知 y 是唯一的，由式(6-1-1)、(6-1-2)知，就会出现 不同的 ∆ x 和∆ y 值以及 ∆ P ，所以说点位真误差随观 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
中国矿业大学测绘工程复试题目
1、控制测量学与普通测量学的区别和联系控制测量学是在大地测量学的基础理论上以工程建设和社会大战与安全保证的测量工作为主要服务对象而发展和形成的，控制测量的服务对象主要是各种工程建设，城镇建设和土地规划与管理等工作。
这就决定它的测量范围与大地测量要小，并且在观测手段和数据处理方法上还具有多样化的特点，使用仪器相同，精度不同2、二等水准观测时，读水准尺的顺序是什么测站观测顺序为往测奇数站后前前后，偶数站前后后前，返测奇数站前后后前，偶数站后前前后三等：后前前后四等：后后前前3、大地测量的基准面和基准线外业：基准面：大地水准面基准线：铅垂线内业：基准面：参考椭球面基准线：椭球面法线4、我国采用的高程系统？为什么我国才用该系统85国家高程基准，因为一个国家需要一个固定的高程系统，方便测算各种地物的高程5、为何观测误差不可避免？误差按性质可分为几类？在整个观测过程中，由于受到测量仪器，观测者，外界条件等因素的影响，观测的结果必然会产生这样那样的误差。
误差按性质分为系统误差，偶然误差，粗差6、平差的基本任务是什么我们的测量都是有误差的.所以为了我们的测量的结果更加精确.我们才要平差.平差有三大任务.1.消除观测数据之间的矛盾.2.求待定量的最佳估值.3.评定精度7、电磁波测距主要有哪两种方式？如果要进行精密测距，应该采用哪种测距方式？脉冲测距法和相位测距法，相位测距法8、用户在使用gps接收机进行伪距单点定位时，为何需要同时观测至少4颗gps卫星由于gps采用单程测距原理，实际观测的站星距离均含有卫星钟和接收机同步差的影响。
通常将其作为未知参数，在数据处理中与观测站坐标一并求解。
一个观测站实时求解4个未知数，至少需要4个同步伪距观测值，即4颗卫星。
9、简述gps定位原理，为什么相对定位能提高测量精度测距交会的原理。
相对定位：通过在多个测站上进行同步观测，测定测站之间相对位置的定位。
10、简述距离测量的方法及所使用的仪器设备激光测距仪，全站仪激光测距GPS测距米尺量距等11、什么是拓扑关系，Gis中主要拓扑关系有哪些指图形在保持连续状态下的变形，但图形关系不变的性质。
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1. 若令 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⨯⨯1211Y X Z ，其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21Y Y Y ，已知权阵Z P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P ，试求权阵X P ，Y P 及权1Y P ，2Y P 。
需要掌握的要点：向量的协方差阵D 、协因数阵Q 、权阵P 之间的关系和它们里面元素的含义。
解：由于1-=Z ZZ P Q ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/12/12/14/34/12/14/14/3ZZQ ，通过该式子可以看出，[]4/3=XXQ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/14/3YY Q ，则3/41==-XX Q P X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-2/31121YY Q P Y 且3/41=Y P ，12=Y P2. 设已知点Ａ、B 之间的附合水准路线长80km ，令每公里观测高差的权等于1，试求平差后线路中点C 点高程的权。
思路：该题可以有三种解法（测量学的单附合水准路线平差、条件平差、间接平差）。
千万记住：求什么量的权就一定要把给量的函数表达式子正确地写出来。
即1ˆˆh H H A C +=，或X H Cˆˆ= 方法一：（测量学的单附合水准路线平差） (1) 线路闭合差B A h H h h H f -++=21)(21)2121()(212121)(2121ˆ2121211111B A B A B A A h A A C H H h h H H h h H h h H h H f h H v h H H ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=++-=-++-+=-+=++=(2) 按照协因数传播定律:202/12/1400040)2121(2/12/1)2121(22122111ˆˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=h h h h h h h h H H Q Q Q Q Q CC(3) 则 20/1/1ˆˆˆ==CCCH H H Q P方法二：（条件平差法）思路:因为C 点高程平差值是观测值平差值的函数。
（1） 条件方程式：0ˆˆ21=-++BAH h h H （2） 改正数条件方程：0)(2121=+----+B A H h h H v v（3） 系数阵[]11=A ，观测值权阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=40/10040/1P ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-4000401P Q ， 则法方程01=-⋅-W K A AP T ，其中801==-T A AP N（4） 由于条件平差中（5） []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-202020202020202040004040004011801114000404000401ˆˆAQ N QA Q Q TL L 列出平差值的函数式子：1ˆˆh H H A C +=，通过这个式子可以求出系数阵T f ，因为A C H h hH +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=21ˆˆ)01(ˆ，则 （6） 则有：()20012020202001ˆˆˆˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅⋅=f Q f Q L L TH H CC （7） 所以20/1/1ˆˆˆ==CC C H H H Q P方法三：（间接平差法）思路:因为C 点高程平差值就是所选取的未知参数平差值，而未知参数平差值的协因数阵是法方程系数阵的逆阵。
（1） 设C 点高程平差值为未知参数X ˆ，则按照间接平差有 （2） 观测方程 BA H X h H X h +-=-=ˆˆˆˆ21 （3） 误差方程)(ˆ)(ˆ022011B A H X h xv H X h xv -+--=+--= （4） 系数阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ，观测值的权阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=40/10040/1P ，则法方程0ˆ=-⋅Pl B x PB B TT ，其中20/1==PB B N T bb而201ˆˆ==-bb X X N Q（5） 所以20/1/1ˆˆˆ==X X H Q P C3. 如图A 是已知点，边长EF S 的长度和方位角CD T 也已知，确定各种条件数。
思路：测角网，当网中已知点数小2，必要观测数等于2×总点数减去4，还要加上已知的边数和已知的方位角数。
所以本题的必要观测数10)11(462=++-⨯=t 个。
条件的类型是：大地四边形 ABCF 中 3个图形条件、1个极条件；大地四边形BCDF 中 2个图形条件、1个极条件；大地四边形BDEF 中 2个图形条件、1个极条件；共计有7个图形条件、3个极条件。
边长观测值的平差值，有边长条件方程0ˆˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 6532=-⋅AD AB S S ββββ，线性化之。
思路：条件方程的线性化只能用泰勒阶数展开，不能用全微分。
)sin sin sin sin (ˆ665533226532=-⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅ADS AD AB v v a v a v a v a S S ββββ其中2265322cot 1cot )sin sin sin sin (βρρβββββ⋅=⋅⋅⋅=""ADAB S S a同理 33cot βρ⋅-="ADS a 、55cot βρ⋅="ADS a 、66cot βρ⋅-="ADS a 代入上式整理后，0")sin sin sin sin 1("cot cot cot cot 5623ˆ66553322=-+--+-ρββββρββββAB AD S ADS S v S v v v v ADDY ˆ为选取的未知参数的平差值，有方位角条件方程 0ˆˆarctan ˆˆ41=-----AD A D AB X X Y Y T ββ，线性化之。
思路：条件方程的线性化只能用泰勒阶数展开，不能用全微分。
0ˆˆ)arctan (11410041=⋅+⋅+-------D D AD AD AB y b xa v v X X Y Y T ββ其中 2001)("ADADS Y a ∆=ρ、2001)("AD ADS X b ∆-=ρ， 代入整理后的0)arctan (ˆ)("ˆ)("004120020041=-----+⋅∆-⋅∆+--AD AD AB D ADADD ADADX X Y Y T yS X xS Y v v ββρρ6．如图边角网中，A 、B 、C 、D 点均为待定点，边长观测值51S S →，角度观测值41L L →，试按条件平差列出全部平差值条件方程式及其线性形式。
思路：边角网，当网中已知点数小2，必要观测数等于2×总点数减去3，。
所以本题的必要观测数 5342=-⨯=t 个，可以列（n-t=9-5=4）条件。
图形条件：0180ˆˆˆ321=︒-++L L L正弦条件：0ˆsin ˆsin ˆˆ2351=-L L S S ，正弦条件：0ˆsin ˆsin ˆˆ2152=-L L S S余弦条件：0ˆˆˆ2ˆˆˆarccos 443222423=--+L S SS S S 其线性形式：01321=-++w v v v0"cos "cos sin sin 23352213251=--+-w v L S v L S v L v L S S ρρ0"cos "cos sin sin 31152221252=--+-w v L S v L S v L v L S S ρρ第四个条件，按照泰勒阶数展开：)2(arccos 4432443222423432=-+++--+v v a v a v a L S S S S S S S S 其中12"h a ρ=、DCB h a ∠-=cos "13ρ、DBC h a ∠-=cos "14ρ，代入整理0cos "cos ""44111432=--∠-∠-w v DBCv h DCBv h v h S S S ρρρ )180(3211-++-=L L L w 、21352sin sin L S L S w -= 22153sin sin L S L S w -=、44L BDC w -∠=232422232arccosS S S S S DCB -+=∠422324222arccosS S S S S DBC -+=∠432224232arccosS S SS S BDC -+=∠DBC S h ∠⋅=sin 417．如图测角网中，A 、B 、C 为已知点，P 为待定点，为了确定P 点坐标，观测了7个角度，其中4号角的观测值为"5.48031394'︒=L ，用A 、B 、C 点的已知坐标和P 点的近似坐标计算出各边的近似方位角和近似边长为：测站照准点近似方位角（°＇＂）近似边长（km ） PA40 03 48.5 1.75 B 266 59 06.3 1.83 C179 07 36.01.84 试列出4号角的观测方程和误差方程。
（注意是采用间接平差法）思路：选P 点的坐标为未知参数)ˆ,ˆ(P P Y X ，把各个角表达成未知参数的函数，这样的式子叫观测方程，线性化后叫误差方程。
解：列4号角的观测方程，PC P C P A P A X X Y Y X X Y Y L ˆˆarctan ˆˆarctan ˆ4-----=线性化：按照泰勒阶数展开：P P PC P C P A P A y b x a X X Y Y X X Y Y v L ˆˆ)arctan (arctan 1100044++-----=+P P PC PA y b x a v L ˆˆ)(110044++-=+αα ))((ˆˆ004114PC PA P P L y b x a v αα---++=其中415.7)(75.1sin 6265.20)(84.1sin 6265.20)(75.1sin 206265)(84.1sin 206265sin "sin "000000001-=-⋅=-⋅=-=dm dm km km S S a PC PA PCPA PC PC PA PA αααααραρ同理229.20)(75.1cos 6265.20)(84.1cos 6265.20)(75.1cos 206265)(84.1cos 206265cos "cos "000000001=+⋅-=+⋅-=--=dm dm km km S Sb PC PAPC PAPCPCPAPAαααααραρ代入得到："8.0ˆ229.20ˆ415.714-+-=P P y xv如何看待通用公式：k jkjkk jkjkj jkjkj jkjkjk ySxSySxSˆcos ˆsin ˆcos ˆsin 00"00"00"00""αραραραρδα+--=()()()()000022220000ˆˆˆˆjkjkjkjkjkj j k k jkjkjkjkY X Y X xyxyS S S S ρρρρδα''''''''∆∆∆∆''=--+8. 如图的边角网中，已知A 、B 点坐标及观测值为⎭⎬⎫==km Y km X A A 00.000.0，⎭⎬⎫==km Y km X B B 00.100.0角度观测值为：L 1=60°00＇05＂，L 2=59°59＇58＂，L 3=60°00＇00＂ 边长观测值为：S 1=999.99m ，S 2=1000.01m经过计算的P 点的近似坐标为⎪⎭⎪⎬⎫==km Y km X P P 500.0866.000，设待定点P 的坐标)ˆ,ˆ(PPY X 为未知参数，试列出线性化后的误差方程式。