随机向量的函数的分布与数学期望
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论 数学期望
0 . 0779
E ( Y ) 2732 . 15 , 即平均一台收费
2732 . 15 .
13
例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
记作 E( X ), 即
E( X )
xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是随机变量
6
例1 甲、乙两选手进行打靶，击中环数 为X1,X2，它们的分布律为
X1 pk X2 pk 7 0.2 7 0.3 8 0.3 8 0.5 9 0.4 9 0.1 10 0.1 10 0.1
数学期望的概念源于此
4
数学期望的定义
设 X 为离散 随机变量. 其分布律为
P( X xk ) pk ,
k 1
k 1,2,
若无穷级数 xk pk 绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
k 1
5
定义
设连续型随机变量X 的密度为 f (x) 若广义积分
20
E 例9 设 X 服从参数为 的泊松分布，求 X 。
解：已知泊松分布律为：
PX k
3.3随机向量函数的分布
e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b
FZ (b) P Z b P X Y b
例 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从参数为 p 求 的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.
概率4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
一、随机变量函数的数学期望 设随机变量X 具有以下分布，试求Y 2 X的数学期望 3 1 5 Ｘ
P
0.3 0.4 0.3
解
Y P
2
0.3
6
0.4
10
0.3
E (Y ) 2 0.3 6 0.4 10 0.3 y1 p(Y y1 ) y2 p(Y y2 ) y3 p(Y y3 ) y1 p( X x1 ) y2 p( X x2 ) y3 p( X x3 ) g( x1 ) p( X x1 ) g( x2 ) p( X x2 ) g( x3 ) p( X x3 )
g ( x i ) pi
i 1 3
1
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则E(g(X))=∑g(xn)pn (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则E ( g ( X )) g ( x) f ( x)dx
1 4000 E (Y ) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx 2000 2000 1 y 1 4000 1 2 6 ( 4 x y ) dx 3 ydx ( y 7000 y 4 10 ) 2000 2000 2000 y 1000
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
2
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望
离散型随机变量
x1 , x2 ,, xn ，记 设离散型随机变量X，一切可能值为
Pn P( X xn )
称 P1 , P2 ,, Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f (x )，
且 f(x ) ，使X取值于任意区间的概率 dx
E X1 E N .
例4 设某段时间内到达商场的顾客人数N服从 参数为λ的泊松分布.每位顾客在该商场的消费 额X 服从[a, b]上的均匀分布.各位顾客之间消费 是相互独立的且与N 独立.求顾客在该商场总的 消费额. 解 设第i 个顾客消费额为Xi , 全体顾客在该 商场总消费额为 N S Xi
2 2 E X EX m2 m1 2
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
RXY EXY
CovX ,Y E X mX Y mY
def Cov X ,Y DX DY
⑦
相关系数 不相关
xy
xy
0
描述两个随机变量的线性相关关系
三、条件数学期望 1.条件数学期望概念 定义 设(X, Y)是二维随机变量,条件分布函数
y dFY X y x 或
x dF X Y x y
FY X y x 或 F X Y x y 存在，若
则
E Y
x E (Y X x ) ˆ y dF Y X yx
在“X=x”的条件下,有条件概率密度 e y x , y x; fY X ( y x ) 其它. 0, E (Y X x ) yfY X ( y x )dy
随机变量的分布与期望
应用条件
要求随机变量序列独立同分 布，且期望和方差存在。
中心极限定理
含义
中心极限定理是概率论中讨论随 机变量序列部分和分布渐近于正 态分布的一类定理。这组定理是 数理统计学和误差分析的理论基 础，指出了大量随机变量近似服 从正态分布的条件。
种类
包括独立同分布的中心极限定理 、德莫佛-拉普拉斯定理等。
随机变量性质
随机变量取值随试验结果而定，但其 取值带有随机性，同时取某一区间内 的任何实数值都有一定概率。
离散型随机变量
离散型随机变量定义
01
全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。
常见的离散型随机变量分布
02
二项分布、泊松分布、超几何分布等。
离散型随机变量的数学期望和方差
03
数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取
关系
边缘分布函数可以从联合 分布函数中推导出来，但 联合分布函数不能由边缘 分布函数唯一确定。
条件分布与独立性
条件分布
在多维随机变量中，当已知其中 部分随机变量的取值时，其他随 机变量的分布称为条件分布。
独立性
如果多维随机变量中任意两个子 集的联合分布等于各自边缘分布 的乘积，则称这两个子集相互独 立。
随机变量的分布与期望
汇报人：XX 2024-01-29
目录
• 随机变量基本概念 • 常见离散型随机变量分布 • 常见连续型随机变量分布 • 随机变量数字特征：期望与方差 • 多维随机变量及其分布 • 大数定律与中心极限定理
01 随机变量基本概 念
随机变量定义及性质
随机变量定义
设随机试验的样本空间为S={e}， X=X(e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数。称X=X(e)为随机变量。
3.2概率论——随机变量的期望
X0
100
p 0.25 0.75
Pascal认为甲的所得应为0 0.25 100 0.75 75法郎
这不仅考虑了已赌的局数还包含了对再赌下去的一种
“期望” (Expectation),它比(1)的分法更为合理.
这就是数学期望这个名 称的由来,也称为均值.就上例 而言, 再赌下去的话 ,甲“平均”可以赢 75法郎.
(12 1) 0.3 (22 1) 0.3 3.4
例 8：设随机变量X的密度函数为
f ( x) co2s x 0
求：EX , E(2X 3), EX 2
x 2
else
EX
xf ( x)dx
2 x cos xdx 0
2
2
2
cos x
E(2 X 3) (2x 3) f ( x)dx (2x 3) dx 3
若令g(X,Y)=X,
EX
xf ( x, y)dydx
xf X ( x)dx
类似地，
EY
yf
( x,
y)dxdy
yfY ( y)dy
即可以由联合密度直接求出X, Y的期望
例10：设X ,Y的联合分布为
Y X
1
1
1 0.25 0 0.25
1
0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
1
p( qk )
1
p q
1q
p(1 q) pq (1 q)2
1 p
直观理解一致吗? 记住上述两个结果!
定义3.2
设c.r.v.X
的
p.d.f.
为f
(x),
如
果积分
xf
(
x
)dx绝对收敛，
随机向量的函数的分布
PART 03
函数的分布
REPORTING
WENKU DESIGN
一元函数的分布
离散型随机变量
对于离散型随机变量，其函数分布可 以通过概率质量函数来描述，表示随 机变量取各个值的概率。
连续型随机变量
对于连续型随机变量，其函数分布可 以通过概率密度函数来描述，表示随 机变量在某个区间内取值的概率密度。
自然语言处理
随机向量的函数在自然语言处理中用于文本表示、情感分析、机器 翻译等任务。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
随机向量与函数的
复合
随机向量和函数可以相互复合， 形成更复杂的数学对象，如随机 过程和随机场等。
PART 05
随机向量的函数的分布求 解方法
REPORTING
WENKU DESIGN
直接法
通过定义或性质直接求解
利用随机向量的函数的定义或性质，直接推导出其分布函数或概率密度函数。
适用范围
适用于一些简单的随机向量函数，如线性函数、二次函数等。
母函数法
母函数的定义与性质
母函数是一种用于描述离散随机变量概率分 布的数学工具，具有独特的性质和运算规则 。
利用母函数求解随机向量的 函数的分布
通过构造随机向量的函数的母函数，并利用母函数 的性质进行求解，可以得到其分布函数或概率密度 函数。
适用范围
适用于离散型随机向量及其函数，且函数的 表达式较为复杂的情况。
协方差和相关系数
函数的变换
对于随机变量的函数，可以通过一些变换得 到新的随机变量，其分布也会发生相应的变 化。常见的变换包括线性变换、非线性变换 等。
对于多元函数的分布，还需要考虑不 同随机变量之间的相关性，通过协方 差和相关系数来衡量。
大学概率论习题四详解
大学概率论习题四详解(A)1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。
解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>+--=+---其他00010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。
解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120090701111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。
解 易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i1,因此ij Y i X P 41===),(,而当j i <时0===),(j Y i X P 。
于是得到),(Y X 的联合分布：关于Y 的边缘分布列：4、某射手，每次击中目标的概率为p )10(<<p ，射击进行到第二次击中目标为止，设i X 表示第i次击中目标时所射击的次数)2,1(=i ，求),(21X X 的联合分布列、边缘分布。
第二章随机变量的分布和数字特征习题课
4. 设随机变量X的概率密度 = ， x0，求Y=的概率密度。
解：当y＜1时，0 当y≥1时， 由于，则知当y＜1时，=0, 当y≥1时，= 注：由于Y=在(1,∞)内是单调函数，可直接用公式做！ 5. 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写 出其分布函数F(x)。 [答案：当x＜1时，F(x)=0; 当1≤x＜2 时，F(x)=0.2; 当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1 6. 设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。 [答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.]
令，即，即，取。 答：此商店每周最小进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280
元。 设随机变量与相互独立，均在区间上服从均匀分布，引进事件， 且。求：（1）值；（2）的数学期望。 解：（1）由与在上均服从均匀分布，可知 ， 当时
17.
由随机变量与相互独立，可知事件与也是相互独立的。 与相矛盾，因而。 当时，
)。
8. 设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。
[答案 填：] 分析：当0＜y＜4时， 此时，= 注：由于Y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！ 9. 设X的分布函数 ,则A=( ),P |x|＜ =( )。 [答案 填：1； ] 10. 设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。 分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 [答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 11. 设随机变量X的概率密度函数则 E(X)=( ),=( ). 分析：由X的概率密度函数可见X～N(1, ),则E(X)=1，=. [答案 填：1；.] 12. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( [答案 填：4] 13. 设X～N(2，)且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。 即,则 [答案 填：0.2] 14. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则（ ）.
《多元统计分析》第二章 随机向量和多元正态分布
《多元统计分析》MOOC2.1 多元分布王学民一、多元概率分布函数v随机向量：一个向量，若它的分量都是随机变量。
v 随机变量x 的分布函数：v 随机变量x 1和x 2的联合分布函数：v 随机向量的分布函数：v本课程主要讨论连续型的分布。
()12,,,p x x x '=x ()()F a P x a =≤()()121122,,,,,,p p p F a a a P x a x a x a =≤≤≤ ()()121122,,F a a P x a x a =≤≤二、多元概率密度函数v一元的情形：v二元的情形：vp 元的情形：v概率密度函数，简称概率密度或密度函数或密度。
()()d a F a f x x -∞=⎰12121212(,)(,)d d a a F a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰1111(,,)(,,)d d pa a p p pF a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰分布函数的概念主要用于理论上的讨论，本课程仅在此提一下，后面将不再提及。
分布用密度来描述较为方便。
概率密度的性质v一元密度f (x )的性质：v多元密度f (x 1,⋯,x p )的性质：1111(,,)0,,(,,)d d 1p p p p f x x x x f x x x x ∞∞-∞-∞≥=⎰⎰(1)，对一切实数；(2)。
()0()d 1f x x f x x ∞-∞≥=⎰(1)，对一切实数；(2)。
三、边缘分布v 边缘分布：p 维随机向量 的任意子向量的分布。
v边缘分布可以是关于一个变量，两个变量，…，p −1个变量的边缘分布。
()12,,,p x x x '=x四、条件分布v条件分布：在一些已知条件下的分布。
v例1研究某人群，x1——身高，x2——体重，该人群中x2的分布为f(x2)。
如果已知某人的x1=1.80（米），则对该人体重的推断应依据f(x2|x1=1.80)，而不是f(x2)。
2.随机变量的分布
0
y1e y1 1 dy1 , 2 2 (1 y2 ) （ 1 y2）
由于g ( y1 , y2 ) g1 ( y1 ) g2 ( y2 ),所以Y1与Y2也是独立的。
第五节 数字特征及其特征函数
一、数字特征
（一）随机变量的数学期望 1、定义 设离散型随机变量的分布律为
DX E ( X 2 ) [ EX ]2 p p 2 p(1 p)
EX p DX p(1 p)
（2）二项分布 X ~ b(n, p)
X X1 X 2
P X i 1 p
Xn , X n 相互独立。
P X i 0 1 p
参数为
分布律为 P{ X k}
k e
k!
(k 0,1,2,)
E( X )
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
2 2
E( X ) D( X )
（4）均匀分布 密度函数
X ~ U (a, b) 参数为 a, b
1 , a x b, f ( x) b a others. 0,
ab (b a) 2 E( X ) , D( X ) 2 12
（5）正态分布 X ~ N ( , 2 ) 参数为 , 2
1 密度函数 f ( x) e 2
( x )2 2 2
称Y 是随机变量X 的标准化了的随机变量。
则
例
设 X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布
N (0,1/ 2) 的随机变量 , 则求随机变量 | X Y | 的数学
期望 E (| X Y |) .
第二节分布函数(Distributionfunction),数学期望(Expectation(金融计量-浙大蒋岳祥))
上课材料之三：第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。
换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。
频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。
对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。
对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。
有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。
概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
3-3随机向量函数的分布与期望
xz y
y
0, 其他
当z
0时，FZ (z)
P{ X Y
z}
o
xx z
y
x z y
f ( x, y)dxdy 0 xz y
当z 0时，
F (z)
P{ X Y
z}
f ( x, y)dxdy xz y
1 S(DG) 2
1
z 4
, 1
,
z
0 z 2 z2
y
xz y
o
x z y
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
aX
bY
~
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
),
其中a, b不全为0.
练习：X ~ N(2,1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立，
设Z X 2Y 7,则Z ~
(2)例题讲述
例1
P114 26
X1
~
e(1 ),
X2
~
e(2
)，且X1与X
相互独立，
2
求X1
X
的密度函数。
2
解：令Z X1 X2 ,设Z ~ fZ (z)
随机向量函数的分布与数学期望
0
G1 yz
G2
f ( x , y ) d x d y yz f ( x , y) d x d y, O
0
x
G2
令u x y ,
f ( x , y ) d x d y 0 f ( x, y ) d x d y
G1
yz
0
z
yf ( yu, y ) d u d y
i , j: g ( xi , y j ) z k
P{ X xi , Y y j }.
表上作业法
Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解
P (Z r) P (X Y r)
z y
y y 0
化成累次积分,得
x
x y z
FZ ( z )
得
[
f ( x , y ) dx ]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
FZ ( z )
[
z
z
f ( u y , y ) du ]dy
变量代换
交换积分次序
P ( X i,Y r i ) P ( X i ) P (Y r i )
i0 i0 r
r
由独立性
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
水瓶座是一个富有开拓 精神的人。水瓶座的人 思维能力高于本能，是 个先锋派人 b(n, p)，且独立， 则 Z = X+ Y b(m+n, p).
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z
dx f (x,u x)du (u y x)
z
[ f (x,u x)dx]du
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x yz 江苏师范大学
第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 5 页
§3.2.2 二维连续型随机向量的函数的分布与数学期望
FZ (z) P(Z ≤ z) P g(X ,Y ) ≤ z f (x, y)dxdy
特别地，Z =X+Y, 记 Dz={(x,y)|x+y≤z}。 g(x,y)≤z
FZ (z) P(X Y ≤ z) f (x, y)dxdy
zx
Dz
dx f (x, y)dy
§3.2.2 二维连续型随机向量的函数的分布与数学期望
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其联合概率密度为f (x,y)，
g(x,y)是一个二元函数，且 Z = g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随
机变量。则 Z 的分布 FZ(z) 为
FZ (z) P(Z ≤ z) P g(X ,Y ) ≤ z f (x, y)dxdy
2
解Hale Waihona Puke 第7页本节目录 本章目录
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第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 8 页
在计算二维连续型随机向量的函数Z=g(X,Y)的数学期望时， 当然可以先求随机变量Z 的分布，再计算 E(Z)。也可以像离散场 合一样，不用求出Z 的分布，而直接计算 E(Z) 。
定理3.2.2 设(X,Y)的联合概率密度为f (x,y)，g(X,Y)为随机 向量(X,Y)的函数，若E(g(X,Y))存在，则有
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望
§3.2.1 二维离散型随机向量的函数的分布与数学期望
设(X,Y)是二维离散型随机向量，g(x,y)是一个二元函数，且
g(X,Y) 作为(X,Y)的函数是一个随机变量。如果(X,Y)的联合概率
分布为
p(xi,yj ) = P(X=xi ,Y=yj ), i = 1, 2, …; j = 1,2,…。 记 zk ( k = 1, 2, …) 为随机变量 Z = g(X,Y) 的所有可能取值，则 Z 的概率分布为
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其联合概率密度为f (x,y)， g(x,y)是一个二元函数，且 Z = g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随 机变量。则 Z 的分布 FZ(z) 为
FZ (z) P(Z ≤ z) P g(X ,Y ) ≤ z f (x, y)dxdy
特别地，Z =X+Y, 记 Dz={(x,y)|x+y≤z}。 g(x,y)≤z
FZ (z)
zx
dx f (x, y)dy
z
dx f (x,u x)du (u y x)
z
[ f (x,u x)dx]du
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第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 6 页
第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 1 页
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望目录
§3.2.1 二维离散型随机向量的函数的分布与数学期望 §3.2.2 二维连续型随机向量的函数的分布与数学期望
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第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 2 页
E(g(X ,Y )) g(x, y) f (x, y)dxdy. R2
推论 设(X,Y)是二维连续型随机向量，g1(X,Y) 和 g2(X,Y) 为(X,Y)的函数，且 E(g1(X,Y))，E(g2(X,Y)) 均存在，则对任意实 数 k1，k2 有
E(k1g1(X,Y)+k2g2(X,Y)) = k1E(g1(X,Y)) + k2E(g2(X,Y))。
P(Z zk ) P(g(X ,Y ) zk )
p(xi , y j ), k 1, 2,L .
g ( xi , y j ) zk
例3.2.1 (X,Y)的联合概率分布由例3.1.1给出，求Z = g(X,Y)
=X+Y 的概率分布。
解
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第 3 章 随机向量
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第 3 章 随机向量
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 4 页
§3.2.2 二维连续型随机向量的函数的分布与数学期望
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其联合概率密度为f (x,y)， g(x,y)是一个二元函数，且 Z = g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随 机变量。则 Z 的分布 FZ (z) 为
推论 设(X,Y)是二维离散型随机向量，g1(X,Y) 和 g2(X,Y) 为(X,Y)的函数，且 E(g1(X,Y))，E(g2(X,Y)) 均存在，则对任意实 数 k1，k2 有
E(k1g1(X,Y)+k2g2(X,Y)) = k1E(g1(X,Y)) + k2E(g2(X,Y))。
例3.2.2 求例3.2.1中的随机变量 Z 的数学期望。 解
特别地，Z =X+Y, 记 Dz={(x,y)|x+y≤z}。 g(x,y)≤z
z
FZ (z)
[
f (x,u x)dx]du
于是有： fZ (z) f (x, z x)dx
如果按“先 x 后 y ”将二重积分化为二次积分，则有：
x yz
fZ (z) f (z y, y)dy
§3.2 随机向量的函数的分布与数学期望 第 3 页
定理3.2.1 设 (X,Y) 的联合概率分布为
p(xi,yj ) = P(X=xi ,Y=yj ), i = 1, 2, …; j = 1,2,…。 g(X,Y)为随机向量(X,Y)的函数，若E(g(X,Y))存在，则有
E(g( X ,Y )) g(xi , y j ) p(xi , y j ) . xi , y j
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第 3 章 随机向量 §3.2 随机向量的函数的分布与数学期望
例3.2.3 已知二维随机向量(X,Y) 的联合概率密度
f (x, y)
1
1
(
x 4)2
(
y 2)2
e 2 3
.
2 3π
求 Z 1 (X Y )的概率密度函数。