恒等式证明
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初一数学竞赛系列讲座(7)
有关恒等式的证明
一、知识要点
恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明,对于一般恒等式的证明,常常通过恒等变形从一边证到另一边,或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中,除了要掌握一些基本方法外,还应注意应用一些变形技巧,如:整体处理、“1”的代换等;对于条件恒等式的证明,如何处理好条件等式是关键,要认真分析条件等式的结构特征,以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲
例1 求证:a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n
=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )
分析:要证等式成立,只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )
证明:1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n
=(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ]
=(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ]
=(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]
=……
=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )
∴ 原等式成立
例2 证明恒等式
()()()()()()
11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)
证明
评注:裂项是恒等变形中常用的一种方法
()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++
例3 若abc=1,求证11
11=++++++++c ca c b bc b a ab a 分析:所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子,因而变形比较困难。可以充分利用abc=1,将它们化成同分母。在
1++a ab a 的分子、分母上同乘c ,化成1++=++c ca ca c ac abc ac ,将1
++b bc b 的分母中的“1”换成abc 得 ca
c abc b bc b ++=++11,然后再相加即可得证。 证明:∵abc=1 ∴
1
11++++++++c ca c b bc b a ab a =c ac abc ac +++1
+++++c ca c abc b bc b =1++c ca ca +ca c ++111
+++c ca c =11++++c ca c ca =1 于是命题得证。
评注:“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例4 已知bc=ad ,求证:ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd
分析:将bc=ad 化成比例式
d
c b a =,然后利用比例的性质来解题。 证明:∵bc=a
d ∴d c d c d d c b b a d d c b b a d c b a =-=-+=+∴=,,, 将此三式左、右两边分别相乘得
()()()()b
d a d c d c d b c b a b a 22-+=-+ ∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd
评注:条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。
例5 已知x=by+cz ,y=cz+ax ,z=ax+by ,且x+y+z ≠0.证明:1111=+++++c
c b b a a 分析:所证明的式子中不含x 、y 、z ,因而可以将已知条件中的三个等式中的x 、y 、z 看
成常数,把三个式子联合起来组成一个关于a 、b 、c 的方程,然后求出a 、b 、c 。 再代入等式的左边证明。
证明:解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)
(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ,所以x z y x a x x z y a 21 2++=+-+=
则 所以 z
y x x z y a a ++-+=+1 同理可得,
z y x y z x b b ++-+=+1,z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++z
y x z y x c c b b a a 评注:将含有字母的等式视为方程,是方程思想的应用。
例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++y
x z x z y z y x 证明:02
22=+++++y
x z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题) 证明:将已知等式分别乘以x 、y 、z 得
x y
x xz x z xy z y x =+++++2 ① y y
x yz x z y z y xy =+++++2 ② z y
x z x z yz z y xz =+++++2
③ ①+②+③ 得
z
y x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222