电磁场第三章

再求
v B
，选用球坐标系，
v
v Idl2
Ñ 已知：
v A
0
Idl
4 l R
o
v dA2
v dA1
v
y
Idl Iadaˆ
v Idl1
在直角坐标系中
x
v
Idl1 Iad aˆx sin aˆy cos
v
Idl2
Iad
avx sin avy cos
所以： v v
Idl1 Idl2 2Ia sin daˆx 2Ia sin daˆ
r
r
将极化电荷体密度表达式 JM M 代入 B 0(J JM )，
有
(
B
M)
J
0
定义磁场强度
H
为：H
B
M
0
, 即 B 0(H M )
则得到介质中的安培环路定理为：
C H (r ) dl S J (r ) dS
H(r) J(r)
磁通连续性定理为
B(r)
面电流密度：
v JS
dI dl
aˆI
(A/m)
v
矢量磁位：
v A
0
JS dS
4 S' R
c.体电流矢量磁位计算
J
dI dS
体电流密度：
v J
dI dS
aˆI
(A/m2)
矢量磁位：
v A
0
v J dV
4 R V '
例8：试求电流为I, 半径为a 的小圆环在远离圆环处的磁感应强度。
解：先求
v A
场中通常规定
r A
0 ，并称为库仑规范。
3. 矢量磁位的计算
a.线电流矢量磁位计算
Ñ 规范条件：
v A
0
v
对线电流的情况：Bv 0
4
Idl aˆR l R2
已知：
(
1 R
)
aˆR R2
Ñ v
B
0
v (Idl)
(
1
)
4 l
R
利用矢量恒等式：
v ( f G) f
v G
v f G
Ñ v
B
0
矢量磁位或称磁矢位
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
磁矢位的任意性
与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标
量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即
rr
A A
r
r
r
A A ( ) A
磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度
造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁
0I 2
c2 c2
2
b2
(4) c
I4 0
r B4 0
3.4 磁介质的磁化 磁场强度 1. 磁介质的磁化
pr m
r iS
介质中分子或原子内的电子运动形
成分子电流，形成分子磁矩
pr m
r iS
无外磁场作用时，分子磁矩不规
则排列，宏观上不显磁性。
在外磁场作用下，分子磁矩定向 排列，宏观上显示出磁性，这种现象 称为磁介质的磁化。
v JS
dl
v
dI 产生的磁感应强度为：
v
dB
0
4π
v
l11
JS dldl11 aˆR R2
0
4π
v
l11
J
S aˆR R2
dldl11
v
整个面电流产生的磁场：
v B
0
4π
S
JS aˆR R2
dS
c. 体电流情况: 电流在某一体积内流动。
体电流密度：
定义为在与电流线垂直的方向上平面
J
aˆ
0SI
4πR2
sin
式中 S πa2为圆环的面积。 小电流环的磁矩：mv ISaˆn
因为
v B
v A
，最后得：
aˆR
v B
R2
1
sin
R
0
Raˆ R sin aˆ
0SI
4R3
2 cos aˆR
sin
aˆ
0 R sin A
3.3.安培环路定律
(一)安培环路定律——麦克斯韦第一方程 1. 安培环路定律
l 2
2
无限长载流直导线周围磁感应强度：
即： l 1 π / 2 2 π / 2
于是得：
v B
0 I
2r
aˆ
b. 面电流情况: 电流在某一曲面上流动。
面电流密度：
dI
定义为在与电流线垂直的方向上单位
Js 长度流过的电流。
dl11
v JS
dI dl
aˆI
(A/m)
dl
dl上流过的电流量：
v dI
aˆ
r sec2 cos r2 sec2
d
aˆ
0I
4r
(sin 1
sin 2 )
有限长度电流线磁感应强度：
v B
aˆ
0 I
4r
(sin 1
sin2 )
z l
式中： sin1
2 r2 （z l ）2
2
z
l
2
2
r
dz
R 1 aˆR
o
P(r, , z)
r
z l
sin2
2 r2 （z l）2
内单位面积流过的电流。
v J
dI dS
aˆI
(A/m2)
dI dS
dS 上流过的电流量：
vv dI JdS
v dI
产生的磁感应强度为：
v
v dB
0
JdSdl11 aˆR
4π l11
R2
v
0
4π
l11
J
R
aˆR
2
dSdl11
整个体电流产生的磁场：
v B
0
4π
V
v J
avR
R2
dV
3.2矢量磁位
vv
N
Ñl B dl 0 Ii
i 1
安培环路定律： 在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回
路所限定的曲面上穿过的总电流。
2. 利用安培环路定理计算磁感应强度
当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路
定理计算磁感应强度。
例2.3.2
r 求电流面密度为 JS
er的z JS无0 限大电流薄板产生的磁感应
v
dl1 dr(aˆr )
aˆR1 (aˆr )
v
B1
0
4π
v Idl1 aˆR1
l1
R12
0
（2）B»C
段在O点产生的
v
v B2
dl2 adaˆ
aˆR2 (aˆr )
R2 a
y
v
v
dl2
I dl3 a
D
C OB
v
dl1
x
A
（3）C»D
段在O点产生的
v
v B3
dl3 draˆr
aˆR3 (aˆr )
dS
0
S
B(r) 0
小结：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为
第3章 恒定磁场
v Fm
v B
产生磁场的源： a.永久磁铁 b.变化的电场
c.电流周围，即运动的电荷
vv
v Fm
qvv
v B
1. 什么是磁场？
存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷
施力的特殊物质称为磁场。
v
2.
磁感应强度
v B
的定义
v B
lim
Fm
aˆv
qt 0 qtv
可见：
磁场力
v Fm
、运动速度
2a
sin
sin
1
]2
R
1 1 (1 a sin sin)
R R R
P(R, ,90o )
R y
M
vv
将： Idl1 Idl2 2Iasindaˆ
1 1 (1 a sin sin)
R R R
v
Ñ v
A
0
Idl
4 l R
得：v A
aˆ
20 Ia
4π
π
2 π
2
1 R
(1
a sin
R
sin ) sin d
如图： R2 PM 2 MK 2
z
其中：PM 2 (R cos )2
MK 2 NK 2 NM 2
(a cos)2 (R sin a sin)2
R
o N
x
K
a2 (R sin )2 2aR sin sin
可得： R2 R2 a2 2aR sin sin
当： R ? a
R
R[1
1. 磁通量
磁感应强度对一个曲面的面 积分称为穿过该曲面的磁通量。
vv
S B dS
vv
若曲面闭合： B dS
则有：
ÑS
蜒 Ñ 磁感应强度：
v B
0
4π
Idlv avR l R2
v
0
S 4
v
Idl
aˆR
v dS
l R2
根据梯度规则：
( 1 ) R
aˆR R2
Idl aˆR R2
(
1
已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：
rv
dl
v B
0 I
2πr
av
v
dl rdaˆ