电磁场第三章

aˆ
r sec2 cos r2 sec2
d
aˆ
0I
4r
(sin 1
sin 2 )
有限长度电流线磁感应强度：
v B
aˆ
0 I
4r
(sin 1
sin2 )
z l
式中： sin1
2 r2 （z l ）2
2
z
l
2
2
r
dz
R 1 aˆR
o
P(r, , z)
r
z l
sin2
2 r2 （z l）2
无外加磁场
B
外加磁场
2.
磁化强度矢量
r M
磁化强度
r M
是描述磁介质磁化
程度的物理量，定义为单位体积中
的分子磁矩的矢量和，即
r
M lim V 0
r
pm
V
npr m
单位为A/m。
r M
npr m
B
3. 磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部与
B
r dl
pr m
表面上可能出现宏观的电流分布，
S
称为磁化电流。
v JS
dl
v
dI 产生的磁感应强度为：
v
dB
0
4π
v
l11
JS dldl11 aˆR R2
0
4π
v
l11
J
S aˆR R2
dldl11
v
整个面电流产生的磁场：
v B
0
4π
S
JS aˆR R2
dS
c. 体电流情况: 电流在某一体积内流动。
体电流密度：
定义为在与电流线垂直的方向上平面
J
l 2
2
无限长载流直导线周围磁感应强度：
即： l 1 π / 2 2 π / 2
于是得：
v B
0 I
2r
aˆ
b. 面电流情况: 电流在某一曲面上流动。
面电流密度：
dI
定义为在与电流线垂直的方向上单位
Js 长度流过的电流。
dl11
v JS
dI dl
aˆI
(A/m)
dl
dl上流过的电流量：
v dI
1. 磁通量
磁感应强度对一个曲面的面 积分称为穿过该曲面的磁通量。
vv
S B dS
vv
若曲面闭合： B dS
则有：
ÑS
蜒 Ñ 磁感应强度：
v B
0
4π
Idlv avR l R2
v
0
S 4
v
Idl
aˆR
v dS
l R2
根据梯度规则：
( 1 ) R
aˆR R2
Idl aˆR R2
(
1
场中通常规定
r A
0 ，并称为库仑规范。
3. 矢量磁位的计算
a.线电流矢量磁位计算
Ñ 规范条件：
v A
0
v
对线电流的情况：Bv 0
4
Idl aˆR l R2
已知：
(
1 R
)
aˆR R2
Ñ v
B
0
v (Idl)
(
1
)
4 l
R
利用矢量恒等式：
v ( f G) f
v G
v f G
Ñ v
B
0
内单位面积流过的电流。
v J
dI dS
aˆI
(A/m2)
dI dS
dS 上流过的电流量：
vv dI JdS
v dI
产生的磁感应强度为：
v
v dB
0
JdSdl11 aˆR
4π l11
R2
v
0
4π
l11
J
R
aˆR
2
dSdl11
整个体电流产生的磁场：
v B
0
4π
V
v J
avR
R2
dV
3.2矢量磁位
v
B3
0 4
Idlv3 aˆR3
l3
R32
0
v
B2
0 4
0
Iadaˆ (aˆr )
a2
0I
4a
aˆz
O点产生的磁感应强度:
vv v v B B1 B2 B3
0I
4a
aˆz
例6：求长为l ，载有电流 I 的细直导线在P点产生的磁感应强度。
解：如图所示，选用圆柱坐标系
v
B
0
4π
Idlv avR l R2
v dl2
dq2
dl2 dt
dq2vv2
v
得到：
v dF21
dq2vv2
[ 0
4π
I1dl1 aˆR R2
]
比较
v Fm
qvv
v B
电流元 I1dlv1在空间所产生v 的磁感应强度为：
v dB1
0
4π
I1dl1 aˆR R2
该式称为毕奥—萨伐尔定律。
a.闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度：
v
dl1 dr(aˆr )
aˆR1 (aˆr )
v
B1
0
4π
v Idl1 aˆR1
l1
R12
0
（2）B»C
段在O点产生的
v
v B2
dl2 adaˆ
aˆR2 (aˆr )
R2 a
y
v
v
dl2
I dl3 a
D
C OB
v
dl1
x
A
（3）C»D
段在O点产生的
v
v B3
dl3 draˆr
aˆR3 (aˆr )
r
r
将极化电荷体密度表达式 JM M 代入 B 0(J JM )，
有
(
B
M)
J
0
定义磁场强度
H
为：H
B
M
0
, 即 B 0(H M )
则得到介质中的安培环路定理为：
C H (r ) dl S J (r ) dS
H(r) J(r)
磁通连续性定理为
B(r)
（1）
磁化电流体密度
r JM
C
dl
考察穿过任意围线C所围曲面S的电流。只有分子电流与围线
相交链的分子才对电流有贡献。与线元dl相交链的分子，中心位
于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流
dIM
rr niSgdl
npr m
r gdl
rr M gdl
穿过曲面S的磁化电流为
蜒 r r
rr
IM
C dIM
R
vv
ÑS B dS
Ñ 0
[(
1
v ) Idl]dV
4 V l
R
0
结论： 穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零。这就是磁通
连续性原理。它说明磁感线是连续的闭合矢线，磁场是无
散场。
vv
v
ÑS B dS V BdV 0
v B 0
2. 恒定磁场的矢量磁位
矢量磁位的定义
由
r B 0
r
r
B A
强度。
解：分析场的分布，取安培环路如图
rr
C
Ñ Bdl C
B1l B2l
0JS0l
根据对称性，有 B1 B2，故B
r B
r ey
0 J S 0
2
ery
0 J S
2
0
x0 x0
例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解
选用圆柱坐标系，则
r B
er
B(
)
(1) 0 a
取安培环路 ( ，R1交) 链的电流为
aˆv 和磁感应强度
v B
三者相互垂
直，且满足右手螺旋法则。
3.1 磁感应强度的计算（安培力定理）
电流元
安培力实验定律：
vv
v dF21
0
4π
I 2 dl2
(I1dl1 R2
aˆR )
I1 v
v I 2 dl2
I2
I1dl1
v
R
其中：0为真空磁导率。 0 4π 107 H/m
v
v I2dl2
dq2 dt
已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：
rv
dl
v B
0 I
2πr
av
v
dl rdaˆ
d
Ñ v v B dl l
2π 0
0 I
2πr
(aˆ
aˆ
)rd
0 I
v
rd cosdl aˆ dl
蜒 v v B dl l
l
0 I
2πr
aˆ
v dl
2π 0
0I rd
2πr
0I
若积分回路中包含多个电流则：
面电流密度：
v JS
dI dl
aˆI
(A/m)
v
矢量磁位：
v A
0
JS dS
4 S' R
c.体电流矢量磁位计算
J
dI dS
体电流密度：
v J
dI dS
aˆI
(A/m2)
矢量磁位：
v A
0
v J dV
4 R V '
例8：试求电流为I, 半径为a 的小圆环在远离圆环处的磁感应强度。
解：先求
v A
vv
N
Ñl B dl 0 Ii
i 1
安培环路定律： 在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回
路所限定的曲面上穿过的总电流。
2. 利用安培环路定理计算磁感应强度
当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路
定理计算磁感应强度。
例2.3.2
r 求电流面密度为 JS
er的z JS无0 限大电流薄板产生的磁感应
第3章 恒定磁场
v Fm
v B
产生磁场的源： a.永久磁铁 b.变化的电场
c.电流周围，即运动的电荷
vv
v Fm
qvv
v B
1. 什么是磁场？
存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷
施力的特殊物质称为磁场。
v
2.
磁感应强度
v B
的定义
v B
lim
Fm
aˆv
qt 0 qtv
可见：
磁场力
v Fm
、运动速度
dS
0
S
B(r) 0
小结：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为
再求
v B
，选用球坐标系，
v
v Idl2
Ñ 已知：
v A
0
Idl
4 l R
o
v dA2
v dA1
v
y
Idl Iadaˆ
v Idl1
在直角坐标系中
x
v
Idl1 Iad aˆx sin aˆy cos
v
Idl2
Iad
avx sin avy cos
所以： v v
Idl1 Idl2 2Ia sin daˆx 2Ia sin daˆ
aˆ
0SI
4πR2
sin
式中 S πa2为圆环的面积。 小电流环的磁矩：mv ISaˆn
因为
v B
v A
，最后得：
aˆR
v B
R2
1
sin
R
0
Raˆ R sin aˆ
0SI
4R3
2 cos aˆR
sin
aˆ
0 R sin A
3.3.安培环路定律
(一)安培环路定律——麦克斯韦第一方程 1. 安培环路定律
v
Ñ v
B
0
4π
Idl aˆR l R2
特斯拉(T)
例5：求如图所示的电流线 I 在O点产生的磁感应强度。
解：取圆柱坐标系
v B
0
4
Idlv aˆR l R2
y
将电流线分成 »AB, B»C, C»D三段
分别求这三段电流在O点产
生的磁感应强度。
I
a
x
D
C OB
A
（1）»AB
段在O点产生的
v B1
M gdl M gdS
C
S
由 IM S Jr，M g即dSr得到磁化电流体密度
r
r
JM M
r （2） 磁化电流面密度 JSM
在紧贴磁介质表面取一长度元dl，
与此交链的磁化电流为
dIM
rr M gdl
r M
gert dl
Mtdl
则
JSM Mt
r
即
r J SM
r M
r en
M 的切向分量
2a
sin
sin
1
]2
R
1 1 (1 a sin sin)
R R R
P(R, ,90o )
R y
M
vv
将： Idl1 Idl2 2Iasindaˆ
1 1 (1 a sin sin)
R R R
v
Ñ v
A
0
Idl
4 l R
得：v A
aˆ
20 Ia
4π
π
2 π
2
1 R
(1
a sin
R
sin ) sin d
v (Idl)
(
1
)
4 l
R
v ( Idl)
(
Hale Waihona Puke Baidu
1
)
v Idl
1
v Idl
R
R
R
为零！
v
Ñ 则：Bv 0 ( Idl)
4 l
R
v
Ñ v
B
0
( Idl)
4 l R
v
Ñ v
矢量磁位： A
0
Idl
4 l R
该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式。
b.面电流矢量磁位计算
dI Js
dl11 dl
M
J SM
ern
dl
4. 磁场强度 介质中安培环路定理
外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同
样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应
强度B 应是所有电流源激励的结果：
B 0(J JM )
Bdl
C
0
(J
S
JM ) dS
J、J M
分别是传导电流密度和磁化电流密度。
I1
I
a2
2
I
2
a2
应用安培环路定理，得
a
b c
2 B1
0
I2
a2
r B1
er
0I 2 a2
(2) a b 2B2 0I
(3) b c
r B2
er
0I 2
I3
I
I
2 b2
c2 b2
I
c2 2
c2 b2
应用安培环路定律，得
2 B3
0I (c2
c2 b2
2)
r B3
r e
v
式中：dl dzaˆz
z z rtan
z
l
2
2
r
dz
R 1 aˆR
o
P(r, , z)
r
dz r sec2 d
R r sec
l
2
aˆR aˆr cos aˆz sin
v
所以：dlaˆR aˆzdz(aˆr cos aˆz sin) aˆr sec2 cosd
v
B
0 I
4
2 1
0I 2
c2 c2
2
b2
(4) c
I4 0
r B4 0
3.4 磁介质的磁化 磁场强度 1. 磁介质的磁化
pr m
r iS
介质中分子或原子内的电子运动形
成分子电流，形成分子磁矩
pr m
r iS
无外磁场作用时，分子磁矩不规
则排列，宏观上不显磁性。
在外磁场作用下，分子磁矩定向 排列，宏观上显示出磁性，这种现象 称为磁介质的磁化。
)
v Idl
R
vv
v
根据高斯定律： ÑS B dS V BdV
Ñ Ñ 0
(
1
)
v IdldV
0
[(
1
)
v Idl]dV
4 V
l R
4 V l
R
利用矢量恒等式：
v (F
v G)
v G
v F
v F
v G
[(
1
)
v Idl]
v Idl
(
1
)
(
1
)
v Idl
R
RR
已知： ( 1 ) 0
和
v Idl 0
如图： R2 PM 2 MK 2
z
其中：PM 2 (R cos )2
MK 2 NK 2 NM 2
(a cos)2 (R sin a sin)2
R
o N
x
K
a2 (R sin )2 2aR sin sin
可得： R2 R2 a2 2aR sin sin
当： R ? a
R
R[1
矢量磁位或称磁矢位
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
磁矢位的任意性
与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标
量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即
rr
A A
r
r
r
A A ( ) A
磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度
造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁