图解法求内力
第二章内力与内力图
A点：x1 0 M1A 0；
2 C点：x1 a M1C 5 q a 6
2 C点：x 2 a , M 2C 5 q.a 6 2 D点：x 2 2a , M 2D 7 q.a 6
2 D点：x 3 a , M 3D 7 6 q a M 2D
B点：x 3 0, M 3B q a 2 M
(b) (c)
FN 1 F1 2.5kN
b)求BC段轴力。从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
F
x
0 FN 2 F3 0
A (d)
FN 2 F3 1.5kN
3)图（d）为AB杆的轴力图
C
B
2.5kN (0 x a) FN 1.5kN (a x a b)
上式中略去高阶微量后，得：
dFQ ( x)
dx dM ( x) FQ ( x) dx d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
q ( x)
剪力、弯矩微分方程
由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。
d 2M(x ) dx 2
dFQ ( x ) dx
M x (kN .m)
A B
10
C
D
x
20
10
§2-4平面弯曲梁的内力与内力图
弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称 为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 常见梁的力学模型 ☆简支梁
一、由轴力方程绘制轴力图
例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
二、 内力及内力图
CD段参考已知
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-4、已知a=2m, q=3KN/m, M=3KNm, 试作如图外伸梁的内力图。
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-4的内 力图。 要点： AC段应用已知 BD段应用已知
CB段参考已知
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-5、已知q、a,试求图示外伸梁的内力图。
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、
D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
n=300r/min.试作传动轴的扭矩图。
4、杆件的内力图
绘制内力图的基本步骤：
1、解除杆件约束，计算约束力，绘制杆件受力图；
2、建立内力坐标、根据外力对杆进行分段；
3、由截面法等确定控制面的内力值； 4、由内力变化规律画出各段的内力图，并且标注相 关点的数值。
1、轴力图（拉伸和压缩变形）
例2-2 如图（a），已知F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
第2 章
杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力与内力图
1、内力与内力分量
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件的内力图
4、刚架的内力图 5、结论与讨论
1、内力与内力分量
1、内力主矢和主矩 杆件上内力可以简化成内力主矢和内力主矩
F1
y
FR M x
F2
z
1、内力与内力分量
2、内力分量
内力主矢和内力主矩可在 坐标轴上分解为内力分量：
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F
FN
FN F
FN F
7
例 5-1 试画出图所示直杆的轴力图。
8
例：
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
9
5.3扭转杆件的内力与内力图
5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，
杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。
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19
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2）可动铰支座
. A
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.
A FA
垫块 .
20
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3）固定端支座
mA FAx
A
FAy
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mA
FAx FA y
21
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F2 F1
n n
M
FN n FQ
F3
∑Fix=0 ∑Fiy=0
∑mo(Fi)=0
4
截面法求内力的步骤： 1）截开：欲求某一截面上Fra bibliotek内力时，就沿着
材料力学专题一梁的内力和内力图
专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
2内力及内力图
2内力及内力图2 内力及内力图2.1 轴心拉压杆的内力及内力图2.1.1 受力与变形特点轴心拉压杆的受力特点是：外力合力的作用线与杆件的轴线重合。
轴心拉压杆的变形特点是：杆件主要是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。
柱——以轴心受压变形为主的竖向杆件，称为柱。
2.1.2 用截面法求轴心拉压杆的内力轴心拉压杆的内力只有轴力N。
用截面法求轴心拉压杆轴力的方法如下：1 用假相的截面，在欲求的横截面处切下去，“一刀两段”后，取其中的任一段（称截离体）作为研究对象。
2 在研究对象上，先画上外力（包括主动力和约束反力），然后在截面处于截面中心画上沿截面外法线方向的轴力N。
3 以轴线为X轴，由截离体平衡条件∑=0X可求出轴力N。
轴力符号的规定：“拉正压负”。
任一横截面上的轴力等于截面任一侧的所有外力在杆轴线方向的投影的代数和。
2.1.3 轴心拉压杆的内力图以杆轴为X轴，表示横截面的位置；与X轴垂直的N 轴表示每一横截面上轴力的大小；这样作出的图形称为轴力图（简称N 图）。
在N 图上，一般不标出X 轴和N 轴，在图中标出轴力的正负号，画上与轴线垂直的阴影线，表示轴力在该截面是沿垂直轴线方向下，按作图比例量取的。
2.2 扭转轴的内力及内力图2.2.1 扭转轴的变形特点扭转轴的变形特点是：两横截面之间产生了绕杆件轴线的相对转角，即扭转角。
轴——以扭转变形为主的杆件，称为轴。
2.2.2 外力偶的换算公式n N T k e 55.9=nN T p e 02.7= 式中，eT ——外力偶，m kN . ; kN ——轴某处输入或输出的功率，kW; p N ——轴某处输入或输出的功率，米制马力（PS ）；n ——轴的转速，m in/r 。
2.2.3 用截面法求扭转轴的内力用截面法求扭转轴的内力的步骤：1 在欲求横截面处，用假想的平面切下去，取其中的一段截离体为研究对象。
2 在所取的截离体上画上外力偶和要截面上画上扭矩。
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
第三章内力计算
第三章 内力计算 如图３－１a所示的构件在力F A、F B和F P的作用下处于平衡。
无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。
为了确定构件的承载能力，需要分析内力。
为此，假想用平面n－n将构件截成两段（图３－１b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。
显然，对于被截开的任一段，如果只有外力作用，一般是不能平衡的（图３－１c）。
但是，只要构件平衡，任一段的受力应当平衡。
这说明，受外力作用的构件，任一段的截面上必然受到另一段的作用力，以平衡该段的外力（图３－１d）。
这种因为外力作用而引起构件内部的相互作用力，称为内力。
假想把构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。
截开两段构件在同一截面上的内力，是作用力与反作用力。
图 ３－１§３－１ 杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图 一、轴向拉伸和压缩的概念 直杆受到与其轴线重合的外力，就发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。
如图３－２a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。
图３－２b的螺旋夹具，旋紧螺杆夹紧工件后，螺杆的上段受压。
请读者思考：该夹具的支架是轴向拉伸或压缩的杆件吗？图３－２c的螺栓联接件，拧紧螺母压紧钢板后，螺栓受拉还是受压？··95图 ３－２图 ３－３ 二、轴力和轴力图 如图３－３a 所示的杆件，在轴向外力F １和F ２的作用下处于平衡。
由于两个外力方向都背离杆件，杆件产生拉伸变形。
用假想平面m －m 将杆件截成两段，任取一段为研究对象，该段截面上分布着另一段的作用力，就是该截面的内力。
其合力F N 和外力F １平衡。
由于外力F １和杆件的轴线重合，所以与其平衡的内力F N 这样的内力称为轴力。
并规定使杆件拉伸的轴力为正值。
３－３ F ３和F ４的作用下处于平衡，使杆件压缩，方向如图３－ －４所示，在外力，各截面的轴力等于该截面任一侧所有外力的代数和即N i （３－１）·06·图 ３－４其中，F N F i 外力F i ，为正值，，产生正值的轴力；反之，外力F i 的方向指向计算轴力的截面时，为负值，因为它使该截面附近的杆件压缩，产生负值的轴力。
第五章 杆件的内力与内力图(陆)
(a≤x≤l)
FPba / l
Mz
例 3： 已知m，求FQ(x)和 Mz (x)。并画出 FQ图和 Mz 图。 m
a
b 解： 1°求支座反力 FRA = FRB = m / l 2°求FQ(x)和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0＜x＜ a)
3°画 FQ(x)图和 Mz (x)图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a) BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (a＜x＜ l)
Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l FPb / l
60 20 x = 3.6m
Mz 4 =72 ×10-160-160×4 = - 80 KNm
Mz 5 = Mz 4 = - 80 KNm
72
Mz 6 = 72×12 - 160 - 20×10×5 -148×2= 0 FQy
(KN)
当FQ（x）=0时， Mz （x）有极值。 x = 3.6ｍ处， FQ（x）=0 。
1 2m 160KNm 23 20KN 20KN/m 4 5 8m 2m 6
C
B D FRB
BD q = c（＜0） 斜直线（ ） ）
∑MB= 0，FRA= 72 KN. 2°画FQ、M图。
分段 q AC q=0 水平线
CB q = c（＜0） 斜直线（ ） 下凸曲线（ ）
FQ 图 Q
M 图 斜直线（
A
FRA
x
c
第五章 杆件的内力与内力图
Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a ＜ x≤ l ) 3°画 FQy (x)图和 Mz (x)图。
四、剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
y FP
q(x) MZ(x) q(x) MZ(x)+d MZ(x) C FQY(x)+d FQY(x) dx
x
x dx
FQY(x)
FRA FQy
(KN)
FRB
60 20 x = 3.6m
Mz6 = 72 ×12 - 160 - 20×10 ×5 = 0
88
当FQY（x）=0时， Mz （x）有极值。
Mz x = 3.6ｍ处， FQY（x）=0 。(KNm)
16 113.6 144
80
即
Mz7 = 72 ×5.6 - 160 - 20×3.6 ×3.6 / 2 = 113.6 KNm
MZ —— 弯矩
A FRA
x
m
C
MZ
m FQY
规 定：
∑FP
FQY 下剪力正, 反之为负
∑M
MZ
MZ
∑M
MZ：
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a A
FP1
m m
FP2 B
由∑Fyi=0， FRA- FP1 - FQY =0
x
FRA y A
x
FRB FP1
m
C
得 FQY = FRA- FP1
x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN
A 2m 3
B 2KN/ m C 2m 2m
D 1KN
FN （KN） 1
规律：没有力作用的杆段，轴力为常数；
分布荷载为常数的杆段，轴力线性变化；
4.1-4内力及内力图
M FRB l
FRA
A a
M
FRB
C b l B
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力，所以
全梁只有一个剪力方程
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
M l
+
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同
AC段
M FRA
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
x
O
O
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁
的剪力图和弯矩图.
A
F
B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
m dx
的剪力为正；反之，为负。
m dx
4.2截面法
这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其 中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面 内力的方法称截面法。 综上所述，截面法包括以下三个步骤： （1）沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部 分。 （2）取出任一部分为研究对象，并在截开面上 用内力代替，弃去部分对该部分的作用。 （3）列出研究对象的平衡方程，并求解内力。
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN，
a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩.
F1=F
C
《工程力学》杆件内力图画法
平面弯曲梁剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
F C
集中力偶
m C
FS 图 特 征
水平直线
FS FS FS
斜直线
FS
自左向右突变
FS FS1
无变化
FS
C
C
x
FS
x
FS
x
x
S1
FS2
S2
x
x
>0
<0
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x m 特 M1 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 伞状 盆状 折向与F反向 M1 M2 m
40kN
画扭矩图：扭矩图为一封闭图形，在有集中外力偶处，扭矩值一定
会有突变。当外力偶矩矢（右手大拇指）背离截面时，扭矩图会往正向 （上）突变，反之，往下突变。
40kN.m 10kN.m 10kN.m
o x A
20
T /( kN m )
B
C
D
C A B
10
D 20
x
T max 20kN .m
轴力图：不管从杆的左端开始画图还是从杆的右端开始画图，只要轴向
外力箭头方向背离截面，轴力向上（正向）画，如果是集中力，就向上 （正向）突变，如果是分布力，就向着正向逐渐变化。其变化值就等于 外力值。
FN ( kN ) 60
FN ( kN )
40
⊕
x
20
⊕
20
⊕
x
30
FN
max
60kN
FN
max
a a
A