东华大学概率论第二章
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第二章 离散型随机变量及其分布律
第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题
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1、 一个口袋里有6只球,分别标有数字-3、-3、1、1、1、2,从中任取一个球,用ξ表示
所得球上的数字,求ξ的分布律。
解答:因为ξ只能取-3、1、2,且分别有2、3、1个,所以ξ的分布律为:
2、 在200表示其中的次品数,
问ξ解答:个元件中的次品数可能为010-k 个正品。所以:
ξ3、 解答:ξ等于k ,则第
1k +i i ξ的
分布律为:
__
12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m n n n k n k
ξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+- 。
4、 汽车沿街道行驶,要通过3个有红绿灯的路口,信号灯出现什么信号相互独立,且红绿
灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数,求ξ的分布律。 解答:因为只有3个路口,因此ξ只可能取0、1、2、3,其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。以i A 表示第i 个路口是红灯,因红绿灯显示时间相等,所以()1/2i P A =,又因信号灯出现
什么信号相互独立,所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为:
_
11{0}()2
P P A ξ===
, _
_
12121{1}()()()4
P P A A P A P A ξ====
, {2}P ξ==_
_
_
_
1231231()()()()8
P A A A P A P A P A ==
, _
_
_
_
_
_
123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。
5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率为
1
,(1,2,3)1
i p i i =
=+。用ξ表示3个零件合格品的个数,求ξ的分布律。 解答:因为利用同一台机器制造3个同种零件,因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的,以i A 表示第i 个零件是合格的,则()1/(1)i P A i =+。因ξ表示零件的合格数,因此ξ的
{0}P ξ=,
{1}P ξ={2}P ξ={3}P ξ=6、 0的常数。试
解答:因条件:1、对任意的k ,{}0P k ξ=≥,因此可得0c ≥;2、0
1{}k P k ξ∞
==
=∑0
!k
k c k λ∞
==∑ce λ=,
所以可得c e
λ
-=。
7、 设在每一次试验中,事件A 发生的概率为0.3,当A 发生次数不少于3时,指示灯发出
信号。(1)若进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)若进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率。 解答:因为进行的是独立试验,所以如进行n 次试验,则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时,
指示灯发出信号。因此,{}{3}P P ξ=≥发出信号3
{}n k P k ξ==
=∑3
0.30.7n
k k n k n
k C
-==∑。第
一小题中的n 等于5,第二小题中的n 等于7。计算即可。
8、 某交换台有50门分机,各分机是否呼叫外线相互独立,在单位时间内呼叫外线的概率
都是10%,问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少?
解答:同上一题,因为各分机是否呼叫外线相互独立,因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-=
{2}P ξ-=5049482
50*4910.950*0.9*0.10.90.12
=---
。 9、 把一个试验独立重复地做n 次,设在每次试验中事件A 出现的概率为p ,求在这n 次试
验中A 至少出现一次的概率是多少。
解答:同上一题,n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。因此,所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n P P p ξξ≥=-==--。
10、 甲乙两选手轮流射击,直到有一个命中为止,若甲命中率为0.6,乙命中率为0.7,
如果甲首先射击,求: (1) 两人射击总次数ξ的分布律; (2) 甲射击次数1ξ的分布律; (3) 乙射击次数2ξ的分布律。
解答:因为轮流射击,直到有一个命中为止,且由甲首先射击。因此可以看到,如果由甲射中,则总的射击次数应为奇数,乙比甲少射一次,而由乙射中的话,则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道,乙可能没有射击。而由题意可知,每次是否射中是相互独立的。令i A 表示甲第i 次射击时射中,则()0.6i P A =(1,2,i = );令i B 表示乙第i 次射击时射中,则
()0.7(1,2,)i P B i == 。由此可知:
(1)_
_
_
_
_
_
111111{21}()()()()k
k
k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+== 0.12*0.6k
=,
0,1,k =
_____
111111{2}()()()()k
k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-=== 10.12*0.28k -=,1,2,k =
(2) ______
_
_
111111111
1{}()()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ--==+= +_
_
1
11111()
()()0.88*0.12,1,2,k k k P A P B P A k ---==