变力功的计算

专题1：变力功的计算20151120

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，（例如当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式cos

W Flα

=做变通处理，两者同向时，W Fl

=；两者反向时，W Fl

=-，式中的l指的是物体的路程）且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。⑵变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

2.基本方法：求出力在位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小元段做功的代数和

【例1】如图所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝lm的转盘的边缘

上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，

则转动一周这个力F做的总功为

A.0

B.π

20J C.10J D.π

10J

【解析】本题中F的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题.可以考虑把圆周分割为很多的小段采研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致.所求的总功为：

J

R

F s

s

s

F

s

F

s

F

s

F

W

ππ20 2......)

(

......

3

2

1

3

2

1

=

∙=

∆

+∆

+

∆=

∆

∙

+

∆

∙

+

∆

∙

=

【答案】B

【例2】如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小

不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应

的圆心角为60°，BO边为竖直方向。(g取10 m/s2)求这一过程中：(1)

拉力F做的功。(2)重力G做的功。(3)圆弧面对物体的支持力F N做的

功。(4)圆弧面对物体的摩擦力F f做的功。

思路点拨：根据各个力的特点(是恒力还是变力)，选择相应的计算

功的方法。（62.8J,-50J,0,-12.8J）

【例3】一机车以恒定功率P拖着质量为m的物体，沿半径为R的水平圆轨道由静止开始运动一周所用的时间为t，如图1所示．已知物块与轨道间的动摩擦因数为，求物块获得多大的速度？

【精析】物体在运动过程中受到重力、支持力牵引力和摩擦力，其中重力和支持不做功，

牵引力做正功、摩擦力做负功，且牵引力和摩擦力都是变力，都不能直接根据功的公式

求解．求牵引力做功可根据功率求出W ＝Pt ．

求摩擦力的功用微元法．我们可以把圆周分成无数小微元段，如图

2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认

为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结

果． 把圆轨道分成无穷多个微元段

，摩擦力在每一

段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，

，…，，摩擦力在一周内所

做的功就等于各小段上做功的代数和，

即f W =－2πμmgR ① 求物体运动一周的速度可由动能定理求解． 由动能定理：212

f Pt W mv -=

②

联立①②解得：v =

在F-l 图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F －l 图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。

2.方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l 图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。

【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F 作用下,沿x 轴方向运动,拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图所示,图线为半

圆.则小物块运动到x 0处时的动能为 ( ) 答案（C ）

A.0

B. 1/2F m x 0

C.4πF m x 0

D.4

πx 02 【例2】用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2cm 。求第二次打击后可再进入几厘米？

解：由于锤子对钉子每一次做的功均相同，而锤子对钉子做的功又可以用阻力做的功来

代替，已知钉子进入木块所受到的阻力跟

钉入的深度成正比,

设钉入进入的深度为x,那么阻力：kx f =, F —S 图象如图

2所

示。

2k

K(2+x)

第一次锤子对钉子做的功：

k W 222

11⨯⨯= 第二次锤子对钉子做的功：

()[]x x k k W ⨯++⨯=222

12 由于21W W =有：

()[]x x k k k ⨯++⨯=⨯⨯222

12221 解得：))(12(2cm x -=

【例3】放在地面上的木块与一劲度系数k N m

=200/的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x m 102=

.时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x m 204=

.的位移，求上述过程中拉力所做的功。 分析：由题意作出F x -图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧

伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即

1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。

2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。

【例1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?

解：()22kd kd k d d d d

'++'⋅= ∴1)d d '= 此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F =kd ，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，

则三角形OAB 的面积与梯形ABCD 的面积相等，

即[]')(21)(21d d d k kd kd d

⨯'++=⨯解得 1)d d '= 【例

2】要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

Kd+d