全国高考文科数学试题及其解析
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学(文) 试卷养成良好的答题习惯,是决定成败的决定性因素之一。
做题前,要认真阅读题目要求、题干和选项,并对答案内容作出合理预测;答题时,切忌跟着感觉走,最好按照题目序号来做,不会的或存在疑问的,要做好标记,要善于发现,找到题目的题眼所在,规范答题,书写工整;答题完毕时,要认真检查,查漏补缺,纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =,{1}B x x A =+∈∣,则A B =( ) A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4}2.设z =,则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ,y 满足约束条件(略),则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、,且经过点(6,4)P -,则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心,直径11.已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若m α⊥,n α⊥,则//m n ;②若m αβ=,//m n ,则//n β;③若//m α,//n α,m 与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若m αβ=,n 与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =,在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点,则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图,己知//AB CD ,//CD EF ,2AB DE EF CF ====,4CD =,10AD BC ==,23AE =,M 为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(1)求椭圆C 的方程;(2)(4,0)P ,过P 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. (1)写出C 的直角坐标方程;(2)直线x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数)与曲线C 交于A 、B 两点,若||2AB =,求a 的值.23.[选修4-5:不等式选讲] 实数a ,b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学(文)答案1.答案:A解析:因为{}1,2,3,4,5,9A =,{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣,所以{1,2,}3,4A B =,故选A. 2.答案:D解析:因为z =,所以2z z ⋅=,故选D. 3.答案:D解析:将约束条件两两联立可得3个交点:(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D.4.答案:D解析:令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D.5.答案:B解析:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B. 6.答案:C解析:12212F F ce a PF PF ===-,故选C.7. 答案:A解析:因为563y x '=+,所以3k =,31y x =-,1111236S =⨯⨯=,故选A.8.答案:B解析:选B.9. 答案:B解析:因为cos cos sin ααα=-tan 1α=,tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭,故选B.10.答案:直径解析:直线过圆心,直径. 11. 答案:A解析:选A. 12.答案:C 解析:因为π3B =,294b ac =,所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,sin sin 2A C +=,故选C.13. 答案:略解析: 14.答案:2解析:π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案:64解析:因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6a =,64a =.16. 答案:(2,1)-解析:令323(1)x x x a -=--+,则323(1)a x x x =-+-,设32()3(1)x x x x ϕ=-+-,()(35)(1)x x x ϕ+'=-,()x ϕ在(1,)+∞上递增,在(0,1)上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点,(0)1ϕ=,(1)2ϕ=-,所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案:见解析解析:(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-,两式相减可得:121233n n n a a a +++=-,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以11a =,153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案:见解析解析:(1)22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)p p >+. 19.答案:见解析解析:(1)由题意://EF CM ,EF CM =,而CF 平面ADO ,EM 平面ADO ,所以//EM 平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结OA ,OE ,则OA DM ⊥,OE DM ⊥,3OA =,OE =而AE =,故OA OE ⊥,AOE S =△因为2DE =,AD =AD DE ⊥,AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ,所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△,h ==,故点M到ADE 的距离为5. 20.答案:见解析解析:(1)()(1)ln 1f x a x x =--+,1()ax f x x-=,0x >. 若0a ≤,()0f x <,()f x 的减区间为(0,)+∞,无增区间; 若0a >时,当10x a <<时,()0f x '<,当1x >时,()0f x '>,所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)因为2a ≤,所以当1x >时,111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++,则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增,()(1)0h x h ''>=,所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增,()(1)0g x g ''>=,故()g x 在(1,)+∞上递增,()(1)0g x g >=,即:当1x >时,1()e x f x -<恒成立.21.答案:见解析解析:(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则12F F =,3||2MF =.因为MF x ⊥轴,所以152MF =,12||4a MF MF =+=,解得:24a =,2213b a =-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=; (2)解法1:设()11,A x y ,()22,B x y ,AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-,结合上式可得:25230x λλ-+=.(4,0)P ,(1,0)F ,5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()11,A x y ,()22,B x y ,则121244y y x x =--,即:()1221214x y x y y y -=-,所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+,即:122121x y x y y y +=+,2112253x y y y =-.(4,0)P ,(1,0)F ,5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭,则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--,故AQ y ⊥轴.22.答案:(1)221y x =+ (2)34解析:(1)因为cos 1ρρθ=+,所以22(cos 1)ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:222(1)x y x +=+,即221y x =+;(2)将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:222(1)10t a t a +-+-=,12||2AB t =-==,解得:34a =. 23.答案:见解析解析:(1)因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b +≥+>+. (3)222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程,涉及到多个方面、各个维度,关键是要抓住重点、以点带面、全面突破,收到事半功倍的效果。
高考全国乙卷:2022年[文数]考试真题与答案解析
高考全国乙卷:2022年[文科数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 集合,则( ){}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<M N = A. B. C. D. {2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}答案:A解析:因为,,所以.故选:A.{}2,4,6,8,10M ={}|16N x x =-<<{}2,4M N = 2. 设,其中为实数,则( )(12i)2i a b ++=,a b A. B. C. D. 1,1a b ==-1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-答案:A解析:因为R ,,所以,解得:.故选:A.,a b Î()2i 2i a b a ++=0,22a b a +==1,1a b ==-3. 已知向量,则( )(2,1)(2,4)a b ==-,a b -r r A. 2 B. 3C. 4D. 5答案:D解析:因为,所以。
故选:D ()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-==a b 4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h ),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是( )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案:C解析:对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为,A 选项结论7.37.57.42+=正确.对于B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:,6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值,860.3750.416=<C 选项结论错误。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,则()A.B.C.D.2.()A.B.1C.D.3.已知向量,则()A.B.C.D.4.某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.B.C.D.5.记为等差数列的前项和.若,则()A.25B.22C.20D.156.执行下边的程序框图,则输出的()A.21B.34C.55D.897.设为椭圆的两个焦点,点在上,若,则()A.1B.2C.4D.58.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.9.已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于A,B两点,则()A.B.C.D.10.在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,,则该棱锥的体积为()A.1B.C.2D.311.已知函数.记,则()A.B.C.D.12.函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.记为等比数列的前项和.若,则的公比为.14.若为偶函数,则.15.若x,y满足约束条件,则的最大值为.16.在正方体中,为的中点,若该正方体的棱与球的球面有公共点,则球的半径的取值范围是.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.记的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若,求面积.18.如图,在三棱柱中,平面.(1)证明:平面平面;(2)设,求四棱锥的高.19.一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)计算试验组的样本平均数;(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表对照组试验组(ⅱ)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?附:,0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520.已知函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)若,求的取值范围.21.已知直线与抛物线交于两点,.(1)求;(2)设为的焦点,为上两点,且,求面积的最小值.22.已知点,直线(为参数),为的倾斜角,与轴正半轴、轴正半轴分别交于,且.(1)求;(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程.23.已知.(1)求不等式的解集;(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2,求.答案解析部分1.【答案】A【解析】【解答】,故选:A【分析】先计算补集,再求并集即得答案.2.【答案】C【解析】【解答】,故选:C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁U M=( )A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}【答案】A【解答】解:因为U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},所以∁U M={2,3,5},则N∪∁U M={2,3,5}.故选:A.2.(5分)=( )A.﹣1B.1C.1﹣i D.1+i【答案】C【解答】解:==1﹣i.故选:C.3.(5分)已知向量=(3,1),=(2,2),则cos〈+,﹣〉=( )A.B.C.D.【答案】B【解答】解:根据题意,向量=(3,1),=(2,2),则+=(5,3),﹣=(1,﹣1),则有|+|==,|﹣|==,(+)•(﹣)=2,故cos〈+,﹣〉==.故选:B.4.(5分)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )A .B .C .D .【答案】D【解答】解:某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,基本事件总数n ==6,这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ==4,则这2名学生来自不同年级的概率为P ===.故选:D .5.(5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 2+a 6=10,a 4a 8=45,则S 5=( )A .25B .22C .20D .15【答案】C【解答】解:等差数列{a n }中,a 2+a 6=2a 4=10,所以a 4=5,a 4a 8=5a 8=45,故a 8=9,则d ==1,a 1=a 4﹣3d =5﹣3=2,则S 5=5a 1+=10+10=20.故选:C .6.(5分)执行下边的程序框图,则输出的B =( )A.21B.34C.55D.89【答案】B【解答】解:模拟执行程序框图,如下:n=3,A=1,B=2,k=1,k≤3,A=1+2=3,B=3+2=5,k=2,k≤3,A=3+5=8,B=8+5=13,k=3,k≤3,A=8+13=21,B=21+13=34,k=4,k>3,输出B=34.故选:B.A.1B.2C.4D.5【答案】B【解答】解:根据题意,点P在椭圆上,满足•=0,可得∠F1PF2=,又由椭圆C:+y2=1,其中c2=5﹣1=4,可得|PF1|•|PF2|=2,故选:B.8.(5分)曲线y=在点(1,)处的切线方程为( )A.y=x B.y=x C.y=x+D.y=x+【答案】C【解答】解:因为y=,y′==,故函数在点(1,)处的切线斜率k=,切线方程为y﹣=(x﹣1),即y=.故选:C.9.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )A.B.C.D.【答案】D【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,可得c=a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为:y=±2x,一条渐近线与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于A,B两点,圆的圆心(2,3),半径为1,圆的圆心到直线y=2x的距离为:=,所以|AB|=2=.故选:D.10.(5分)在三棱锥P﹣ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为( )A.1B.C.2D.3【答案】A【解答】解:如图,PA=PB=2,AB=BC=2,取AB的中点D,连接PD,CD,可得AB⊥PD,AB⊥CD,又PD∩CD=D,PD、CD⊂平面PCD,∴AB⊥平面PCD,在△PAB与△ABC中,求得PD=CD=,在△PCD中,由PD=CD=,PC=,得PD2+CD2=PC2,则PD⊥CD,∴,∴×AB=.故选:A.11.(5分)已知函数f(x)=.记a=f(),b=f(),c=f(),则( )A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A【解答】解:令g(x)=﹣(x﹣1)2,则g(x)的开口向下,对称轴为x=1,∵,而=,∴,∴,∴由一元二次函数的性质可知g()<g(),∵,而,∴,∴,综合可得,又y=e x为增函数,∴a<c<b,即b>c>a.故选:A.12.(5分)函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x﹣的交点个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C【解答】解:y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到f(x)=cos (2x+)=﹣sin2x,在同一个坐标系中画出两个函数的图象,如图:y=f(x)的图象与直线y=x﹣的交点个数为:3.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2023年高考全国乙卷文科数学试题(含答案详解)
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=( )A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则M ∪C U N ( ) A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为( )A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos cos a B b A c −=,且5C π=,则B ∠=( )A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数,则=a ( )A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点,则EC ED ⋅=( )A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点,在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ,则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为( ) A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点,则a 的取值范围是( )A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭( )A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=,则x y −的最大值是( )A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ,B 为双曲线2219y x −=上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是( )A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C :22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ,则sin cos θθ−=________. 15. 若x ,y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上,ABC 是边长为3的等边三角形,SA ⊥平面ABC ,则SA =________. 三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ,()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅.试验结果如下:记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅,记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ,样本方差为2s . (1)求z ,2s ;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥为有显著提高)18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知21011,40a S ==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .19.如图,在三棱锥−P ABC 中,AB BC ⊥,2AB =,BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ,点F 在AC 上,BF AO ⊥.(1)求证:EF //平面ADO ;(2)若120POF ∠=︒,求三棱锥−P ABC 的体积. 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. (1)当1a =−时,求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程. (2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增,求a 的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=,点()2,0A −在C 上.(1)求C 的方程;(2)过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ,证明:线段MN 的中点为定点.【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,曲线2C :2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,2απ<<π).(1)写出1C 的直角坐标方程;(2)若直线y x m =+既与1C 没有公共点,也与2C 没有公共点,求m 的取值范围.【选修4-5】(10分)23.已知()22f x x x =+− (1)求不等式()6x f x ≤−的解集;(2)在直角坐标系xOy 中,求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积.2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)答案详解文科数学(2023·全国乙卷·文·1·★)232i 2i ++=( )(A )1 (B )2 (C (D 答案:C解析:2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.(2023·全国乙卷·文·2·★)设全集{0,1,2,4,6,8}U =,集合{0,4,6}M =,{0,1,6}N =,M ∪C U N 则( ) (A ){0,2,4,6,8} (B ){0,1,4,6,8} (C ){1,2,4,6,8} (D )U 答案:A解析:由题意,C U N ={2,4,8},所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.(2023·全国乙卷·文·3·★) 如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为( )A.24B.26C.28D.30答案:D解析:如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,13AA =,点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点,,,,O L M N 为所在棱的中点,则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体,该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形, 其表面积为:()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.(2023·全国乙卷·文·4·★★)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos a B b A c −=,且5C π=则,在B =( ) (A )10π(B )5π (C )310π (D )25π 答案:C解法1:所给边角等式每一项都有齐次的边,要求的是角,故用正弦定理边化角分析, 因为cos cos a B b A c −=,所以sin cos sin cos sin A B B A C −=,故sin()sin A B C −= ①, 已知C ,先将C 代入,再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元, 因为5C π=,所以45A B C ππ+=−=,故45A B π=−,代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②, 因为45A B π+=,所以405B π<<,故4442555B πππ−<−<,结合②可得4255B ππ−=,所以310B π=.解法2:按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后,观察发现若将右侧sin C 拆开,也能出现左边的两项,故拆开来看,sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+,代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得:sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+,化简得:sin cos 0B A =,因为0B π<<,所以sin 0B >,故cos 0A =,结合0A π<<可得2A π=,所以43510B A ππ=−=.(2023·全国乙卷·文·5·★★) 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数,则=a ( )A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案:D解析:因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数,则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−, 又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x −−=,即()1e e a x x −=,则()1x a x =−,即11a =−,解得2a =.(2023·全国乙卷·文·6·★)正方形ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点,则EC ED ⋅=( ) (A(B )3 (C) (D )5 答案:B解析:如图,EC ,ED 共起点,且中线、底边长均已知,可用极化恒等式求数量积, 由极化恒等式,223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F(2023·全国乙卷·文·7·★★)设O 为平面坐标系的坐标原点,在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ,则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为( ) A.18B. 16C.14D.12答案:C 解析:因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心,外圆半径2R =,内圆半径1r =的圆环,则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示,在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=, 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.(2023·全国乙卷·文·8·★★★)函数3()2f x x ax =++存在3个零点,则a 的取值范围是( ) (A )(,2)−∞− (B )(,3)−∞− (C )(4,1)−− (D )(3,0)− 答案:B解法1:观察发现由320x ax ++=容易分离出a ,故用全分离,先分析0x =是否为零点, 因为(0)20f =≠,所以0不是()f x 的零点;当0x ≠时,3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−, 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点,要画此函数的图象,需求导分析,令22()(0)g x x x x =−−≠,则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==, 因为22131()024x x x ++=++>,所以()00g x x '>⇔<或01x <<,()01g x x '<⇔>,故()g x 在(,0)−∞上,在(0,1)上,在(1,)+∞上,又lim ()x g x →−∞=−∞,当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时,()g x 分别趋于+∞,−∞,(1)3g =−,lim ()x g x →+∞=−∞,所以()g x 的大致图象如图1,由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点,应有3a <−.解法2:如图2,三次函数有3个零点等价于两个极值异号,故也可直接求导分析极值,由题意,2()3f x x a '=+,要使()f x 有2个极值点,则()f x '有两个零点,所以120a ∆=−>,故0a <, 令()0f x '=可得x =322f =+=,3(((22f a =++=,故34(2)(2)4027a f f =+=+<,解得:3a <−.a=1图2图(2023·全国乙卷·文·9·★)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( ) A.56B.23C.12D.13答案:A解析:甲有6种选择,乙也有6种选择,故总数共有6636⨯=种, 若甲、乙抽到的主题不同,则共有26A 30=种, 则其概率为305366=,(2023·全国乙卷·文·10·★★★)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭() A. B. 12−C.12D.2答案:D解析:因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增, 所以2πππ2362T =−=,且0ω>,则πT =,2π2w T ==, 当π6x =时,()f x 取得最小值,则ππ22π62k ϕ⋅+=−,Z k ∈,则5π2π6k ϕ=−,Z k ∈,不妨取0k =,则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2023·全国乙卷·文·11·★★★)已知实数x ,y 满足224240x y x y +−−−=,则x y −的最大值是( )(A )1 (B )4 (C )1+ (D )7 答案:C解法1:所给等式可配方化为平方和结构,故考虑三角换元,22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=,令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩,则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−,θ∈R ,所以当sin()14πθ−=−时,x y −取得最大值1+解法2:所给方程表示圆,故要求x y −的最大值,也可设其为t ,看成直线,用直线与圆的位置关系处理,22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①,设t x y =−,则0x y t −−=,因为x ,y 还满足①,所以直线0x y t −−=与该圆有交点,从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤,解得:11t −≤≤+max ()1x y −=+(2023·全国乙卷·文·12·★★★★)设A ,B 为双曲线2219y x −=上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是( ) A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案:D解析:设()()1122,,,A x y B x y ,则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+,因为,A B 在双曲线上,则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩,两式相减得()2222121209y y x x −−−=, 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A : 可得1,9AB k k ==,则:98AB y x =−,联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩,消去y 得272272730x x −⨯+=,此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故A 错误; 对于选项B :可得92,2AB k k =−=−,则95:22AB y x =−−, 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩,消去y 得245245610x x +⨯+=, 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故B 错误; 对于选项C :可得3,3AB k k ==,则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==,则:3AB y x =为双曲线的渐近线, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故C 错误; 对于选项D :94,4AB k k ==,则97:44AB y x =−,联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩,消去y 得2631261930x x +−=, 此时21264631930∆=+⨯⨯>,故直线AB 与双曲线有交两个交点,故D 正确;(2023·全国乙卷·文·13·★)已知点(A 在抛物线C :22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______. 答案:94解析:由题意可得:221p =⨯,则25p =,抛物线的方程为25y x =,准线方程为54x =−,点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.(2023·全国乙卷·文·14·★)若(0,)2πθ∈,1tan 3θ=,则sin cos θθ−=_____.答案: 解析:已知tan θ,可先求出sin θ和cos θ, 由题意,sin 1tan cos 3θθθ==,所以cos 3sin θθ=,代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=, 又(0,)2πθ∈,所以sin θ=,cos θ=,故sin cos θθ−=(2023·全国乙卷·文·15·★★)若x ,y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =−的最大值为______.答案:8解析:作出可行域如下图所示:z =2x −y ,移项得y =2x −z , 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩,解得52x y =⎧⎨=⎩,设()5,2A ,显然平移直线2y x =使其经过点A ,此时截距−z 最小,则z 最大,代入得z =8,(2023·全国乙卷·文·16·★★★)已知点S ,A ,B ,C 均在半径为2的球面上,ABC ∆是边长为3的等边三角形,SA ⊥平面ABC ,则SA =_____. 答案:2解析:有线面垂直,且ABC ∆是等边三角形,属外接球的圆柱模型,核心方程是222()2hr R +=,如图,圆柱的高h SA =,底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径,所以233r ==, 由题意,球的半径2R =,因为222()2hr R +=,所以23()42h +=,解得:2h =,故2SA =.(2023·全国乙卷·文·17·★★★)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ,()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅.试验结果如下:记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅,记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ,样本方差为2s . (1)求z ,s 2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高) 答案:(1)11z =,261s =;(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析:(1)545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==,536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==,552.3541.311z x y =−=−=,i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−,故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==(2)由(1)知:11z =,==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.(2023·全国乙卷·文·18·★★★)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知211a =,1040S =. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .解:(1)(已知条件都容易代公式,故直接用公式翻译,求出1a 和d ) 设{}n a 的公差为d ,则2111a a d =+= ①, 101104540S a d =+= ②,联立①②解得:113a =,2d =−,所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.(2)(通项含绝对值,要求和,先去绝对值,观察发现{}n a 前7项为正,从第8项起为负,故据此讨论) 当7n ≤时,0n a >,所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−; 当8n ≥时,12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+; 综上所述,2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.(2023·全国乙卷·文·19·★★★)如图,在三棱锥−P ABC 中,AB BC ⊥,2AB =,BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ,点F 在AC 上,BF AO ⊥.(1)求证:EF //平面ADO ;(2)若120POF ∠=︒,求三棱锥−P ABC 的体积.答案:(1)证明见解析 (2解析:(1)连接,DE OF ,设AF tAC =,则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+,12AO BA BC =−+,BF AO ⊥, 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=, 解得12t =,则F 为AC 的中点,由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点,于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==,即,//DE OF DE OF =,则四边形ODEF 为平行四边形,//,EF DO EF DO =,又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ,所以//EF 平面ADO .(2)过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M , 因为,PB PC O =是BC 中点,所以PO BC ⊥,在Rt PBO △中,12PB BO BC ===2PO ===, 因为,//AB BC OF AB ⊥,所以OF BC ⊥,又PO OF O ⋂=,,PO OF ⊂平面POF , 所以BC⊥平面POF ,又PM ⊂平面POF ,所以BC PM ⊥,又BC FM O =,,BC FM ⊂平面ABC ,所以PM ⊥平面ABC ,即三棱锥−P ABC 的高为PM ,因为120POF ∠=︒,所以60POM ∠=︒,所以sin 6022PM PO =︒=⨯=,又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.(2023·全国乙卷·文·20·★)已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.(1)当1a =−时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,求a 的取值范围. 答案:(1)()ln 2ln 20x y +−=; (2)1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析:(1)当1a =−时,()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭, 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭, 据此可得()()10,1ln 2f f '==−,所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−,即()ln 2ln 20x y +−=. (2)由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,则()()()21ln 10x x x ax −++++≥, 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++,原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立, 则()()2ln 1g x ax x '=−+,当0a ≤时,由于()20,ln 10ax x ≤+>,故()0g x '<,()g x 在区间()0,∞+上单调递减,此时()()00g x g <=,不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+,则()121h x a x −'=+, 当12a ≥,21a ≥时,由于111x <+,所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增, 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增,所以()()>00g x g ''=,()g x 在区间()0,∞+上单调递增,()()00g x g >=,满足题意. 当102a <<时,由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−, 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减,即()g x '单调递减,注意到()00g '=,故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,()()00g x g ''<=,()g x 单调递减, 由于()00g =,故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,()()00g x g <=,不合题意. 综上可知:实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.(2023·全国乙卷·文·21·★★★)已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=,点()2,0A −在C 上.(1)求C 的方程; (2)过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ,证明:线段MN 的中点为定点.答案:(1)22194y x += (2)证明见详解解析:(1)由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩,解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆方程为22194y x +=.(2)由题意可知:直线PQ 的斜率存在,设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++,联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得:()()()222498231630k x k k x k k +++++=,则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>,解得0k <,可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++, 因为()2,0A −,则直线()11:22y AP y x x =++, 令0x =,解得1122y y x =+,即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++,所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】(10分)(2023·全国乙卷·文·22·★★★)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,曲线2C :2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,2απ<<π).(1)写出1C 的直角坐标方程;(2)若直线y x m =+既与1C 没有公共点,也与2C 没有公共点,求m 的取值范围. 答案:(1)()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ (2)()(),022,−∞+∞解析:(1)因为2sin ρθ=,即22sin ρρθ=,可得222x y y +=, 整理得()2211x y +−=,表示以()0,1为圆心,半径为1的圆,又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ, 且ππ42θ≤≤,则π2π2≤≤θ,则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ, 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.(2)因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππ2α<<),整理得224x y +=,表示圆心为()0,0O ,半径为2,且位于第二象限的圆弧, 如图所示,若直线y x m =+过()1,1,则11m =+,解得0m =;若直线y x m =+,即0x y m −+=与2C相切,则20m =>⎩,解得m =,若直线y x m =+与12,C C均没有公共点,则m >或0m <, 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】(10分)(2023·全国乙卷·文·23·★★)已知()22f x x x =+− (1)求不等式()6x f x ≤−的解集;(2)在直角坐标系xOy 中,求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积.答案:(1)[2,2]−; (2)8.解析:(1)依题意,32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩,不等式()6f x x ≤−化为:2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩,解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩,得无解;解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩,得02x ≤≤,解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩,得20x −≤<,因此22x −≤≤,所以原不等式的解集为:[2,2]−(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域,如图中阴影ABC ,由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩,解得(2,8)A−,由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C,又(0,2),(0,6)B D,所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。
内蒙古2024年高考文科数学真题及参考答案
内蒙古2024年高考文科数学真题及参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ()A.{}1,2,3,4B.{}3,2,1 C.{}4,3D.{}9,2,12.设z =,则z z ⋅=()A.i-B.1C.1-D.23.若实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ,则5z x y =-的最小值为()A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=()A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.236.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()10,4F 、()20,4F -,且经过点()6,4P -,则双曲线C 的离心率是()A.4B.3C.2D.27.曲线()136-+=x x x f 在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A.61B.2C.12D.23-8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的大致图像为()9.已知cos cos sin ααα=-,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.132+B.1-C.23D.31-10.已知直线02=-++a y ax 与圆01422=-++y y x C :交于B A ,两点,则AB 的最小值为()A.2B.3C.4D.611.已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,且m =βα .下列四个命题:①若m n ∥,则n α∥或n β∥;②若m n ⊥,则n α⊥,β⊥n ;③若n α∥且n β∥,则m n ∥;④若n 与α和β所成的角相等,则m n ⊥,其中所有真命题的编号是()A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A.13B.13C.2D.13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是______.14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为()122r r -,()123r r -,则圆台甲与乙的体积之比为.15.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则a =______.16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,+∞上有两个不同的交点,则a 的取值范围为______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n S 的前n 项和.18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为产品线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(247.12150≈)19.(12分)如图,在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,4,=AD AD EF AD BC ,∥∥,2===EF BC AB ,且10=ED ,32=FB ,M 为AD 的中点.(1)证明:∥BM 平面CDE ;(2)求点M 到ABF 的距离.20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+.(1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,4P 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与直线MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)直线x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数)与曲线C 交于A 、B 两点,若2AB =,求a 的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数a ,b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.参考答案一、选择题1.A 解析:由题意可得{}843210,,,,,=B ,∴{}4,3,2,1=B A .2.D解析:∵i z 2=,∴i z 2-=,∴222=-=⋅i z z .3.D 解析:实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ,作出可行域如图:由y x z 5-=可得z x y 5151-=,即z 的几何意义为z x y 5151-=的截距的51-,则该直线截距取最大值时,z 有最小值,此时直线z x y 5151-=过点A,联立⎩⎨⎧=-+=--09620334y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==123y x ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23A ,则271523min -=⨯-=z .4.D解析:法一:利用等差数列的基本量由19=S ,根据等差数列的求和公式1289919=⨯+=d a S ,整理得13691=+d a ,又()92369928262111173=+=+=+++=+d a d a d a d a a a .法二:特殊值法不妨取等差数列公差0=d ,则有1991a S ==,∴911=a ,故有922173==+a a a .5.B解析:当甲排在排尾,乙排在第一位,丙有2种排法,丁有1种排法,共2种;当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁有1种排法,共2种;于是甲排在排尾共4种方法,同理,乙排在排尾共4种排法,于是共8种排法,基本事件总数显然是2444=A ,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为31248=.6.C解析:由题意,()4,01F ,()402-,F ,()4,6-P,则()()6446,10446,8222222121=-+==++===PF PF c F F ,则4610221=-=-=PF PF a ,24822===a c e .7.A解析:()365+='x x f ,则()30='f ,∴该切线方程为x y 31=-,即13+=x y ,令0=x ,则1=y ,令0=y ,则31-=x ,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积6131121=-⨯⨯=S .8.B解析:()()()()()x f x e e x x e ex x f x x x x=-+-=--+-=---sin sin 22,又函数定义域为[]8.2,8.2-,故函数为偶函数,可排除A,C,又()021*******sin 111sin 111>->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=e e e e e e e f π,故排除D.9.B 解析:∵cos cos sin ααα=-,∴3tan 11=-α,解得331tan -=α,∴132tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα.10.C 解析:由题意可得圆的标准方程为:()5222=++y x ,∴圆心()20-,C ,半径为5,直线02=-++a y ax 可化为()()021=++-y x a ,∴直线过定点()21-,D ,当AB CD ⊥时,AB 最小,易得1=CD ,故()415222=-⨯=AB .11.A 解析:对①,当α⊂n ,∵n m ∥,β⊂n ,则β∥n ,当β⊂n ,∵n m ∥,α⊂m ,则α∥n ,当n 既不在α也不在β内,∵n m ∥,βα⊂⊂m m ,,则α∥n 且β∥n ,故①正确;对②,若n m ⊥,则n 与βα,不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与βα,分别相交于直线s 和直线t ,∵α∥n ,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知s n ∥,同理可得t n ∥,则t s ∥,∵⊄s 平面β,⊂t 平面β,则∥s 平面β,∵⊂s 平面α,m =βα ,则m s ∥,又∵s n ∥,则n m ∥,故③正确;对④,若m =βα ,n 与βα,所成的角相等,如果βα∥,∥n n ,则n m ∥,故④错误;综上,①③正确.12.C 解析:∵3π=B ,294b ac =,则由正弦定理得31sin 94sin sin 2==B C A .由余弦定理可得:ac ac c a b 49222=-+=,即ac c a 41322=+,根据正弦定理得1213sin sin 413sin sin 22==+C A C A ,∴()47sin sin 2sin sin sin sin 222=++=+C A C A C A ,∵A,C 为三角形内角,则0sin sin >+C A ,则27sin sin =+C A .二、填空题13.2解析:()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f ,当[]π,0∈x 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,33πππx ,当23ππ=-x 时,即65π=x 时()2max =x f .14.46解析:由题可得两个圆台的高分别为:()[]()()1221221232r r r r r r h -=---=甲,()[]())12212212223r r r r r r h -=---=乙∴()()()()462233131121212121212=--==++++=r r r r h h h S S S S h S S S S V V 乙甲乙甲乙甲.15.64解析:由25log 21log 34log 1log 1228-=-=-a a a a ,整理得()06log 5log 222=--a a ,可得1log 2-=a 或6log 2=a ,又1>a ,∴6log 2=a ,∴6426==a .16.()1,2-解析:令()a x x x +--=-2313,即1523+-+=x x x a ,令()()01523>+-+=x x x x x g ,则()()()1535232-+=-+='x x x x x g ,令()()00>='x x g 得1=x ,当()1,0∈x 时,()0<'x g ,()x g 单调递减;当()+∞∈,1x 时,()0>'x g ,()x g 单调递增,()()21,10-==g g ,∵曲线x x y 33-=与()a x y +--=21在()∞+,0上有两个不同的交点,∴等价于a y =与()x g 有两个交点,∴()1,2-∈a .三、解答题17.解:(1)∵3321-=+n n a S ,∴33221-=++n n a S ,两式相减可得121332+++-=n n n a a a ,即1253++=n n a a ,∴等比数列{}n a 的公比35=q ,当1=n 时有35332121-=-=a a S ,∴11=a ,∴135-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a .(2)由等比数列求和公式得2335233513511-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S ,∴数列{}n S 的前n 项和nS S S S T nn n 23353535352332321-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++++= 4152335415233513513523--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=n n n n.18.解:(1)根据题意可得列联表:可得()6875.416755496100507024302615022==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ,∵635.66875.4841.3<<,∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为64.015096=,用频率估计概率可得64.0=p ,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p ,则()()568.0247.125.065.15.01505.015.065.15.0165.1≈⨯+≈-⨯⨯+=-+n p p p ,可知()np p p p -+>165.1,∴可以认为产品线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.19.解:(1)∵AD BC ∥,2=EF ,4=AD ,M 为AD 的中点,∴MD BC MD BC =,∥,则四边形BCDM 为平行四边形,∴CD BM ∥,又∵⊄BM 平面CDE ,⊂CD 平面CDE ,∴∥BM 平面CDE .(2)如图所示,作AD BO ⊥交AD 于点O ,连接OF .∵四边形ABCD 为等腰梯形,4,=AD AD BC ∥,2==BC AB ,∴2=CD ,结合(1)可知四边形BCDM 为平行四边形,可得2==CD BM ,又2=AM ,∴ABM ∆为等边三角形,O 为AM 的中点,∴3=OB .又∵四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,∴MD EF MD EF ∥,=,四边形EFMD 为平行四边形,AF ED FM ==,∴AFM ∆为等腰三角形,ABM ∆与AFM ∆底边上中点O 重合,3,22=-=⊥AO AF OF AM OF ,∵222BF OFOB =+,∴OF OB ⊥,∴OF OD OB ,,互相垂直,由等体积法可得ABM F ABF M V V --=,233243213121312=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆-FO S V ABM ABM F ,由余弦定理,()()10212102322102cos 222222=⋅⋅-+=⋅-+=∠ABF A FB AB F A F AB ,∴10239cos 1sin 2=∠-=∠F AB F AB .则2391023921021sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅=∆F AB AB F A S F AB ,设点M 到面ABF 的距离为d ,则有232393131=⋅⋅=⋅⋅==∆--d d S V V F AB ABM F ABF M ,解得13133=d ,即点M 到面ABF 的距离为13133.20.解:(1)由题意可得()x f 定义域为()∞+,0,()xax x a x f 11-=-=',当0≤a 时,()0<'x f ,故()x f 在()∞+,0上单调递减;当0>a 时,令()0='x f ,解得ax 1=,当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1a x 时,()0>'x f ,()x f 单调递增;当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时,()0<'x f ,()x f 单调递减;综上所述:当0≤a 时,()x f 在()∞+,0上单调递减;当0>a 时,()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减.(2)当2≤a 且1>x 时,()()x x e x x a e x f ex x x ln 121ln 1111+++≥-+--=----,令()()1ln 121>++-=-x x x ex g x ,则()()1121>+-='-x xe x g x ,令()()x g x h '=,则()()1121>-='-x xex h x ,显然()x h '在()∞+,1上单调递增,则()()0110=-='>'e h x h ,因()()x h x g =',则()x g '在()∞+,1上单调递增,故()()01210=+-='>'e g x g ,即()x g 在()∞+,1上单调递增,故()()01ln 1210=++-=>e g x g ,即()()()01ln 111>≥-+--=---x g x x a e x f ex x ,∴当1>x 时,()1-<x ex f 恒成立.21.解:(1)设()0,c F ,由题设有1=c ,且232=a b ,故2312=-a a ,解得2=a ,故3=b ,故椭圆方程为:13422=+y x .(2)由题意知,直线AB 额斜率一定存在,设为k ,设()()()2211,,,,4:y x B y x A x k y AB -=,由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+413422x k y y x 可得()0126432432222=-+-+k x k x k ,∵()()012644341024224>-+-=∆kkk ,∴2121<<-k ,由韦达定理可得22212221431264,4332kk x x k k x x +-=+=+,∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ,∴直线⎪⎭⎫ ⎝⎛--=252522x x y y BN :,故52325232222--=--=x y x y y Q,∴()()()()524352452352523222122212211--+-⋅-=-+-=-+=-x x k x x k x y x y x y y y y Q()0528433254312642528522222222121=-++⨯-+-⨯=-++-=x k k k k k x x x x x k 故Q y y =1,即AQ y ⊥轴.22.解:(1)由1cos +=θρρ,将⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x θρρcos 22代入1cos +=θρρ,可得122+=+x y x ,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为122+=x y .(2)对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为a x y +=.法一:直线l 的斜率为1,故倾斜角为4π,故直线的参数方程可设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==s a y s x 2222,R s ∈.将其代入122+=x y 中得)()01212222=-+-+a s a s .设B A ,两点对应的参数分别为21,s s ,则()()12,12222121-=--=+a s s a s s ,且()()01616181822>-=---=∆a a a ,故1<a ,∴()()()218184222122121=---=-+=-=a a s s s s s s AB ,解得43=a .法二:联立⎩⎨⎧+=+=122x y ax y ,得()012222=-+-+a x a x ,()()088142222>+-=---=∆a a a ,解得1<a ,设()()2211,,,y x B y x A ,∴1,2222121-=-=+a x x a x x ,则()()()21422241122212212=---⋅=-+⋅+=a a x x x x AB ,解得43=a .23.解:(1)∵()()0222222222≥-=+-=+-+b a b ab a b a b a ,当b a =时等号成立,则()22222b a b a +≥+,∵3≥+b a ,∴()b a b a b a +>+≥+22222.(2)()b a b a a b b a ab b a +-+=-+-≥-+-222222222222()()()()()623122222=⨯≥-++=+-+≥+-+=b a b a b a b a b a b a .。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ,∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5,选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8},选A.3.如图,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点,O ,L ,M ,N 为所在棱的中点,则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体,该几何体表面积为:2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30,选D 。
4.在△BC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5,则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0,π),∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2,∴B =π-A -C =3π10,选C 。
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解(试题部分)一、单选题1.集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B =( ) A .{}1,2,3,4B .{}1,2,3C .{}3,4D .{}1,2,92.设z =,则z z ⋅=( ) A .-iB .1C .-1D .23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩,则5z x y =−的最小值为( )A .5B .12C .2−D .72−4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=( ) A .2−B .73C .1D .295.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( ) A .14 B .13C .12D .236.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −,点()6,4P −在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( ) A .4B .3C .2D7.曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为( )A .16BC .12D. 8.函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为( )A .B .C .D .9.已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.1 B.1 CD.110.设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ=.下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是( )A .①③B .②④C .①②③D .①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( ) A .32BCD二、填空题12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 . 13.已知1a >,8115log log 42a a −=−,则=a . 14.曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为 . 三、解答题15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式.16.如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ; (2)求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e xf x −<恒成立.18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴. 19.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于AB 、两点,若2AB =,求a 的值. 20.实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a −+−≥.2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解(答案详解)一、单选题1.集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B =( ) A .{}1,2,3,4 B .{}1,2,3C .{}3,4D .{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得,对于集合B 中的元素x ,满足11,2,3,4,5,9x +=, 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8,即{0,1,2,3,4,8}B =,于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2.设z =,则z z ⋅=( ) A .-i B .1C .-1D .2【答案】D【解析】根据题意得,z =,故22i 2zz =−=. 故选D3.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩,则5z x y =−的最小值为( )A .5B .12C .2−D .72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩,作出可行域如图:由5z x y =−可得1155y x z =−,即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−, 则该直线截距取最大值时,z 有最小值,此时直线1155y x z =−过点A , 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭,则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=( ) A .2− B .73C .1D .29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成1a 和d 来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.【解析】方法1:利用等差数列的基本量 由91S =,根据等差数列的求和公式,911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=, 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2:利用等差数列的性质根据等差数列的性质,1937a a a a +=+,由91S =,根据等差数列的求和公式, 193799()9()122a a a a S ++===,故3729a a +=. 故选D方法3:特殊值法不妨取等差数列公差0d =,则9111199S a a ==⇒=,则371229a a a +==. 故选D5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( ) A .14 B .13C .12D .23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置,得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾,乙排第一位,丙有2种排法,丁就1种,共2种; 当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁就1种,共2种;于是甲排在排尾共4种方法,同理乙排在排尾共4种方法,于是共8种排法符合题意;基本事件总数显然是44A 24=,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −,点()6,4P −在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.4 B .3 C .2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率. 【解析】根据题意,()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −,则1228F F c ==,110PF =,26PF ,则1221064a PF PF =−=−=,则28224c e a ===. 故选C.7.曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为( )A .16B C .12D . 【答案】A【分析】先求出切线方程,再求出切线的截距,从而可求面积.【解析】()563f x x ='+,所以()03f '=,故切线方程为3(0)131y x x =−−=−,故切线的横截距为13,纵截距为1−,故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8.函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为( )A .B .C .D .【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ,代入1x =可得()10f >,可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=,又函数定义域为[]2.8,2.8−,故该函数为偶函数,AC 错误, 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, D 错误.故选B.9.已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B .1CD .1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α,再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α,tan 1⇒α=,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭, 故选B.10.设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ=.下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是( )A .①③B .②④C .①②③D .①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α, 当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,①正确; ②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,②错误;③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ=,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,③正确;④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,④错误; ①③正确, 故选A.11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( )A .32BC.2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =,再利用余弦定理有22134a c ac +=,再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值,最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=, 因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 . 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数,再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭,当[]0,πx ∈时,ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦,当ππ32x −=时,即5π6x =时,()max 2f x =.答案为:2 13.已知1a >,8115log log 42a a −=−,则=a . 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−,整理得()2225log 60log a a −−=, 2log 1a ⇒=−或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==答案为:64.14.曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为 .【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程,令()2331x x x a −=−−+,分离参数a ,构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间,画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+,即3251a x x x =+−+,令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−',令()()00g x x '=>得1x =,当()0,1x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减,当()1,x ∞∈+时,()0g x '>,()g x 单调递增,()()01,12g g ==−,因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点,所以等价于y a =与()g x 有两个交点,所以()2,1a ∈−.答案为:()2,1− 三、解答题15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】(1)利用退位法可求公比,再求出首项后可求通项; (2)利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】(1)因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−,所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =,故1211523333533a a a a =−=⨯−=−,故11a =,故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16.如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ; (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解;【分析】(1)结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形,可证//BM CD ,进而得证;(2)作FO AD ⊥,连接OB ,易证,,OB OD OF 三垂直,结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】(1)因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ; (2)如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,所以OB =ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,等体积法可得M ABF F ABM V V −−=,2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△,2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△,设点M 到FAB 的距离为d ,则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17.已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+.(1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x −<恒成立.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性; (2)先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时,1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】(1)()f x 定义域为(0,)+∞,11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时,1()0ax f x x −'=<,故()f x 在(0,)+∞上单调递减;当0a >时,1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增,当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减. 综上所述,当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;0a >时,()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)2a ≤,且1x >时,111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++,令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>,下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+,再令()()h x g x '=,则121()e x h x x−'=−,显然()h x '在(1,)+∞上递增,则0()(1)e 10h x h ''>=−=,即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增,故0()(1)e 210g x g ''>=−+=,即()g x 在(1,)+∞上单调递增, 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=,问题得证18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴. (1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】(1)设(),0F c ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程. (2)设:(4)AB y k x =−,()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线方程和椭圆方程,用,A B 的坐标表示1Q y y −,结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=,故可证AQ y ⊥轴.【解析】(1)设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a −=,故2a =,故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. (2)直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =−,()11,A x y ,()22,B x y ,由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=, 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>,故1122k −<<,又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++, 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−,故22223325252Q y y y x x −−==−−, 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−,故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.19.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x t y t a=⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】(1)根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. (2)将直线的新的参数方程代入C 的直角方程,法1:结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程,从而可求参数a 的值; 法2:将直线的直角方程与曲线的直角方程联立,结合弦长公式可求a 的值.【解析】(1)由cos 1ρρθ=+,将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+,1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. (2)对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+. 法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4,故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s,则)()212121,21s s a s s a +=−−=−,且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>,故1a <,12AB s s ∴=−2=,解得34a =. 法2:联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +−+−=,()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>,解得1a <,设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−,则AB =2=, 解得34a = 20.实数,a b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a −+−≥.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.【解析】(1)因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥, 当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+,因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b +≥+>+;(2)222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
全国高考文科数学试卷及答案解析_全国卷
2021年全国高考新课标1卷文科数学试题第一卷一、选择题,本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x |2≤x ≤5},那么A ∩B=( )A .{1,3}B .{3,5}C .{5,7}D .{1,7} 2.设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等,其中a 为实数,那么a=( )A .-3B .-2C .2D . 33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A .13 B .12 C .23 D .564.ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.22,cos 3a c A ===, 那么b=( )A .BC .2D .35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,那么该椭圆的离心率为( ) A .13 B .12 C .23 D .346.假设将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为( ) A .y =2sin(2x +4π) B .y =2sin(2x +3π) C .y =2sin(2x –4π) D .y =2sin(2x –3π) 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是283π, 那么它的外表积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π 8.假设a >b >0,0<c <1,那么( )A .log a c <log b cB .log c a <log c bC .a c <b cD .c a >c b 9.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )10.执行右面的程序框图,如果输入的x =0,y =1,n =1, 那么输出x ,y 的值满足( )A .y =2xB .y =3xC .y =4xD .y =5x11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,那么m ,n 所成角的正弦值为(A B C D .1312.假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增,那么a 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[-1,13]C .[-13,13]D .[-1,-13]第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案填在横线上. 13.设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,那么x = . 14.θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,那么tan(θ-π4)= . 15.设直线y=x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,假设|AB |=C 的面积为 .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,那么在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题:解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分. 17.〔此题总分值12分〕{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=31,a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.18.〔此题总分值12分〕如图,正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面P AB 内的正投影为点E , 连接PE 并延长交AB 于点G .(Ⅰ)证明G 是AB 的中点;(Ⅱ)在答题卡第〔18〕题图中作出点E 在平面P AC内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.某公司方案购置1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元. 在机器使用期间,如果备件缺乏再购置,那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购置易损零件上所需的费用〔单位:元〕,n表示购机的同时购置的易损零件数.(Ⅰ)假设n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)假设要求“需更换的易损零件数不大于n〞的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损零件,或每台都购置20个易损零件,分别计算这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购置1台机器的同时应购置19个还是20个易损零件?20.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求OHON;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)假设有两个零点,求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.〔本小题总分值10分〕选修4-1:几何证明选讲如图,ΔOAB是等腰三角形,∠AOB=120°. 以O为圆心,12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.〔本小题总分值10分〕选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t为参数,a>0〕.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.〔本小题总分值10分〕,选修4—5:不等式选讲函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像;(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.2021年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题,本大题共12小题,每题5分,共60分.1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C【12题解析】二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.23- 14.43- 15.4π 16.216000BEGP FDCA三、解答题:解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分. 17.解:(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=31,解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ,b n +1=31b n ,所以{b n }是公比为31的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313nn --=-⨯- …12分 18.(Ⅰ)证明:PD ⊥平面ABC ,∴PD ⊥AB .又DE ⊥平面PAB ,∴DE ⊥AB .∴AB ⊥平面PDE . …3分又PG ⊂平面PDE ,∴AB ⊥PG .依题PA=PB ,∴G 是AB 的中点.…6分(Ⅱ)解:在平面PAB 内作EF ⊥PA 〔或EF // PB 〕垂足为F ,那么F 是点E 在平面PAC 内的正投影. …7分理由如下:∵PC ⊥PA ,PC ⊥PB ,∴ PC ⊥平面PAB . ∴EF ⊥PC作EF ⊥PA ,∴EF ⊥平面PAC .即F 是点E 在平面PAC 内的正投影.…9分 连接CG ,依题D 是正ΔABC 的重心,∴D 在中线CG 上,且CD =2DG .易知DE // PC ,PC=PB=PA = 6,∴DE =2,PE =2233PG =⨯= 那么在等腰直角ΔPEF 中,PF=EF=2,∴ΔPEF 的面积S=2. 所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=. …12分 19.解:(Ⅰ)当x ≤19时,y =3800;当x >19时,y =3800+500(x -19)=500x -5700.所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩…3分(Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18为0.46,不大于19为0.7,所以n 的最小值为19. …6分(Ⅲ)假设每台机器都购置19个易损零件,那么有70台的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,所以100台机器购置易损零件费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 假设每台机器都购置20个易损零件,那么有90台的费用为4000,10台的费用为4500,所以100台机器购置易损零件费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比拟两个平均数可知,购置1台机器的同时应购置19个易损零件.…12分20.解:(Ⅰ)依题M (0, t ),P (22t p , t ). 所以N (2t p , t ),ON 的方程为py x t=.联立y 2=2px ,消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0,y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点,所以OH ON=2. …6分(Ⅱ)直线MH 的方程为2py t x t-=,联立y 2=2px ,消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外,直线MH 与C 没有其它公共点. …12分21.解:(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x+2a ). x ∈R …2分(1)当a ≥0时,在(-∞,1)上,f'(x )<0,f (x )单调递减;在(1,+∞)上,f'(x )>0,f (x )单调递增. …3分(2)当a <0时,令f'(x )=0,解得x =1或x =ln(-2a ).①假设a =2e -,ln(-2a ) =1,f'(x )≥0恒成立,所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增.②假设a >2e -,ln(-2a )<1,在(ln(-2a ),1)上,f'(x )<0,f (x )单调递减; 在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上,f'(x )>0,f (x )单调递增.③假设a <2e -,ln(-2a )>1,在(1,ln(-2a ))上,f'(x )<0,f (x )单调递减; 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上,f'(x )>0,f (x )单调递增.…7分(Ⅱ) (1)当a =0时,f (x )=(x -2)e x只有一个零点,不合要求. …8分 (2)当a >0时,由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增. 最小值f (1)=-e <0,又f (2)= a >0,假设取b <0且b <ln 2a ,e b <2a . 从而f (b )>223(2)(1)()022a b a b a b b -+-=->,所以f (x )有两个零点. …10分 (3)当a <0时,在(-∞,1]上,f (x )<0恒成立;假设a ≥2e-,由(Ⅰ)知f (x )在(1,+∞)上单调递增,不存在两个零点.假设a <2e-,f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减;在(ln(-2a ),+∞)上单调递增,也不存在两个零点.综上a 的取值范围是(0,1). …12分。
全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)
2021 年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔大纲版〕一.选择题1.〔 5 分〕集合 A={ x| x 是平行四边形 } ,B={ x| x 是矩形 } ,C={ x| x 是正方形 } ,D={ x| x 是菱形 } ,那么〔〕A.A? B B.C? B C.D? C D.A? D2.〔5 分〕函数的反函数是〔〕A.y=x2﹣ 1〔 x≥ 0〕B.y=x2﹣1〔x≥ 1〕C.y=x2+1〔x≥ 0〕D.y=x2 +1〔x≥1〕3.〔5分〕假设函数是偶函数,那么φ=〔〕A.B.C.D.4.〔5分〕α为第二象限角,,那么 sin2 α=〔〕A.B.C.D.5.〔5分〕椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为 x=﹣4,那么该椭圆的方程为〔〕A.B.C.D.6.〔5分〕数列 { a n} 的前 n 项和为 S n,a1 =1, S n=2a n+1,那么当 n>1 时, S n=〔〕A.〔〕n﹣1B.2n﹣ 1C.〔〕n﹣1D.〔﹣1〕7.〔5 分〕 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,那么不同的演讲次序有〔〕A.240 种B.360 种C.480 种D.720 种.〔分〕正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中, AB=2,CC,E 为 CC1的中点,那么直线 AC 与平8 51=21面 BED的距离为〔〕A.2B.C.D.19.〔5分〕△ ABC中, AB 边的高为 CD,假设= , = , ?=0,| | =1, | | =2,那么=〔〕A.B.C.D.10.〔5分〕1、F2为双曲线 C: x2﹣y2的左、右焦点,点P在C上F=2∠F1PF2=〔〕A.B.C.D.11.〔 5 分〕 x=ln π, y=log52,,那么〔〕A.x<y<z B.z<x< y C. z<y<x D. y<z<x 12.〔 5 分〕正方形 ABCD的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC上,发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为〔〕A.8B.6C. 4D. 3二、填空题〔共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,在试卷上作答无效〕13.〔 5 分〕的展开式中x2的系数为.14.〔 5 分〕假设 x,y 满足约束条件那么z=3x﹣y的最小值为15.〔 5 分〕当函数 y=sinx﹣cosx〔0≤ x<2π〕取得最大值时, x=16.〔5分〕正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F 分别为 BB ,CC 的中点,11所成角的余弦值为.三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或作答无效!17.〔 10 分〕△ ABC中,内角 A, B,C 成等差数列,其对边a, b, c第 1 页〔共 13 页〕18.〔 12 分〕数列 { a n } 中, a1=1,前 n 项和20.〔 12 分〕乒乓球比赛规那么规定:一局比赛,对方比分在10 平前,一方球 2 次后,对〔1〕求 a2, a3;〔2〕求 { a n } 的通项公式.19.〔 12 分〕如图,四棱锥 P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形, PA⊥底面 ABCD,,PA=2,E 是PC上的一点, PE=2EC.〔Ⅰ〕证明: PC⊥平面 BED;〔Ⅱ〕设二面角 A﹣PB﹣ C 为 90°,求 PD 与平面 PBC所成角的大小.第 2 页〔共 13 页〕21.〔 12 分〕函数.22.〔 12 分线 C:y=〔〔 1〕讨论 f〔x〕的单调性;在 A 处两切线为同l.〔 2〕设 f 〔x〕有两个极值点 x1,x2,假设过两点〔 x1, f〔x1〕〕,〔 x2,f〔 x2〕〕的直线 l 与 x 轴的交点〔Ⅰ〕求 r;在曲线 y=f〔x〕上,求 a 的值.〔Ⅱ〕设 m 异于 l 且与 C 都相切的两条线, m, n 为 D,求 D 距离.第 3 页〔共 13 页〕2021 年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔大纲版〕参考答案与试题解析一.选择题1.〔 5 分〕集合 A={ x| x 是平行四边形 } ,B={ x| x 是矩形 } ,C={ x| x 是正方形 } ,D={ x| x 是菱形 } ,那么〔〕A.A? B B.C? B C.D? C D.A? D【考点】 1E:交集及其运算.【专题】 11:计算题.【分析】直接利用四边形的关系,判断选项即可.【解答】解:因为菱形是平行四边形的特殊情形,所以D? A,矩形与正方形是平行四边形的特殊情形,所以B? A,C? A,正方形是矩形,所以C? B.应选: B.【点评】此题考查集合的根本运算,几何图形之间的关系,根底题.2.〔5 分〕函数的反函数是〔〕A.y=x2﹣ 1〔 x≥ 0〕B.y=x2﹣1〔x≥ 1〕C.y=x2+1〔x≥ 0〕 D. y=x2+1〔x ≥ 1〕【考点】 4R:反函数.【专题】 11:计算题.【分析】直接利用反函数的求法求解即可.【解答】解:因为函数,解得x=y2﹣1,所以函数的反函数是 y=x2﹣1〔x≥0〕.应选: A.【点评】此题考查函数的反函数的求法,考查计算能力.3.〔5 分〕假设函数是偶函数,那么A.B.C.D.【考点】 H6:正弦函数的奇偶性和对称性;HK:由 y=Asin〔ωx+φ〕的局部【专题】 11:计算题.【分析】直接利用函数是偶函数求出? 的表达式,然后求出? 的值.【解答】解:因为函数是偶函数,所以,k∈z,所以 k=0 时, ?=∈[ 0,2π].应选: C.【点评】此题考查正弦函数的奇偶性,三角函数的解析式的应用,考查计算能4.〔5 分〕α为第二象限角,,那么sin2α=〔〕A.B.C.D.【考点】 GG:同角三角函数间的根本关系;GS:二倍角的三角函数.【专题】 11:计算题.【分析】直接利用同角三角函数的根本关系式,求出cosα,然后利用二倍角【解答】解:因为α为第二象限角,,所以 cosα=﹣=﹣.所以 sin2α=2sin αcosα==.应选: A.【点评】此题考查二倍角的正弦,同角三角函数间的根本关系的应用,考查计第 4 页〔共 13 页〕5.〔5 分〕椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为 x=﹣4,那么该椭圆的方程为〔〕A.B.C.D.【考点】 K3:椭圆的标准方程; K4:椭圆的性质.【专题】 11:计算题.【分析】确定椭圆的焦点在x 轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.【解答】解:由题意,椭圆的焦点在x 轴上,且∴c=2, a2=8∴b2=a2﹣c2 =4∴椭圆的方程为应选: C.【点评】此题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于根底题.n}的前n项和为S n ,a1, n n+1,那么当n>1时,S n 〔〕6.〔5 分〕数列 { a=1 S =2a=A.〔〕n﹣1B.2n﹣ 1C.〔〕n﹣1D.〔﹣1〕【考点】 8H:数列递推式.【专题】 35:转化思想; 54:等差数列与等比数列.【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出.【解答】解:∵ S n=2a n+1,得 S n =2〔S n+1﹣ S n〕,即 3S n =2S n+1,由 a1,所以n≠0.那么= .=1S ∴数列 { S n} 为以 1 为首项,公比为的等比数列∴ S n=.应选: A.【点评】此题考查了递推关系与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算7.〔5 分〕 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,〔〕A.240 种B.360 种C. 480 种D. 720 种【考点】 D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】 11:计算题.【分析】直接从中间的 4 个演讲的位置,选 1 个给甲,其余全排列即可.【解答】解:因为 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个开始与结尾的位置还有个选择,剩余的元素与位置进行全排列有,个位置,所以不同的演讲次序有=480 种.应选: C.【点评】此题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用,考查计算能力.8.〔5分〕正四棱柱ABCD﹣A1B1 C1D1中, AB=2,CC1=2,E为1平CC 面 BED的距离为〔〕A.2B.C.D. 1【考点】 MI:直线与平面所成的角.【专题】 11:计算题.【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面 BDE,再将线面距后利用等体积法求点面距离即可【解答】解:如图:连接 AC,交 BD 于 O,在三角形 CC1A 中,易证 OE∥C1A第 5 页〔共 13 页〕∴直线 AC1与平面 BED的距离即为点 A 到平面 BED的距离,设为 h,∴ AB=在三棱锥 E﹣ABD中, V E﹣ABD△ABD×EC=× ×2×2×=由射影定理可得, AC2=AD?AB =S在三棱锥 A﹣BDE中, BD=2,BE= , DE=,∴ S△EBD×2×∴==2∴ V﹣ BDE×△EBD×h=×2×h=A=S∴∴ h=1∴==应选: D.应选:D.【点评】此题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属根底题9.〔5 分〕△ ABC中, AB 边的高为 CD,假设= ,= , ? =0,|| =1, || =2,那么 =〔A.B.C.D.【考点】 9Y:平面向量的综合题.【分析】由题意可得, CA⊥CB,CD⊥ AB,由射影定理可得, AC2可求,进而可求=AD?AB 从而可求与的关系,进而可求【解答】解:∵ ? =0,∴ CA⊥CB∵ CD⊥AB∵ | | =1,|| =2第 6 页〔共 13 页〕应选: C.【点评】此题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题.11.〔 5 分〕 x=ln π,y=log5 2,,那么〔〕A.x<y<z B.z< x< y C.z<y<x D.y<z<x【考点】 72:不等式比拟大小.【专题】 11:计算题; 16:压轴题.【分析】利用 x=ln π> 1, 0< y=log5<,>z=>,即可得到答案.21【解答】解:∵ x=ln π> lne=1,0<log52<log5=,即y∈〔0,〕;1=e0>=>=,即z∈〔,1〕,∴y< z<x.应选: D.【点评】此题考查不等式比拟大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于根底题.12.〔 5 分〕正方形 ABCD的边长为 1,点 E 在边 AB上,点 F 在边 BC上,.定点P从E出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为〔〕A.8B.6C.4D.3【考点】 IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】 15:综合题; 16:压轴题.【分析】根据中的点E,F 的位置,可知入射角的正切值为,通过相后的点的位置,从而可得反射的次数.【解答】解:根据中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,第的过程中,直线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为第三次碰撞点为H,在 DC上,且 DH= ,第四次碰撞点为M ,在 CB 撞点为 N,在 DA 上,且 AN= ,第六次回到 E 点, AE= .故需要碰撞 6 次即可.应选: B.【点评】此题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形位置,从而可得反射的次数,属于难题二、填空题〔共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,在试卷上作答无效〕13.〔 5 分〕的展开式中x2的系数为7.【考点】 DA:二项式定理.【专题】 11:计算题.【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出x2的系数即可.【解答】解:因为的展开式的通项公式为:=当 8﹣2r=2,即 r=3 时,的展开式中x2的系数为:=7.故答案为: 7.第 7 页〔共 13 页〕【点评】此题考查二项式定理的应用,特定项的求法,考查计算能力.14.〔 5 分〕假设 x, y 满足约束条件那么z=3x﹣y的最小值为﹣1.【考点】 7C:简单线性规划.【专题】 11:计算题.【分析】作出不等式组表示的平面区域,由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,那么﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大 z 越小,结合图形可求【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如下图由 z=3x﹣ y 可得 y=3x﹣z,那么﹣ z 表示直线 3x﹣y﹣ z=0在 y 轴上的截距,截距越大z 越小结合图形可知,当直线z=3x﹣y 过点 C 时 z 最小由可得 C〔0, 1〕,此时 z=﹣1故答案为:﹣ 1根底试题15.〔 5 分〕当函数 y=sinx﹣cosx〔0≤ x<2π〕取得最大值时, x=【考点】 GP:两角和与差的三角函数;HW:三角函数的最值.【专题】 11:计算题; 16:压轴题.【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx 化为 y=2sin〔x﹣〕〔0≤x<cosx〔0≤x<2π〕取得最大值时x 的值.【解答】解:∵ y=sinx﹣cosx=2〔sinx﹣cosx〕 =2sin〔 x﹣〕.∵ 0≤ x< 2π,∴﹣≤x﹣<,∴y max=2,此时 x﹣ = ,∴x=.故答案为:.【点评】此题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数,着重考查辅助角性质,将 y=sinx﹣ cosx〔 0≤ x<2π〕化为 y=2sin〔x﹣〕〔 0≤ x< 2π档题.16.〔 5 分〕正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,CC1的中点,所成角的余弦值为.【考点】 L2:棱柱的结构特征; LM:异面直线及其所成的角.【专题】 11:计算题; 16:压轴题.【分析】设正方体 ABCD﹣ A1【点评】此题主要考查了线性规划的简单应用,解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义,属于角坐标系,那么第 8 页〔共 13 页〕所成角的余弦值.【解答】解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1棱长为 2,以 DA 为 x 轴, DC为 y 轴, DD1为 z轴,建立空间直角坐标系,则A〔2,0,0〕, E〔 2, 2, 1〕D1〔0,0,2〕, F〔 0, 2,1〕∴,=〔 0,2,﹣ 1〕,设异面直线 AE 与 D1 F 所成角为θ,那么 cosθ=|cos<,>| =|| = .故答案为:.【点评】此题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是根底题.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量法的合理运用.三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效!17.〔 10 分〕△ ABC中,内角 A,B,C 成等差数列,其对边a,b,c 满足 2b2=3ac,求 A.【考点】 8N:数列与三角函数的综合.【专题】 15:综合题; 2A:探究型.【分析】由题设条件,可先由A,B,C 成等差数列,及 A+B+C=π得到 B=,及 A+C=,再由正弦定理将条件 2b2=3ac 转化为角的正弦的关系,结合〔〕﹣求得cos A+C =cosAcosC sinAsinCcosAcosC=0,从而解出 A【解答】解:由 A,B,C 成等差数列,及A+B+C=π得 B=,故有A+C=由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC= ,所以 sinAsinC=所以 cos〔A+C〕=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣即cosAcosC﹣ =﹣,可得 cosAcosC=0所以 cosA=0或 cosC=0,即 A 是直角或 C 是直角所以 A 是直角,或 A=【点评】此题考查数列与三角函数的综合,涉及了三角形的内角和,两角和的理的作用边角互化,解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相了转化的思想,有一定的探究性及综合性18.〔 12 分〕数列 { a n} 中, a1=1,前 n 项和(1〕求 a2, a3;(2〕求 { a n } 的通项公式.【考点】 8H:数列递推式.【专题】 11:计算题.【分析】〔1〕直接利用,求出a2,a3;〔 2〕利用关系式,推出数列相邻两项的关系式,利用累积法,求出数列的通项【解答】解:〔1〕数列 { a n} 中, a1,前n项和,=1可知,得 3〔a1+a2〕=4a2,解得 a2=3a1=3,由,得3〔a1+a2+a3〕=5a3,解得 a3==6.〔 2〕由意知 a1=1,当 n>1 ,有 a n=s n s n﹣1=,整理得,于是 a1=1,a2= a1,a3= a2,⋯,a n﹣1 =a n﹣2,,将以上 n 个式子两端分相乘,整理得:.上 { a n} 的通公式【点】本考数列的的求法,累法的用,考算能力.【考点】 LW:直与平面垂直; MI:直与平面所成的角; MM :向量言表述面的垂关系.【】 11:算.【分析】〔I〕先由建立空直角坐系, D〔,b,0〕,从而写出相关点和相关向量的要条件,明 PC⊥BE, PC⊥DE,从而利即可;〔 II〕先求平面 PAB的法向量,再求平面 PBC的法向量,利用两平面垂直的性,即最后利用空向量角公式即可求得面角的正弦,而求得面角【解答】解:〔I〕以 A 坐原点,建立如空直角坐系 A xyz,19.〔 12 分〕如,四棱P ABCD中,底面ABCD菱形, PA⊥底面 ABCD,,PA=2,E D〔,b,0〕,C〔2,0,0〕,P〔0,0,2〕,E〔,0,〕,〔,b,0〕是 PC上的一点, PE=2EC.∴ =〔2,0, 2〕, =〔,b,〕, =〔, b,〕〔Ⅰ〕明: PC⊥平面 BED;〔Ⅱ〕二面角 A PB C90°,求 PD 与平面 PBC所成角的大小.∴ ? ==0, ? =0∴PC⊥BE,PCB E ∩D E = E ∴P C ⊥平面B E D 〔I I 〕=〔0,0,2〕,=〔,b ,0〕平面P A B 的=〔x,y,z〕,第 10 页〔共 13 页〕取 =〔b,,0〕设平面 PBC的法向量为=〔p,q,r〕,那么取 =〔1,﹣,〕∵平面 PAB⊥平面 PBC,∴? =b﹣=0.故 b=∴ =〔1,﹣ 1,〕,=〔﹣,﹣,2〕∴ cos<,>==设 PD 与平面 PBC所成角为θ,θ∈[ 0,] ,那么 sin θ=∴θ=30°∴ PD与平面 PBC所成角的大小为30°【点评】此题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法,线面垂直的判定定理,空间线面角的求法,有一定的运算量,属中档题20.〔 12 分〕乒乓球比赛规那么规定:一局比赛,对方比分在10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球两次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发(1〕求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1:2 的概率;(2〕求开始第 5 次发球时,甲领先得分的概率.【考点】 C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CA: n 次独次的概率.【专题】 5I:概率与统计.【分析】〔Ⅰ〕记 A i表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得i 分,第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得 i 分, i=0, 1, 2, A 表示事件:第表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2,C 表示事件:开始分领先. B=,由此能求出开始第 4 次发球时,甲、乙的比分〔Ⅱ〕,P〔B1〕=2××,由 C=A1?B2+A2?B1+A2?B2,能求出开始第 5 次发球时,甲领先得分的概率【解答】解:〔Ⅰ〕记 A i表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得B i表示事件:第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得i 分, i=0, 1, 2,A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分,B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2,C 表示事件:开始第 5 次发球时,甲得分领先.∴ B=,P〔A〕,P〔A0〕2,P〔A1〕=2××,P〔B〕==P〔A0?A〕+P〔〕=××〔 1﹣〕.答:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为1:2 的概率是.第 11 页〔共 13 页〕〔Ⅱ〕,P〔B1〕 =2××,,,∵C=A1?B2+A2?B1+A2?B2,∴P〔 C〕 =P〔A1?B2+A2B1+A2?B2〕1 2〕+P〔A2 1〕+P〔A22〕=P〔A ?B?B?B=P〔A1〕P〔B〕 +P〔A2〕 P〔 B1〕+P〔 A2〕P〔B2〕×××.答:开始第 5 次发球时,甲领先得分的概率是.【点评】此题考查事件的概率的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意n 次独立重复试验的性质和公式的灵活运用.21.〔 12 分〕函数.(1〕讨论 f〔x〕的单调性;(2〕设 f 〔x〕有两个极值点 x1,x2,假设过两点〔 x1, f〔x1〕〕,〔 x2,f〔 x2〕〕的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y=f〔x〕上,求 a 的值.【考点】 6B:利用导数研究函数的单调性;6C:函数在某点取得极值的条件.【专题】 11:计算题; 16:压轴题; 3:解题思想; 32:分类讨论.【分析】〔1〕先对函数进行求导,通过 a 的取值,求出函数的根,然后通过导函数的值的符号,推出函数的单调性.〔 2〕根据导函数的根,判断a 的范围,进而解出直线 l 的方程,利用 l 与 x 轴的交点为〔 x0, 0〕,可解出 a 的值.【解答】解:〔1〕f ′〔x〕 =x2+2x+a=〔x+1〕2+a﹣ 1.且仅当 a=1,x=﹣ 1 时, f ′〔x〕=0,所以 f〔x〕是 R 上的增函数;②当 a<1 时, f ′〔x〕=0,有两个根,x1=﹣1﹣,x2=﹣1+,当 x∈时,f′〔x〕>0,f〔x〕是增函数.当 x∈时,f′〔x〕<0,f〔x〕是减函数.当 x∈时,f′〔x〕>0,f〔x〕是增函数.〔 2〕由题意 x1,x2,是方程 f ′〔x〕=0 的两个根,故有 a<1,,,因此====,同理.因此直线 l 的方程为: y=.设 l 与 x 轴的交点为〔 x0,0〕得 x0=,=,由题设知,点〔 x0,0〕在曲线 y=f〔x〕上,故 f〔x0〕=0,解得 a=0,或 a=或a=【点评】此题主要考查函数在某点取得极值的条件,考查分类讨论,函数与方程能力.22.〔 12 分〕抛物线 C :y=〔x+1〕2 与圆〔r > 0〕有一个公共点 A ,且在 A 处两曲线的切线为同一直线l .〔Ⅰ〕求 r ;〔Ⅱ〕设 m ,n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m ,n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离.【考点】 IM :两条直线的交点坐标; IT :点到直线的距离公式; KJ :圆与圆锥曲线的综合.【专题】 15:综合题; 16:压轴题.【分析】〔Ⅰ〕设 A 〔 x 0 ,〔 x 0+1〕2〕,根据 y=〔x+1〕2,求出 l 的斜率,圆心 M 〔1, 〕,求得MA的斜率,利用 l ⊥MA 建立方程,求得 A 的坐标,即可求得 r 的值;〔Ⅱ〕设〔 t ,〔t+1〕2〕为 C 上一点,那么在该点处的切线方程为y ﹣〔 t+1〕2〔 〕〔 ﹣ 〕,即=2 t+1 x t 〔 〕 ﹣ t 2+1,假设该直线与圆 M 相切,那么圆心 M 到该切线的距离为 ,建立方程,求得 y=2 t+1 x t 的值,求出相应的切线方程,可得 D 的坐标,从而可求 D 到 l 的距离.【解答】 解:〔Ⅰ〕设 A 〔x 0,〔x 0+1〕 2〕,∵ y=〔x+1〕2,y ′=2〔 x+1〕 ∴ l 的斜率为 k=2〔x 0+1〕当 x 0=1 时,不合题意,所以 x 0≠1圆心 M 〔 1, 〕, MA 的斜率.∵ l ⊥MA ,∴ 2〔 x 0+1〕×=﹣1∴ x 0 ,∴ 〔 , 〕,=0A 0 1∴ r=| MA| = ;〔Ⅱ〕设〔 t ,〔t+1〕2〕为 C 上一点,那么在该点处的切线方程为y ﹣〔 t+1〕2 〔 〕〔 ﹣ 〕,即=2 t+1 x ty=2〔t+1〕x ﹣t 2+1假设该直线与圆 M 相切,那么圆心 M 到该切线的距离为∴∴ t 2〔t 2﹣4t ﹣ 6〕 =0∴ t 0=0,或 t 1=2+,t 2=2﹣抛物线 C 在点〔 t i ,〔t i +1〕 2〕〔i=0,1,2〕处的切线分别为l ,m ,n ,y=2x+1①, y=2〔t 1+1〕 x ﹣②, y=2〔t 2+1〕 x ﹣ ③②﹣③: x=代入②可得: y=﹣1∴ D 〔2,﹣ 1〕,∴ D 到 l 的距离为【点评】 此题考查圆与抛物线的综合,考查抛物线的切线方程,考查导数知识的线的距离公式的运用,关键是确定切线方程,求得交点坐标.。
2021年全国统一高考真题数学试卷(文科)(含答案及解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷) 数学(文)一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}M =,{3,4}N =,则)(U C M N =( )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4} 2.设43iz i =+,则z =( )A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<;命题||:,1x q x R e ∈∀≥,则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D.()p q ⌝∨4.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是( ) A.3πB.3π和2C.6πD.6π和25.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为( )A.18B.10C.6D.46.225coscos 1212ππ-=( ) A.12B.3C.2D.27.在区间1(0,)2随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.168.下列函数中最小值为4的是( )A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+ D.4n ln l y x x=+9.设函数1(1)xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++10.在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为A.2π B.3π C.4π D.6π 11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点,点P 在C 上,则PB 的最大值为A.52212.设0a ≠,若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点,则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 二、填空题13.已知向量(2,5)a =,(,4)b λ=,若//a b ,则λ= .14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 .15.记ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为,60B =︒,223a c ac +=,则b = .16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ,样本方差分别记为21s 和22s .(1)求x ,y ,21s ,22s ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高).18.如图,四棱锥P ABCD -的底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,M 为BC 的中点,且PB AM ⊥.(1)证明:平面PAM ⊥平面PBD ﹔(2)若1PD DC ==,求四棱锥P ABCD -的体积.19.设{}n a 是首项为1的等比数列,数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ,23a ,39a ,成等差数列.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记n S ,和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明:2nn S T <. 20.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程,(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足9PQ QF =,求直线OQ 斜率的最大值. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. (1)讨论()f x 的单调性;(2)求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 22.在直角坐标系xOy 中,C 的圆心为)(2,1C ,半径为1.(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程. 23.已知函数()|||3|f x x a x =-++. (1)当1a =时,求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-,求a 的取值范围.答案及解析一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}M =,{3,4}N =,则)(U C M N =( )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+,则z =( ) A.34i -- B.–34i + C.34i - D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<;命题||:,1x q x R e ∈∀≥,则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案: A 解析:根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-,sin 1x <,故x R ∃∈,p 为真命题,而函数||x y e =为偶函数,且0x ≥时,1x y e =≥,故x R ∀∈,||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题,所以p q∧为真,选A. 4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是( )A.3πB.3π和2C.6πD.6π和2 答案: C 解析:()sin()34x f x π=+max ()f x =,2613T ππ==. 故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为( )A.18B.10C.6D.4答案: C 解析:根据约束条件可得图像如下,3z x y =+的最小值,即3y x z =-+,y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意,即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=( ) A.12B.33 C.22 3 答案: D 解析:2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D. 7.在区间1(0,)2随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.16答案: B解析:在区间1(0,)2随机取1个数,可知总长度12d =,取到的数小于13,可知取到的长度范围13d '=,根据几何概型公式123132d p d '===,∴选B.8.下列函数中最小值为4的是( ) A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案: C 解析:对于A ,22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合, 对于B ,4|sin ||sin |y x x =+,令|sin |[0,1]t x =∈,∴4y t t=+,根据对勾函数min 145y =+=不符合, 对于C ,242222x x x xy -==++,令20xt =>,∴4224y t t =+≥=⨯=, 当且仅当2t =时取等,符合,对于D ,4n ln l y x x =+,令ln t x R =∈,4y t t=+. 根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞,不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案: B 解析:12()111x f x x x-==-+++, ()f x 向右平移一个单位,向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数. 所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π 答案: D 解析:做出图形,11//AD BC ,所以1PBC ∠为异面直线所成角,设棱长为1.1BC,12B P =,12PC =,BP =. 2221111312cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠===⋅,即16PBC π∠=,故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点,点P 在C 上,则PB 的最大值为 A.526 5D.2 答案: A 解析:方法一:由22:15x C y +=,(0,1)B 则C 的参数方程:5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++≥.∴max 5||2PB =,故选A. 方法二:设00(,)P x y ,则220001([1,1])5x y y +=∈-①,(0,1)B . 因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得:22012525||4()444PB y =-++≥,当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52,故选A.12.设0a ≠,若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点,则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 答案: D 解析:2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时,原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值. 即23a b a +<,即a b <,∴2a ab <. 当0a <时,原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值. 即23a b a +>,a b >,2a ab <,故选D. 二、填空题13.已知向量(2,5)a =,(,4)b λ=,若//a b ,则λ= . 答案:85解析:由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=. 14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 . 答案:5解析:22145x y -=的右焦点为(3,0),到直线280x y +-=的距离22|38|512d -==+. 15.记ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为3,60B =︒,223a c ac +=,则b = .答案:22解析: 由面积公式1sin 32S ac B ==,且60B =︒,解得4ac =, 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,223a c ac +=,且0b > 解得22b =.16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).答案: ②⑤或③④ 解析:由高度可知,侧视图只能为②或③.侧视图为②,如图(1),平面PAC ⊥平面ABC ,2PA PC ==5BA BC ==2AC =,俯视图为⑤.俯视图为③,如图(2),PA ⊥平面ABC ,1PA =,5AC AB ==,2BC =,俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ,样本方差分别记为21s 和22s .(1)求x ,y ,21s ,22s ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高). 答案:见解析 解析:9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+;10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯= 221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=. (2)10.3100.3y x -=-=22120.0360.04221010s s ++=20.0076=. ∵则0.30.0920.0760.0304=>=,所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高; 没有显著提高.18.如图,四棱锥P ABCD -的底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,M 为BC 的中点,且PB AM ⊥.(1)证明:平面PAM ⊥平面PBD ﹔(2)若1PD DC ==,求四棱锥P ABCD -的体积.答案: 见解析 解析:19.设{}n a 是首项为1的等比数列,数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ,23a ,39a ,成等差数列.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记n S ,和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明:2nn S T <. 答案: 见解析 解析:设{}n a 的公比为q ,则1n n a q -=,因为1a ,23a ,39a 成等差数列,所以21923q q +=⨯,解得13q =, 故11()3n n a -=,11313(1)12313n n n S -==--. 又3n n n b =,则1231123133333n n n n nT --=+++++,两边同乘13,则234111231333333n n n n nT +-=+++++,两式相减,得23412111113333333n n n nT +=+++++-,即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---, 整理得31323(1)4323423n n n nn n T +=--=-⨯⨯, 323314322()(1)04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯,故2n n S T <.20.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程,(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足9PQ QF =,求直线OQ 斜率的最大值. 答案:见解析 解析:(1)由焦点到准线的距离为p ,则2p =. 抛物线c 的方程:24y x =.(2)设点200(,)4y P y ,(,)Q Q Q x y ,(1,0)F .∵9PQ QF =.∴222000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020001193944Q OQ Qy y k y y x y ===≤=++. ∴直线OQ 斜率的最大值为13. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. (1)讨论()f x 的单调性;(2)求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 答案: 见解析 解析:(1)2()32f x x x a '=-+(i )当4120a ∆=-≤,即13a ≥时,()0f x '≥恒成立,即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.(ii )当4120∆=->,即13a <时,()0f x '=解得,113x =,213x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞,113()3a -+∞单调递增,在113113(33a a-+单调递减,综上所述:当13a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当13a <时,()f x 在113113(,33a a-++单调递减.(2)设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++,切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=,可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=,即1t =.∴切点为(1,1)a +,斜率1k a =+,切线方程为(1)y a x =+,将(1)y a x =+,321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+,化简得2(1)(1)0x x -+=,解得11x =,21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +,(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中,C 的圆心为)(2,1C ,半径为1.(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程. 答案: 见解析 解析: (1)C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)(2)C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时,直线方程为4x =,此时圆心到直线距离为2r >,舍去;②当直线斜率存在时,设直线方程为1(4)y k x -=-,化简为410kx y k --+=, 此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===,化简得2||k =,两边平方有2241k k =+,所以k =代入直线方程并化简得40x -+=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ=⇔+=或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=⇔+=+23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.(1)当1a =时,求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-,求a 的取值范围. 答案: 见解析 解析:当1a =时,()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥,当3x ≤-时,不等式136x x ⇔---≥,解得4x ≤-; 当31x -<<时,不等式136x x ⇔-++≥,解得x ∈∅; 当1x ≥时,不等式136x x ⇔-++≥,解得2x ≥. 综上,原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. (2)若()f x a >-,即min ()f x a >-,因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+(当且仅当()(3)0x a x -+≤时,等号成立),所以min ()|3|f x a =+,所以|3|a a +>-,即3a a +<或3a a +>-,解得3(,)2a ∈-+∞.。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(文)一、选择题1.已知全集U = {1, 2,3, 4,5},集合M = {1, 2} ,N = {3, 4} ,则C U (M N ) =()A.{5}B.{1, 2}C.{3, 4}D.{1, 2,3, 4}2.设iz = 4 + 3i ,则z =()A.-3 - 4iB.–3 + 4iC.3 - 4iD.3 + 4i3.已知命题p : ∃x ∈R,sin x < 1;命题q : ∀x ∈R, e|x|≥ 1 ,则下列命题中为真命题的是()A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案:A解析:根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ,sin x < 1 ,故∃x ∈R ,p 为真命题,而函数y =e|x|为偶函数,且x ≥ 0 时,y =e x≥1 ,故∀x ∈R ,y =e|x|≥ 1恒成立.则 q 也为真命题,所以 p ∧q 为真,选 A.2 ⎨ ⎩4. 函数 f (x ) = sinA. 3π 和B. 3π 和2C. 6π 和D. 6π 和2 答案:Cx+ cos x 3 3的最小正周期和最大值分别是( )解析:f (x ) =f (x )max2 sin( x + π) 3 4= ,T = 2π1 3= 6π .故选 C.⎧x + y ≥ 4, 5. 若 x , y 满足约束条件⎪x - y ≤ 2, 则 z = 3x + y 的最小值为( )⎪ y ≤ 3,A. 18B. 10C. 6D. 4答案:C解析:根据约束条件可得图像如下,z = 3x + y 的最小值,即 y = -3x + z , y轴截距最小值.根据图像可知 y = -3x + z 过点 B (1,3) 时满足题意,即 z min = 3 + 3 = 6 .2 26. cos2 π- cos 2 5π= ( ) 12 121 A.2B.3C. 2D.2答案:D解析:cos 2π - cos25π= cos 2 π- cos 2 (π - π) = cos 2 π - sin 2 π= cos π=∴选 D. 1212122 1212126217. 在区间(0, ) 2 随机取1 个数,则取到的数小于 1 的概率为( ) 3A.B.C.D.答案:B3 2 3 3 3 4231316解析:在区间(0, 1 ) 随机取1 个数,可知总长度d = 1 ,取到的数小于 1,可知取到的长度范围22 31 d ' = 1,根据几何概型公式 p = d ' = 3 = 2,∴选 B.3 d 1 328. 下列函数中最小值为 4 的是( )A. y = x 2 + 2x + 4B. y =| sin x | +4| sin x |C. y = 2x + 22-x 4D. y = ln x +答案:Cln x解析:对于 A , y = x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x + 1 + 3 = ( x + 1)2 + 3 ≥ 3.不符合,对于 B , y =| sin x | +4 | sin x | ,令t =| sin x |∈[0,1] ,∴ y = t + 4 , t根据对勾函数 y min = 1 + 4 = 5 不符合, 对于 C , y = 2x+ 22-x= 2x+ 4 2x4,令t = 2x > 0 ,∴ y = t +≥ 2 t= 2 ⨯ 2 = 4 ,当且仅当t = 2 时取等,符合,对于 D , y = ln x +4 ln x ,令t = ln x ∈ R , y = t + 4 .t根据对勾函数 y ∈(-∞, -4] [4, +∞) ,不符合.1- x9. 设函数 f ( x ) =A. f ( x -1) -11+ x,则下列函数中为奇函数的是( )t ⋅ 4t2 6 2 2 2 1 B. f ( x -1) + 1C. f ( x + 1) -1D. f ( x + 1) + 1答案:B解析:1- x 2 f (x ) = = -1+ 1+ x ,1+ xf (x ) 向右平移一个单位,向上平移一个单位得到g (x ) = 2 为奇函数.x所以选 B.10. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, P 为 B 1D 1 的中点,则直线 PB 与 AD 1 所成的角为π A. 2 π B. 3 π C. 4πD.6答案:D解析:做出图形, AD 1 / / BC 1 ,所以∠PBC 1 为异面直线所成角,设棱长为1.BC = , BP = , PC = , BP = 6 . 1 1 2 1 2 22 2 22 +3 - 1 cos ∠PBC = BC 1 + BP - C 1P = 2 2 = ,即∠PBC = π ,故选 D. 2BP ⋅ BC 1 2 ⨯ ⨯ 2 623 1-4(sin θ + 1)2 + 254 4 y y ⎨5 0 011. 设 B 是椭圆C :5 A.2B. x 2 + 25= 1的上顶点,点 P 在C 上,则 PB 的最大值为C.D. 2 答案:A解析:方法一:由C : x 2 + 25= 1, B (0,1)则C 的参数方程: ⎧⎪x = 5 cos θ.| PB |= ⎪⎩ y = sin θ== ≥ .2 5∴| PB |max = 2,故选 A.x 2 2 方法二:设 P (x 0 , y 0 ) ,则 0+ y 0 = 1( y 0 ∈[-1,1]) ①, B (0,1) .5因此| PB |2 = x 2 + ( y -1)2②将①式代入②式化简得:65(sin θ -1)2 + ( 5 cos θ )2 -4sin 2 θ - 2sin θ + 6| PB |2=-4( y +1)2+25≥25,当且仅当y=-1时| PB | 的最大值为5,故选 A.0 4 4 4 0 4 212.设a ≠ 0 ,若x =a 为函数f (x) =a(x -a)2 (x -b) 的极大值点,则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案:D解析:f '(x) = 2a(x -a)(x -b) +a(x -a)2=a(x -a)(3x - 2b -a)当a > 0 时,原函数先增再减后增.原函数在f '(x) = 0 的较小零点时取得极大值.即a <a + 2b,即a <b ,∴ a2<ab . 3当a < 0 时,原函数先减再增后减.原函数在f '(x) = 0 的较大零点时取得极大值.即a >a + 2b,a >b ,a2<ab ,故选 D. 3二、填空题13.已知向量a = (2,5) ,b = (λ, 4) ,若a / /b ,则λ=.答案:85解析:由已知a / /b 可得2⨯4 = 5λ⇒λ=8.5x2-y2=14.双曲线4 51的右焦点到直线x + 2 y - 8 = 0 的距离为. 答案:12 + 225 3 3 2 5 , 2解析:x - y 2 4 5 = 1的右焦点为(3, 0) 到直线 x + 2 y - 8 = 0 的距离 d = | 3 - 8 | = .15. 记 ∆ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 面 积 为 ,B = 60︒, a 2 + c 2 = 3ac ,则b =.答案:2解析:由面积公式 S = 1ac sin B = ,且 B = 60︒ ,解得ac = 4 ,2又由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B , a 2 + c 2 = 3ac ,且b > 0解得b = 2 .16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).答案:②⑤或③④解析:由高度可知,侧视图只能为②或③.侧视图为②,如图(1),平面 PAC ⊥ 平面 ABC ,PA = PC =2 ,BA = BC =,AC = 2 ,俯视图为⑤.5 2俯视图为③,如图(2), PA ⊥ 平面 ABC , PA = 1, AC = AB =5 , BC = 2 ,俯视图为④.17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ,样本方差分别记为s 2 和 s 2 .12(1)求 x , y , s 2 , s 2 ;12(2 )判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y - x ≥ 2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高). 答案:s 2+ s 2 1 2 10旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.50.0076 0.09 0.076 1 2 见解析解析:x = 9.8 +10.3 +10 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10 +10.1+10.2 + 9.7 10= 10 ;y = 10.1+10.4 +10.1+10 +10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 10= 10.3 .s 2= 1 (0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09)10 = 1⨯ 0.36 = 0.036 10 s 2= 11 (0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04)10 = ⨯ 0.4 = 0.04 . 10(2) y - x = 10.3 -10 = 0.32 = 2= 2 .∵则0.3 = > 2 =,所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高;没有显著提高.18. 如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形, PD ⊥ 底面 ABCD , M 为 BC 的中点,且PB ⊥ AM .(1) 证明:平面 PAM ⊥ 平面 PBD ﹔(2) 若 PD = DC = 1,求四棱锥 P - ABCD 的体积.答案:见解析解析:s 2+ s 2 1 2 10 0.036 + 0.04 10 0.0304+ 1 - n 3n 3n + 1 n n + + + 19. 设{a } 是首项为1的等比数列,数列{b } 满足b=na n.已知a ,3a ,9a ,成等差数 nnn3列.1 2 3 (1) 求{a n } 和{b n }的通项公式;(2) 记 S ,和T 分别为{a } 和{b } 的前n 项和.证明: T<S n. nnnnn2答案:见解析 解析:设{a } 的公比为q ,则a = qn -1, 因为a , 3a , 9a 成等差数列,所以1 + 9q 2 = 2 ⨯ 3q ,解得q = 1,1故 a = 21 n -1 , S 31- 1 = 3n 3= 3 (1- 1 ) . n (3) n 1-1 2 3n 3n 1 2 3n -1 n 又b n = 3n ,则T n = 31 + 32 + 33 + + 3n -1 + 3n ,1 1 12 3n -1 n 两边同乘 3 ,则 3 T n = 32 + 33 + 34 + + 3n 2 1 1 1 1 + ,3n +1 两式相减,得 3 T n = + 2 3 4 , 3 3 3 3 1 (1- 1 ) 即 2 T = 3 3n - n = 1 (1- 1 ) - n , 3 n1- 1 3 3n +1 2 3n 3n +1 3 1 n 3 2n + 3整理得T n = 4 (1- 3n ) - 2 ⨯ 3n = 4 - 2 ⨯ 3n ,2T - S = 2( 3 - 2n + 3) - 3 (1- 1 ) = - 4n + 3n n 4 2 ⨯ 3n 2 3n 2 ⨯ 3n故T < S n.< 0 , n220. 已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 到准线的距离为2 .(1) 求C 的方程,(2) 已知O 为坐标原点,点 P 在C 上,点Q 满足 PQ = 9QF ,求直线OQ 斜率的最大值.答案:PQ = 9QF 2 9 4x y y 见解析解析:(1) 由焦点到准线的距离为 p ,则 p = 2 .抛物线c 的方程: y 2 = 4x .y 2 (2) 设点 P ( 0, y 0 ) , Q (x Q , y Q ) , F (1, 0) .4∵.⎧ y 2 ⎪y 2 - 0 = 9 - 9x ⎧ 2⎪ 9 + 0⎪x = 4 ∴ (x - 0 , y - y ) = 9(1- x , - y ) ⇒ ⎨ Q 4 Q ⇒ ⎨ Q 10 Q 4 Q 0 Q Q⎪ ⎪ ⎩y Q - y 0 = -9x Q ⎪ y = y 0则 k OQ = y Q x Qy 02 9 +0 41 9 + y 0 y 0 4 ≤ = 1 . 3 ⎩ Q 10 ∴直线OQ 斜率的最大值为 1.321. 已知函数 f (x ) = x 3 - x 2 + ax +1.(1) 讨论 f (x ) 的单调性;(2) 求曲线 y =f (x ) 过坐标原点的切线与曲线 y = f (x ) 的公共点的坐标.答案:见解析解析:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2x + a(i )当∆ = 4 -12a ≤ 0 ,即a ≥ 1 时, f '(x ) ≥ 0 恒成立,即 f (x ) 在 f (x ) 在 x ∈ R 上单调3递增.(ii )当∆ = 4 -12 > 0 ,即a < 1时, f '(x ) = 0 解得,x= 1-1- 3a ,x= 1+1- 3a .31323= =1- 1- 3 a 1+ 1+ 3a C C C 1 ⎨y = 1+ sin θ∴ f (x ) 在(-∞, 1-1- 3a ) ,( 3 3, +∞) 单调递增,在( 3 3调递减, 综上所述: 当 a ≥ 时, 3 f (x ) 在 R 上单调递增; 当 a < 1 时, 3f (x ) 在(, ) 单调递减.3 3( 2 ) 设可原点切线的切点为 (t , t 3 - t 2 + at +1) , 切线斜率 k =f '(t ) = 3t 2 - 2t + a . 又t 3 - t 2 + at +1k =,可得 tt 3 - t 2 + at +1t= 3t 2- 2t + a .化简得(t -1)(2t 2+ t +1) = 0 ,即t = 1 .∴切点为(1, a +1) ,斜率 k = a +1 ,切线方程为 y = (a +1)x ,将 y = (a +1)x ,y = x 3 - x 2 + ax +1联立可得 x 3 - x 2 + ax +1 = (a +1)x ,化简得(x -1)2 (x +1) = 0 ,解得x 1 = 1 , x 2 = -1.∴过原点的切线与 y = f (x ) 公共点坐标为(1, a +1) , (-1, -a -1) .22. 在直角坐标系 xOy 中,的圆心为C (2,1) ,半径为1.(1) 写出的一个参数方程;(2) 过点 F (4,1) 作的两条切线.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.答案: 见解析解析:(1)(2)的参数方程为⎧x = 2 + cos θ (θ 为参数)⎩的方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 1①当直线斜率不存在时,直线方程为 x = 4 ,此时圆心到直线距离为2 > r ,舍去;1+ 1- 3a 1- 1- 3a ,1+ 1+ 3a ) 单 C Ck 2+ 1k 2+1 3 3 3 3 3 3 ②当直线斜率存在时,设直线方程为 y -1 = k (x - 4) ,化简为kx - y - 4k +1 = 0 ,此时圆心C (2,1) 到直线的距离为d =| 2k -1- 4k +1|= r = 1 ,化简得2 | k |= ,两边平方有4k 2 = k 2 +1,所以k =±3代入直线方程并化简得 x - 3y + - 4 = 0 或 x + 3y - - 4 = 0 化为极坐标方程为ρ cos θ -3ρ sin θ = 4 - ⇔ ρ sin(θ + 5π) = 4 - 6 或 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 4 + ⇔ ρ sin(θ + π) = 4 + .623. 已知函数 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |.(1) 当a = 1 时,求不等式 f (x ) ≥ 6 的解集;(2) 若 f (x ) > -a ,求a 的取值范围.答案: 见解析解析:当 a = 1 时, f (x ) ≥ 6 ⇔| x -1| + | x + 3 |≥ 6 ,当 x ≤ -3 时,不等式⇔ 1 - x - x - 3 ≥ 6 ,解得 x ≤ -4 ; 当-3 < x < 1 时,不等式⇔ 1 - x + x + 3 ≥ 6 ,解得 x∈∅ ;当 x ≥ 1 时,不等式⇔ x -1 + x + 3 ≥ 6 ,解得 x ≥ 2 .综上,原不等式的解集为(-∞, -4] [2, +∞) .(2)若 f (x ) > -a ,即 f (x )min > -a ,因为 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |≥| (x - a ) - (x + 3) |=| a + 3 | (当且仅当(x - a )(x + 3) ≤ 0 时,等号成立),所以 f (x )min =| a + 3 | ,所以| a + 3 |> -a ,即 a + 3 < a 或 a + 3 > -a ,解得3a ∈(- , +∞).23。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.52.(5分)若(1+i)=1﹣i,则z=()A.1﹣i B.1+i C.﹣i D.i3.(5分)设一组样本数据x1,x2,…,x n的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10x n的方差为()A.0.01B.0.1C.1D.104.(5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t )=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为()(ln19≈3)A.60B.63C.66D.695.(5分)已知sinθ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)=()A .B .C .D .6.(5分)在平面内,A,B是两个定点,C 是动点.若•=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7.(5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.(,0)B.(,0)C.(1,0)D.(2,0)8.(5分)点(0,﹣1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B .C .D.29.(5分)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4B.4+4C.6+2D.4+210.(5分)设a=log32,b=log53,c =,则()A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b11.(5分)在△ABC中,cos C =,AC=4,BC=3,则tan B=()A .B.2C.4D.812.(5分)已知函数f(x)=sin x +,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x =对称二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)|2+i2+2i3|=( )A.1B.2C.D.5【答案】C【解答】解:由于|2+i2+2i3|=|1﹣2i|=.故选:C.2.(5分)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁U N =( )A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解答】解:由于∁U N={2,4,8},所以M∪∁U N={0,2,4,6,8}.故选:A.3.(5分)如图,网格纸上绘制的是一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为( )A.24B.26C.28D.30【答案】D【解答】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体.如图所示:故该几何体的表面积为:4+6+5+5+2+2+2+4=30.故选:D.4.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a cos B﹣b cos A=c,且C=,则∠B=( )A.B.C.D.【答案】C【解答】解:由a cos B﹣b cos A=c得sin A cos B﹣sin B cos A=sin C,得sin(A﹣B)=sin C=sin(A+B),即sin A cos B﹣sin B cos A=sin A cos B+sin B cos A,即2sin B cos A=0,得sin B cos A=0,在△ABC中,sin B≠0,∴cos A=0,即A=,则B=π﹣A﹣C==.故选:C.5.(5分)已知f(x)=是偶函数,则a=( )A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D【解答】解:∵f(x)=的定义域为{x|x≠0},又f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∴,∴,∴ax﹣x=x,∴a=2.故选:D.6.(5分)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则•=( )A.B.3C.2D.5【答案】B【解答】解:正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以=﹣1,,,=2×2=4,则•=()•()=+++=﹣1+0+0+4=3.故选:B.7.(5分)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )A.B.C.D.【答案】C【解答】解:如图,PQ为第一象限与第三象限的角平分线,根据题意可得构成A的区域为圆环,而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分,∴所求概率为=.故选:C.8.(5分)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣2)B.(﹣∞,﹣3)C.(﹣4,﹣1)D.(﹣3,0)【答案】B【解答】解:f′(x)=3x2+a,若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则f′(x)=3x2+a=0,有两个不同的根,且极大值大于0极小值小于0,即判别式Δ=0﹣12a>0,得a<0,由f′(x)>0得x>或x<﹣,此时f(x)单调递增,由f′(x)<0得﹣<x<,此时f(x)单调递减,即当x=﹣时,函数f(x)取得极大值,当x=时,f(x)取得极小值,则f(﹣)>0,f()<0,即﹣(﹣+a)+2>0,且(﹣+a)+2<0,即﹣×+2>0,①,且×+2<0,②,则①恒成立,由×+2<0,2<﹣×,平方得4<﹣×,即a3<﹣27,则a<﹣3,综上a<﹣3,即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3).故选:B.9.(5分)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )A.B.C.D.【答案】A【解答】解:某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36,其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m==30,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P===.故选:A.10.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图像的两条对称轴,则f(﹣)=( )A.﹣B.﹣C.D.【答案】D【解答】解:根据题意可知=,∴T=π,取ω>0,∴ω==2,又根据“五点法“可得,k∈Z,∴φ=,k∈Z,∴f(x)=sin(2x)=sin(2x﹣),∴f(﹣)=sin(﹣)=sin(﹣)=sin=.故选:D.11.(5分)已知实数x,y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0,则x﹣y的最大值是( )A.1+B.4C.1+3D.7【答案】C【解答】解:根据题意,x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2=9,其几何意义是以(2,1)为圆心,半径为3的圆,设z=x﹣y,变形可得x﹣y﹣z=0,其几何意义为直线x﹣y﹣z=0,直线y=x﹣z与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9有公共点,则有≤3,解可得1﹣3≤z≤1+3,故x﹣y的最大值为1+3.故选:C.12.(5分)设A,B为双曲线x2﹣=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是( )A.(1,1)B.(﹣1,2)C.(1,3)D.(﹣1,﹣4)【答案】D【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(x0,y0),,①﹣②得k AB==9×=9×,即﹣3<9×<3⇒,即或,故A、B、C错误,D正确.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
全国 数学甲卷(文科)(解析版)2022
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学(解析版)2022.06.07(本试卷适合河南、安徽、江西、山西、陕西、甘肃、吉林、黑龙江、青海、宁夏、新疆)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)},则A∩B=()1.设集合A={−2,−1,0,1,2},B={x|0≤x<52A. {0,1,2}B. {−2,−1,0}C. {0,1}D. {1,2}【答案】A【解析】直接通过交集的运算定义可得A∩B={0,1,2}.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则()A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】讲座前中位数为70%+75%>70%,所以A错;2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错;讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以错.3.若z=1+i,则|iz+3z|=() A. 4√5 B. 4√2 C. 2√5 D. 2√2【答案】D【解析】由z=1+i,故iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i,|iz+3z|=|2−2i|=2√2.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12.5.将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( ) A. 16B. 14C. 13D. 12【答案】C【解析】记g(x)为f(x)向左平移π2个单位后得到的曲线,则,由g(x)关于y轴对称,可得:π2ω+π3=kπ+π2,k∈Z,故有ω=13+2k,ω>0,所以ω的最小值为13.6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A. 15B. 13C. 25D. 23【答案】C【解析】无放回随机抽取2张方法有1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6;共15种,其中数字之积为4的倍数的是1,4;2,4;2,6;3,4;4,5;4,6;共6种,p=615=25.7.函数y=(3x−3−x)cosx在区间[−π2,π2]的图象大致为()A. B.C. D. 【答案】A【解析】令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π2,π2 ],则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x),所以f(x)为奇函数,排除BD;又当x∈(0,π2)时,3x−3−x>0,cosx>0,所以f(x)>0,排除C.8.当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2,则f′(2)=()A. −1B. −12C. 12D. 1【答案】B【解析】因为函数f(x)定义域为(0,+∞),所以依题可知,f(1)=−2,f′(1)=0,而f′(x)=ax −bx2,所以b=−2,a−b=0,即a=−2,b=−2,所以f′(x)=−2x +2x2,因此函数f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,x=1时取最大值,满足题意,即有f′(2)=−1+12=−12.9.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30∘,则()A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30∘C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45∘【答案】D【解析】如图所示:不妨设AB =a,AD =b,AA 1=c ,依题意及长方体的结构特征可知,B 1D 与平面ABCD 所成角为∠B 1DB ,B 1D 与平面AA 1B 1B 所成角为∠DB 1A ,所以sin30∘=cB 1D=b B 1D,即b =c ,B 1D =2c =√a 2+b 2+c 2,解得a =√2c . 对于A ,AB =a ,AD =b ,AB =√2AD ,A 错误;对于B ,过B 作BE ⊥AB 1于E ,易知BE ⊥平面AB 1C 1D ,所以AB 与平面AB 1C 1D 所成角为∠BAE ,因为tan∠BAE =ca=√22,所以∠BAE ≠30∘,B 错误;对于C ,AC =√a 2+b 2=√3c ,CB 1=√b 2+c 2=√2c ,AC ≠CB 1,C 错误; 对于D ,B 1D 与平面BB 1C 1C 所成角为∠DB 1C ,sin∠DB 1C =CD B 1D=a 2c=√22, 而0<∠DB 1C <90∘,所以∠DB 1C =45∘.D 正确.10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2,则V 甲V 乙=( )A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 5√104【答案】C【解析】设母线长为 l ,甲圆锥底面半径为 r 1 ,乙圆锥底面圆半径为 r 2 ,则S 甲S 乙=πr 1l πr 2l =r1r 2=2,所以r 1=2r 2,又2πr 1l +2πr 2l =2π,则r 1+r 2l=1,所以r 1=23l,r 2=13l ,所以甲圆锥的高ℎ1=√l 2−49l 2=√53l ,乙圆锥的高ℎ2=√l 2−19l 2=2√23l , 所以V 甲V 乙=13πr 12ℎ113πr 22ℎ2=49l 2×√53l 19l ×2√23l =√10.11.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13,A 1,A 2分别为C 的左、右顶点,B 为C 的上顶点.若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则C 的方程为( )A. x 218+y216=1 B. x 29+y 28=1 C. x 23+y 22=1 D. x 22+y 2=1【答案】B【解析】由题意, A 1(−a,0) , A 2(a,0) , B(0,b) ,所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−b) ,BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−b) , BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2+b 2=−1 ①. 又 1−b 2a 2=19 ,即b 2=89a 2 ,代入 ① 式解得 a 2=9 , b 2=8 , 所以 C 的方程为x 29+y 28=1 .12.已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9,则( )A. a >0>bB. a >b >0C. b >a >0D. b >0>a【答案】A【解析】由9m =10 ,可得 m =log 910∈(1,1.5) .根据 a , b 的形式构造函数 f(x)=x m −x −1(x >1) ,则 f′(x)=mx m−1−1 , 令 f′(x)=0 ,解得 x 0=m 11−m ,由 m =log 910∈(1,1.5) 知 x 0∈(0,1) . f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增,所以 f(10)>f(8) ,即 a >b , 又因为 f(9)=9log 9 10−10=0 ,所以 a >0>b .二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.己知向量a ⃗ =(m,3),b ⃗ =(1,m +1).若a ⃗ ⊥b ⃗ ,则m = . 【答案】−34【解析】 ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ∴m +3(m +1)=0 ,解得 m =−3414.设点M 在直线2x +y −1=0上,点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上,则⊙M 的方程为 . 【答案】(x −1)2+(y +1)2=5 【解析】设圆心 M(a,1−2a)则 r 2=(a −3)2+(1−2a)2=(a −0)2+(1−2a −1)2 , 解得 a =1 . 从而得 ⊙M 的方程为 (x −1)2+(y +1)2=5 . 15.记双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ,写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值 . 【答案】2(答案不唯一)【解析】因为双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x , 要使直线y =2x 与C 无公共点,则只需要2⩾b a 即可, 由ba ⩽2得c 2−a 2a 2=b 2a 2⩽4,所以e 2=c 2a 2⩽5,解得1<e ⩽√5 . 故 e 的值可以取 2 .16.已知▵ABC 中,点D 在边BC 上,∠ADB =120∘,AD =2,CD =2BD.当ACAB 取得最小值时,BD = . 【答案】√3−1(或−1+√3)【解析】设 CD =2BD =2m >0 , 则在▵ABD 中,AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ,在▵ACD 中,AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m , 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m )−12(1+m )m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3,当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时,等号成立, 所以当ACAB 取最小值时,m =√3−1.三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)17.甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营,为了了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率; (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 【解析】(1)A 公司一共调查了260辆车,其中有240辆准点,得A 公司准点的概率=240260=0.923, B 公司一共调查了240辆,其中有210辆准点,则B 公司准点的概率=210240=0.875. (2):由题意得2×2列联表:K 2=(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)=260×240×450×50=3.2>2.706所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关18.记S n为数列{a n}的前n项和.已知2S nn+n=2a n+1.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求S n的最小值.【解析】(1)因为2S nn+n=2a n+1,即2S n+n2=2na n+n①,当n≥2时,2S n−1+(n−1)2=2(n−1)a n−1+(n−1)②,①−②得,2S n+n2−2S n−1−(n−1)2=2na n+n−2(n−1)a n−1−(n−1),即2a n+2n−1=2na n−2(n−1)a n−1+1,即2(n−1)a n−2(n−1)a n−1=2(n−1),所以a n−a n−1=1,n≥2且n∈N∗,所以{a n}是以1为公差的等差数列.(2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,又a4,a7,a9成等比数列,所以a72=a4⋅a9,即(a1+6)2=(a1+3)⋅(a1+8),解得a1=−12,所以a n=n−13,所以S n=−12n+n(n−1)2=12n2−252n=12(n−252)2−6258,所以,当n=12或n=13时(S n)min=−78.19.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD 是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF//平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)过点E作EE′⊥AB于点E′,过点F作FF′⊥BC于点F′,连接E′F′.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB、△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,∴EE′=FF′,又平面EAB∩平面ABCD=AB,平面FBC∩平面ABCD=BC,∴EE′⊥平面ABCD,FF′⊥平面ABCD,∴EE′//FF′,则四边形EE′F′F为平行四边形,∴EF//E′F′,∵E′F′⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF//平面ABCD.(2)同理,过点G,H分别作GG′⊥CD,HH′⊥DA,交CD,DA于点G′,H′,连接F′G′,G′H′,H′E′,AC,由(1)及题意可知,G′,H′分别为CD,DA的中点,EFGH−E′F′G′H′为长方体,故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得:E′F′=H′E′=12AC =4√2, 由线面垂直可知四棱锥的高为14AC ,∴所求该包装盒的容积为V =V EFGH−E′F′G′H′+4V A−EE′H′H=E′F′×E′H′×EE′+4×13×S EE′H′H ×14AC=4√2×4√2×4√3+4×13×4√2×4√3×14×8√2=640√33. 20.已知函数f(x)=x 3−x ,g(x)=x 2+a ,曲线y =f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线.(1)若x 1=−1,求a ;(2)求a 的取值范围.【解析】(1)∵f′(x)=3x 2−1,∴f′(−1)=2,且f(−1)=0 故y =f(x)在点(−1,0)处的切线方程为y =2x +2 又y =2x +2与y =g(x)相切,将直线y =2x +2代入y =g(x)=x 2+a 得x 2−2x +a −2=0由Δ=4−4a +8=0得a =3 (2)∵f′(x)=3x 2−1,曲线y =f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线方程为 y −(x 13−x 1)=(3x 12−1)(x −x 1),即y =(3x 12−1)x −2x 13; 由g(x)=x 2+a 得g′(x)=2x ,设y =g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线方程为y −(x 22+a)=2x 2(x −x 2), 即y =2x 2x −x 22+a ,∴{3x 12−1=2x 2−2x 13=a −x 22, ∴a =x 22−2x 13=14(9x 14−8x 13−6x 12+1).令ℎ(x 1)=9x 14−8x 13−6x 12+1,则ℎ′(x 1)=36x 13−24x 12−12x 1=12x 1(x 1−1)(3x 1+1)当x 1<−13或0<x 1<1时,ℎ′(x 1)<0,此时函数y =ℎ(x 1)单调递减; 当−13<x 1<0或x 1>1时,ℎ′(x 1)>0,此时函数y =ℎ(x 1)单调递增 又ℎ(−13)=2027,ℎ(0)=1,ℎ(1)=−4,∴ℎ(x 1)min =ℎ(1)=−4 ∴a ≥−44=−1,故a ≥−121.设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ,点D(p,0),过F 的直线交C 于M ,N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时,|MF|=3.(1)求C 的方程;(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ,B ,记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时,求直线AB 的方程.【解析】(1)抛物线的准线为x =−p2,当MD 与x 轴垂直时,点M 的横坐标为p , 此时|MF|=p +p2=3,所以p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x ; (2)设M(y 124,y 1),N(y 224,y 2),A(y 324,y 3),B(y 424,y 4),直线MN:x =my +1,由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0,,由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2,k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4,直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2,代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0,,所以y 3=2y 2,同理可得y 4=2y 1,所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β,所以k AB =tan β=k MN 2=tan α2,若要使α−β最大,则β∈(0,π2),设k MN =2k AB =2k >0,则tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=k1+2k 2=11k+2k ⩽2√1k⋅2k=√24,当且仅当1k =2k 即k =√22时,等号成立,所以当α−β最大时,k AB =√22,设直线AB:x =√2y +n ,代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0,,所以n =4,所以直线AB:x =√2y +4. 【说明】本题主要考查抛物线的定义与方程,以及直线与抛物线的位置及应用,属于难题. (1)利用抛物线的定义,求出p ,即可求C 的方程;(2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间的关系.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t(t 为参数),曲线C 2的参数方程为{x =−2+s6y =−√s(s 为参数).(1)写出C 1的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 3的极坐标方程 为2cosθ−sinθ=0,求C 3与C 1交点的直角坐标,及C 3与C 2交点的直角坐标. 【解析】 (1)因为x =2+t 6,y =√t ,所以x =2+y 26,即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0).(2)因为x =−2+s6,y =−√s ,所以6x =−2−y 2,即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0),由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0,即C 3的普通方程为2x −y =0. 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0,解得:{x =12y =1或{x =1y =2,即交点坐标为(12,1),(1,2);联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0,解得:{x =−12y =−1或{x =−1y =−2,即交点坐标为(−12,−1),(−1,−2).23.已知a ,b ,c 均为正数,且a 2+b 2+4c 2=3,证明: (1)a +b +2c ≤3;(2)若b =2c ,则1a +1c ≥3.【解析】证明:(1)由柯西不等式有[a 2+b 2+(2c )2](12+12+12)≥(a +b +2c )2, 所以a +b +2c ≤3,当且仅当a =b =2c =1时,取等号,所以a +b +2c ≤3; (2)因为b =2c ,a >0,b >0,c >0,由(1)得a +b +2c =a +4c ≤3, 即0<a +4c ≤3,所以1a+4c ≥13, 由权方和不等式知1a +1c=12a +224c ≥(1+2)2a+4c=9a+4c ≥3,当且仅当1a =24c ,即a =1,c =12时取等号,所以1a +1c ≥3.。
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1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-第(15)题每小题5分,65分.在每小题给出四项选项,只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A) (B) -(C) (D) -(2) 函数y=a|x|(a>1)的图像是( )(3) 已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2(4) 两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )(A) A1A2+B1B2=0 (B) A1A2-B1B2=0 (C) (D)(5) 函数f(x)=( x≠0)的反函数f-1(x)= ( )(A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) -x(x≠0) (D) -(x≠0)(6) 已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[ 0,2π]内α的取值范围是( )(A) ()∪() (B) ()∪()(C) ()∪() (D) ()∪()(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º(B) 150º(C) 180º(D) 240º(8) 复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )(A)I (B) -I (C) ±I (D) ±i(9) 如果棱台的两底面积是S,S′,中截面的面积是S0,那么( )(A) 2(B) S0=(C) 2S0=S+S′(D)(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共( )(A) 6种(B) 12种(C) 18种(D) 24种(11) 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示,那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( )(A) ±(B) ±(C) ±(D) ±(13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 4(B)2(C) 2 (D)(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D)(15) 等比数列{a n}的公比为-,前n项的和S n满足S n=,那么的值为 ( )(A)(B)±(C) (D)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x+2)10(x2-1)的展开的x10系数为____________(用数字作答)(18) 如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____________时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题①y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);②y=f (x)是以2π为最小正周期的周期函数;③y=f (x)的图像关于点对称;④y=f (x)的图像关于直线x=-对称.其中正确的命题的序号是______(注:把你认为正确的命题的序号都.填上.)三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20) (本小题满分10分)设a≠b,解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.21) (本小题满分11分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sin B的值.以下公式供解题时参考:,,,.(22) (本小题满分12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线C的方程.(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC-A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90º,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1= A1 C1.(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.(24) (本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).(25) (本小题满分12分)已知数列{b n}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.(Ⅰ)求数列{b n}的能项b n;(Ⅱ)设数列{a n}的通项a n=lg(1+),记S n是数列{a n}的前n项的和.试比较S n与lg b n+1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A(10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(16) (17) -5120(18) AC⊥BD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD是正方形,菱形等(19)①,③注:第(19)题多填、漏填的错填均给0分.三.解答题:(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分10分.解:将原不等式化为(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,移项,整理后得(a-b)2(x2-x) ≤0,∵a≠b即(a-b)2>0,∴x2-x≤0,即x(x-1) ≤0.解此不等式,得解集{x|0≤x≤1}.(21) 本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.解:由正弦定理和已知条件a+c=2b得sin A+sin C=2sin B.由和差化积公式得.由A+B+C=π,得=,又A-C=,得cos=sin B,∴cos=2sin cos.∵0<<,≠0,∴sin=,从而cos==∴sin B==(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分12分.解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px (p>0),(x A≤x≤x B,y>0),其中x A,x B分别为A,B的横坐标,P=|MN|.所以M (-,0),N (,0).由|AM|=,|AN|=3得(x A+)2+2Px A=17,①(x A-)2+2Px A=9.②由①、②两式联立解得x A=,再将其代入①式并由p>0解得或.因为△AMN是锐角三角形,所以>x A,故舍去.∴P=4,x A=1.由点B在曲线段C上,得x B=|BN|-=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4,y>0).解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.设 A (x A,y A)、B (x B,y B)、N (x N,0).依题意有x A=|ME|=|DA|=|AN|=3,y A=|DM|==2,由于△AMN为锐角三角形,故有x N=|AE|+|EN|=4.=|ME|+=4X B=|BF|=|BN|=6.设点P (x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合{(x,y)|(x-x N)2+y2=x2,x A≤x≤x B,y>0}.故曲线段C的方程y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.注:题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分.解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,∴∠A1AD=45º为所求.(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,∴DE=1,AD=A1D=,tg A1ED==.故∠A1ED=60º为所求.(Ⅲ) 作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.∵B1B∥面A1ACC1,∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.在Rt△ABC中,,∴为所求.(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分12分.解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小.根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得(0<a<30=,①于是当a+2=时取等号,y达最小值.这时a=6,a=-10(舍去).将a=6代入①式得b=3.故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二:依题意,即所求的a,b的值使ab最大.由题设知4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)即a+2b+ab=30 (a>0,b>0).∵a+2b≥2,∴2+ab≤30,当且仅当a=2b时,上式取等号.由a>0,b>0,解得0<ab≤18.即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值18.∴2b2=18.解得b=3,a=6.故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳,推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.满分12分.解:(Ⅰ)设数列工{b n}的公差为d,由题意得b1=1,10b1+=100.解得b1=1,d=2.∴b n=2n-1.(Ⅱ)由b n=2n-1,知S n=lg(1+1)+lg(1+)+…+lg(1+)=lg[(1+1)(1+)·…·(1+)],lg b n+1=lg.因此要比较S n与lg b n+1的大小,可先比较(1+1)(1+)·…·(1+)与的大小.取n=1有(1+1)>,取n=2有(1+1)(1+)>由此推测(1+1)(1+)·…·(1+)>.①若①式成立,则由对数函数性质可判定:S n>lgb n+1.下面用数学归纳法证明①式.(i)当n=1时已验证①式成立.(ii)假设当n=k (k≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+)·…·(1+)>,那么,当n=k+1时,(1+1)(1+)·…·(1+)(1+)>(1+)=(2k+2).∵[(2k+2)]2-[]2==>0,∴(2k+2) >=.因而(1+1)(1+)·…·(1+)(1+)>.这就是说①式当n=k+1时也成立.由(i),(ii)知①式对任何正整数n都成立.由此证得:S n>lg b n+1.。