五年级第3讲-圆和扇形(2)
圆、圆环和扇形知识点归纳
圆、圆环和扇形知识归纳一、知识总结1.圆（1）定义：一条线段围绕着它固定的一端在平面内转动一周，它的另一端就会画一条的封闭曲线，这条封闭曲线就叫作圆。
（2）圆心、半径和直径：圆内中心的点叫作圆心，用O表示；连结圆心和圆上任意一点的线段，叫作圆的半径，用r表示；过圆心并且两端都在圆上的线段，叫作圆的直径，用d表示。
（3）圆的性质：在同一个圆里，半径有无数条，所有的半径都相等。
（4）圆周率：圆的周长与直径的比值，叫圆周率。
圆周率用希腊字母“π”（读pài）表示。
圆周率π是一个无限不循环小数。
经过精密计算，π=3.1415926…一般取圆周率的近似值π≈3.14。
（5）圆心周长：周长=直径×圆周率=半径×圆周率×2。
表达式：C=πd=2πr。
（6）圆的面积：面积=圆周率×半径的平方。
表达式：S=πr2。
常见命题例1 两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
（）（判断对错）【分析】考查了圆的直径的定义，少了“经过圆心”，所以是错误的。
【答案】×例2 圆的周长和直径的比值是3.14。
（）（判断对错）【分析】考查了圆周率，圆周率是一个无限不循环小数，3.14是它的近似值。
所以是错误的。
【答案】×例3 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是36 cm2，求圆的周长和面积。
【分析】考查了圆的周长和面积的求法，先算出圆的半径，图中圆的半径等于正方形的边长，根据正方形的面积公式求出边长，即为圆的半径，然后根据公式求出圆的周长和面积。
【答案】圆的半径r 2=36 cm 2，所以r=6 cm 。
所以C =2πr =2×3.14×6=37.68（cm 2）S =πr 2=3.14×6×6=113.04（cm 2）2.扇形（1）弧：圆上任意两点间的部分叫作弧。
用“⌒”表示。
以A 、B 为端点的弧读作圆弧AB 或弧AB 。
（2）圆心角：顶点在圆心的角。
五年级奥数圆和扇形的周长与面积二
加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。
《扇形的认识》圆和扇形PPT课件
(1)把被调查的40名同学看成单位“1”或“100%”。
图(3): 六(1)班坐公交车上学的人数占
全班人数的25%,骑自行车上学的人 数占全班人数的15%,步行上学的人 数占全班人数的60%。
(1)把被调查的40名同学看成单位“1”或“100%”。
图(4): 六(1)班喜欢篮球项目的人数占
全班人数的40%,喜欢羽毛球项目的 人数占全班人数的5%,喜欢足球项目 的人数占全班人数的30%,喜欢乒乓 球项目的人数占全班人数的10%,喜 欢其他项目的人数占全班人数的15%。
教学目标
1、在观察、讨论、判断等活动中，经历初步认 识扇形的过程。 2、知道扇形，初步了解扇形的特征，能在圆中 画出扇形。 3、体会扇形和圆的关系，知道扇形的各部分名 称。
观察各圆中涂色的部分，说一说它们 的形状像什么？
说一说
扇形有什么特征？
扇形都有一个角， 角的顶点是圆心。
(1)从左面的统计图中,你能提出哪些数学问题?
①六(1)班女生比男生少占全班 人数的百分之几?
②六(1)班的同学步行上学的有 多少人?
(2)每个圆表示什么?其中的每个扇形表示什么?
每个圆表示被调查的40名同学 (总数),其中每个扇形所表示的意义各 不相同。但圆内的每个扇形都表示各 部分占总数的百分比。
扇形是由两条半径 和圆上的一段曲线围 成的。
左图中，圆上A、B 两点之间的部分叫做弧。 读作：弧AB。
顶点在圆心，两条半 径组成的∠AOB，叫做 圆心角。
圆心角与扇形的大小有什么关系？
（1）画圆心角不同的扇形：在同一个圆中分别画 出圆心角是30°、60°、90°和120°的扇形。
C
90°
●
B 60°
(1)从左面的统计图中,你得到了哪些信息?
《扇形》圆PPT优秀课件
环节三 开放延伸
2.下面图形中哪些角是圆心角？在（
）里画“√”。
√
×
×
√
环节三 开放延伸
3.下面各图中阴影部分的图形是扇形吗？
不是
是
不是
不是
环节三 开放延伸
4.下面图形中的扇形是几分之几的圆？
1
1
1
2
4
5
环节三 开放延伸
你在生活中见过下面这些图案吗？
环节三 开放延伸
A
B
O
90° B
O
我发现在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形 的圆心角的大小有关。
环节二 新知探究
扇形有几条对称轴？
1条
环节二 新知探究
你会求扇形的面积吗？
S = S圆 2
S = S圆 4
环节二 新知探究
画一个半径是2cm的圆，再在圆中画一个圆心角是 100°的扇形。
r=2cm 100°
环节三 开放延伸
A 弧
O 圆心角 圆心角
B
360°×1 = 90° 4
环节三 开放延伸
拓展题1：右面是一个圆心角为45°的扇形，其中等腰直角 三角形的斜边上6cm，求阴影部分的面积是多少平方厘米。
扇形的面积：
45 360
×3.14×6²
=
14.13（cm²）
等腰直角三角形的面积：6²÷2÷2 = 9（cm²） 阴影部分的面积：14.13 - 9 = 5.13（cm²）
B
如图，圆上A、B两点之间的
部分叫做弧，读作“弧AB”。
一条弧和经过这条弧两端的 两条半径所围成的图形叫做
扇形。图中涂色的部分就是
扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
小学五年级奥数 圆和扇形的周长与面积(二)
圆和扇形的周长与面积(二)本讲主线1. 不规则图形的求解4. 其他相关扇形:2. 差不变和等积变形弓形＝扇形－△弯角=正方形-扇形.r2. 圆的面积：S=πr2谷子=弓形面积×23. 扇形：在圆的基础上×360120°5 5【例2】(★★★)板块一:不规则图形的常用解法求图中阴影部分的面积。
（π取3）如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。
(π取3.14 ) 45°45°20cm1【例4】(★★★)板块二:差不变和等积变形如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分【例3】(★★★☆)面积是多少？(圆周率取 3.14)DE 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。
(圆周率取3 )AC FB【例5】(★★★★)如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。
（π取3）5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三.C△ABC中，∠C＝90°r B【超常大挑战】(★★★★)已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝△ABC的面积. AB C 2知识大总结【今日讲题】1. 公式：圆＝π×r2n扇形＝圆×3602. 基本模型：弓形，弯角，谷子3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称4. 两个考点：⑴同加同减差不变⑵等积变形5. 一个模型：两个月亮换个三角A例1~超常大挑战【讲题心得】____________________________________________________________【家长评价】______________________________________________________________B C3。
《圆和扇形》PPT课件
某公园内有一个半径是3米的圆形喷 水池。在喷水池周围有一条1米宽的 甬路。甬路的占地面积是多少平方米？
想一想，怎样计算环形甬路的面积？
（1）喷水池和甬路的占地面积： 3.14×（1＋3）2 ＝3.14×16＝50.24(平方米)
（2）喷水池的占地面积： 3.14×32 ＝3.14×9＝28.26(平方米)
练一练
1.照一张光盘，指出光盘上的圆环， 测量有关数据，计算圆环的面积。
2.拿一把纸扇，先测量扇柄和纸面的宽 度，再计算扇子打开后扇子纸面的面积。
3.计算各图涂色部分的面积。（单位： 厘米）
3.14×（6²－3²） =3.14×27 =84.78（平方厘米）
半圆的面积： 3.14×（8÷2）2÷2
13.看图填空。
18
9
9
14.看图填空。
30 15
15.*照样子放大下面的图案。
圆环的面积
教学目标
1、结合具体事例，经历认识圆形，用不同方法 计算圆环面积的过程。 2、会用自己的方法计算圆环的面积，能解决与 圆环面积有关的简单问题。 3、进一步体会数学与生活的密切联系，获得综 合应用所学知识解决实际问题的活动经验和方 法。
（3）甬路的占地面积： 50.24－28.26＝21.98(平方米) 答：甬路的占地面积是21.98平方米。
一个铸铁零件的横断面是环形，外圆 半径是20厘米，内圆半径是16厘米。 环形的面积是多少平方厘米？
试着用计算甬路的方法写出综合算式。
一个铸铁零件的横断面是环形，外圆 半径是20厘米，内圆半径是16厘米。 环形的面积是多少平方厘米？
（1）r＝3.5cm （2）r＝3cm （3）r＝40mm
6.判断。 （1）画一个直径是4厘米的圆，圆 规两脚应叉开4厘米。（ × ） （2）在连接圆上任意两点的线段 中，直径最长。（ √ ）
《圆和扇形》PPT课件
3．由两条半径和圆上的一段曲线围成的图形叫 （ 扇形 ）。
4．用圆规画一个半径为 5 厘米的圆，圆规两脚间 的距离是（ 5厘米 ），如果画一个直径为 6 厘 米的圆，则圆规两脚间的距离是（ 3厘米 ）。
二、明辨是非。（判断对错） 1． 两端都在圆上的所有线段中，直径最长。（ √ ） 2． 在同一个圆内，两条半径就是一条直径。（ × ） 3． 通过圆心的线段叫做圆的直径。（ × ） 4． 一个圆至少对折3 次，就可以找到圆的圆心。（ × ） 5． 在正方形中画一个最大的圆，直径和正方形的边长相等。 （√） 6． 圆在平面滚动时，圆心在一条直线上运动。（ √ ） 7． 圆上任意一点到圆心的距离都相等。（ √ ）
.
6
在日常生活和学习中，我们经常用圆规画圆。
（1）把圆规的两脚 分开，定好两脚间的 距离（即半径）。
（2）把有针尖的一 只脚固定在一点（即 圆心）上。
（3）把装有铅笔 尖的一只脚旋转 一周，就画出一 个圆。
欣赏图案。 （1）
（2）
（3）
（4）
用圆规和直尺等工具就能设计出这些图案。
右图中，圆上A、B两 点之间的部分叫做弧， 读作：弧AB。
顶点在圆心，两条半 径组成的∠AOB，叫 做圆心角。
A
.圆 o心 弧
角 B
扇形：扇形是由两条半径和圆上一段曲 线围成的。
扇形都有一个角，角的顶点在圆心。
一、精彩补白。（填空） 1．在同一个圆中，可以画（ 无数 ）条直径和半 径，所有的直径都（ 相等 ），所有的半径 都 （ 相等 ），直径等于半径（ 2 ）倍。
圆Байду номын сангаас扇形
.
1
长方形
第五单元圆《扇形》教案
一、教学内容
本节课选自五年级数学第五单元《圆》中的《扇形》章节。教学内容主要包括以下几部分：
1.扇形的定义：通过直观教具和实际操作，使学生理解扇形是由圆心、两条半径和圆上的一段弧组成的图形。
2.扇形的特征：引导学生观察和思考，总结出扇形的两条半径相等，扇形的中心角等于两条半径所夹的圆心角。
-解决实际问题时扇形的应用：学生在解决涉及扇形的实际问题时，可能难以将问题抽象为数学模型，需要教师提供具体指导。
-难点举例：如何将一个实际问题的情境转化为求扇形面积的数学问题，如确定扇形的半径和圆心角。
-扇形与其他图形的组合：在综合应用题中，扇形可能与其他图形（如矩形、三角形等）结合出现，学生需要掌握如何分割和组合这些图形来解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调扇形的定义和扇形面积公式这两个重点。对于难点部分，如扇形面积公式的推导，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与扇形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪裁圆纸片制作扇形，并测量相关数据，计算扇形面积。
形面积的公式：指导学生推导出扇形面积的公式，即扇形面积=（圆的面积×中心角）/360°。
4.扇形在生活中的应用：举例说明扇形在实际生活中的应用，如风扇、车轮等，提高学生对扇形学习的兴趣。
5.相关练习题：布置一些与扇形相关的练习题，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
在小组讨论环节，学生们围绕扇形在实际生活中的应用展开讨论，提出了很多有创意的想法。但我认为，在讨论过程中，我还应该更加关注学生的个体差异，鼓励那些不太敢于发表观点的学生积极参与，使他们在讨论中收获更多。
《圆和扇形》PPT课件
（2）在连接(liánjiē)圆上任意两点的
线段中，直径最长。（√
）
第六页，共16页。
第六页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分。
7.圆是平面上的（ 曲线 ）图形
(qūxiàn)
(túxíng)，圆的圆位心置由（ ）决定，
(yuánx
圆的大小半由径（īn) ）决定。
第七页，共16页。
第七页，编辑于星期五：十六点 十六分。
第十页，共16页。
第十页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分。
10.判断(pànduàn)。
（1） （2） （3） （4）
（5）
第十一页，共16页。
× √ × √
×
第十一页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分。
11.根据半径和直径(zhíjìng)的关系
填表。
2.1
10.5
11
第十六页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分。
第四页，共16页。
第四页，编辑于星期五：十六点 十六分。
5.用圆规(yuánguī)或其他工具画圆。
（1）r＝3.5cm （2）r＝3cm
（3）r＝40mm
第五页，共16页。
第五(dì wǔ)页，编辑于星期五：十六点 十六分。
6.判断。
（1）画一个直径是4厘米的圆，圆规
两脚应叉开4厘米。（ ×）
冀教版数学六年级上册第一(dìyī)单元
圆和扇形 (shàn xínɡ)
第一页，共16页。
第一页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分 。
1.量一量(yī liànɡ)圆的半径和直径。
第二页，共16页。
第二页，编辑(biānjí)于星期五：十六点 十六分。
最新【小奥】五年级寒假同步课程圆与扇形初步(修改版--公式-割补法-容斥原理--等应用)资料
圆与扇形初步1. 圆与扇形的定义：平面上到定点的距离为定长的所有点组成的图形叫圆．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．扇形是圆的一部分． 2. 圆与扇形的基本计算：（1）圆形的周长：圆周长C=2r d ππ⨯⨯=⨯ （2）圆的面积：2S r π=⨯圆的面积公式可以由周长公式推导出来，结合此图，想一想这是为什么： （3）扇形的周长或弧长：扇形弧长=2360nr π⨯ （4）扇形的面积：扇形面积=2360nr π⨯⨯ 3. 割补法求不规则图形的面积．【解答】地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米；一般我们可能会想：对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也是极小的，肉眼都看不出来吧；这里我们先不急着下结论，让我们实际算一下：绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），即大约16厘米，还真不小呢！本讲中题目如不做特殊说明，则π近似取3.14例1. 已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为厘米，面积为平方厘米．练习1：已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为厘米．例2.已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是45，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是厘米．（2）这个扇形面积是平方厘米，占它所在圆的面积的．练习2：（1）已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为6.28厘米，这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是25.12平方厘米，求这个半圆的周长．例3.如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆．已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）例4.求下三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）练习3：分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米．( 取3.14)例题5：夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）练习5：有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？练习6：如图，正六边形的边长为2，以它各顶点为圆心，边长的一半为半径画弧，得到图中实线围城的图形，该图形的周长为。
五年级下册数学《3.扇形的认识》课件(3) 苏教版
它们都是由圆的两 条半径和一段曲线 围成的。
它们都有一个 角，角的顶点 在圆心。
探索新知 上面各圆中的涂色部分都是扇形。
探索新知
A
OO
弧
B
圆上A、B两点之间的曲线叫做（ 弧 ）。 它是圆的一部分。读作：“弧AB”
探索新知
像图中∠1 那样， 顶点在圆心的角叫作圆心 角。
探索新知
扇形的定义：
一条（ 弧 ）和 经过这条 弧两端的( 两条半径 ）所 围成的图形叫做扇形。
B
随堂练习
×
×圆上画出你喜欢 的扇形，并和你的同桌说一说你所画圆 的圆心、半径、圆心角和弧。
探索新知
同一个圆中， 扇形的大小与什么有关？
这是三个同样大小的圆，比一比，哪个扇形大？
在同一个圆中， 扇形的大小与与圆心 角的大小有关 。圆心角大的扇形大，圆 心角小的扇形小。
3.扇形的大小与圆心角和半径有关。
苏教版 五年级下册
朔良中心小学 执教者：凌诗涵
情境导入
(打一夏季常用生活用品)
探索新知
打开
折叠
学习目标
● 1.初步认识扇形，知道扇形各个 部分的名称。
● 2.知道同一个圆里扇形的大小与 什么有关。
● 3.能解决一些简单的实际问题。
探索新知
观察各圆中的涂色部分， 想一想它们的 共同特点。
探索新知
探索新知
想一想：当圆心角同样大时，扇形的 大小又是由什么决定的呢？
圆心角相等时，半径越长，扇形的面积 越大。
巩固提升
巩固提升
最小 最大
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有 什么收获？
1.圆心角:顶点在圆 的角叫作圆心角。
心 2.扇形:由一条 弧 和 经过这条弧两端
2024版五年级数学《扇形》课件
contents
目录
• 扇形基本概念与性质 • 扇形在日常生活中的应用 • 绘制扇形方法技巧与步骤 • 扇形相关数学题目解析与讨论 • 拓展知识：其他平面图形简介 • 课堂互动环节
01
扇形基本概念与性质
扇形定义及组成要素
圆心
扇形的中心点，也 是所属圆的中心。
弧
圆上两点间的部分。
3
连接两条半径的端点 用弧线连接两条半径的端点，即形成扇形的弧。
利用计算机软件绘制扇形
选择合适的绘图软件
如AutoCAD、Microsoft Visio等。
设定扇形的参数
输入扇形的圆心坐标、半径长度以及起始和终止角度。
自动生成扇形图形
软件将根据设定的参数自动计算出扇形的形状并生成图形。
创意手工：制作纸质扇形模型
扇形结构在建筑中具有很好的稳定性， 常被用于设计拱门、穹顶等建筑构造， 以承受重量和分散压力。
扇形在艺术设计中的应用
扇形构图的美感
艺术家在创作时常常运用扇形构图，通过扇形的对称性和均衡感 来营造画面的和谐与美感。
扇形在图案设计中的应用
扇形可以作为图案设计的基本元素之一，通过不同大小、角度和重 叠的扇形组合，创造出丰富多样的图案效果。
包含关系
如正方形是特殊的长方形，长方形是 特殊的平行四边形等。这种关系体现 了一种图形的特殊性，同时也揭示了 图形之间的联系。
相似关系
两个图形如果形状相同但大小不一定相 等，则称这两个图形相似。相似图形具 有相同的角和相似的边，这种关系在几 何学中非常重要。
平面图形在生活中的应用举例
建筑设计
建筑师在设计建筑时需要考虑各 种平面图形的组合和美感，如圆
圆和扇形的图形讲义甄选
圆和扇形的图形讲义（优选.)圆和扇形一、圆（一）圆的认识圆是研究平面上的一种曲线图形；在纸上画一个圆，然后剪下来，像下图的那样，对折，打开，再换个方向对折，再打开，反复折几次。
折过若干次后，可以发现:这些折痕相交于圆中心的一点。
把圆中心的这一点叫做圆心。
圆心一般用字母0表示。
用有刻度的直尺量一量圆心到圆上任意一点的距离，可以发现：圆心到圆上任意一点的距离都连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。
在同一个圆里，直径的长度与半径的关系:1，即。
d＝直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21d。
2r，或r＝2（二）圆的计算1、圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
通过一些实验和统计可以知道，圆的周长总是直径的3倍多一些。
任何圆的周长和直径比的比值是一个固定的数。
这个比值叫做圆周率，用字母π(读pài)表示。
约2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长是直径的3倍。
约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之。
他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值的计算精确到6位小数的人。
他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年。
后来数学家们逐渐发现圆周率是一个无限不循环的小数。
现在已经能用计算机算出它的小数点后面上亿位。
π＝3.141592653 ……但是，在实际应用中并不需要这么多位小数。
在计算时，一般只取它保留两位小数的近似值，即π≈3.14；或取它保留整数的近似值，即π≈3。
因为圆的周长总是直径的π倍，当我们知道了圆的直径或半径时，就可以计算出它的周长。
如果用C 表示圆的周长，那么 C ＝πd ，或C ＝2πr2、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆和扇形学而思讲义
常用的思想方法：
１．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）
２．等积变形（割补、平移、旋转等）
３．借来还去（加减法）
４．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”。就是我们暑期学
习的“求反面”）
５．容斥（实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的
就是重叠部分面积）
内容提要
圆形
周长和面积
扇形
认识一些概念：
面积
周长
半径
直径
圆周率无限不循环小数（通常取3或3.14）
公式总结:
圆的面积 圆的周长 =
扇形的面积 = 扇形的弧长：
扇形的周长： =一些特殊的图 Nhomakorabea：１．弓形：
弓形通常只求面积
弓形面积＝扇形面积－三角形面积（除了半圆）
２．“弯角”：
弯角的面积＝正方形－扇形
３．“谷子”：
数学五下第6单元《圆》(扇形的认识)课件
什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫作圆心角。
你能在自己画的 扇形中找到圆心 角并标上∠2吗？
怎样确定圆心角的度数？
圆心角可能是锐角、直角、钝角、平角，还可能 是大于180°的角。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆 心角的大小有关，圆心角大的扇形大，圆心角
小的扇形小。
在不同的圆中，圆心角越大，扇形也 越大吗？
50×3=150
先要算出4箱西瓜需要多少钱？ 列式为48×4
因为62接近60，把62 看作60来思考， 60×5=300,300元不 够买5箱哈密瓜。
300元够买5箱哈密瓜吗？
来
们
闯
我
关
第
一
关
10×6= 90×4= 100×9=
40×7= 6×60= 8×800=
3×30= 2×50= 700×9=
第
二
关
• 1时=（ • 2时=（ • 9时=（
）分 ）分 ）分
1分=（ 5分=（ 8分=（
）秒 ）秒 ）秒
第
三
关
甲城到乙城三种不同的火车的票价如下表：
普通列车
特快列车
动车组列车
每张198元
每张312元
每张405元
吴老师买3张同样价格的火车票，付给售票员1000元 。他买的是哪一种？（先估算，再在正确的答案旁 边画“ √ ” ）
第
四
关
每包有500张纸， 一共有多少张？
第
五
关
每次运72箱。
一共400箱，6次能运完吗？
你真棒！
扇形的认识
请同学们带着这几个问题自学课本，再进 行小组交流。
（1）什么样的图形是扇形？ （2）什么是弧？ （3）什么是圆心角？
圆与扇形
第一讲 圆与扇形内容概述这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
基本公式：圆的面积=πr 2，圆的周长=2πr ；例题精讲【例1】 数学小组的同学们正在热烈的研究圆和扇形之间到底有什么关系？亲爱的小朋友，你能够帮助他们吗？分析：由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。
根据圆的面积=πr 2，扇形圆心角的度数用n °来表示，可以得出扇形面积公式为：【例2】 求下列各图阴影部分的面积。
（π取3）分析：（1）22111122 1.542422ππ=-=∙∙-∙∙=阴影部分面积的大圆的小圆（） （2）法1：如右图所示，过B 做BD 垂直于AC ，我们就容易得到BD=AD=DC ，所以BD=3，三角形ABC 的面积=3×6÷2=9，阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 ；法2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定理：如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，最长边是AC ，较短的两条边是AB 、BC ，那么有222AC AB BC =+。
反之，若三角形中有222AC AB BC =+，那么这个三角形就是直角三角形，且AC 边为最大边，所对的角是直角。
最经典的直角三角形三边为：3、4、5 （222534=+）。
在题目中，三角形ABC 是等腰直角三角形，所以有222AC AB BC =+，且AB=BC ，可得， 2222112AB 6AB 18ABC =AB BC AB 922⨯==∙∙=∙=，，三角形的面积， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 。
《扇形》圆和扇形PPT课件
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学习重、难点：
重点：了解扇形的特征，体会扇形和 圆的关系。
难点：能在圆中画出扇形。
扇形的概念： 扇形是由两条半径和圆上的一段曲
线围成的。扇形是圆的一部分。如下 图：
弧和圆心角：
（1）圆上A、B两点之间的部分叫
做弧。读作：弧AB。（如右图） PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/
归纳总结：
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1.扇形是由两条半径和圆上的一段曲线围 成的。
2.在同圆或等圆中，圆心角大的扇形大， 圆心角小的扇形小。
有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 每天告诉自己一次：我真的很不错。 心是最大的骗子，别人能骗你一时，而它却会骗你一辈子。 梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。
五年级奥数专题 圆与扇形(学生版)
学科培优 数学 圆与扇形 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。
学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式,这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法.重点难点1.复杂图形的化简2.带入圆周率时的计算准确度考点1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算2．结合情景的曲线面积计算知识梳理一、圆形的面积与周长(1) 圆的周长2C d r ππ==（d 为直径,r 为半径）(2) 圆的面积212S r Cr π== 【授课批注】公式很简单,主要是如何化为简单的公式运算。
注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半,说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。
二、扇形的面积与弧长(1)扇形的弧长2360l r θπ= (2)扇形的面积213602S r lr θπ==扇 例题精讲【试题来源】【题目】如图,有8个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取 3.1416,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构,其中盘A 直径为10厘米,盘B 直径为40厘米,盘C 直径为20厘米．问：A 顺时针方向转动一周时,重物上升多少厘米?( π取3.14．)【试题来源】【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米,问：这卷纸展开后大约有多长?【试题来源】【题目】如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415,是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米?【试题来源】【题目】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径．让A点不动,把整个半圆逆时针转60,此时B点移动到C点,如图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,四分之一大圆的半径为7,求阴影部分的面积,其中圆周率取近似值【试题来源】【题目】如图17-13,三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB 长40厘米．求BC 的长度．(π取3.14)【试题来源】【题目】图中阴影部分的面积是多少平方厘米?π227【试题来源】【题目】如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心,EF 为圆弧,组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.【试题来源】【题目】平面上有7个大小相同的圆,位置如图所示．如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是平方厘米．(π取3．14)【试题来源】【题目】传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下,钟面就会出现奇妙的阴影(如右下图)．那么,阴影部分的面积是多少平方米？【试题来源】【题目】在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.【试题来源】【题目】如下图,AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径为15厘米,是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分面积．【试题来源】【题目】如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,AB弦约等于17厘米,半径为10厘米,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】求图中阴影部分的面积．( 取3.14)【试题来源】【题目】如下图所示,曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米,那么阴影部分是多少平方米？(π取3.14)【试题来源】【题目】右图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点,已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少?(丌取3．14)习题演练【试题来源】【题目】.右图是一个圆心角为45°的扇形,其中直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分面积。
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巨人学校
五年级新华数
吴瀚霖第3讲圆和扇形
——重叠与旋转
阴影部分与基本图形之间的关系
Contents
1 倍数关系求解面积
2 与旋转相关的问题
3
阴影部分与基本图形之间的关系
例题1.求解图中阴影部分的面积.(π取近似值3.14)
20厘米
例题2.如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径做出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？(π取3.14)
6
10
练习1.如图所示，图中等腰三角形的直角边长为10，那么图中阴影部分的面积是多少？(π取3.14)
10
10
例题3.【☆】下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？(π取3.14)
乙
甲
例题4.如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积差.（结果保留π）
例题5.如图，在3×3的方格表中，分别以A ，E 为圆心，半径为3、2，圆心角都是90°的两段圆弧与正方形ABCD 的边界围城了一个带形，那么该阴影部分的面积是多少？(π取3.14)
E
B
D A C
练习2.如图所示，图中等腰三角形的斜边长为12，那么图中第Ⅰ部分的和第Ⅱ部分的面积差是多少？(π取3.14)
Ⅰ
Ⅱ
12
练习3.如图，大正方形的边长为4，那么阴影部分的面积为多少？(π取3.14)
例题6.(此题学生版有典型例题示范)如图，用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中截出了7个同样大小的圆铝板.问：所余下的边角料总面积是多少平方厘米？
O
练习4.如图，图中小圆的面积为1.那么阴影部分的面积为多少？
O
例题7.【★】一条直线上放着一个长和宽分别是4cm 和3cm 的长方形（对角线长5cm ）.让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，再绕C 点旋转90°达到长方形Ⅲ的位置，再绕D 点旋转到长方形Ⅳ的位置，这时A 点到达E 的位置.求A 点走过的路径长度(π取3).
ⅠⅢⅡ
C E
D B A Ⅲ
Ⅱ
ⅠC E D B A
例题8.如图草场上有一个长20m，宽10m的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊，这只羊的活动范围面积最大是多少？(π取3.14)
30
10
20
练习5.【★】一条直线上放着一个长和宽分别为12cm 和5cm 的长方形Ⅰ(对角线长13cm).让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，再绕C 点旋转90°到达长方形Ⅲ的位置，这时A 点到达F 点的位置.求A 点走过的路程长(π取3).
ⅢⅡ
ⅠF
D
C B E
A
练习6.一只羊拴在一个正方形围墙外面的一个墙角上.已知围墙边长为1m.绳子的长度为2m,那么羊的活动范围面积最大是多少平方米? (π取3.14)
例题9.【★】一个半径为1cm的圆片,绕着边长为6、7、8cm的三角板无滑动地滚动一周，再回到原地，那么圆片滚过的面积为多少平方厘米？(π取3.14)
练习7.【★】一个半径为1cm的圆盘沿着一个半径为4cm 的圆盘外侧作无滑动的滚动，当小圆盘的中心绕大圆盘中心转动90°后(如图)，小圆盘运动过程中扫出的面积是多少平方厘米？(π取3.14)
思考题
如图，如果大正方形的面积是12，圆的面积是多少呢？小正方形的面积又是多少呢？
巨人学校THANK YOU
吴瀚霖。