最新勾股定理与几何证明答案
(2021年整理)第一章最新勾股定理习题及答案
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第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．（郑州月考）直角三角形的两条直角边长分别为3,4，则斜边长是( D ）A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是（ D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C．若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中,斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点,则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝6,c＝10，则b＝8；（2）若a＝5，b＝12，则c＝13；（3）若c＝25，b＝15，则a＝20。
知识点2勾股定理的简单应用6．如图,做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的长为（ B )A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图,因为AD是BC的中线，所以BD＝错误!BC＝3，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.所以AB＝5,即腰长为5。
专题20 勾股定理(解析版)
1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a． 故选 D．
勾股定理专题附答案全面精选
257勾股定理一、探索勾股定理知识点1勾股定理定理内容：在RT △中, 勾股定理的应用：在RT △中,知两边求第三边,关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解1已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c 的关系不成立的是 A 、c2- a2=b2 B 、c2- b2=a2 C 、a2- c2=b2 D 、 a2+b2= c22在直角三角形中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是 A 、BC2- AB2=AC2 B 、BC2- AC2=AB2 C 、AB2+AC2= BC2 D 、AC2+BC2= AB22、应用勾股定理求边长3已知在直角三角形ABC 中,AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC 的长.4在直角△中,若两直角边长为a 、b,且满足√α2−6α+9+|b −4|=0,则该直角三角形的斜边长为 ．3、利用勾股定理求面积5已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积为25π,16π,求另一个半圆的面积;6如图1,图中的数字代表正方形的面积,则正方形A 的面积为 ;7如图2,三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y= ;8在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AC ＝6,BC ＝8,则AB 的长为A 、6B 、8C 、10D 、129在直线l 上依次摆放着七个正方形如图4所示;已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________;知识点2勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导;等积法拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理;10用四个相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按图拼法;问题：你能用两种方法表示下图的面积吗对比两种不同的表示方法,你发现了什么11用两个完全相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按下图拼法,论证勾股定理：222c b a=+3、运用勾股定理进行计算重难点12如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高 13两棵之间的距离为8m,两棵树的高度分别为8m 、2m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米基础检测1、在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AB ＝13,BC ＝5,则AC 的长为2、已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若14=+ba cm,10=c cm,则Rt △ABC 的面积为A . 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 23、若△ABC 中,∠C=90°,1若a = 5,b =12,则c = ；2若a =6,c =10,则b = ；3若a ∶b =3∶4,c =10,则a = ,b = ;4、如图,阴影部分是一个半圆,则阴影部分的面积为 ;π不取近似值5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3 : 4,求两直角边的长;6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8m,梯子的顶端下滑2m 后,底端向外滑动了多少米培优突破 1、折叠问题1如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm 、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为A、4cmB、5cmC、6cmD、10cm2 如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求线段EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题3如图,为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°,并测得AC=20m,BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少3、分类讨论已知直角△的两边,求第三边4在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为A、25B、7C、25或7D、不能确定5已知3, 4,a是一个三角形的三边长,若三角形为直角三角形,则2a的值是多少6在直角△ABC中,AB=15, AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为多少4、利用方程解题7如图,△ABC中,∠C=90°,D是BC上的一点,已知BD=7,AB=20,AD=15, 求AC的长.8如图,已知△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长;培优训练一、选择题1．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是A、365B、1225C 、94D、3√342．若三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=2：1：1,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中,成立的是A．a2+b2=c2B．a2=2c2C．c2=2a2D．c2=2b2 3．如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE ⊥OB于点E．若OD=8,OP=10,则PE的长为A、5B、6C、7D、84．如图在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为A、16B、15C、14D、135．如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为A、1B、34C、23D、26．已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC 的长为A、21B、15C、6D、以上答案都不对7．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是A、10B、5C、524D、5128．如图,阴影部分是一个矩形,它的面积是A、25cmB、23cmC、24cm D、25cm9．张大爷离家出门散步,他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为mA．30 B．40 C．50 D． 7010．如图在△ABC中∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,则点D到AB边的距离为A、18B、32C、28D、2411．如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边x＞y,下列四个说法：①x2+y2=49, ②x﹣y = 2,③2xy+4=49, ④x+y=9．其中说法正确的是A、①②B、①②③C、①②④D、①②③④二．填空题共2小题12．如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=_____cm．13．如图,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长是_________．14、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;二、勾股定理的逆定理知识点3勾股定理的逆定理1如果△的三边α，b,c 满足关系满足,则该△为直角三角形;2△的三边α，b,c,假设c为最长边①a2+b2>c2,则该△为三角形②a2+b2<c2,则该△为三角形3勾股定理逆定理的用途典型题1下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是A. 4,5,6B. 2,3,4C. 11,12,13D. 8,15,172若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73下面的三角形中：①△ABC中,∠C=∠A－∠B；②△ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中,a：b：c=3：4：5；④△ABC中,三边长分别为8,15,17．其中是直角三角形的个数有个．A．1 B．2 C．3 D．44若三角形的三边之比为√22：1√2：1,则这个三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形5 已知a,b,c为△ABC三边,且满足（a2−b2）（a2+ b2−c2）=0则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是A．钝角三角形 B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7若△ABC的三边长分别长a,b,c,且满足a2+b2+ c2+200=12α+16b+20c ,试判断△ABC的形状; 8△ABC的两边分别为5, 12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为 ;9求：①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25,则这个三角形的最大内角是度;②已知三角形三边的比为1：3：2,则其最小角为;知识点4勾股数1勾股数是正整数2满足的关系条件a2+b2=c23勾股数的n倍n≠0,仍然满足a2+b2=c24常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算注意展开方式1某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．2如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离．3如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．2、航海问题1一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过小时后,它们相距________海里2如图,某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上;该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险试说明理由;3如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险3、网格问题1如图1,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2如图2,正方形网格中的 △ABC, 若小方格边长为1,则△ABC 是A.、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对 3如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 A ． 25B.C. 9D.4如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、√8、√5在图甲中画一个即可；②使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可．4、折叠问题1如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于 A. 425 B. 322C.47 D. 35 2如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交BC 于M,交AB 于N,若AC=4,MB=2MC,求AB 的长． 3如图,在长方形ABCD 中,DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线AE 把△ABC 折叠,使点D 恰好在BC 边上,设此点为F,若△ABF 的面积为30,求折叠的△AED 的面积 4如图,在长方形ABCD 中,将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置,CE 与AD 交于点F; ①试说明：AF=FC ； ②如果AB=3,BC=4,求AF 的长5如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 正好落在BC 边上F 点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______．6如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E,交BC 于F,边AB 折叠后与BC 边交于点G;如果M 为CD 边的中点, 求证：DE ：DM ：EM=3：4：5勾股定理 参考答案一、探索勾股定理1C 2D3没有确定斜边的情况下,需要先确定斜边;6或4124根据非负数的性质,b=4和0962=+-a a ,解得a=3,根据勾股定理,斜边=55这类型题目分别以直角三角形三边所作的同类型图形,如正多边形、半圆等,均满足如图中所示S1=S2+S3,S3=9π625 710, 12 8C,斜边AB=10 94,根据全等三角形和勾股定理,S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3,S1+S2+S3+S4=1+3=4 10s =（a +b ）2=4×12ab +c 2,结论： a 2+b 2=c 211S =12(a +b )(a +b )=2×12ab +c 2结论： a 2+b 2=c 212h=9+√92+122=9+15=24 m 1310 m基础检测1、B2、A,解：(a +b)2=a 2+b 2+2ab ,解得：12ab =243、113, 28, 36, 84、72π5、12,16解：根据题意,本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5,三边分别为3x, 4x, 5x,5x=206、作如下辅助图：BD=CE=10,AB=8,BC=2,AC=6根据勾股定理：AD=6, AE=8DE=AE-AD=8-6=2 m 培优突破1B23 cm,注意翻折构造全等,勾股定理 312 m 4C,如右图 525或7,在没有确定直角或斜边的情况下,需要讨论确定斜边;625 ,AB 一定是直角边,想想：BC 是否一定是斜边呢BC 边上的高为12,不是15,所以BC 一定是斜边712, 解：设DC=y,根据勾股定理有：AC2=AB2−(BD+y)2=AD2−y2,即202−(7+y)2=152−y2解得：y=9AC=1287, 解：作AE⊥BC与E,设BD=X则AE=12DE=16-xDC=32-x如图,根据勾股定理有：AD2=AE2+DE2=DC2−AC2即AD2=122+（16−x）2=(32−x)2−202解得：x = 7培优训练1、A,三角形的面积计算2、B3、B,4、A,5、C6、D,如右图,BC的长21或97、C 8、A 9、C 10、C11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、4 13、√514、连接AD, 则△BDE≌△ADF, 则△ADE ≌△CDF,则AE=CF=5,AF=BE=12,∴EF=13二、勾股定理的逆定理典型题答案1D 2C 3 D 4C5C 6C7直角三角形解：a2+b2+c2+200=12α+16b+20c（a2−12α+36）+（b2−16b+64）+c2−20c+100=0（α−6）2+（b−8）2+(c−10)2=0所以：a=6, b=8, c=108直角三角形;分析：设三边分别为a,b,c,有a+b+c=5+12+c=17+c,根据条件有：{17+c是3的倍数c为奇数12−5＜c＜12+5（三边关系）解得：c=13,所以根据勾股定理的逆定理,为Rt△9 ①90°,②30°三、勾股定理的应用1、与图形有关的计算1 2+2√32 √5354设：正方形的边长为a方案一：S=3a方案二：S=3a方案三：S=2√2a方案四：S=1+√3a ,分析：FH=√36a , BF=√33,EF=a−√33,所以：方案四最节省电线2、航海问题130 2CD=6√3,无暗礁风险3①台风中心经过16h从B点移动到D点②14h内撤离才可脱离危险3、网格问题1D2A 3B 4如图：不唯一4、折叠问题1C 283DE=X,则在直角△EFC中：FG=1,EF=X, EC=5-X,有：x2=12+(5−x)c2解得：x=135, S△AED=4①提示：角平分线+平行线,构造等腰模型②设AF=X,则x2=(4−x)2+32,解得：x=25/85306证明提示：设：DM=X, DE=y,则：正方形边长为2x,AE=2x—y,满足：x2+y2=(2x−y)2,解得：3x=4y., 则可设：y=3k,x=4x,则正方形变成为8k,则AE=5k,所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,即：DE:DM:EM=3:4:5。
八年级初二数学 勾股定理知识归纳总结及答案
八年级初二数学勾股定理知识归纳总结及答案一、选择题1．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（）．A．AF⊥AQ B．AF=AQ C．AF=AD D．F BAQ∠=∠2．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．cm B．cm C．cm D．9cm3．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（3﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．33小时B．23小时C．223小时D．2323+小时4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ）A ．32B ．213C ．5D ．66．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．47．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-8．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5D ．5或7 9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）A ．222221a b h +=B ．222111a b h +=C ．2h ab =D ．222h a b =+10．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ）A ．72B ．74C ．254D ．154二、填空题11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______．14．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝AE＝CE，AD⊥AE，则ABBD的值为____________．15．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是_____．17．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．20．如图，直线423y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.23．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.24．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；的周长.（3）直接写出ADG25．已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．26．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．27．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．28．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 2．C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm ；如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm ；如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.所以要爬行的最短路径的长cm.故选C.【点睛】本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.3．C解析：C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，2x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD=33CDAD=3320(31)x=-+，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，∵∠CDB=45°，CD⊥BD，∴BD=CD，设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，∵tan∠CAD=3CDAD=AD=AB+BD，320(31)x =-+x=20（海里），22（海里），∴t=230=23（小时），故选C.【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 4．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质. 5．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴BD=2BF=2×2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．6．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．7．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，AB==∴AC AB==∵点A表示的数是1∴点C表示的数是1-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.8．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边，当4是斜边时，另一条直角边=，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．9．B解析：B【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出【详解】解：设斜边为c，根据勾股定理得出∵12ab=12ch，∴，即a2b2=a2h2+b2h2，∴22222a b a b h =22222a h a b h +22222b h a b h， 即21a +21b ＝21h ． 故选：B ．【点睛】 本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．10．C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．【详解】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，即x 2＝62+（8﹣x ）2，解得，x ＝254， ∴BE ＝254． 故选：C ．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE 交BC 于点F ，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，13AF ==,6.52AF AE == 故答案为：6.5．12．【分析】 根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 13．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ，∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴即同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．14．2【解析】【分析】过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，2)a，1)a，1)a,代入计算即可.【详解】过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC∴AM=12AC，AN=12AC∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)∴∠DAM=∠EAN又∵∠MAC=60°，AD⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a，根据勾股定理得：GM=3a, ∵∠ABC ＝45° ∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()62262231a AB BD a++==+ 故答案为：62+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.15．4或2510【分析】分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ．【详解】①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，如图1．∵∠DAC =90°，且AD =AC ，∴BD =BA +AD =2+2=4；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，如图2．连接BD ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于E ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACD =90°，∴∠DCE =45°．又∵DE ⊥CE ，∴∠DEC =90°，∴∠CDE =45°，∴CE =DE =2222= 在Rt △BAC 中，BC 2222=+= 22BD 22222222BE DE （）（）=+=++=25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210BC CD=+=+=（）（）．故BD的长等于4或25或10．故答案为4或25或10．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，16．7【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD＝332，∴CM＝2237 2CD MD+=，∴CN＝43727 32⨯=．∵BM+MN＝CN，∴BM+MN的最小值为27．故答案是：27．【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．17．6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD，∴CQ=BC ADAB⋅=12810⨯=9.6故答案为：9.6.点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.18．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.19．5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】 此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．20．（0，34）. 【分析】由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0),在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）详见解析；（2；（3【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE =，，根据（1）思路得.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.23．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆的面积为3或5． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=c ∴=根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根当2a c b +=时，12a =，解得92a =当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去综上，a 的值为92； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）当2a b c +=时，则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a=<故此时k 的取值范围为13k ≤<当2a c b +=时，则1c k a=≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<综上，k 的取值范围为13k ≤<；（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =22,AB BD x AD ∴====AC ===11422ABC S BC AD ∆=⋅=⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：当2AC BC AB +=时，即44x =，解得103x =则1033ABC S ∆===当2AC AB BC +=时，即28x =，解得65x =则655ABC S ∆===当2BC AB AC +=时，即42x +=，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根综上，ABC ∆的面积为3或5．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．24．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得1332DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，222212663OA AB OB =-=-= ∴点A 的坐标为(0，63)；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，63AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯=ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用26．(1)45°；(2)GF=AG+CF ，证明见解析；(3)①6； ②s ab =，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE ．利用全等三角形的性质证明EB=ED ，再利用等角对等边证明EB=EF 即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF ．如图2中，将△CDF 绕点D 旋转90°，得△ADH ，证明△GDH ≌△GDF （SAS ）即可解决问题．（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可． ②设正方形边长为x ，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC ，∴△ECB ≌△ECD （SAS ），∴EB=ED ，∠EBC=∠EDC ，∵∠DEF=∠DCF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠EFB=∠EDC ，∴∠EBF=∠EFB ，∴EB=EF ，∴DE=EF ，∵∠DEF=90°，∴∠EDF=45°故答案为45°．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，∴∠DAC+∠DAH=180°，∴H、A、G三点共线，∴GH=AG+AH=AG+CF，∵∠EDF=45°，∴∠CDF+∠ADG=45°，∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH≌△GDF（SAS）∴GH=GF，∴GF=AG+CF．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，则有（3+x）2=（6-x）2+32，解得x=2∴S△BFG=12•BF•BG=6．②设正方形边长为x，∵AG=a，CF=b，∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，则有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，化简得到：x2-ax-bx=ab，∴S=12（x-a）（x-b）=12（x2-ax-bx+ab）=12×2ab=ab．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)+【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′22OB OA-＇，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=103则此时点P的坐标是（103，10）；。
完整版勾股定理典型例题详解及练习附答案
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ B. AB 、EF 、 D. AB 、G1） sa 倾 2） 解題患跖 解答过程=屮在gJ^EAF 中.Arm, AE=3,根据勾股定理，得EF = Q 苗十上尸'* =品+F =同理 AE = 2忑、CrjV= ^/13| ID = 2爲©计算发现（心r （2罷¥ =（届厂即血U E 严=閒士，根据 勾股定理的逆左理得到l^ADs ET, GH 为辺的三角形是直®三垢形•故选 B.屮解題后ffi 思专.*L 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形°因此5解题时一定更认真分析题目所给条皆，看是否可用匈股定理来解口 ： 2. 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 “匚"就是斜迫而“固执”地运用公式二/十迁 其冥，同样是厶, 丄C 不—定就等于g （K 疋不一定就是斜过，AA3C 不一定就是直®三® 孰*)GHCD EFA. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GH +J本题考查幻股定理及勾股宦理的逆定理.4 可利用勾般定理直接求出各边长，再e 行判斷.43. 直角三角形的判定条件与勾股定理是S 逆的・区别在于勾股定理的运 用是一个从'「形''（一个三角形是直角三角形）到 嘟（十沪） 的过程，而直甬三«形的利定是一个从 懺段【一个三角影的三辺S 足 匚2 =亍+色询条件）到“形-1这个三甬形是直角三角形）的过程.44. 在应用勾股定理解题时，聲全®地琴虑间题.注意间题中存在的多种 可能性，避免漏辭.“W 1；如图，有一块直角三甬形紙椅屈C,两貢角迫月^孔皿3*沁. 现将直角边AC 沿直绘AD 折盞 便它落在斜边上.且点C 落到点E 处, fflCT 等于（）4扎2 cm 1） SA 倾 本题着查勾股定理的应用仪：）龜思路，車题若直接在中运用勾股定理是无法求得仞a 匕的，因为貝知道一条边卫U 的长，由题意可知，△月CT 和△/£刀关于直 线KQ 对称，因而ZvlCD 竺△血Q ・进一歩则有 血TCMmh CL=ED, ED 丄AS,设则在Rt A ASC*中，由勾股定理可得TV A?月筋贋=1 皿，Aa=iacm,在 皿刃述中，Cio-fi ） 2= C S —X ）$0 解得 益 4B.-IB 龜后的思肴：茫勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理(讲义及答案)及解析
一、选择题1．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）A ．29cmB ．5cmC ．37cmD ．4.5cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ； ③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．95．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( )A ．3cmB ．14cmC ．5cmD ．4cm6．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．127．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 9．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A ．5 B ．4 C 7D ．4或5 10．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c =二、填空题11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．14．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________15．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．19．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.24．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.25．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；的周长.（3）直接写出ADG28．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:22222AB AB BB'=+'=++=；(21)425（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:22222'=+'=++=+=；AB AC B C2(41)42529DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:（3）沿AD，'22222'=+'=++=+=；AB AD B D1(42)13637综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB '=，即5cm AB '=．故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．2．A解析：A【分析】先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.【详解】解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ，∴BE ，故①正确；∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，∴∠BHE=∠C ，又∵在▱ABCD 中，∠A=∠C ，∴∠A=∠BHE ，故②正确；在△BEH 和△DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，故③正确；利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.3．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
全国通用版中考数学：勾股定理有关的几何证明(一)—详解版
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2，1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．证明：连接CE，∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，EC=BC，又∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形．2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，则AB2+CD2=AC2+BD2．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．证明：作AE⊥BC于E，如图所示：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，1BC，∴BE=CE=AE=2∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2．5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．证明：连接BD，∵D是AC的中点，∴CD=AD．∵∠C=90°，DE⊥AB，∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，∴∠AFB=∠ADB=90°，在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．1.如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．2.在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）（1）证明：∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC，∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（2）成立，理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；（3）结论：AP2-AB2=BP•CP．如图所示，理由如下：P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-AB2=BP•CP．3.已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2-AC2=2BC•MD．证明：（1）在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2BM2=2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+DC2，∴AB2-AC2=BD2-DC2=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BM+MD-CD），∵AM是中线，∴AB2-AC2=BC（CM+MD-CD）=BC（MD+MD）=2BC•MD．。
第十三讲 从勾股定理谈起(含答案)-
第十三讲 从勾股定理谈起勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通意义下的勾股定理，在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”．勾股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．30例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE= ．(2001年重庆市中考题)思路点拨 因BE 不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE 相等的线段转化问题．注 千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法．勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理．现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案．BCDA【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( )A ．13B ．19C ．25D ．169 (2003年山东省中考题)思路点拨 利用勾股定理、面积关系建立a 、b 的方程组．【例3】 如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ， 已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，解本例的关键是由条件构造出含30°角的直角三角形．B CAPBCDA【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）222111hb a =+；(2) h c b a +<+ ；(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．思路点拨 (1)只需证明1)11(222=+b a h ，从左边推导到右边；（2）证明(22)()(h c b a +<+；(3)证明222)()(h c h h a +=++．在证明过程中，注意面积关系式ch ab =的应用．【例5】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a 、b 、c ，其中c 为斜边，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2222ab c b a c b a ，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解． 注 当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．从代数角度，考察方程222z y x =+的正整数解，古代中国人发现了“勾三股，四弦五”，古希腊人找到了这个方程的全部整数解（用代数式表示的勾股数组）．17世纪，法国数学家费尔马提出猜想：当n ≥3时，方程n n n z y x =+无正整数解． 1994年，曼国普林斯顿大学堆尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想，被誉为20世纪最伟大的成果．一般地，在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散的条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．学历训练1．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ACD 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC ′与BC 之间的数量关系是 ．(2001年山西省中考题)BCDAC 'BCDAPB CDA（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP ＝3，则PP ′的长等于 ．3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD ⊥BC 于D ，则AD= ． (2001年武汉市选拔赛试题)4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC=4cm ，CD=12㎝，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2．BCDABCDA（第4题） （第5题） （第7题）5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离( )A ．等于1米B ．大于l 米C ．小于l 米D ．不确定. (2002年宁波市中考题) 6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=( ) A ．4 B ．5 C ．23 D ．338 8．在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，CD ，EFC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，EF ，GH(2003年北京市竞赛题)BCD A GHF E（第8题） （第9题）9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，22，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4． (2002年吉林省中考题)10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，MN 垂直平分AB ，求证：CM=2BM ． (2002年南道市中考题)BCANM11．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF +=．BCDAFE12．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为 ．(2002年湖北省预赛试题)BCDAB CAP1997（第12题） （第13题） （第14题）13．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是 ． 14．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ．15．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件：c b a c b a 262410338222++=+++，则这个三角形最长边上的高为 ．BCDAGFE（第17题） （第19题）16．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )A ．2<c<4B ．2< c ≤3C ． 2< c ＜108< c ＜10。
勾股定理习题及答案
勾股定理习题及答案勾股定理习题及答案勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在数学教育中，勾股定理常常作为基础知识进行教学，并且在习题中广泛应用。
本文将介绍一些关于勾股定理的习题，并提供详细的解答。
1. 习题一：已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设另一条直角边长度为x，则有5^2 = 3^2 + x^2。
化简得25 = 9 + x^2，进一步得到x^2 = 16。
因此，x的取值可以是正负4。
但由于长度不能为负数，所以另一条直角边的长度为4。
2. 习题二：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为y，则有y^2 = 6^2 + 8^2。
计算得到y^2 = 36 + 64，进一步得到y^2 = 100。
因此，斜边的长度为10。
3. 习题三：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解答：同样利用勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。
设斜边长度为z，则有z^2 = 3^2 + 4^2。
计算得到z^2 = 9 + 16，进一步得到z^2 = 25。
因此，斜边的长度为5。
通过以上习题的解答，我们可以看到勾股定理在求解直角三角形问题中的应用。
它帮助我们确定了三角形的边长关系，从而解决了许多实际问题。
除了直角三角形，勾股定理还可以应用于其他几何形状。
例如，我们可以利用勾股定理计算矩形的对角线长度。
设矩形的长为a，宽为b，对角线的长度为c。
根据勾股定理，c^2 = a^2 + b^2。
这个公式可以帮助我们求解矩形的对角线长度，从而在实际问题中应用矩形的性质。
勾股定理的应用不仅限于几何学，它还可以在其他学科中发挥作用。
例如，物理学中的力学问题中，常常需要求解物体的速度、加速度等。
通过应用勾股定理，我们可以计算出物体在不同时间点的速度和加速度之间的关系，从而解决力学问题。
勾股定理证明(7种方法)
证明一图一在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中Ð A 为直角。
我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。
过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。
不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。
所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。
类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。
即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。
由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。
不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。
这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。
他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。
《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。
而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。
证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。
设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2化简得 a2 + b2 = c2由此得知勾股定理成立。
专题01 勾股定理的证明(解析版)
专题01 勾股定理的证明1．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a ，b ，斜边为c ，再做3个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2【答案】证明见解析【解析】【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明【详解】证明：①左图大正方形的边长为：a +b ，则面积为（a +b ）2，分成了四个直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形和一个边长为c 的小正方形，()22142a b ab c \+=´+；②右图大正方形的边长为：a +b ，则面积为（a +b ）2，分成了边长为a 的一个正方形，边长为b 的一个正方形，还有四个直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，()222142a b a b ab \+=++´；综上所述：2142ab c ´+()222142a b a b ab =+=++´，即222+=a b c ．【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD 和AC 都可以分割四边形ABCD ）【答案】证明见解析【解析】【详解】如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，根据S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝S△ADB+S△DCB 即可求解．【解答】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab＝12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2．【点睛】本题考查了等面积法证明勾股定理．解题得关键在于利用等面积法进行证明．3．如图，四边形ACFD是一个边长为b的正方形，延长FC到B，使BC＝a，连接AB，使AB＝C；E是边DF上的点且DE＝a．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b的式子表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．【答案】(1)△ABE 是等腰直角三角形，证明见解析；（2）b 2；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意可以得到△ADE ≌△ACB ，从而得到△ABE 是等腰直角三角形；（2）由（1）可得四边形ABFE 的面积=正方形ACFD 的面积=b 2；（3）由（2）可得正方形ACFD 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，把a 、b 、c 代入上式即可整理得a 2+b 2＝c 2．【详解】解：(1)△ABE 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ACFD 是正方形，∴AC =AD ，∠D =∠DAC =∠ACB =90°，∵CB =a =DE ，∴△ADE ≌△ACB ，∴AB =AE ，∠BAC =∠EAD ，∴∠BAE =90°，∴△ABE 是等腰直角三角形．(2)∵△ADE ≌△ACB ，∴四边形ABFE 的面积=正方形ACFD 的面积=b 2．(3)证明：∵四边形ABFE 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，∴正方形ACFD 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，∴()()221122b c b a b a =++-，∴22222b c b a =+-，∴a 2+b 2＝c 2．【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定方法、三角形与四边形面积的灵活计算是解题关键 ．4．如图，小明用6个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD ，EFGH ，MNPQ 都是正方形，证明：222+=a b c ．【答案】见解析【解析】【分析】根据4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形，列式计算即可求解．【详解】证明：由图得：4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形，∴()22142a b c ab +=+´，整理得：22222a ab b c ab ++=+，∴222a b c +=．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，得到4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形是解题的关键．5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，若AC b =，BC a =，请你利用这个图形说明222+=a b c ；【答案】见解析【解析】【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【详解】解：∵大正方形面积为2c ，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为()2b a -，∴()222214222c ab b a ab b ab a =´+-=+-+，即222c a b =+．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．7．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AE ⊥BD 于点E ，且△ABE ≌△BCD ．求证：AB 2＝BE 2+AE 2．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接AC ，根据四边形ABCD 面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC ，∵△ABE ≌△BCD ，∴AB =BC ，AE =BD ，BE =CD ，∠BAE =∠CBD ，∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠ABE +∠CBE =90°，∴∠ABC =90°，∴S 四边形ABCD =2111111222222ABD BDC S S BD AE BD CD AE AE BD BE AE BD BE D D +=×+×=×+×=+×，又∵S 四边形ABCD =2111111222222ABC ADC S S AB BC CD DE AB AB BE DE AB BE DE D D +=×+×=×+×=+×，2211112222AE BD BE AB BE DE +×=+×Q ，∴AB 2=AE 2+BD •BE -BE •DE ，∴AB 2=AE 2+（BD -DE ）•BE ，即AB 2=BE 2+AE 2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．8．【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在ABC V 中，90ACB Ð=°，四边形ADEB 、ACHI 和BFGC 分别是以Rt ABC V 的三边为一边的正方形．延长IH 和FG ，交于点L ，连接LC 并延长交DE 于点J ，交AB 于点K ，延长DA 交IL 于点M ．(1)证明：AD LC =；(2)证明：正方形ACHI 的面积等于四边形ACLM 的面积；(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．(4)【迁移拓展】如图2，四边形ACHI 和BFGC 分别是以ABC V 的两边为一边的平行四边形，探索在AB 下方是否存在平行四边形ADEB ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI 、BFGC 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)存在，见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和SAS 证明△ACB ≌△HCG ，可得结论；（2）证明S △CHG ＝S △CHL ，所以S △AMI ＝S △CHL ，由此可得结论；（3）证明正方形ACHI 的面积+正方形BFGC 的面积＝▱ADJK 的面积+▱KJEB 的面积＝正方形ADEB，可得结论；（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过这一点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以AB，AI为半径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求．(1)证明：如图1，连接HG，∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四边形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；(2)证明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC ≌△AMI （ASA ），由（1）知：△ACB ≌△HCG ，∴△AMI ≌△HGC ，∵四边形CGLH 是矩形，∴S △CHG ＝S △CHL ，∴S △AMI ＝S △CHL ，∴正方形ACHI 的面积等于四边形ACLM 的面积；(3)证明：由正方形ADEB 可得AB DE ∥，又AD LC P ，所以四边形ADJK 是平行四边形，由（2）知，四边形ACLM 是平行四边形，由（1）知，AD LC =，所以ACHI ADJK ACLM S S S ==正方形平行四边形平行四边形，延长EB 交LG 于Q ，同理有BFGC KJEB CBQL S S S ==正方形平行四边形平行四边形，所以+ACHI BFGC ADEB ADJK KJEB S S S S S +==正方形正方形正方形平行四边形平行四边形．所以222AC BC AB +=．(4)解：如图为所求作的平行四边形ADEB ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．9．阅读理解下列材料，并解决相应的问题．材料一：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．如图1，四边形ABCD 中，若AC BD ^，则12ABCD S AC BD =×四边形．材料二：人教版教材八年级下册介绍了几种利用全等直角三角形通过拼图证明勾股定理的方法．这些方法的共同特点：利用两种不同的方法计算同一个拼图的面积，然后建立等量关系，化简即可证明勾股定理．小文发现：把两块全等的直角三角板ACB 和直角三角板DEF 摆成图2的形状，点C 与点F 重合，并且点C ，E ，B 在同一条直线上，连接DA ，DB ．利用这种摆放方式，也能证明勾股定理．问题：如图2，已知(),90,,,ABC CDE ACB DEC BC DE a AC CE b a b Ð=Ð=°====>△≌△AB CD c ==，AB ，CD 交于点O ．求证：(1)AB CD ^；(2)222+=a b c ．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠CAB =∠DCE ，利用等角的余角相等得到结论（2）根据四边形的对角线垂直得到四边形的面积，再利用BDE ACBD ACED S S S =+V 四边形梯形得到四边形的面积，即可得到结论．(1)证明：∵△ABC ≌△CDE ，∴∠CAB =∠DCE ，∵∠DCE +∠ACO =90°，∴∠CAB +∠ACO =90°，∴∠AOC =90°，即AB ⊥CD ；(2)∵四边形ACBD 中，若AB ⊥CD ，∴21122ACBD S AB CD c =×=四边形．∵BDEACBD ACED S S S =+V 四边形梯形=()1122AC DE CE DE BE +×+×=()()1122b b a a a b ++-=221122b a +，∴222111222b ac +=，即222+=a b c ．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，应用题意的结论进行推论论证，正确理解题意并应用是解题的关键．10．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a 和b ，且a b <；最长的那条边叫做斜边，边长为c ）围成一个边长为c 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为b a -的小正方形．(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为2S c =，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为214()2S ab b a =´+-，∴2214()2c ab b a =´+-．化简等号右边的式子可得∴2c =_______．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．【答案】(1)a 2+b 2；(2)见解析【解析】【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；（2）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论．(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和ab+（b-a）2，表示为S=4×12ab+（b-a）2．∴c2=4×12化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2；(2)如图4，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，ab，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12∴c2+2ab=a2+b2+2ab，∴a2+b2=c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．11．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：(3)如图2，若6a =，8b =，此时空白部分的面积为__________；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，3OC =，求该风车状图案的面积．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．【解析】【分析】（1）运用等面积法4S S S =+△小正方形大正方形计算即可；（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法2BDE ACDE S S S =+△△梯形化简计算即可；（3）先用勾股定理计算出c ，再利用2S S S =-△空白大正方形计算面积即可；（4）将风车周长表示出来4()24C c b a =+-=风车，其中a =OC =3，得到b 、c 的等量关系，再结合勾股定理求解出b ，最后计算面积即可．(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为12S ab =△，空白小正方形的面积为2()S b a =-小正方形，整个围成的大正方形的面积为2S c =大正方形，∵4S S S =+△小正方形大正方形，即2222221()4222c b a ab b a ab ab b a =-+×=+-+=+，故222c b a =+；(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知2BDE ACDE S S S =+△△梯形 ，其中，1()()2ACDE S a b a b =++梯形，212BDE S c =△，12S ab =△，代入可得，22111()2222a b ab c +=×+，即222+=a b c ；(3)由图2可知，2S S S =-△空白大正方形，∵6a =，8b =，∴10c ==，则2S c =大正方形=100，∴21210068522S c ab =-×=-×=空白，故空白部分的面积为52；(4)由题意可知，风车的周长为4()24C c b a =+-=风车 ，其中OC =a =3，代入上式可得c +b =9，则c =9-b ，且222+=a b c ，即2229c b a -==，将c =9-b 代入得，22(9)9b b --=，解得b =4，则1144342422S ab =×=×××=风车．【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．12．勾股定理在全世界有超过400种证法，下面介绍欧几里得的证法：（不得直接运用勾股定理结论进行证明）在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°分别以AB ，BC ，AC 为边向Rt ABC V 外侧做正方形，求正方形，分别得到正方形ACDE ，正方形BCJK ，正方形ABGF ．(1)如图1，连接CF ，BE ，试证明线段CF 和线段BE 的数量关系．(2)如图2，过点C 作直线l AB ^交正方形ABGF 中AB 边于点H ，FG 边于点I ，求证：ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)设BC a =，AC b =，AB c =，运用此图合勾股定理的学习经验证明结论：222+=a b c ．（不得直接运用勾股定理结论证明）【答案】(1)EB ＝CF ，证明见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）连接BE ，CF ，再证明EAB CAF SAS （）△≌△即可；（2）首先得出，·ACDE S EA AC =正方形，·AHIF S AF AH =长方形，再根据EAB CAF △≌△可得结论；（3）根据第第二问结论，可得出ACDE AHIF S S =正方形长方形，BCJK BGHI S S =正方形长方形即可证明．(1)解：如图，连接BE ，CF∵ACDE ，BCJK 为正方形∴AC ＝AE ，AB ＝AF ，∠EAC ＝90°，∠BAF ＝90°EAB CAF Ð=Ð∴EAB CAF SAS （）△≌△ ∴EB ＝CF ．(2)证明：过B 作BR EA ^于点R ，·ACDE S EA AC =正方形．1·2EAB S EA BR =V ．∵BR ＝AC ∴12ACDE S 正方形＝EAB S V （同底等高三角形面积是长方形的一半）·AHIF S AF AH =长方形．1·2FAC S AF SC =V ．∵AH ＝SC ∴12FAC AHIF S S =V 长方形又∵EAB CAF△≌△∴EAB FACS S =V V ∴ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)证明：如图，已知ACDE AHIFS S =正方形长方形同理可证BCJK BGHIS S =正方形长方形∴ACDE BCJK AHIF BGHI S S S S +=+正方形正方形长方形长方形．即ACDE BCJK ABGFS S S +=正方形正方形正方形又∵2ACDE S b =正方形，2BCJK S a =正方形，2ABGF S c=正方形∴222+=a b c ．【点睛】本题考查了勾股定理的验证，理解题意根据图形，找出等量关系是解题的关键．13．（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心O ，作FG ⊥HP ，将它分成4份，所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以AB 为边的正方形．若AC ＝12，BC ＝5，求EF 的值．【答案】（1）222+=a b c ，见解析；（2）EF 为172或72【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；（2）分a ＞b 和a ＜b 两种情况求解．【详解】解：（1）222+=a b c （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：∵如图①，∵△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH ，∴AB =BC =CD =DA =c ，∴四边形ABCD 是菱形，∴∠BAE +∠HAD =90°，∴四边形ABCD 是正方形，同理可证，四边形EFGH 是正方形，且边长为（b ﹣a ），∵=4+ABE ABCD EFGHS S S △正方形正方形∴2211=4+()22c ab a b ´´´-，∴222+=a b c （2）由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形，设EF ＝a ，FD ＝b ，分两种情况：①a ＞b 时，∴a +b ＝12，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E 'F '＝EF ，KF '＝FD ，E 'K ＝BC ＝5，∵E 'F '﹣KF '＝E 'K ，∴a ﹣b ＝5，∴=125a b a b +ìí-=î解得：a =172，∴EF =172；②a ＜b 时，同①得：=125a b b a +ìí-=î，解得：a =72，∴EF =72；综上所述，EF 为172或72．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．14．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积1S，2S，3S之间满足的等量关系是：__________．迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，3，2，则正方形E的面积是________．【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积1S，2S，3S之间满足的等量关系是________．迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，分别以三边为直径作半圆．若5a =，13c =，则图中阴影部分的面积等于________．【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S 1+S 2=S 3；迁移应用：47；【探究三】S 1+S 2=S 3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为736尺．【解析】【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S 1+S 2=S 3；迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为正方形E 的面积；【探究三】利用直角△ABC 的边长就可以表示出半圆S 1、S 2、S 3的大小；迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+212´ab=a2+b2+ab；图③的面积为c2+212´ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；【探究三】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=18πc2，S1=18πa2，S2=18πb2，∴S1+S2=18πa2+18πb2=18πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+12ab-S3=12ab，∵a=5，c=13，∴b==12，∴阴影部分面积和=12×5×12=30，故答案为：30；【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=736，答：绳索长为736尺．【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．。
(完整版)勾股定理经典题目及答案
勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____ 依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
数学勾股定理(讲义及答案)附解析
一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．92．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=54．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5D ．a ＝3，b ＝4，c ＝65．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30,40,60B ．7,12,13C ．6,8,10D ．3,4,67．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A．北偏西15︒B．南偏西75°C．南偏东15︒或北偏西15︒D．南偏西15︒或北偏东15︒8．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（）A．杨辉B．刘徽C．祖冲之D．赵爽9．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．154C．5 D．15210．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，设正方形ADOF的边长为x，则210x x+=（）A．12 B．16 C．20 D．24二、填空题11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___．12．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．14．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．15．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.16．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.17．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°19．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB，且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．24．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．29．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．30．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=11022a a ⋅⋅=，'AB C △的面积=142b ⋅=∴2a = 2b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 2=∴'ABC △的面积=212c ⋅=6= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积2．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由AC=BC=4，则AE=3=DE ，由勾股定理可得， ①正确；1>，②正确；由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB ，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF ，③正确；△DCE 的周长，△BDF 的周长+4-4个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.3．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、2222+≠，故错误；B 、22213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.4．B解析：B【分析】根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．【详解】A 、∵72+82≠102，∴△ABC 不是直角三角形；B 、∵52+42＝)2，∴△ABC 是直角三角形；C 、∵2222，∴△ABC 不是直角三角形；D 、∵32+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形；故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．5．C解析：C【详解】如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．考点：勾股定理的证明．6．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.7．C解析：C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．8．D解析：D【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．故选D ．【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．9．B解析：B【分析】首先根据题意得到BE=DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设ED=x ，则AE=6-x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6-x）2，解得：x=154，∴ED=154．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．10．D解析：D【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．【详解】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=,6.52AF AE == 故答案为：6.5．12．①③【分析】 ①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．13．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1，OA 3=2，OA 4=3，…OA 2019=2018，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A 2019在x 轴正半轴上．∵OA 2019=）2018，∴点A 2019的坐标为（2018,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 14．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt △ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt △ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；②当D 点在BC 下方时，如图2，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1所示，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCE ，则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．15．232【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4， ∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：23或2【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.16．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE是等腰直角三角形==所以20所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.17．7【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD故答案为：7【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．18．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠=，ABC60∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC60∴△BPQ是等边三角形，①正确.∴PQ=BP=4，222222PQ QC PC+=+===，4325,525222∴+=，PQ QC PC∴∠=，即△PQC是直角三角形，②正确.PQC90∵△BPQ是等边三角形，∴∠=∠=，60PBQ BQP∵△BQC≌△BPA，∴∠APB=∠B QC，∴∠=∠=+=，③正确.BPA BQC6090150∴∠=---∠=-∠，APC QPC QPC36015060150，，∠=≠PQC PQ QC9045QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.19．100【解析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是90cm 和50cm ，则所走的最短线段AB==10cm ；第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是110cm 和30cm ，所以走的最短线段AB==10cm ；第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，所以走的最短线段AB==100cm；三种情况比较而言，第三种情况最短．故答案为100cm．点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．20．3或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=12AC=12×8=4，由勾股定理得，22228443AC BC-=-=43333AD∴==当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，∴∠ADP=90°，则AD2+PD2=AP2，即（32=（2PD）2-PD2，解得，PD=3，当点P在AB上时，AP=2PD，3∴3当点P在BC上时，AP=2PD，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()(22223x x ∴-=-解得，故答案为：3【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．三、解答题21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°， ∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或63【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3∴AC ()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC为等边三角形，过D作DG⊥AC于G，则∠ADG=160302⨯︒=︒，∴122AG AD==，22224223DG AD AG=-=-=，∴S△ADC=1423432⨯⨯=，S△ABC=12AB×BC=23，∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63；②当CD=CB=BD=23时，如图所示：∴△BDC为等边三角形，过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=160302⨯︒=︒，∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=，∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F，∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，∴DF=123S△ADB=12332⨯=，∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．∴邻和四边形ABCD的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．23．（1）AE=BD且AE⊥BD；（2）6；（3）PQ为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE⊥BD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，可得AE⊥BD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长．【详解】解：（1）AE=BD，AE⊥BD，理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE⊥BD；（2）∵PE=EQ，AE⊥BD，∴PA=AQ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D在AB的延长线上，∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ，AE⊥BD，∴PA=AQ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ；②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF ，CE=CE∴△ECF ≌△ECD∴EF=ED在Rt △EFG 中，EF 2=FG 2+EG 2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12BF ， ∴EF 2=（EB+12BF ）2+（32BF ）2 ∴DE 2= （EB+12AD ）2+（3AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）①详见解析；（2）2222CD n =+-1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90° ∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90° ∴由勾股定理得222DFCD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.28．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=12（c-a ），AG=12（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt △ABC 是类勾股三角形，∴ab +a 2＝c 2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；。
勾股定理证明题试题及参考答案
勾股定理证明题试题及参考答案勾股定理是数学常见的定理，这些定理该怎么证明呢？证明的方法是怎样的呢？下面就是店铺给大家整理的勾股定理证明题内容，希望大家喜欢。
勾股定理证明题一已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的结论。
(要详细解题过程)因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2勾股定理证明题二设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC由勾股定理MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)由(1)(2)(3)(4)(5)可得AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2即AE^2=AF^2AE=AF中学勾股定理课堂实录师:我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。
勾股定理及逆定理答案与解析
勾股定理一、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
二、勾股定理内容及证明勾股定理内容：1.文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股勾2+股2=弦22.符号描述：如果直角三角形的两直角边边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2aba2+b2=c2注意：勾股定理的结论有许多变形，如下所示c2=a2+b2，a2=c2−b2，b2=c2−a222,bc a a=勾股定理的证明：[例] 已知正方形ABCD 边长为c 。
过点A 作任意直线，过B 点作该直线的垂线交于点E ，同理过C 点作BE 的垂线。
设直角三角形ABE 两直角边分别为AE=b ，BE=a 。
求证a 2+b 2=c 2证明：易证，四个直角三角形全等。
故：=4+S S S 大正方形三角形小正方形即：221c =4a b+b-a 2（）化简得c 2=a 2+b 2即在直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、例题精讲：题型一、勾股定理的应用[例一]（1）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a ，较长直角边为b ，那2A ． 13B ． 14C ． 25D ．169考点： 勾股定理。
分析： 根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解。
解答： 解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣1， ∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25． 故选C ．点评： 本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a ，b 的关系。
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1、勾股定理与几何证明的综合问题 1
2
练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 3
4
1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高. 证5
明： 6
（1）BD AD CD •=2 7
（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）
8 （2）
222111CD BC AC =+ 9 10
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练习二、将勾股定理应用于四边形 16
1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD . 17
（1）证明：若BD AC ⊥，则2222BC AD CD AB +=+； 18
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2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a 、28
b 、
c 、
d . 29
求证：422222≤+++≤d c b a . 30
31
假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 32
∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形33
∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²∵m1+m2=正方形边长即为34
“1”（其他同理）35
∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²整理之36
后得到：37
a²+b²+c²+d²=2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/38
2)²+1/2=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2m1、n1、p1、q139
的长都是最大为1最小为0它们都等于1/2时值最小，都等于1时值最大那么40
a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4 41
42
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46
练习三、勾股定理结合图形变换 47
48
1、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 的面49
积。
50
51
52
53
证明：
54
分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，55
D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
56
得到四边形AEGF是正方形，
57
根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
58
设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，
59
则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，
60
在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，61
解得：x=6；
62
63
4、已知,如图在四边形ABCD
64
中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:
2
2
2BD
AB
BC=
+
65
证明：连结AC,
66
因为AD=DC,∠ADC=60°67
则△ACD 是等边三角形. 68
过B 作BE⊥AB,使BE=BC, 69
连结CE,AE 则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60° 70
∴△BCE 是正三角形, 71
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60° 72
∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60° 73
∴∠ACE=∠DCB 又DC=AC,BC=CE 74
所以△DCB≌△ACE 75
所以AE=BD
76 在直角三角形ABE 中222BE AB AE += 77
即222BC AB BD +=
78。