最新勾股定理与几何证明答案

1、勾股定理与几何证明的综合问题 1

2

练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 3

4

1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高. 证5

明： 6

（1）BD AD CD •=2 7

（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）

8 （2）

222111CD BC AC =+ 9 10

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练习二、将勾股定理应用于四边形 16

1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD . 17

（1）证明：若BD AC ⊥，则2222BC AD CD AB +=+； 18

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2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a 、28

b 、

c 、

d . 29

求证：422222≤+++≤d c b a . 30

31

假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 32

∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形33

∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²∵m1+m2=正方形边长即为34

“1”（其他同理）35

∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²整理之36

后得到：37

a²+b²+c²+d²=2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/38

2)²+1/2=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2m1、n1、p1、q139

的长都是最大为1最小为0它们都等于1/2时值最小，都等于1时值最大那么40

a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4 41

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练习三、勾股定理结合图形变换 47

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1、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 的面49

积。 50

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证明：

54

分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，55

D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，

56

得到四边形AEGF是正方形，

57

根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，

58

设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，

59

则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，

60

在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，61

解得：x=6；

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4、已知,如图在四边形ABCD

64

中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:

2

2

2BD

AB

BC=

+

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证明：连结AC,

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因为AD=DC,∠ADC=60°67

则△ACD 是等边三角形. 68

过B 作BE⊥AB,使BE=BC, 69

连结CE,AE 则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60° 70

∴△BCE 是正三角形, 71

又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60° 72

∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60° 73

∴∠ACE=∠DCB 又DC=AC,BC=CE 74

所以△DCB≌△ACE 75

所以AE=BD

76 在直角三角形ABE 中222BE AB AE += 77

即222BC AB BD +=

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