传热学-第二章(二)
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章
根据第一类边界条件时的结果:
dt tw1 tw2 1
（此时壁温tw1和tw2为未知）
dr
ln r1 r
r2
与以上两个边界条件共三式变形后
相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
ql
tf1 tf2 1 1 ln r2 1
tf1 tf 2
1 1 ln d 2 1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2 h1d1 2 d1 h2d 2
x h2 t x t f 2
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知）
q dt tw1 tw2 dx
与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层平壁的热流密度：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
多层平壁的热流密度：
接触热阻的定义：
Rc
tc
接触热阻的影响因素： 粗糙度
挤压压力 硬度匹配情形 空隙中介质的性质
减小接触热阻的措施： 表面尽量平整 增加挤压压力
两表面一软一硬 涂导热姆
第七节 二维稳态导热
应用领域：房间墙角，地下埋管，矩形保温层，短肋片
二维稳态导热微分方程：
2t x2
2t y 2
0
解析法
二维稳态导热问题的研究手段：
几种导热过程的形状因子
第二章重点：
1.各种稳态导热问题的数学模型 和求解方法
2.临界热绝缘直径问题
3.肋片性能分析
请同学们思考一个问题:
肋高越大，肋的散热面积越大，因而采用 增加肋高的方法可以增加肋的散热量。这 种方法在实际换热器设计中是否可行？若 可行，是否会有某些局限性？
《传热学》课后习题答案-第二章
t q＝－gradt n x ，其中： gradt 为空间某点的温 答：傅立叶定律的一般形式为： 度梯度； n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向； q 为该处的热流
密度矢量。 2 已知导热物体中某点在 x,y,z 三个方向上的热流密度分别为 热密度矢量？
W /( m 2 .K ) 。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。 t 60 基板的另一面维持在温度 t1 30 ℃。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度 0 ℃，试
确定辐射热流密度 q 应为多大？薄膜的导热系数
f 0.02W /( m.K )
, 基板的导热系数
2-3 有一厚为 20mm 的平板墙，导热系数为 1.3 W /( m.K ) 。为使每平方米墙的热损失不超过 1500W,在外表面上覆盖了一层导热系数为 0.12 W /( m.K ) 的保温材料。已知复合壁两侧的温 度分别为 750℃及 55℃，试确定此时保温层的厚度。 解：依据题意，有
q
1 2 1 2
q1
解：
Q Aq 41.95W q2 5200 44.62 q 116 . 53 1 所以
1 2 3 1 2 3 ＝116.53W/ m 2
t1 t 2
q2
t1 t 2
1 1
5200w / m
2-10 某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户，如附图所示。已知玻璃厚δg=3 ㎜，空气夹层宽δ 。玻璃面向室内的表面温度 ti=15℃，面向室外 air=6 ㎜，玻璃的导热系数λg=0.8W/（m·K） 的表面温度 to=-10℃，试计算通过三层玻璃窗导热的热流密度。 解： 2-11 提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。 为了是发动机的叶片能承受更高 的温度而不至于损坏， 叶片均用耐高温的合金制成， 同时还提出了在叶片与高温燃气接触的 表面上涂以陶瓷材料薄层的方法， 如附图所示， 叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷 却。陶瓷层的导热系数为 1.3W/（m·K） ，耐高温合金能承受的最高温度为 1250K，其导热 系数为 25W/(m·K)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻为 10-4 ㎡· K/W。 如果燃气的平均温度为 1700K， 与陶瓷层的表面传热系数为 1000W/(㎡· K)， 冷却空气的平均温度为 400K，与内壁间的表面传热系数为 500W/(㎡·K)，试分析此时耐高 温合金是否可以安全地工作？ 解： 2-12 在某一产品的制造过程中，厚为 1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为 0.2mm。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为 20℃，对流换热表面传热系数为 40
传热学第2章2
NCEPU
矩形、 矩形 、 三角形直肋及矩形环肋的肋片效率见书中 41、42页图 页图2 14、 15。 第41、42页图2－14、2－15。
Φs
Department of Power Engineering, North China Electric Power University (Beijing 102206) 杨立军 知识产权与使用权归华北电力大学能源与动力工程学院所有
NCEPU
代入导热微分方程式， 代入导热微分方程式，得
d 2t hP − ( t − t∞ ) = 0 2 dx λ Ac
sinh ( mH ) = Aλ mθ 0 cosh ( mH ) x =0
NCEPU
肋片效率定义： 肋片效率定义： 肋片的实际散热量 Φ 与假设整个肋 片都具有肋基温度时的理想散热量Φ0之比
2. 肋片效率
式中t 式中tm、θm分别为肋面的平均温度和平均过余温度， t0、 分别为肋面的平均温度和平均过余温度， θ0分别为肋基温度与肋基过余温度。 分别为肋基温度与肋基过余温度。 小于1 由于θm< θ0 ，所以肋片效率ηf 小于1。 因为假设肋表面各处h都相等， 因为假设肋表面各处 h都相等 ， 所以等截面直肋的 平均过余温度可按下式计算： 平均过余温度可按下式计算： L L cosh m ( H − x ) 1 1 dx = θ 0 tanh ( mH ) θ m = ∫ θ dx = ∫ θ 0 H 0 cosh ( mH ) mH H 0 tanh ( mH ) 可见，肋片效率是mH的函数 的函数。 可见，肋片效率是mH的函数。 ηf = mH NCEPU
《传热学讲义—第二章》
第二章稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1第一类边界条件研究的问题：（D 几何条件：设有一单层平■壁，厚度为a,其宽度、高度远大丁其厚度（宽度、高度 是厚度的10倍以上）。
这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度 方向发生变化。
（届一维导热问题）（2） 物理条件：无内热源，材料的导热系数入为常数。
（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度t wi 和t w2 , t wi t w2。
（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平■壁的温度分布及通过平■壁的热流密度值。
方法1导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热 问题（温度只在x 方向变化）。
导热微分方程式为： 史 0 （2-1） dx 2边界条件为：t x0 t w 1 , t x t w 2（2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解：t c 1x c 2t w 2 t w 1这里C 1、C 2为常数，由边界条件确定，解得：C1C 2 t w 1最后得单层平壁内的温度分布为：t t w 1 %」曳x由丁 a 、t w 1、t w 2均为定值。
所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），虫―宜const（2-6）dx0—1I~Dfl ——单屋平惬(2-3)(2-4)(2-5)热流密度为：q 史—(t W l t w2) W /m2(2-7)dx若表面积为A,在此条件下，通过平壁的导热热流量则为：qA A— t W考虑导热系数随温度变化的情况:通过平壁的导热热流密度为:dt dtq 0(1 bt) —dx dx竺一1 ]bt t 0 1 2 b t W1 t W21式中，0 1 2bt W1 t W21 22 m则q —(t W1 t W2)从上式可以看出，如果以平壁的平均温度t m虹上来计算导热系数，则平壁的热流密2度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式:(2-8)对丁导热系数随温度线形变化，即0(1 bt),此时导热微分方程为: d dt °0 dx dx解这个方程，最后得:t2bt2bt 2 Wi W2t W2)t W1(t W it、W 一t W2说明：壁内温度不再是直线规律, 而是按曲线变化。
传热学课件第二章导热基础理论
也称导温系数,
单位为m2/s。
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源：V = 0 t a2t
(2) 稳态导热： t 0 a2t V 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t 2t 2t 2t = 0，即 x2 y2 z2 0
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
第二章 导热基础理论
例内重基 题容点本 赏精难要 析粹点求
基本要求
1． 理解温度场、等温面（线）、温度梯 度、热流密度等概念。
2． 掌握傅立叶定律及其应用。 3. 掌握热导率和热扩散率的定义、意
义、影响因素和确定方法。 4． 能写出典型简单几何形状物体导热问
题的数学描述表达式。
重点与难点
重点： 1. 傅里叶定律与热导率。 2. 导热微分方程及单值性条件。 难点： 1. 傅里叶定律的矢量表达式。 2. 导热微分方程及单值性条件。
标量形式的付里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的导热系数相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q
t x
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
2024/11/6
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
《传热学》第2章-稳态导热
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
传热学-清华大学 (2)
b2 bq当§2-2 通过复合平壁的导热工程上会遇到这样一类平壁：无论沿宽度还是厚度方向，都是由不同材料组合而成——复合平壁在复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。
如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙若B、C、D材料的导热系数相差较大时，应按二维或三维温度场计算。
准确的方法是数值求解。
作为近似的简便计算，可按上述第一种方法、根据串、并联热阻方法计算总热阻后，再加以修正自学例题2-3= tc wln( 2t t w =∴h1h2h1h21r1h1h2λλins q l（1）增加温差（（2）减小热阻：在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段如：钢片式暖气片；汽车水箱及家用冰箱、空调的散热片等肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面电子器件冷却微细板翅结构1、等截面直肋的稳态导热严格地说，肋片中的温度场是三维l的。
其温度分布取决于内部x、y、z三个方向的导热热阻以及表面与流体之间的对流换热热阻。
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：（1）λ大、δ<<H，认为温度沿厚度变化很小；（2）宽度l >>δ，认为肋片温度只沿高度方向变化简化为一维温度场dx dtAΦx λ−=ldt d Φ=hUdx Φcdt稳态条件下肋片表面的散热量(th m A d AΦ⋅=−=θλθλl（2）上述分析近似认为肋片温度场为一维。
当Bi=hδ/λ≤0.05 时，误差小于1%。
对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h 不是均匀一致的—数值计算l（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定的条件才能增加散热量。
设计肋片时要注意这一点。
（参考《传热学》俞佐平等编）当m数值一定时，随着肋片高度肋片散热量的计算方法：设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难易程度、价格、空间位置的限制等（2）计算出理想情况下的散热量Φ0=hUH (t 0-t ∞)（1）由图线或计算公式得到ηf（3）由式Φ= ηf Φ0计算出实际散热量Φ§2-5 通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触——给导热带来额外的热阻（Thermal contact resistance）——接触热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大。
传热学 第二章 对流换热
δtt
tw
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
在层流边界层中， 在层流边界层中，热量的传递只能依靠流体层与层间的 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中， 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中，层流底 层的热量传递方式仍是导热， 层的热量传递方式仍是导热，但在层流底层以外存在着对 因而对流换热较强。 流，因而对流换热较强。所以对流换热实际上是包括流体 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时， 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时，则层流底层 越薄，对流换热越强烈。 越薄，对流换热越强烈。
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
（一）速度边界层 当粘性流体流过固体壁面时， 当粘性流体流过固体壁面时，若用仪器测出沿壁面法线方 方向不同点的速度u，将得到如图所示的速度分布图。 向Y方向不同点的速度 ，将得到如图所示的速度分布图。 方向不同点的速度 它表明从y=0处u=0开始，速度u随着 方向离壁面的距离 它表明从 处 开始，速度 随着y方向离壁面的距离 开始 随着 的增加而迅速增大，经过厚度为δ的薄层 的薄层， 接近达到主流 的增加而迅速增大，经过厚度为 的薄层，u接近达到主流 速度u ，这个y= 的薄层即为速度边界层 的薄层即为速度边界层， 为边界层厚 速度 ∞，这个 δ的薄层即为速度边界层， δ为边界层厚 度。边界层厚度理论上应等于由壁面到流体达到主流速度 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定， 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定，故通常把 u/ u∞=0.99处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。实验 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度 表明δ与壁面尺寸 相比是一个极小的量。 与壁面尺寸L相比是一个极小的量 表明 与壁面尺寸 相比是一个极小的量。
传热学-第二章2
h1 h2
= ql
r2
= 2πr2h2 (tw2 − t f 2 )
tf1 −tf 2 ql = r2 1 1 1 + ln + h 2πr 2πλ r h2 2πr2 1 1 1 = t f1 −t f 2 Rl
[W m]
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
(1) 单层圆筒壁 思考：温度分布应如何求出？ 思考：温度分布应如何求出？ (2) 多层圆筒壁
q 第二层： 第二层： =
λ1 δ (t1 − t 2 ) ⇒ t2 = t1 − q 1 δ1 λ1
λ2 δ (t 2 − t3 ) ⇒ t3 = t2 − q 2 δ2 λ2
M
第i
q 层： =
M
λi δ (ti − ti +11 ) ⇒ ti +1 = ti − q i δi λi
多层、 多层、第三类边条
1
t2 − t1
=−
∫ t λ(t)
t2
1
t2 − t1
x2
1
(t2 − t1 )
λ=
∫t λ ( t ) dt
t 2 − t1
⇒
Φ =
λ ( t1 − t 2 )
∫x
dx A( x)
随温度呈线性分布时， 当 λ 随温度呈线性分布时，即λ ＝ λ0＋at，则 ，
t1 + t2 λ = λ0 + a 2 实际上，不论 λ 如何变化，只要能计算出平均导热系 实际上， 如何变化， 就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式， 数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只 是需要将λ换成平均导热系数。 是需要将λ换成平均导热系数。
s
= tw
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
传热学-第二章(二)
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r ) 0 dr dr
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2 时 t t w 2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分 应用边界条件
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
直接积分，得：
t t1
x
dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
t2 o
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w 2 c1 ln r2 c2
t w 2 t w1 ; c1 ln(r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 t w1 (t w 2 t w1 ) ln(r2 r1 )
将系数带入第二次积分结果
t 2 t1 t t1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
o
x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
x 0, t t w1 第一类边条： x , t t w2
通过球壳的导热自己推导
5 其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1) 求解导热微分方程，获得温度场； (2) 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时， 一维Fourier定律：
传热学课件第二章导热基础理论精选全文
对于大多数工程材料，热导率都是温度的
函数。在日常生活和工业应用的温度范围内，
可近似地认为热导率随温度线性变化，并表示
为： （ 0 1 bt）
（2-5）
λ0—按公式计算的0℃时的热导率
b—实验测定的系数，b>0或b≤0
常取t=(t1+t2)/2 一般材料生产厂家都会随材料提供其热导
率的数值,工程中的常用材料在特定温度下的热 导率值可参看附录，查取热导率数值时,应注意 材料的确切名称、密度、使用温度范围等。
内容精粹
§1 导热的基本概念 §2 导热的基本定律 §3 热导率 §4 导热微分方程和单值性条件
第一节 导热的基本概念
一、温度场
1.概念
在某一时刻τ，物体内所有各点温度分 布的总称，称为该物体在τ时刻的温度场。
一般，温度场是空间坐标和时间的函数，在 直角坐标系中可表示为：
t=f (x,y,z,τ)
作为热工技术人员应掌握一些常用材 料的热导率数据。
第四节 导热微分方程式及单值性条件
目的：求解温度场 t f x, y, z,
一、 导热微分方程式的导出
依据：能量守恒和傅里叶定律。 假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；
2）有内热源，强度为 ，V 表示单位时间、单位
体积内的生成热，单位为W/m3 。
第二节 导热基本定律
法国数学家傅立叶（J.B.J.Fourier）在 对导热过程进行实验研究的基础上,发现了导 热热流密度与温度梯度之间的关系,于1822年 提出了著名的傅立叶定律即导热基本定律。
一、数学q表达式g：rad
t
t
n
W/m2
n
式中“-”号表示
q
与gradt二者方向相
传热学第二章
刘彦丰华北电力大学工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？第二章导热基本定律及稳态导热刘彦丰华北电力大学本章内容简介2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）2-4 通过肋片的导热分析2-5 具有内热源的导热及多维导热回答问题1和2回答问题3具体的稳态导热问题刘彦丰传热学Heat Transfer 华北电力大学一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直角坐标系中非稳态温度场),,,(τz y x f t =稳态温度场),,(z y x f t =一维温度场二维温度场三维温度场)(x f t =),(τx f t =),(y x f t =),,(τy x f t =),,(z y x f t =),,,(τz y x f t =2-1 导热基本定律刘彦丰传热学Heat Transfer华北电力大学2、温度分布的图示法传热学Heat Transfer 2、温度分布的图示法等温线传热学Heat Transfer二、导热基本定律(傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律.法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。
曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。
后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。
刘彦丰华北电力大学在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积，方向与温度梯度相反。
1、导热基本定律的文字表达：nntgradt q ∂∂−=−=λλ2、导热基本定律的数学表达：t+Δt tt-Δt刘彦丰华北电力大学3、意义已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
大学《传热学》试题及答案(二)
大学《传热学》试题及答案第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K ／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tw1 tw2 1 ln(r2 r1) r 2
若 tw1 tw2 :
d 2t 0 dr2
向上凹
若 tw1 tw2 :
d 2t dr 2
0
向上凸
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
t
tw1
(tw1
ln( r tw2 ) ln( r2
r1 ) r1 )
dt tw1 tw2 1 dr ln(r2 r1) r
2.3.2 通过圆筒壁的导热
1 单层圆筒壁
圆柱坐标系：
c t
1 r
(r t ) r r
1 r2
(
t ) z
(
t ) Φ z
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。
一维、稳态、无内热源、常物性：
d (r dt ) 0
(a)
dr dr
第一类边界条件：
r r
r1时 r2时
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认 为接合面上各处的温度相等
t2
t3 t4
❖ 边界条件： x 0
n
x i i1
t t1 t tn1
❖ 热阻：
r1
1 1
, , rn
n n
t1
t2
t3
t4
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 tn1
n
ri
i 1
t1 tn1
n i i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一层：q
1 1
(t1
t2
)
t2
t1
q
1 1
第二层：q
2 2
(t2
t3
)
t3
t2
q
2 2
第
i
层：q
i i
(ti
ti11)
ti1
ti
q
i i
多层、第三类边条
q
1 h1
tf1 tf2
n
i1
i i
1 h2
tf1 h1
t2
t3
h2
tf2
单位：
W m2
传热系数？
？
？
tf1
t1
t2
t3
t2
tf2
三层平壁的稳态导热
t1 t2
o
线性分布
t
t2
t1
x
t1
dt
t2
t1
dx
带入Fourier 定律
q
t2
t1
t
t
(A)
r
R A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2 多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成
t1
• 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
Φ tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
L
ln
ri1 ri
ql
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
ln
ri1 ri
W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热
ql r1 2r1h1 (t f 1 tw1 ) ql
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
h1
ql r 2 2r2h2 (tw2 t f 2 )
h2
ql
1
tf1 tf 2 1 ln r2
1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2
tf1 tf 2 Rl
W m
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
多层圆筒壁传热
ql
1
tf1 tf2
n
1
ln di1
1
h1d1 i1 2i di h2dn1
2.3.3 通过球壳的导热
类似地，可通过球壳的导热推导出2-33，2-34，2-35式
Φ A dt
dx
当＝(t), A=A(x)时，
Φ (t) A(x) dt
dx
分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)，得
x2 x1
dx A( x)
tt1Φ2 (t)d(tt()ttA22(x)ttdd11x)t
t2
t1
(t
)
t2 t1
(t2Biblioteka t1 )t2t1
(t )dt
t2 t1
q dt tw1 tw2
dr r ln(r2 r1)
W m2
虽然是稳态导热，但 热流密度 q 与半径 r
成反比！
Φ
2
rlq
tw1 ln( r2
tw2 r1 )
tw1 tw2 R
2 l
W
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
4 n层圆筒壁 •由 不 同 材 料 构 成 的 多 层 圆 筒 壁 ， 其 导热热流量可按总温差和总热阻计算
Φ
tf1 tf2
1
1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
（1）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻：
a) 金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略
§2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平 板和圆柱内的导热。 直角坐标系： c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ
x x y y z z
2.3.1 通过平壁的导热
1 单层平壁的导热
a 几何条件：一维大平壁厚度；
b 物理条件：、c、 已知；无内热源
t tw1 t tw2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
tw1 c1 ln r1 c2 ; tw2 c1 ln r2 c2
应用边界条件 获得两个系数
c1
tw2 tw1 ln( r2 r1)
;
c2
tw1
(tw2
tw1)
ln r1 ln( r2 r1)
t
tw1
tw2 ln( r2
tw1 r1 )
ln(
r
r1 )
将积分常数带入通解
显然，温度呈对数曲线分布
圆筒壁内温度分布：
t
tw1
(tw1
tw2
)
ln( r ln( r2
r1 ) r1 )
•圆筒壁内温度分布曲线的形状？
dt tw1 tw2 1; dr ln(r2 r1) r
d 2t dr 2
2.3.4 带第二类、第三类边界条件的导热实例
2.3.5 变截面或变导热系数的一维问题
求解导热问题主要有两种途径：
(1) 求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律计 算热流量;
(2) 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热
问题，可以不通过温度场而直接应用Fourier定律获得 热流量。此时， 一维Fourier定律：
(t1 t2 )
x2 x1
dx A( x)
当 随温度呈线性分布时，即 ＝ 0＋at，则
0
a t1
t2 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系
数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只
是需要将换成平均导热系数。
§2-4 通过肋片的导热
第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：
c 时间条件： 稳态导热 : t 0
d 边界条件：第一类
o x
根据上面的条件可得：
控制
方程
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
边界
条件
第一类边条：
x 0,
x ,
t t
tw1 tw2
t
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1