巧用旋转法解几何题
初三数学旋转模型(含详细解析)
∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°，
∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,，
∵PQ=QD=CQ，∴∠PCQ＝∠DCQ＝15°∴∠PCD=30°∴∠PCB=60°
∵PC=BC=CD∴ΔPBC为等边三角形
例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。
8.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是．
9.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后，得到矩形AB′C ′D′，如果CD=2DA=2，
那么CC′=_________．
(第13题)
10.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至少旋转____________度后能与原来图形重合．
【分析】：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
【解析】：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为 ，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图（1）中的 绕顶点 逆时针旋转 ，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．
3、如图，P是等边△ABC内一点，PA=2， ，PC=4，求BC的长。
旋转解形法
旋转解形法旋转解形法是一种常用的几何解题方法，通过将图形旋转使其变得更易处理或更容易观察，从而解决几何问题。
在这种方法中，我们可以利用旋转对称性或旋转变换来简化问题，找到问题的解决方案。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个正方形，边长为a，我们想要计算其面积。
正方形的面积公式为A=a²，但是如果我们将正方形旋转45度，我们会发现它变成了一个菱形，其对角线的长度为a。
菱形的面积公式为A=1/2×d1×d2，其中d1和d2分别是菱形的两条对角线。
由于菱形的两条对角线长度相等，所以A=1/2×a×a=1/2a²，这与正方形的面积公式相同。
因此，通过旋转解形法，我们可以得到正方形的面积公式。
除了计算面积，旋转解形法还可以在解决其他几何问题时发挥重要作用。
例如，我们可以利用旋转解形法来证明两个三角形相似。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要证明它们相似。
首先，我们将三角形ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度使边AB与边DE重合，然后我们再将三角形ABC绕顶点B逆时针旋转一定角度使边BC与边EF重合。
这样，我们就得到了一个旋转后的三角形A'B'C'，其中A'B'与DE重合，B'C'与EF重合。
由于旋转变换保持形状不变，所以A'B'C'与ABC相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出三角形ABC与DEF相似的结论。
在解决几何问题时，旋转解形法还可以帮助我们观察和发现一些性质。
例如，我们可以利用旋转解形法来证明一个正五边形的内角和为540度。
我们将正五边形绕其中一个顶点旋转72度，得到一个旋转后的正五边形。
由于旋转变换保持形状不变，所以旋转后的正五边形与原来的正五边形相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出旋转后的正五边形的内角和也为540度。
因此，我们可以得出正五边形的内角和为540度的结论。
解决旋转问题的思路方法
解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。
整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
几何图形旋转常见问题一、填空题1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，那么它们的公共局部的面积等于．2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm．3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转〔如图3所示〕，直至点P第一次回到原来的位置，那么点P运动路径的长为cm．4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，那么△ADE的面积是．二、解答题5.如图5-1，P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图5-2，假设四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？假设是，请给予证明；假设不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按以下步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4.根据以上过程，解答以下问题：(1)假设点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标；(2)请你在图6－2中画出第二个叶片F2；(3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？7.如图7，在直角坐标系中，点P0的坐标为(1,0)，将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn〔n为正整数〕.〔1〕求点P6的坐标；〔2〕求△P5OP6的面积；〔3〕我们规定：把点Pn (xn,yn)〔n=0,1,2,3,…〕的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn |,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标〞．根据图中点Pn的分布规律，请你猜测点Pn的“绝对坐标〞，并写出来．8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H 〔如图8〕．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜测，然后再证明你的猜测．9.如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片〔如图9－2〕，量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合〔在图9－3至图9－6中统一用F表示〕图9－1 图9－2 图9－3 小明在对这两张三角形纸片进展如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.〔1〕将图9－3中的△ABF沿BD向右平移到图9－4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；F交DE于〔2〕将图9－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A1点G，请你求出线段FG的长度；交DE于点H，请证明：〔3〕将图9－3中的△ABF沿直线AF翻折到图9－6的位置，AB1AH﹦DH.图9－4 图9－5 图9－6参考答案一、1. 2. 6－2 3二、5. 解：〔1〕解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.〔2〕不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP 不成立.〔3〕连接BE、DF，那么BE与DF始终相等.在图1-1中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有 BE=DF .6. 解：〔1〕B〔6,1〕〔2〕图略〔3〕线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由〔1〕知B点坐标为〔6,1〕，∴OB2＝OD2＋BD2＝62＋12＝37.∴线段OB扫过的图形面积是.7. 解：〔1〕根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P6(0,26)，即P6(0,64)．〔2〕由可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn，设P1(x1,y1)，那么y1=2sin45°=,∴.又∵,∴.〔3〕由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n.①当n=8k或n=8k+4时〔其中k为自然数〕，点Pn 落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(2n,0)；②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时〔其中k为自然数〕，点Pn落在各象限的平分线上，此时，点P n的绝对坐标为，即.③当n=8k+2或n=8k+6时〔其中k为自然数〕，点Pn落在y轴上，此时，点P n的绝对坐标为(0,2n)．8. 解：HG＝HB．证法1：连结AH〔如图10〕.∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B＝∠G＝90°．由题意，知AG＝AB，又AH＝AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH〔HL〕.∴HG=HB．证法2：连结GB〔如图11〕．∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC＝∠AGF＝90°．由题意知AB＝AG．∴∠AGB＝∠ABG．∴∠HGB＝∠HBG．∴HG＝HB．9. 解：〔1〕图形平移的距离就是线段BC的长.∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm.∴平移的距离为5cm．〔2分〕〔2〕∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°，∴∠FGD＝90°．在Rt△EFD中，ED=10 cm，∴ .∵FG＝cm．〔3〕在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°.∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1〔AAS〕．∴AH＝DH.。
三角形旋转问题解题法和理由
三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。
2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。
3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。
4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。
5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。
理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。
2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。
3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型六：旋转在几何综合题中的应用
(2)证明：BE＝AH＋DF.
(2)证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90° 得到△BCM，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF＝∠C， ∵AF∥BE，∴∠F＝∠BEC，∴△ADF≌△BCE(AAS)， ∴DF＝CE.又由旋转可知AH＝CM，∠AHB＝∠M，∠BAH＝∠BCM＝90°， ∵∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BCM＝180°， ∴点E，C，M在同一直线．∴AH＋DF＝EC＋CM＝EM.
类型六：旋转在几何综合 题中的应用
模型一：旋转构造基本图形 【解题方法模型构建】 若题干中出现“共顶点、等线段(相邻等线段)”这一特征．常考虑构造 旋转，通过旋转可以将线段转移，将已知条件集中，从而解决问题．
1．遇60°旋转60°，构造等边三角形(等边三角形旋转模型)．
通过旋转可将线段AP，BP，CP转移在同一个三角形中(△CPP′)． 注：根据“旋转的相互性”也可绕A点旋转△APC，或绕B，C点旋转相应 三角形(还有5种构造方法)．
模型二：旋转构造模型 【解题方法模型构建】 1．如图，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝
α，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD，相交于点E.简记 为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等．
【结论】(1)△AOC≌△BOD(SAS)； (2)AC＝BD； (3)两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补．
【结论】△ABD≌△AEC；△ABE∽△ADC.
2．请阅读下列材料： 问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ 3 ，PC＝ 1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形 (如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角 三角形(由勾股定理的逆定理可证)，∴∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠ AP′B＝150°，进而求出等边角形ABC的边长为 7，问题得到解决．
2025年中考数学复习专题复习：含30°角几何问题解法专题讲解-- 第2节旋转法、 平移法、三折腰
第2节旋转法1.【☆☆】△ABC内一点D，∠∠DBC=30∘,∠BDC=90∘,AB=2AD=2√7,AC=4，求BC 的长.【简释】【旋转法】【法18[369ACE],CE=2,AE=2√3,蓝黄△o[SASIDE=0.5AB=AD中垂线 DF=2=CE,矩形 DCE F, ∠ACB=90∘,BC=2√3【法2】【369△ACE】,CE=8,AE= √3₃，△O[SASIBE=2AD=AB中垂线 BF=4=AC,矩形ACBF, BC=2√32.【☆☆】P 在△ABC 内,∠PAC=∠PCB=30°,∠PBC=60°,AP=3,AC=8,求 AB.【简释】【法 1】【解△】蓝黄OIAA PM=√3=√3BM=√3=4−√3ABM,AB=√3【法2】【旋转法】蓝黄ω[AA)AB=√3=√3【法3】蓝黄ω[AAIQB=√3=√3,|AB=√3平移法···平移法之一等边线段环境，通过平移实现等角转换.3.【☆☆☆☆】△ABC,∠ACB=30°,∠ABC=60°,BD=CE,DF∥AE,∠BAF= ∠CAE,CF、AE 交于G,求证: AG=√3AF.【简释】【平移法】【等边造≌】【法1】蓝△≌【SAS】三个α,矩形ABPC,高线MFN,4个α灰OmAA]PNFN =FMAM⇒MBFN=FMCN,黄△∽【SAS】三个βAGC∞AFBKAADAC=√3AB→AG=√3AF【法2】绿△≌【SSS】EQ∥BF,蓝平行四边形, AP‖BF,AP‖=EQ)|灰平行四边形4个α【AFCP 同旁等角α】三个β,△AGC∽△AFB【AA】(略)三折腰4.【8下】【☆☆】△ABC,∠B=30°,CD、EF 交于G, D A=AC=CE,∠CEF+∠ADC=90°,求DGGC.【简释】四边形 BEGD, ∠EGD=60°,,中垂线AM,两个α,CG=2k【法1】灰黄≅∠AAS]CM=DM=CH=√3k,CD=2√3k,DGGC=√3−1【法2】蓝≅[SAS]CM=DM=√3k,DGGC=√3−1。
利用“旋转变换”解决三角形中的最值问题
利⽤“旋转变换”解决三⾓形中的最值问题本⽂题⽬摘⾃'初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总'本系列⽂章摘⾃“初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总”PDF书，该书是《初中数学典型题思路分析》书的新增赠送内容之⼀！买全套典型题思路分析书赠送内容达300G.特⾊资料如下：1、《初中数学解题思路⽅法⼤汇总》2、《初中数学动点问题思路⽅法⼤汇总》3、《初中数学典型超级易错题》4、《初中⼏何典型解题模型》以上pdf⽂件均包含典型例题分析.qq群1：453495932（已满），qq群2：994823340群⽂件分享过该系列⽂章⽂档！点击⽂末左下⾓”阅读原⽂“进⼊微店查看！所谓“动点问题”是指图形中有⼀个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的⼀类开放性题⽬，⽽解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运⽤相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态⼏何、动⼿操作、实验探究等⽅向，加强了对⼏何图形运动变化的考核，从变化的⾓度来研究三⾓形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究⼿段和⽅法来探究图形性质及变化．让学⽣经历探索的过程，培养学⽣分析问题、解决问题的能⼒，把运动观点、⽅程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．利⽤“三点共线”解决最值问题典型例题未完，更多内容见《初中数学典型题思路分析》的附赠资料《初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总》.利⽤“旋转变换”解决最值问题【典型例题1】难度★★【思路分析】构造包含所求线段的三⾓形，通过三边关系求解；解直⾓三⾓形求出AB 、BC ，再求出CD ，连接CG ，根据直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半求出CG ，然后根据三⾓形的任意两边之和⼤于第三边判断出DC 有最⼤值再代⼈数据进⾏计算即可得【答案解析】解：待续...《初中数学典型题思路分析》书，全套7册共14本书（七上—九下+综合）；每册分解析版和原题版；有和教材同步的多个版本可选。
初中数学旋转题型口诀
初中数学旋转题型口诀初中数学旋转题型口诀1：1。
证明两个角互补的题目常用手段：运动前后描点法，以运动点为圆心，以3倍角度为半径画弧，再以相应点为圆心以2倍角度为半径画弧交于另一点。
在三角形、平行四边形、梯形中各用到这一思路。
2。
相似三角形中经常遇到两个或两个以上已知量求其中一个未知量的题目，此时如果条件限定“某三角形与其对应的一个三角形相似”，可利用内错角相等的性质来解题。
3。
两圆的位置关系是相交与相切，还是相离与相交;是垂直与平行，还是垂直与相交;二者是否有公共点;二者中是否有两条直径等等都会涉及到比例尺问题。
4。
正多面体的棱长和表面积常出现在证明“某图形的表面积/体积关系式”或“某图形的体积/表面积关系式”时，此时不妨用球面上的截面面积公式来计算，简单而方便。
5。
证明两条平行线间距离时，注意区分两平行线间的距离与它们之间夹的平行线段的长度(可采用割补法)。
6。
解析几何中的两条平行直线垂直的判定方法，最常用的是：取斜边上一点为m，则另一直线与斜边所成的角的平分线为过m 的直线;又因为斜边所在的直线与这条直线垂直，所以过斜边的垂足的直线与另一条直线也垂直。
7。
面积问题中，要能找出已知条件与求证结论之间的联系，特别注意利用平移、旋转、对称的性质，推导出新的面积公式。
8。
解三角形的问题，最常用的是“设而不求”法，即通过构造辅助线，把所求三角形转化为一般的三角形进行计算。
9。
解答代数方程的题目时，要根据不同的方程灵活地选择恰当的运算法则，不可死守教材上的法则，如方程x^2+5y-10=0中，因为x=0，所以x^2+5y-10=0无解，此时就不能按照方程的基本解法去套用解方程。
10。
如果是比例尺中的正比例问题，可从比例尺入手，然后再用性质解答;如果是反比例问题，可从比例尺入手，然后再把比例尺变换成另外的比例关系，然后再用性质解答。
11。
解方程问题，必须注意到两点：一是根据实际情况灵活确定未知量，二是注意合理使用性质。
初中七年级上旋转动角问题专题
初中七年级（上）旋转动角问题专题（适用于七年级上学期）〖解题策略〗角是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角平分线的应用，如双角平分线模型；2. 多个角间的数量关系及其等量代换；3. 引入字母表示比例角度、动角，用方程的观点来进行角的计算；4.角的边位置不定时，需要分类讨论.〖典型例题〗已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=∠BOD，求∠DOE的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值：（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）版权所有解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB﹣∠DOB=75°﹣40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90﹣15t=60﹣5t，∴t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150°，t=7.5．综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s．（3）2∠BON﹣∠BOM的值为定值（4＜t＜12）．理由：∵∠AOM=15t．∠AON=∠MON=7.5t，∠BON=210°﹣7.5t，∠BOM=210°﹣15t，∴2∠BON一∠BOM=2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）=210°（4＜t＜12）．〖同步练习〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α﹣β|=20°，请直接写出t的值为．〖参考答案〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝129°37′58″，解：53°40′30″+75°57′28″=128°97′58″=129°37′58″2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是90度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是72.5度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？解：（1）3×30=90°；（2）2×30°=72.5°；（3）从重合到第一次垂直所需要的时间为，设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则6x﹣0.5x=2×905.5x=180x=，（24×60﹣）÷=24×60×=43.5（次）取整为43次．故总次数为43+1=44（次）答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为3或或．解：当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=3；当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．故t的值为3或或．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=114°．解：∵OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC又∵剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，∴2∠COE=76°∴∠COE=38°又∵∠BOE=∠EOC，∴∠BOE=×38°=19°∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=19°+38°=57°则∠AOB=2∠BOC=2×57°=114°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN 如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？解：（1）∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）∠MBN的度数不变化，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE∴∠ABM=∠ABD=（60°﹣x°），∠EBN=∠EBC=（45°﹣x°），∴∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=（60°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）=52.5°；（3）（2）中的结论不变，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60+x°、∠CBE=45°+x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE，∴∠ABM=∠ABD=（60°+x°），∠EBN=∠EBC=（45°+x°），∴∠MBN=∠ABM﹣∠ABE+∠EBN=（60°+x°）﹣x°+（45°+x°）=52.5°．8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38（舍去）．故EF能平分∠NOB，t的值为14s．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=90°；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 4.5秒或40.5秒（直接写出结果）．解：（1）如图2，∠BOM=90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°﹣90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON；（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°﹣∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°﹣∠AON，∴∠AOM=∠CON；（3）T=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=45°；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α＝30°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α，请直接写出t的值为．﹣β|=20°解：（1）如图1中，∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，∴∠FOD=∠EOD=45°，（2）①如图2中，当t=1时，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，∴∠ECA=120°，∵CF平分∠ACE，∴∠FCA=∠ECA=60°∴α＝∠FCD=60°﹣30°=30°②如图2中，猜想：∠BCE=2α．理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，∴∠ECF=90°﹣α，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF=90°﹣α，∵点A，O，B共线∴AOB=180°∴∠BCE=∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD=180°﹣90°﹣（90°﹣2α）=2α．（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA=（90°+30t）﹣30t=45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°﹣30t）=45°+15t，∵|β﹣α|=20°，，∴|30t|=20°解得t=．。
巧旋转,妙解题
‘ ．
Ａ Ｄ ＝Ｄ Ｃ ，
．
４
’ ．
Ｄ Ｃ＝Ｐ Ｃ． Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋ＣＭ ． Ａ Ｍ ＝ＰＣ＋ＣＭ ． Ｂ
：： Ｐ
Ｍ ｃ
‘
’ ．
．
．
即 ＡＭ ＝ ’
・ ．
．
Ｎ Ａ Ｍ ＝
Ｐ．
◇ｏ ＝ 童 ｊ
８Ｄ：ｌＣ ２ ，Ｄ － ＡＤ ＋
ｏ０
Ｃ－０ ， 为 ＢＣ 上 一 点 ，试 证 明 ： － ＿ ￣Ｄ ９
侧 ２ 已 知在 △ ４ ＢＣ 中 ， － ＡＢ ＡＣ， 证 明 ： 将 △Ａ肋
９ ｏ 得 △Ａ ０ ，
绕 点 Ａ 按 逆 时 针 方 向 旋 转
， 接 肋 ， 图 ２ 连 如
图 ３
’ ．
．
Ｄ Ａ Ｎ ＝ ＮＡ Ｍ ．
即 ＡＮ 平 分 ＤＡ
以 上 例 题 在 解 题 时 都 巧 妙 地 运 用 了旋 转 的 知 识 ． 而 使 问 题 变 得 简 从 单 明 了． 就 要 求 同 学 们 在 解 题 过 程 中 学 会 设 想 将 一 个 图 形 绕 一 个 定 点 这 旋 转 一 个 角 度 ， 过 这 种 旋 转 ， 到 使 问 题 的 条 件 相 对 集 中 的 目的 通 达 化难 为易． 注 意 ： 利 用 旋 转 解 题 时 ． 中 的 关 键 是 如 何 在 其 确定 旋转 的 方 向以及 旋转 角 的大小 ．
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在 平 面 内 把 某 图形 绕 某 个 定 点 旋 转 一 定 的 角 度 ． 样 的 变 换 叫 做 旋 这 转 ． 个定 点 叫做旋 转 中心 ． 个 定 角 叫做 旋 转 角． 用 旋 转 的 特 征解 题 这 这 利 是 几 何 中 常 用 的 方 法 ． 妙 地 运 用 旋 转 知 识 能 够 使 复 杂 的 几 何 题 化 繁 为 巧
用旋转法解平面几何题
我们在使用旋转法解平面几何题时，常常会遇到题设和结论之间的关系难于发现 ，特别是对初
学者来讲更感到无从下手 。这时，若采用适 当的旋转变换，把图形从原来的位置通过 （ 顺时针方 向或逆时针方向旋转 ）变换以后 ，使得题设和结论之间的关系明显，旋转角一般是特殊角 （０ 、 ３ｏ ４。 Ｏ、９ 。 ） ５ 、６ 。 Ｏ等 。 Ａ
同理 可证 ： ＡＦ ６ 。 ． Ａ Ｅ ＡＦ Ｄ＝ ０ ， ’ ． Ｆ－ Ｄ。
Ｄ
思路分析 ２ 用旋转法解） ：（ ，
如图 ４ 将△Ａ Ｆ Ａ点旋转 ６ 。 Ｄ 绕 ０ 以后， 到达ＡＡ Ｆ的位置。 Ｂ ＿ 明：由于△Ａ Ｂ和△Ａ Ｅ都是等边三角形 。 ｉ ： Ｉ Ｅ Ｄ Ｃ
’
． ．
ＡＤ－ ＡＢ， ＡＥ ＡＣ， ＝
ｌ ２ ６。 ＝ ＝ ０
Байду номын сангаас
． ．
ＤＡＣ＝ ｌ ＢＡＣ＝ ２ ＋ ＋ ＢＡＣ＝ ＢＡＥ
得 出△Ａ ｃ Ｄ 丝△Ａ Ｅ （Ａ ） ‘ 、Ｄ、Ｂ Ｂ Ｓ Ｓ ，．Ａ ． 、Ｆ四点共圆，
又 。Ｂ、Ｆ ． 。 、Ｅ共线 ，． ＡＦ ＝ ０ ’ ． Ｅ ６。
只是其中之 一 ，利用旋转法解题并非很好 ，须依题型而论ａ Ａ
Ｊ ）
三 、用旋转法解计 算题
例 ４ （０ ０ ２０ 年云南中考题）如果…个多边形绕它的中心旋转 。
６ 口 ０ 原来 的图形重 合 ，爿么 这个 多边 形是 （ Ｉ ｊ ） Ａ、正三角彤 三 Ｂ 、正方形 Ｃ 、正五边彤
与ＡＣ ＤＢ重合 ，就 有 Ｂ点的对 应 点是 Ｄ 点 ，即 Ｂ －Ｄ Ｄ－ Ｂ。
（ 明略 ） 证 ・ 例２ 如图 ２ Ｅ Ｂ ，￣ＡＡ Ｃ中，Ａ ＺＡ ，Ａ Ｃ Ｂ Ｄ为 Ｂ ｃ边上的中线 。 Ｂ
2020重庆中考复习利用旋转法解几何最值问题应用举例
利用旋转法解几何最值问题应用举例例1、在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B 为y 轴正半轴上一个动点，连接AB ，以AB 为一边向下作等边△ABC ，连结OC ，则OC 的最小值为 ．M解：如图，将△ABO 绕点A 逆时针旋转60°得△AACM ，并延长MC 交x 轴于点N ．则点C 在直线MN 上运动，当OC ⊥MN 时，OC 最小，∴OC ＝AM ＝2，则OC 的最小值为2．例2、如图，PA ＝2，PB ＝4，将线段PA 绕P 点旋转一周，以AB 为边作正方形ABCD ，则PD 的最大值为 ．解：将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，PD 的最大值即为P 'B 的最大值，∴PA ＝PA '，∠PAP '＝90°∴PP '＝PA ＝2 ∵△P 'PB 中，P 'B ＜PP '+PB ，PP ′＝PA ＝2，PB ＝4，且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P 'B 取得最大值（如图）此时P 'B ＝PP '+PB ＝2+4，即P 'B 的最大值为2+4． 例3、（2019•马鞍山二模）如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝3，DA ＝5，则CD 的最小值为（ ）A ． B． C ．2 D ．1解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝5．∵AE、AD、BD都是定值，∴当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．此时BE最小值为DE﹣BD＝5﹣3．故选：A．例4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG， ∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线， ∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．2+2解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H． ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称， ∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为 ．解：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP， 则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．例8、（2019•龙岩一模）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．解：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD ∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝， 练习1、（2019•常熟市二模）已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是 ．解：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A'．∵等边△ABC、等边△AOD，∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD在△BAO和△CAD中，∴△BAO≌△CAD（SAS），∴∠AOB＝∠ADC∵∠AOB＝90° ∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴点C随着点B的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°∴∠AA'O＝30°∴OA＝AA' ∴AD＝OA＝AA'∴点D是AA'的中点，∵CD⊥AD，∴CD是AA'的中垂线 ∴AC＝A'C，∴AC+OC＝A'C+OC又∵点C在直线CD上运动，所以点O、C、A'三点共线时，A'C+OC的值最小，最小值为OA'的长．在R△AOA'中，∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°，OA＝1，O A'＝OA＝，∴AC+OC的最小值为．2、已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值 ．解：把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，则AE＝AD，BE＝DC，∠EAD＝60°， ∴△ADE为等边三角形，∴DE＝DA＝2，∠ADE＝60°，当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4＝6，∴CD的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝10．∵AE、AD、BD都是定值，∴当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．此时BE最小值为DE﹣BD＝10﹣5．故选：A．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ， ∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线， ∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．F解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG上，作CM ⊥HG ，则CM即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE ＝12 6、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是AA解：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP， 则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．8、（2019秋•蔡甸区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解：如图，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H． ∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF+∠BC＝60°，∴∠EBC＝120°， ∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC的长， 在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．。
利用旋转法解几何最值问题应用举例
利用旋转法解几何最值问题应用举例2020.8一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB 中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH ＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC ＝＝2，∴GB+GC ≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．NA BM解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝4，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长的最大值为 ． B CD AEF 解析：如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，连接DE ， ∵AB ＝BD ，∠ABC ＝∠DBE ，BC ＝BE ，∴△ABC ≌△DBE ，∴DE ＝AC ，∵在等边三角形BCE 中，EF ⊥BC ，∴BF ＝BC ＝2，∴EF ＝BF ＝×2＝2， 以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ，∴DF ＝BC ＝×4＝2， ∴AC ＝DE ≤DF +EF ＝2+2，即AC 的最大值为2+2．练习 1、已知x 轴上一点A （1，0），B 为y 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边△ABC 如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．解析：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A'．∵等边△ABC、等边△AOD，∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD在△BAO和△CAD中，∴△BAO≌△CAD（SAS），∴∠AOB＝∠ADC∵∠AOB＝90°∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴点C随着点B的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°∴∠AA'O＝30°∴OA＝AA' ∴AD＝OA＝AA'∴点D是AA'的中点，∵CD⊥AD，∴CD是AA'的中垂线∴AC＝A'C，∴AC+OC＝A'C+OC又∵点C在直线CD上运动，所以点O、C、A'三点共线时，A'C+OC的值最小，最小值为OA'的长．在R△AOA'中，∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°，OA＝1，O A'＝OA＝，∴AC+OC的最小值为．2、已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．解析：把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，则AE＝AD，BE＝DC，∠EAD＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝DA＝2，∠ADE＝60°，当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4＝6，∴CD的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为E解析：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝10．∵AE、AD、BD都是定值，∴当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．此时BE最小值为DE﹣BD＝10﹣5．故选：A．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，5、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG 的最小值为．CGHFMN解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG 上，作CM ⊥HG ，则CM 即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE +12EC ＝3212 6、如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是A DBC GFE A D B CG F E H解析：取AB 的中点H ，连接HG 、HE 、HG 、BE 、CE ，则△AEF ≌△HEG ，∴∠GHE ＝∠A ＝60°，∴HG ∥AD ，可知△BHG ≌△EHG ，∴BG=GE ，∴CE 的长就是GB +GC 的最小值；在Rt △EBC 中，EB ＝3，BC ＝6，∴EC ＝3，∴GB +GC 的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．E A B C FG E A B CF G H N M解：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ＝4，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，8、如图，AB ＝8，点M 为线段AB 外一个动点，且AM ＝4，MB ＝MN ，∠BMN ＝90°，则线段AN 的最大值为 ．解析：如图，连接BN ，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝4，BP ＝AN ，∴PA ＝4，∵AB ＝8，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝8+4． 9、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＜AC ，点P 是△ABC 内一点，AB ＝6，BC ＝8，则PA +PB +PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝60°，∠PBF ＝60°，∵∠ABP ＝∠EBF ，∴∠EBF +∠BC ＝60°，∴∠EBC ＝120°，∵PB ＝BF ，∠PBF ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵PA ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝CP +PF +EF ，根据两点之间线段最短可知，当E ，F ，P ，C 共线时，PA +PB +PC 的值最小，最小值＝EC 的长， 在Rt △EBH 中，∵∠EBH ＝60°，EB ＝6，∴BH ＝BE •cos60°＝3，EH ＝EB •sin60°＝3，∴CH ＝BH +CB ＝3+8＝11， ∴EC ＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，在菱形ABCD 内部有一点P ，当PA+PB+PC 值最小时PB 的长为 ．B C A DP解析：将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接PE 、DE ，则当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA +PB +PC 值最小，最小值为BD ．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×＝2，∴BD＝2BO＝4，∴BP＝BD＝．即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（）A．5B．2C．2D．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC，∵＝＝，∴△ABD ∽△EBC，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC＝cm，∵AC≤AE+EC ，∴AC≤．∴AC的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E．在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE＝AE+AD＝2+，∴DO＝＝＝+，11/ 12当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．12/ 12。
中考数学解题方法及提分突破训练：几何变换法专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：几何变换法专题在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。
从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。
这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。
移动图形一般有三种方法：（1）平移法。
（2）旋转法：利用旋转变换。
（3）对称：可利用中心对称和轴对称。
一真题链接1．（2012中考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= ．2．（2012泰安）将抛物线23y x=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．23(2)3y x=++B．23(2)3y x=-+C．23(2)3y x=+-D．23(2)3y x=--3．（2012绍兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
4．（2012张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。
．二名词释义在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。
有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。
另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。
将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何中的旋转问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。
而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A 逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG ⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分1、90°角旋转例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA =1，PB =2，PC =3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积．分析:三条已知的线段PA 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与PC 构成了一个新的三角形．解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB ⊥QB ．于是PB =QB =2a ，PQ =22PB QB =22a ． 在△PQC 中，∵PC 2=9a 2，PQ 2＋QC 2=9a 2． ∴PC 2=PQ 2＋QC 2． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°．故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°．(2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．在Rt △AQC 中，AC 2=AQ 2＋QC 2=(a ＋22a )2＋a 2=(10＋42)a 2．故S 正方形ABCD =12AC 2=(5＋22)a 2． 思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN =2a ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的面积．)2、60°角旋转．例1 如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。
初中数学巧用旋转法妙证几何题
初中数学巧用旋转法妙证几何题旋转法是几何证题中一种很重要的解题技巧。
在同一平面内。
将图形的某一部分按特定的条件旋转一个角度。
把分散的条件和结论相对集中起来，使图形中的相关部分发生新的联系，能使已知和未知得到更好的沟通，从而使问题化难为易，化繁为简。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
一、证两线段相等例1. 如图1，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于G。
求证：AG＝AB。
解析：条件中有共点且相等的边AD和AB，可将△ADF以点A为中心，顺时针方向旋转90°到△ABH的位置，如图2。
此时只要证AG、AB为两个全等三角形对应边上的高即可。
由△ABH≌△ADF，可得∠BAH＝∠DAF，AH＝AF。
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋BAH＝∠BAE＋∠DAF＝90°－45°＝45°，于是∠EAF＝∠EAH。
从而可证△AEF≌△AEH（SAS），故AG＝AB（全等三角形对应边上的高相等）。
二、证两线段不等例2. 如图3，在△ABC中，AB＝AC。
D是△ABC内一点，∠ADB＞∠ADC。
求证：DC ＞BD。
解析：条件中有共点且相等的边AB和AC，可将△ABD以点A为中心，逆时针方向旋转∠BAC的角度到△ACE的位置，如图4。
这样可把分散的条件和结论相对集中，使问题迎刃而解。
由△ACE≌△ABD，得到∠AEC＝∠ADB，AE＝AD，CE＝BD，从而∠AEC＞∠ADC。
连DE，因AE＝AD，故有∠ADE＝∠AED，从而有∠DEC＞∠EDC。
则在△CDE中，有DC＞CE，故DC＞BD。
三、证线段间的关系例3. 如图5，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平分∠DAE。
求证：AE＝BE＋DF。
解析：略。
四、证两角相等例4. 如图6，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°。
利用旋转法解几何最值问题应用举例 学生版
利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．2、已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．3、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG 的最小值为．6、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF ＝60°，则GB+GC的最小值是ABG F7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．A CFG8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是．10、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．BA D P11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（）A．5B．2C．2D．112、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。
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巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，E ，F 分别AC 和BC 上，且DE ⊥DF ， 求证：EF 2=AE 2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF ，AE ，BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以D 为旋转中心，将BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD 到G ，使DG=DF ，连接AG ，EG ∵AD=DB ，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG ≌⊿BDF （SAS ）∴∠DAG=∠DBF ，BF=AG∴AG ∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG 2=AE 2+AG 2=AE 2+BF 2∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2=AE 2+BF2例2，如图2，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是⊿ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。
解：作MC ⊥CP ，使MC=CP ，连接PM ，BMGFEDCBA∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结PF ∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45°∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB=∠ACP=45° ∴⊿ABE ≌⊿ACP （ASA ） ∴PC=AE ，，AP=AE ∴⊿AEF ≌⊿APF （SAS ） ∴EF=PF故在Rt ⊿PCF 中，PF 2=CF 2+PC 2,即EF 2=CF 2+AE 2例4，如图4，正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，DC 上，且∠EBF=45°，BM ⊥EF 于M ，求证：BA=BM 分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE 和∠CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到N ，使CN=AE ，连结BNAPMCBANFC B∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=AC ，∠BAC=90°∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°由⊿ABE ≌⊿CBN 知BE=BN ，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF 又BE=BN ，BF=BF∴⊿EBF ≌⊿NBF （SAS ）∴BM=BC ∴BM=BA例5、如图6，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°。
求证：∠ADE ＝∠ADC 。
解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB ，可将△ADE 以点A 为中心，顺时针方向旋转∠BAE 的角度到△AFB 的位置，如图7。
这就使已知条件∠ABC ＋∠AED ＝180°和BC ＋DE ＝CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。
由△ADE ≌△AFB ，得∠AED ＝∠ABF ，∠ADE ＝∠AFB ，ED ＝BF ，AF ＝AD 。
由∠ABC ＋∠AED ＝180°，得∠ABC ＋∠ABF ＝180°。
所以C 、B 、F 三点共线。
又CD ＝BC ＋DE ＝BC ＋BF ＝CF ，故∠CFD ＝∠CDF 。
由AF ＝AD ，得到∠DFA ＝∠FDA 。
∴∠ADE ＝∠AFB ＝∠CFD ＋∠DFA ＝∠CDF ＋∠FDA ＝∠ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形ABC 内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。
分析：PA 、PB 、PC 比较分散，可利用旋转将PA 、PB 、PC 放在一个三角形中，为此可将△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°可得△BHC 。
解：把△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°得到△BHC 。
因为BP=BH ，∠PBH=60° 所以△BPH 是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH 32 又因为HC=PA=2，PC=4 所以所以△HCP 是Rt △，所以∠CHP=90°又因为HC=2，PC=4 所以∠HPC=30°又因为∠BPH=60°，所以∠CPB=90° 在Rt △BPC 中，=12+16=28,72=BC ，那么△ABC 的边长为72。
例7、如图2，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将△BOC 绕B 点按逆时针方向旋转60°可得△BMA 。
因为BO=BM ，∠MBO=60° 所以△BOM 是等边三角形， 所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55° 又因为∠AMB=∠COB=125° 所以∠AMO=65° 又因为AM=OC ，MO=BO所以△AMO 正好是以AO 、OC 、BO 为边组成的三角形， 所以∠MAO=180°－（55°+65°）=180°－120°=60°即：以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。
例8、如图4，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，若PB=3，求'PP 的长。
分析：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，实际上就是把△ABP 顺时针方向旋转90°可得'CBP ∆，即=∠'PBP 90°。
解：因为,'BP BP ==∠'PBP 90°。
所以'PP 2333222'2=+=+=B P BP 。
例9、如图5，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。
分析：PA ：PB ：PC=1：2：3，不妨设PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA 、PB 、PC 相对集中起来即把△BCP 绕B 点顺时针方向旋转90°得到△BAE 。
解：因为BP=BE ，∠PBE=90°所以22222+=PE ，所以22=PE又在△APE 中，222,3AE PE PA CP AE =+==即2223)22(1=+所以∠APE=90°即∠APB=90°+45°=135° 所以∠APB=135°。
例10、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数。
解：把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ=CF 。
因为AQ+AP+QP=2 又AQ+QD+AP+PB=2 所以QD+BP=QP 又DQ=BF ，所以PQ=PF 所以FCP QCP ∆≅∆ 所以∠QCP=∠FCP又因为∠QCF=90°，所以∠PCQ=45°。
由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力 从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。