最新17定积分的简单应用03622
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17定积分的简单应用
03622
定积分的简单应用
一：教学目标
知识与技能目标
1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边
梯形的思想方法；
2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做
功）。
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点
重点曲边梯形面积的求法
难点定积分求体积以及在物理中应用
三：教学过程：
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
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解：«Skip Record If...»，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«Skip
Record If...»=13
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四
个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.
例2．计算由直线«Skip Record If...»，曲线«Skip Record If...»以及x 轴所围
图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线«Skip
Record If...»与曲线«Skip Record If...»的交点的横坐标，直线«Skip Record If...»与 x 轴的交点．
解：作出直线«Skip Record If...»，曲线«Skip Record If...»的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组«Skip Record If...»
得直线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»的交点的坐标为（8,4) . 2x y =y x
= A B
C D O
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直线«Skip Record If...»与x 轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2
«Skip Record If...»
«Skip Record If...».
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»«Skip
Record If...»轴所围成的图形面积。
答案： «Skip Record If...»
练习
1、求直线«Skip Record If...»与抛物线«Skip Record If...»所围成的图形面积。
答案：«Skip Record If...»
2、求由抛物线«Skip Record If...»及其在点M （，－3）
和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：«Skip Record If...»，切线方程分别为«Skip Record If...»、 «Skip Record If...»，则所求图形的面积为 «Skip Record If...»
3、求曲线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»以及«Skip
Record If...»轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
4、在曲线«Skip Record If...»上的某点A 处作一切线使之与曲线以及
求：切点A 的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为«Skip Record If...»，则切线方程 为«Skip Record If...»，切线与«Skip Record If...»轴的交点坐标为 «Skip Record If...»，则由题可知有«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，所以切点坐标与切线方程分别为«Skip Record If...»
总结：1、定积分的几何意义是：«Skip Record If...»、«Skip
Record If...»轴所围成的图形的面积的代数和，即«Skip Record If...».
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数«Skip Record x x O y=x 2«Skip A B C x y o y=－x 2+4x-3