最新17定积分的简单应用03622
定积分的简单应用【VIP专享】
若两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积
分的区间可加性性质分段求解。两条或两条以上曲线围成的图形，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，确定积分 上、下限。
解由: 题意知阴影部分的面积是:
S=10(x2 2 3x)dx 12(3x x2 2)dx
(1 3
x3
2x
3 2
x2 )
|10
( 3 2
x2
1 3
x3
2x)
|12 1
技能拓展：因两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积分的区 间可加性性质分段求解。
综合方法·解题能力
名师解题
综合方法 3 定积分法求物体变速运动的路程
综合方法 3
由定积分的物理意义知作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的
基础知识·基本技能 基础知识 1 求平面图形的面积 由定积分的概念知：求曲边梯形的面积由三条直线
x a, x b(a b) ， x 轴及一条曲线 y f (x) 围成的曲边梯的
b
b
面积 s= f (x) dx 。(1)若在[a,b]上 f (x) >0 则 s f (x)dx
a
a
b
(2) 若在[a,b]上 f (x) <0 则 s f (x)dx a
第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置 第四步：计算定积分，求出平面图形面积
基础知识 2 变力作功 一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体
沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs。如 果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从 x =a 移动到 x=b (a<b) ，与求曲边梯形的面 积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作
定积分的应用
4、设曲线 y x 2与它的两条相互垂直的切线所围成的平
面图形面积为 S ，其中一条切线的切点为 A( a , a 2 )， （a 0），则当a __________时，面积 S 最小？
4.3 定积分的应用(92)
23
二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1、 y x 2与直线 y x及 y 2 x .
9
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
(
0
x x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
4.3 定积分的应用(92)
19
思考题
设曲线 y f ( x)过原点 (0,0) 及点(2,3)且单
调增加并具有连续导数. 在该曲线上任取一点
作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x轴 及曲线 y f ( x)围成的面积是另一条平行线与 y 轴及曲线 y f (x)围成的面积的两倍，求该
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V
h 0
π
r h
x
2
dx
πr 2 h2
x3 h
3
0
1 πr 2h. 3
4.3 定积分的应用(92)
28
2
数学：172定积分的简单应用--在物理中的应用-PPT课件
Pa2(x2a)a (x)gd 7xg a3.
0
3
出
定积分在物理中的应用
习题
本节
1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，
知识
引入
本节 求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
二、平均值和均方差
本节
知识
引入
1.平均值
本节
目的
与要
求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点
与难
点 入手点：连续函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值.
本节
复习
指导 讨论思想：分割、求和、取极限.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
（1）分割：把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 等 分
R2x2
30R
2g 3
R3 .
定积分在物理中的应用
III. 平均值和均方差
本节 知识
引入 一、预备知识
本节
目的 与要
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均
求
值来描述这个班的成绩的概况。
本节
重点
与难
点
本节 复习 指导
yy1y2yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h处的
本节 目的
液体压强为pgh，这里 是液体密度， g 是
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃba F (x )d x .梳理 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃb a F (x )d x .1．曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃ10x 3d x ＋ʃ21(2－x )d x .( √ )2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( × ) 3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( × )类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数．(4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256. 命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－23x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321＝12－0＋⎝⎛⎭⎫4－83－⎝⎛⎭⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求：(1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程． 考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a |v (t )|d t ＝－ʃb a v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移； ②利用变力做功的公式W ＝ʃb a F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930J D ．6 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 A解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)，故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930J.1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163D.23考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43. 2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 JD ．800 J考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 C解析 依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 1－ln 2解析 因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 900解析 由速度—时间曲线得v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ1003t d t ＋ʃ6010 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－310t 2＋36t 6010 ＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13－⎝⎛⎭⎫－1＋13＋⎝⎛⎭⎫13×23－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝83.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A．ʃc a f(x)d xB．|ʃc a f(x)d x|C．ʃb a f(x)d x＋ʃc b f(x)d xD．ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 D解析∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，∴阴影部分的面积S＝ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是() A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案 B解析S＝ʃ30(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故选B.3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案 D解析由变力做功公式有W＝ʃ31(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14(J)，故选D.4．由直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )A ．3 B.32 C ．1 D.12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A解析 直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，其面积为 S ＝2π32sin d x x ⎰＝－2cos x 2π30|＝－2cos2π3－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A. 5．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )A.12B.13C.14D ．1考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C解析 y ＝x 2，y ＝14x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，S ＝ʃ10x 2d x －ʃ1014x 2d x ＝ʃ1034x 2d x ＝⎪⎪14x 310＝14.6．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.14B.34C.12D.43考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 C解析 由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形如图，所以由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为2ʃ10(x －x 3)d x ＝12，故选C.7．由曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1112C.16D.512考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 联立曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1，构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝0.∴曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝ʃ10x d x －112(21)d x x -⎰312120122|()|3x x x =-- ＝23＋14－12＝512.二、填空题8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________． 考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 4＋25ln 5解析 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为ʃ40v (t )d t ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎪⎪⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. 9．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e ＋1e－2解析 如图，所围成的图形的面积为ʃ10(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|10 ＝e ＋e －1－2＝e ＋1e－2. 10.如图，已知点A ⎝⎛⎭⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知12×x 0×14＝020d ,x x x ⎰即18x 0＝13x 30，解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0>0，∴x 0＝64. 11．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c . ∵当0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝1230(-)d c x cx x ⎰＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 410c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18，∴c ＝12. 三、解答题12．求由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)． 方法一 (选y 为积分变量)S ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫6－y －18y 2d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫6y －12y 2－124y 340＝24－8－124×64＝403. 方法二 (选x 为积分变量)S ＝ʃ20(8x )d x ＋ʃ62(6－x )d x＝ ⎪⎪⎪8×2332x 20＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫6x －12x 262 ＝163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22 ＝403. 13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有274＝ʃ－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33－a 0＝a 412， 所以a ＝±3.又－a >0，即a <0，所以a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解 答案 2e 2解析 ∵S 阴＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e2.15.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x＝2，y ＝4－t 2及曲线y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2，求S 2；(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 (1)当t ＝2时，S 2＝22(4)]d x x --＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－2x＝43(2－1)． (2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃt 0[(4－x 2)－(4－t 2)]d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3t 0＝23t 3. S 2＝ʃ2t [(4－t 2)－(4－x 2)]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x 2t ＝83－2t 2＋23t 3. 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83. S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。
人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx
b
W a F (x)dx
F
y F (x)
Oa
x
b
例1： 如图1.7 - 4, 在弹性限
度内 , 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m 处, 求弹
力所作的功.
解 在弹性限度内,拉伸(或
Q
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
图1.7 - 4 F
弹簧 拉伸或压 缩 的长 度 x
成正比,即Fx kx,其中常
思考
定 如图, 一桥拱的形状为抛
积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的
h
简 求证: 抛物线拱的面积 S 2 bh
b
单
3
应
用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 - 3
解 由速度 时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
-1.5t 90,40 t 60.
C t/s
因此汽车在这1min 行驶的路 o 10 20 30 40 50 60
程是 :
图1.7 - 3
S
10
3tdt
40
30dt
60
-
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40
定积分的简单应用10789-27页PPT精选文档
一、教学目标
• 1、进一步体会定积分的几何意义。 • 2、能利用定积分的知识解决曲边图形的面
积、做变速运动的路程、变力做功的问题。
二、复习
1.平面图形的面积:
y yf(x)
y
yf2(x)
A
A
yf1(x)
oa
bx
oa
bx
b
Aa f(x)dx
Aa b[f2(x)f1(x)d ] x
b
s a v(t)dt
v
v v(t)
t
Oa
b
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1 .7 3 所 示 .求 汽 车 在 这 1 m in 行 驶 的 路 程 .
v/m/s
30 A
B
20
10
Ct/s o 10 20 30 40 50 60
图1.73
解 由速度时间曲线可: 知v/m/s
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b）及x轴所
围成平面图形的面积S。下列面积如何计算？
y yf(x)
y y f(x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) Sa f(x)dx
b
(2) Sa f(x)dx
c
b
c
b
( 3 )S | af( x ) d | x cf( x ) d x af( x ) d c x f( x ) dx
由 数k是比变 例系数力 . ,得 W 作 lk 功 x d 1 公 kx2x l 式 1k2lJ.
答
0
2
克服弹力所作的 1kl功 2 J.为
定积分的简单应用
定积分的简单应用基础知识·基本技能基础知识1 求平面图形的面积由定积分的概念知：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()y f x =围成的曲边梯的面积s=()ba f x dx ⎰。
(1)若在[a,b]上()f x >0则()bas f x dx =⎰(2) 若在[a,b]上()f x <0则()bas f x dx =-⎰利用定积分求平面图形的面积的步骤如下： 第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限 第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置 第四步：计算定积分，求出平面图形面积例1．求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.解析：作出28(0)y x y =>及6x y +=的图形如右：解方程组2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩解方程组600x y y +-=⎧⎨=⎩ 得6x y =⎧⎨=⎩∴所求图形的面积62(6)s x dx =+-⎰⎰32262022140|(6)|323x x x +-=基础知识2变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs 。
如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx=⎰例2.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果N 20的力能使弹簧伸长cm 3，求把弹簧从平衡位置拉长cm 13（在弹性限度内）时所做的功。
解析：由正比例关系，再结合“如果N 20的力能使弹簧伸长cm 3”可以求出具体地函数式，即得到了拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度之间的关系。
定积分的若干应用
定积分的若干应用定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下面的面积、求解物理学中的质心、计算概率密度函数等。
下面将分别介绍定积分在这些应用中的具体应用。
一、计算曲线下面的面积定积分最基本的应用就是计算曲线下面的面积。
具体来说，如果我们要计算函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲线下面的面积，可以使用下面的公式：$$\int_a^b f(x)dx$$其中，$\int$表示积分符号，$a$和$b$分别是积分区间的下限和上限，$f(x)$是被积函数。
这个公式的意义是将区间$[a,b]$分成无数个小区间，然后计算每个小区间内$f(x)$的面积，最后将所有小区间的面积相加得到整个区间$[a,b]$下面的面积。
二、求解物理学中的质心在物理学中，我们经常需要求解物体的质心。
如果物体是由一些离散的质点组成的，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n m_ix_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$其中，$\bar{x}$表示质心的位置，$m_i$表示第$i$个质点的质量，$x_i$表示第$i$个质点的位置。
但是，如果物体是由一些连续的质点组成的，那么就需要使用定积分来求解质心。
具体来说，如果物体的密度分布函数为$\rho(x)$，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx}$$其中，$a$和$b$分别是物体的起始点和终止点。
这个公式的意义是将物体分成无数个小区间，然后计算每个小区间内的质心位置和质量，最后将所有小区间的质心位置和质量相加得到整个物体的质心位置。
三、计算概率密度函数在概率论中，我们经常需要计算概率密度函数。
如果一个随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，那么可以使用下面的公式计算$X$在区间$[a,b]$内的概率：$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx$$其中，$P(a\leq X\leq b)$表示$X$在区间$[a,b]$内的概率。
定积分的应用
一．平面图形的面积
1．直角坐标情形
一般地在直角坐标系下，我们可用定积分的微元法求得下 列平面图形的面积。
(1)．曲线 y
f ( x) ( f ( x) 0) ，x a ， x b及x 轴所围
图形（图7-1）的面积微元 dA 面积 A
f ( x)dx，而
b a
f ( x) dx 。…………………….. ①
例1
求由抛物线 y x 2 与直线
y 2 x 围成的
图形的面积。 解 （1）画出图形简图（图7-4），求曲线交点以定积分区间：
y x2 联立两曲线方程： y 2x
，解出它们的交点 O ( 0 , 0 ) ， A( 2 , 4 ) 。
（2）选择积分变量，写出面积微元：本题选择积分变量为横坐
标 x，积分区间为 [0 , 2] ，面积微元
dA (2 x x 2 ) dx
。
（3）将面积表示成定积分，并计算： 所围图形面积为 例2 求y
2
A
2 0
1 2 4 (2 x x 2 ) dx x 2 x 3 3 0 3
。
2x
及 y x 4 所围成的图形面积。
x dx
Q
个小区间用
对应于小区间 Q 量
表示，小区间的长度 Q [ x, x dx ]
的部分量记作 Q f ( x) x 。 Q
，所求的量 x
，求出部分
dQ
。并取
的近似值 f ( x) x
注： 近似值 dQ f ( x) dx 即
称为整体量 dQ 的微元（或元素），记作 ， Q 。这里须指出， 作为 的近似值，即应满足：
(整理)17定积分的简单应用03622.
定积分的简单应用一：教学目标 知识与技能目标1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201y x x y x⎧=⎪==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=120x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x )dx 32130233xx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
2x y =y xA BC D O巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线y =直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线y = 1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组4y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线y =8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S2844[(4)]x dx =+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
定积分的简单应用
(ii)面积元素
y
dA1 [ 2x ( 2x)]dx
x [0,2]
xy4
dA2 [ 2x (x 4)]dx
o
x [2,8] (iii)所求面积
2
8
A 0 dA1 2 dA2 18
x
y2 2x
(iii)所求面积
1
A (
x x2 )dx 1
o
x x+dx
0
3
x
例２ 求由抛物线 y2 2x 与直线 x y 4
所围图形面积。
解
(i)求交点
y2 x
y
2x 4
x2
y
2
x 8 方法1
y
4
(ii)相应于[-2,4]上任一小区间[y,y+dy]的小窄条
o
x
cos
x
0
(1) (1)
2
第七节 定积分应用
定积分的元素法 定积分在几何学上的应用 定积分在物理学上的应用
二、 定积分在几何学上的应用
平面图形的面积
体积
y
平面曲线的弧长
Ｏ
x
定积分几何应用之一
平面图形的面积
一、直角坐标情形
问题：求由曲线 y=f(x), y=g(x) (f(x)>g(x))与直线x=a, x=b(a<b)所围图形的面积。
(2)
3 1
2x
1 x2
dx
x2
3 1
1 x
3 1
22 3
(1) 2 1dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17定积分的简单应用03622定积分的简单应用一：教学目标知识与技能目标1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 -仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 -解：«Skip Record If...»，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«SkipRecord If...»=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.例2．计算由直线«Skip Record If...»，曲线«Skip Record If...»以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线«SkipRecord If...»与曲线«Skip Record If...»的交点的横坐标，直线«Skip Record If...»与 x 轴的交点．解：作出直线«Skip Record If...»，曲线«Skip Record If...»的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组«Skip Record If...»得直线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»的交点的坐标为（8,4) . 2x y =y x= A BC D O仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 6 -直线«Skip Record If...»与x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2«Skip Record If...»«Skip Record If...».由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»«SkipRecord If...»轴所围成的图形面积。
答案： «Skip Record If...»练习1、求直线«Skip Record If...»与抛物线«Skip Record If...»所围成的图形面积。
答案：«Skip Record If...»2、求由抛物线«Skip Record If...»及其在点M （，－3）和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：«Skip Record If...»，切线方程分别为«Skip Record If...»、 «Skip Record If...»，则所求图形的面积为 «Skip Record If...»3、求曲线«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»以及«SkipRecord If...»轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»4、在曲线«Skip Record If...»上的某点A 处作一切线使之与曲线以及求：切点A 的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为«Skip Record If...»，则切线方程 为«Skip Record If...»，切线与«Skip Record If...»轴的交点坐标为 «Skip Record If...»，则由题可知有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以切点坐标与切线方程分别为«Skip Record If...»总结：1、定积分的几何意义是：«Skip Record If...»、«SkipRecord If...»轴所围成的图形的面积的代数和，即«Skip Record If...».因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数«Skip Record x x O y=x 2«Skip A B C x y o y=－x 2+4x-3仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 6 - If...»的图像与«Skip Record If...»轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1）«Skip Record If...»型区域：①由一条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»以及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形的面积：«Skip R ecordIf...»（如图（1））；②由一条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»以及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形的面积：«Skip RecordIf...»（如图（2））；③由两条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»（3）所围成的曲边梯形的面积：«Skip Record If...»（如图（3））；（2）«Skip Record If...»型区域：①由一条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»以及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形的面积,可由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，然后利用«Skip Record If...»求出（如图（4））；②由一条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»以及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形的面积，可由«Skip Record If...»先求出«Skip Record If...»，然后利用«Skip Record If...»求出（如图（5））；③由两条曲线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»所围成的曲边梯形的面积，可由«Skip Record If...»先分别求出«SkipRecord If...»，«Skip Record If...»，然后利用«Skip Record If...»求出（如图（6））；图（4）图（5）图（6）2．求平面曲线的弧长设曲线AB方程为«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上可导，且«Skip Record If...»连续，则曲线AB的弧长为«Skip Record If...».3．求旋转体的体积和侧面积由曲线«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»及«SkipRecord If...»轴所围成的曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体体积为«Skip Record If...».其侧面积为«Skip Record If...».（二）、定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即«Skip Record If...»例 4。