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第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
大学物理(第四版)课后习题及答案 机械振动
大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。
试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。
13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。
振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2分析可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。
（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
《大学物理AⅠ》机械振动习题、答案及解法(2010.5.12)
《大学物理A Ⅰ》机械振动习题、答案及解法2010一、 选择题1.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐振动？（C ）(A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动(B)细线悬挂一小球在竖直平面上作大角度的来回摆动(C)浮在水里的一均匀矩形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 (D)浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 参考答案：A 中小球没有受到回复力的作用；B 中由于是大角度，所以θ与θsin 不能近似相等，不能看做简谐振动； D 中球形木块所受力F 与位移x 不成线性关系，故不是简谐振动。
2.如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动，若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位为（D ）(A) 0 (B) 2π (C)2π-(D) π 参考答案：0=t A x -=0 00〉v 则πϕ=3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，其振动周期为T 。
若将此轻弹簧分割成三等份，将一质量为m 2的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期应为（B ）(A)T 63 (B)T 36 (C)T2 (D)T 6参考答案：km T π2=T k m T 36322=='π4.两相同的轻弹簧各系一物体（质量分别为1m 、2m ）作简谐振动（振幅分别为1A 、2A ），问下列哪一种情况两振动周期不同（B ） （A ）上振动动，另一个在竖直方向一个在光滑水平面上振、,2121A A m m == （B ）作水平振动两个都在光滑的平面上、,222121A A m m == （C ）作水平振动两个都在光滑的平面上、,22121A A m m ==（D ）竖直振动动，另一个在月球上作一个在地球上作竖直振、,2121A A m m ==参考答案：因为kmT π2= 与振幅无关故答案为B5.一个质点做简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时间为0t ，则该质点的振动周期T 应为［B ］(A)04t (B) 012t (C) 06t (D) 08t参考答案：()2sin A t A =ω 6320πππω=-=t 06t πω=0012622t t T ===ππωπ6.已知月球上的重力加速度是地球的61，若一个单摆(只考虑小角度摆动)在地球上的振动周期为T ，将该单摆拿到月球上去，其振动周期应为（C ） (A)T 6 (B)6T (C)T 6 (D)6T参考答案：gl T π20= 单摆拿到月球上，062662T g l g l T =⋅==ππ7.一简谐振动的旋转矢量图如图2所示，设图中圆的半径为R ，则该简谐振动的振动方程为（A ） (A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos ππt R x(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin ππt R x(C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos ππt R x (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos ππt R x参考答案： 由图知，初相为4π，在t 之间内转过t π， 0=t A x 220= 00〈v 则 4πϕ= 8.已知某简谐振动的振动曲线如图3所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为（C ） (A)()SI 322411cos 10⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππt x(B)()SI 67247cos 10⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππt x(C)()SI 32247cos 10⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππt x(D) ()SI 322411cos 10⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππt x参考答案：由图知，振幅m 10=A ，0=t 20A x -= 00〉v 向正向运动则 32πϕ-=9.某弹簧振子的振动曲线如图4所示，则由图可确定s 2=t 时，振子的速66-度为（A ） (A) 1s m 3-⋅π (B) 1s m 3-⋅-π(C)1s m 3-⋅ (D) 1s m 3-⋅-参考答案：)22cos(6ππ+=t x)22sin(3πππ+-=t v)s m (3)23sin(3)2(1-⋅=-=πππv10.一质量为m 的物体与一个劲度系数为k 的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅为A 时，该弹簧振子的总能量为E 。
大物参考答案
©物理系_2015_09《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动一、 判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动。
解：如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动，其回复力为重力的分力。
[ F ] 2．简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定。
解：根据简谐振子频率mk=ω，可知角频率由系统本身性质决定，与初始条件无关。
[ F ] 3．单摆的运动就是简谐振动。
解：单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动。
[ T ] 4．孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化。
解：孤立的谐振系统机械能守恒，动能势能反相变化。
[ F ] 5．两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动。
解: 同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动。
二、选择题：1. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。
若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为[ C ] (A) θ; (B) π23; (C) 0; (D) π21。
解：对于小角度摆动的单摆，可以视为简谐振动，其运动方程为： ()()0cos ϕωθθ+=t t m ，根据题意，t = 0时，摆角处于正最大处，θθ=m ，即：01cos cos 0000=⇒=⇒==ϕϕθϕθθ2．一个简谐振动系统，如果振子质量和振幅都加倍，振动周期将是原来的 [D] (A) 4倍(B) 8倍(C) 2倍(D)2倍解： m T k m T m k T ∝⇒=⇒⎪⎭⎪⎬⎫==/2/2πωωπ,所以选D 。
3. 水平弹簧振子，动能和势能相等的位置在：[ C ] (A)4A x =(B) 2A x = (C) 2A x = (D)3Ax =解：对于孤立的谐振系统，机械能守恒，动能势能反相变化。
那么动能势能相等时，有：221412122Ax kx kA E E E p k =⇒====，所以选C 。
大学物理(第四版)课后习题与答案_机械振动
13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相ϕ=3π/4。
试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。
13-1分析 弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程()ϕω+=t A x cos 的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A 、ϕ已知外，ω可通过关系式Tπω2=确定。
振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解 因Tπω2=，则运动方程()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ϕπϕωt T t A t A x 2cos cos根据题中给出的数据得]75.0)2cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+⋅⨯-==---t s s m dt dx vπππ75.0)2cos[()108(/112222+⋅⨯-==---t s s m dt x d ax-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示13-2 若简谐运动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2分析 可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。
解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相πϕ25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。
（2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-⨯=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+⋅-==-s m dt dx v )25.040cos()40(/2222πππ+⋅-==-s m dt x d a13-3 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ5.5×103kg •m -3。
机械振动基础课后答案 机械振动课件
机械振动基础课后答案机械振动课件【--文秘基础】引导语：振动物体受回复力等于零的位置;也是振动停止后,振动物体所在位置;平衡位置通常在振动轨迹的中点。
下面是为你带来的机械振动课件，希望对你有所帮助。
1、什么是简谐运动？什么是回复力？2、掌握简谐运动的特点和各量的变化规律1、机械振动：物体在平衡位置所做的往复运动叫机械振动2、回复力：总是指向平衡位置，并使物体回到平衡位置的力叫回复力注意：回复力是效果力，是物体所受力的合力或合力的分力 3、简谐运动（1）定义：物体在与偏离平衡位置的位移大小成正比，总是指向平衡位置的力作用下的振动叫简谐运动（2）简谐运动的特征：回复力F：总是指向平衡位置，其大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。
公式:F??kx加速度a：总是指向平衡位置，其大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。
公式:a??kxm（3）各量的方向特点：位移x：方向偏离平衡位置回复力F：总是指向平衡位置加速度a：总是指向平衡位置，速度v：除两个端点外的任何位置，速度有两个可能的方向（4）各量的大小变化规律请同学们思考：动量和动能的大小变化规律所以：简谐运动是加速度变化的变速运动。
（5）简谐运动的对称性：在简谐运动中对称的两个点有如下的几个关系：位移大小相等方向相反；回复力大小相等方向相反；加速度的大小相等方向相反；速度的大小相等，方向可能相同可能相反；动量的大小相等，方向可能相同可能相反；动能的大小相等；弹簧振子：理想化的物理模型音叉叉股的上各点的振动，弹簧片上各点的振动，钟摆摆锤的振动等简谐运动是最简单的振动形式，要研究振动只有从简谐运动开始例1：下列哪些物体的运动属于机械振动（） A、在水面上随波运动的小舟 B、在地面上拍打的篮球 C、摩托车行驶时的颠簸 D、秋千的运动例2、关于振动的平衡位置，下列说法正确的是（） A、位移为零 B、回复力为零 C、加速度为零 D、合力为零 E、速度最大例3、弹簧振子在光滑的水平地面上做简谐振动，在振子向平衡位置运动的过程中（） A、振子受回复力逐渐增大 B、振子的位移逐渐增大 C、振子的速度逐渐减小 D、振子的加速度逐渐减小例4、一个弹簧振子沿水平方向的x轴做简谐运动，原点O为平衡位置，在震动中某个时刻可能出现的情况是（）A、位移与速度均为正，加速的度为负B、位移为负值，加速度为正值C、位移与加速度均为正值，速度为负值D、位移、速度、加速度均为负值例5：证明竖直弹簧振子的振动是简谐运动。
大学物理机械振动(课堂PPT)
k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
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t :相 位 ， 或 位 相(r， ad)或相相 位决定谐振子某
: t 0时的相,称 位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
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要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
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A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位 大置 位的 移最 的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种 也形 就式 证， 明了振动 振为 动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或 期频率 。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为 ： m
.
2 19
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振 A 幅 矢 A 的 量长
角频率 矢量逆时针匀角 速速 度 旋转的
周 期 T矢 量 旋 转 一 圈 所 T需 2 时 间
频率 矢量单位时间内圈旋数转的P
(完整版)大学物理学(课后答案)第5-6章
第5章 机械振动一、选择题5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为2A-,满足题意,因而选(D)。
5-2 作简谐振动的物体，振幅为A ，由平衡位置向x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到32Ax =处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t 时刻物体第一次运动到32A x =处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式2t T ϕπ∆∆=得31226t T T T ϕπππ∆∆===，,因而选(C)。
5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示，1x 的相位比2x 的相位[ ] O O OO A Axxx(A) (B)(D)(C)A /2-A /2 A /2 -A /2A Aωωωωx习题5-1图习题5-2图(A) 落后2π (B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b ），正确答案为（B ）。
5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[ ](A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2p k 12E E E kA =+=，因而当振幅增加为原来的2倍时，能量变为原来的4倍，因而答案选(B)。
5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为[ ](A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180分析与解 答案（C ）。
由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。
大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动.docx
13机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0 X 10-2m,周期T=1.Os ,初相=3 π /4。
试写岀它的运动方程,并做岀x--t图、v--t图和a--t图。
13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A、初相「、角频率•■是简谐运动方程X=ACoSlQt亠。
的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A、「已知外，2 Tr-■ ■可通过关系式•=—确定。
振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因.=Z ,则运动方程TX=ACOS讥=ACOS i2 t t : !■ I1W尸I T丿根据题中给出的数据得X =(2.0 10 ^m)cos［( 2"：S A)t 0.75二］振子的速度和加速度分别为V =dχ∕dt - 10^m s1)sin[(2∏s')t 亠0.75二]a =d2χ∕dt2二2 10 2m S 丄)cos[(2二S 丄)t 0.75二x-t、v-t及a-t图如图13-1所示13-2 若简谐运动方程为X =(0.01m)cos(20：s」)t ',求：(1)振幅、频率、角频率、周期和- 4初相；(2) t=2s时的位移、速度和加速度。
13-2分析可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式X=ACOS ∙∙t ■作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写岀位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解 (l )将X =(0.10m)cos［(20 7s ^)t • 0.25 二］与X=ACOS lU t w］比较后可得：振幅A= 0.10m 角频率• =20二S1,初相=0.25二，则周期T =2TJ=0∙1s ,频率=1∕T =10Hz。
(2) t= 2s时的位移、速度、加速度分别为X =(0.10m)cos(40 二0.25 二)=7.07 10i mV =dx∕dt - -(2~'m S^)Sin(40，亠0.25二)a =d2x∕dt2 = J40 二2m s?）cos（40 ；亠0.25二）13-3设地球是一个半径为R的均匀球体，密度P 5.5 X 103kg? m3。
4.大学物理机械振动习题解答
4.大学物理机械振动习题解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN习题四4-1 符合什么规律的运动才是谐振动分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用0d d 222=+ξωξt描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为θsin mg -，如题4-1图(b)所示．题 中所述，S ∆＜＜R ，故RS ∆=θ→0，所以回复力为θmg -.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有θθmg tmR -=22d d令Rg=2ω，则有 0d d 222=+ωθt4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有111x k F x k F -=-=串222x k F -=又有 21x x x +=2211k F k F k Fx +==串 所以串联弹簧的等效倔强系数为2121k k k k k +=串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121k k k k k +=的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222k k k k m k mT +===ππωπ串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21F F F ==，即21x x x ==，设并联弹簧的倔强系数为并k ，则有2211x k x k x k +=并故 21k k k +=并 同上理，其振动周期为212k k mT +='π4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．题4-3图解：分别以物体m 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x 时，有221d d sin t xm T mg =-θ ①βI R T R T =-21 ②βR tx=22d d )(02x x k T +=③式中k mg x /sin 0θ=，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxR txR I mR -=+22d d )(令 ImR kR +=222ω 则有0d d 222=+x txω 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222K R I m kRI mR T +=+==ππωπ4-4 质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)(SI)3x t ππ=+的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==m m a FJ 1016.32122-⨯==m mv EJ 1058.1212-⨯===E E E k p 当p k E E =时，有p E E 2=，即 )21(212122kA kx ⋅=∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t4-5 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：(1)A x -=0；(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2Ax =处向负向运动； (4)过2A x -=处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为 ⎩⎨⎧-==000sin cos φωφA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππφ+==t T A x)232cos(232πππφ+==t T A x)32cos(33πππφ+==t T A x)452cos(454πππφ+==t T A x4-6 一质量为kg 10103-⨯的物体作谐振动，振幅为cm 24，周期为s 0.4，当0=t 时位移为cm 24+．求：(1)s 5.0=t 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到cm 12=x 处所需的最短时间； (3)在cm 12=x 处物体的总能量．解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππωT又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为m )5.0cos(10242t x π-⨯=(1)将s 5.0=t 代入得0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x πN102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=πωxm ma F方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωφt(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E 4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为g 0.1的物体时，伸长为cm 9.4．用这个弹簧和一个质量为g 0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm 0.1后 ，给予向上的初速度10s cm 0.5-⋅=v ，求振动周期和振动表达式．解：由题知12311m N 2.0109.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-12020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正) 又 s 26.12,51082.03===⨯==-ωπωT m k 即 m102)5100.5()100.1()(22222220---⨯=⨯+⨯=+=∴ωv x A45,15100.1100.5tan 022000πφωφ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )455cos(1022π+⨯=-t x4-8 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．题4-8图解：由题4-8图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 由题4-8图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=4-9 一轻弹簧的倔强系数为k ，其下端悬有一质量为M 的盘子．现有一质量为m 的物体从离盘底h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同(2)此时的振动振幅多大(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为k M π2，落下重物后振动周期为km M +π2，即增大．(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0=t 时，则kmgx -=0．碰撞时，以M m ,为一系统动量守恒，即0)(2v M m gh m +=则有 Mm ghm v +=20于是gM m khk mg M m gh m k mg v x A )(21))(2()()(22222++=++=+=ω（3）gm M khx v )(2tan 000+=-=ωφ (第三象限)，所以振动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=g m M kh t Mm k gM m khk mg x )(2arctan cos )(214-10 有一单摆，摆长m 0.1=l ，摆球质量kg 10103-⨯=m ，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14s m kg 100.1--⋅⋅⨯=∆t F ，取打击时刻为计时起点)0(=t ，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有0-=∆⋅mv t F∴ 1-34s m 01.0100.1100.1⋅=⨯⨯=∆⋅=--m t F v按题设计时起点，并设向右为x 轴正向，则知0=t 时，100s m 01.0,0-⋅==v x ＞0∴ 2/30πφ=又 1s rad 13.30.18.9-⋅===l g ω ∴ m 102.313.301.0)(30202-⨯===+=ωωv v x A 故其角振幅rad 102.33-⨯==ΘlA小球的振动方程为rad )2313.3cos(102.33πθ+⨯=-t4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m 20.0，位相与第一振动的位相差为6π，已知第一振动的振幅为m 173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．题4-11图解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒-+=A A A A A∴ m 1.02=A设角θ为O AA 1，则θcos 22122212A A A A A -+=即 01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2222122221=⨯⨯-+=-+=A A A A A θ 即2πθ=，这说明，1A 与2A 间夹角为2π，即二振动的位相差为2π. 4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： (1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=cm )373cos(5cm )33cos(521ππt x t x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=cm )343cos(5cm )33cos(521ππt x t x 解： (1)∵ ,233712πππφφφ=-=-=∆ ∴合振幅 cm 1021=+=A A A(2)∵ ,334πππφ=-=∆ ∴合振幅 0=A4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=m )652cos(3.0m )62cos(4.021ππt x t x试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
大学物理第五章机械振动习题解答和分析
5-1有一弹簧振子，振幅 A 2.0 10 2m ，周期T 1.0s ，初相 3 / 4.试写出它的振 动位移、速度和加速度方程。
分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。
一 2解：振动方程为： x Acos[ t ] Acos[ t ] 一 3代入有关数据得： x 0.02 cos[2 t ]（ SI ） 4振子的速度和加速度分别是：3 v dx/dt 0.04 sin[2 t ]（SI ） 4a d 2x/dt 20.08 2 cos[2 t —]（SI ）45-2若简谐振动方程为 x 0.1cos[20 t /4]m ，求： （1） 振幅、频率、角频率、周期和初相； （2） t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：（1）可用比较法求解.根据x Acos[ t ]0.1cos[20 t /4]（1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2 ）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
得：振幅A 0.1m ，角频率20 rad / s ，频率/2 10s 1，周期T 1/0.1s ，/4rad(2) t 2s 时，振动相位为20 t/4(40/ 4) rad 由 x A cos ，A sin ，a A 2 cos2x 得x 0.0707m, 4.44m/s,a279m/s 25-3质量为2 kg 的质点，按方程x0.2sin[5t ( /6)](SI)沿着 x 轴振动.求:解：（1）跟据f ma m 2x，x 0.2sin[5t （ /6）]将t 0代入上式中，得：f 5.0N（2）由f m 2x可知，当x A 0.2m时，质点受力最大，为f 10.0N5-4为了测得一物体的质量 m 将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率1.0Hz ；而当将另一已知质量为 m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为22.0Hz .设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量分析根据简谐振动频率公式比较即可。
第十三章 机械振动作业 作业答案
一. 选择题: 【 D 】1、（基础训练2）一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图所示。
则振动系统的频率为 (A) m k 32π1．(B)mk2π1．(C)m k 32π1． (D) mk62π1．【解】提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，相当于三等份串联后为原来的弹簧，设每份的劲度系数为k '，则：1111k k k k =++'''，3k k '∴=；取出其中2份并联，系统的劲度系数为：6k k k k ''''∴=+=【 C 】2、（基础训练3）一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231ml J =，此摆作微小振动的周期为：(A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π. (D) gl3π.【解】 提示：均匀的细棒一端悬挂，构成一个复摆，所受重力矩为：sin 22l lM mg mg θθ=-≈-，根据转动定律22d M J dt θ=，可得2220mgl d dt J θθ+=，所以22322123l lmg mgg J l ml ω===，22T πω== 【 E 】3、（基础训练5）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ ）(A) 7 /16． (B) 9 /16 (C) 11 /16． (D) 13 /16． (E) 15 /16． 【解】222p 11111()22416216A E kx k kA E ===⋅=，则：k 1151616p E E E E E E =-=-= [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为(A) m k k v 212+=π． (B) mk k v 2121+=π． (C) 212121k mk k k v +=π． (D) )(212121k k m k k v +=π．【解】劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后，设系统的弹性系数为k ，则有：12111k k k =+，2112k k k k k +=，21212()k k km m k k ω==+，振动频率为：2ωνπ==【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ． (C) 2.20 s ． (D) 2.00 s ．【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为0.5A,且向正的最大位移方向移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第四象限，初始相位为-π/3，从t=0时刻到物体第一次到达平衡位置，花费的时间是1s ，在旋转矢量图上矢量转过的角度为5326πππ+=，可以得出：55616t πϕωπ∆===∆，S T 5122==ωπ【 D 】 6、（自测提高6）弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为（ ）(A) KA 2． (B) (1/2)KA 2． (C) (1/4)KA 2． (D) 0．【解】经过半个周期，前后的相位差为π，弹簧的弹性势能没有变化，振子的动能也没有变化，所以做功为0.二 填空题7、(基础训练13) 一质点作简谐振动．其振动曲线如图13-21所示．根据此图，它的周期T =724S ，用余弦函数描述时初相=π34． 【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为-0.5A,且向平衡位置移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第三象限，初始相位为4π/3，从t=0时刻到物体第二次到达平衡位置，花费的时间是2s ，在旋转矢量图上矢量转过的角度为：766πππ+=，可以得出：776212t πϕωπ∆===∆，S T 7242==ωπ 8、(基础训练16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) ，)5cos(10222t x -π⨯=- (SI)它们的合振动的振辐为_210102-⨯(SI)_,初相为_108.40_．【解】提示： 用旋转矢量图示法求解222210cos(5)210cos(5)x t t --=⨯π-=⨯-π9、(自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机以加速度g a 21=0 ．【解】 提示：当升降机以加速度加速下降时，小球受到向上的惯性力作用，分析单摆切线方向受力：sin sin t mg ma ma θθ-+=， 当摆角θ 很小时，有：22()d m g a ml dt θθ--=即：22()0d g a dt lθθ-+=，令：2()g a l ω-=，单摆的周期变为:022T πω=== 10、(自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。
大学物理学教程第二(马文蔚)练习册答案5第五章 机械振动
v m1 m2 k
m1v (m1 m2 )v0
x0 0
2 0
5-15
k 40( s 1 ) m1 m2
2
m1 v0 v 1(m / s) m1 m2
A
x/m
11
v0 A x 2.5 102 (m)
3
5-9 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体的时，其 伸长量为9.8cm，若使物体上下振动，且规定向下为正 第 方。（1）当t=0时物体在平衡位置上方8cm处，由静止 五 开始向下运动，求运动方程；（2）当t=0时物体在平 章 衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求运动方程。
习 解:(2) 题 分 析
t 0时，x0 0, v0 0.6m/s
2 2 0
v0 A x 0.06 m
振动方程为：
5-9
x
2
x 0.06cos 10t m 2
4
第 五 章 习 题 分 析
5-10 某振动质点的 x t 曲线如图所示，试求： （1）运动方程；（2）点 P 对应的相位；（3）到达 x/m 点 P 相位所需的时间。 解：（1）A 0.10m 0.10 P 3 0.05 4.0 秒后质点运动到平衡位置 t/s 0 4.0 5 5 1 s
（2）x 0.10 cos(20 t
T
5-5
4 2 x 7.07 10 m dx v 2 sin(20 t )( SI ) dt 4 v 4.44m / s dv 2 2 a 279 m / s a 40 cos(20 t )( SI ) dt 4
第十三章 机械振动作业答案(1)
一. 选择题:[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A) T /12． (B)T /8． (C) T /6． (D) T /4．【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3t πω=，所以对应的时间为()332/6Tt T ππωπ=== .[ B ] 2. （基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A) π23． (B) π．(C) π21． (D) 0．【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为2A,初相位为π.[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2++=αωt A x ． (B) )π21cos(2-+=αωt A x ． (C) )π23cos(2-+=αωt A x ．(D) )cos(2π++=αωt A x ．【提示】由旋转矢量图可见，x 2的相位比x 1落后π/2。
[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了∆x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为A/ -·O1A 2A A 合(A) gm xm T 122∆π= ． (B) g m x m T 212∆π=．(C) g m x m T 2121∆π=． (D) gm m xm T )(2212+π=∆．【提示】对轻弹簧和m 1构成的弹簧振子，其周期表达式：2T π= 因为加载另一质量为m 2的物体后弹簧再伸长∆x ，显然2m g k x =∆，由此得2m gk x=∆； 代入周期公式，即可求出周期T.[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶21∶2 ． (C) 1∶2∶21． (D) 1∶2∶1/4 ． 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3； 第一个：1112 T πωω==； 第二个：2121, 22T T ωω==∴= 第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k ，然后并联，总的弹性系数为4k ，所以31312, 2T T ωω==∴=； 得：1231::1:2:2T T T =.[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1． 【提示】在t=0时，cos02πx A ==，势能0p E =，动能212K E E kA ==； t=T/8，cos()422πx A A π=+=-，势能221124p E kx kA ==，所以动能为214K p E E E kA =-=.图13-24二 填空题1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤T 41范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等． 【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，在0≤t ≤T 41范围内，0A x ≤≤；依题意，动能和势能相等，为总能量的一半，即22111222kx kA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x A =，所以4t πω=，48Tt πω==.2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为gl∆π2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2Ax =±，2211284P E E kx kA ===，34k P E E E E E -==； 当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =∆ ，mg k l =∆，222T πω∴===3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) ， )5c o s(10222t x -π⨯=- (SI)它们的合振动的振辐为210()m -，初相为101108.4323tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。
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3. 质点作周期为T，振幅为A的谐振 动，则质点由平衡位置运动到离平 衡位置A/2处所需的最短时间是: ( )
A.T/4 B.T/6 C.T/8 D.T/12
4. 一质点在x轴上作谐振动振幅A=4cm， 周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点， 若t=0时刻近质点第一次通过x=-2cm处， 且向x轴正方向运动，则质点第二次通过 x=-2cm,处时刻为:[]
A.1s B.3s/2 C.4s/3 D.2s
5. 一质点同时参与两个在同一直线上的
谐振动，其振动方程分别为
7
x1 4cos(2t 6 ), x2 3cos(2t 6 )
则关于合振动有结论：［］
A.振幅等于1cm, 初相等于
B.振幅等于7cm, 初相等于 4
3
C.振幅等于1cm, 初相等于 7
7.上面放有物体的平台,以每秒5周的频 率沿竖直方向做简谐振动,若平台振幅 超过(1cm),物体将会脱离平 台.(g=9.8m/s)
8.两个同方向同频率的简谐振动,其合振 动的振幅20cm,与第一个简谐振动的相
位差为Ф- Ф1= π/6.若第一个简谐振动
的振幅为 10 3cm 17.3c则m 第二个简谐振 动的振幅为( 10 )cm,第一,二个简谐振
12.两个线振动合成为一个圆振动的条件 是（1）同频率；（2）同振幅；（3） 两振动相互垂直；（4）相位差为 （2k+1）π/2, k=0, ±1, ±2,……
计算题
1. 一倔强系数为k的轻弹簧，竖直悬挂一质量为m 的物体后静止，再把物体向下拉，使弹簧伸长 后开始释放，判断物体是否作简谐振动？
解：设物体平衡时弹簧的伸长量为x0 ，则有 以 该平衡位置为坐标原点，向下为正方向建立坐
5. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，运动 方程用余弦函数表示，若t=0时，
(1)振子在负的最大位移处，则初位相为__2_。
(3)振子在位移A/2处，向负方向运动，则初位
相为____3_。
6. 将复杂的周期性振动分解为一系列的简谐振 动之和，从而确定出该振动包含的频率成分 以及各频率对应的振幅的方法，称为频谱分 析。
A. 0或π/2 B. 0或3π/2
C. 0或π
D. 3π/2 或 π/2
10．竖直弹簧振子系统谐振周期为T， 将小球放入水中，水的浮力恒定，粘 滞阻力及弹簧质量不计，若使振子沿 铅直方向振动起来，则： （C ）
A.振子仍作简谐振动，但周期<T
B.振子仍作简谐振动，但周期>T
C.振子仍作简谐振动，且周期仍为T
B.物体位于平衡位置且向负方向运动时, 速度和加速度都为零
C.物体位于平衡位置且向正方向运动时, 速度最大,加速度最小
D.物体处在负方向的端点时,速度最大, 加速度为零
8. 当质点以 f频率作简谐振动时，它动 能的变化频率为（ B ）
A. f B. 2 f C. 4 f D. 0.5 f
9.两个振动方向相互垂直、频率相同的 简谐振动的合成运动的轨迹为一正椭圆， 则这两个分振动的相位差可能为（ D ）
6
D.振幅等于1cm, 初相等于
6
6.一质点做简谐振动,振动方程为
x Acos(t )
当时间t=T/2(T为周期)时,质点的速度为 (B)
A. A sin
B. A sin
C. A cos
D. A cos
7.对一个作简谐振动的物体,下面哪种说 法是正确的( C )
A.物体处在运动正方向的端点时,速度和 加速度都达到最大值
4
2已则.振知x一幅t简＝AA＝谐0c时o_振_的s3_动(37_位t的_0 移表是，达)0初式.相0为4φm，＝速__度__是_0.0。0.90m5·ms-1。，
3. 无阻尼自由简谐振动的周期和频率由
_系__统 ___所决定，对于给定的简谐振动，
其振幅、初相由_初_始__状__态__决定。
4.两个相同的弹簧以相同的振幅作谐振 动，当挂着两个质量相同的物体时其能 量_相__同_，当挂着两个质量不同的物体仍 以相同的振幅振动，其能量_相__同_，振动 频率_不__同_。
标。将弹簧拉至坐标x 处，释放，此时物体的
动力学方程为: 将 mg kx0
mg
k
x
x0
m
d2x dt 2
代入，可得
m d 2x kx 0 dt 2
可见，该物体以其平衡位置为中心作简谐振动，
且其周期与水平放置的弹簧振子的周期相同。
动的相位差Ф1- Ф2为( -π/2 )
9.一简谐振动的旋转矢量如图所示，振 幅矢量长2CM，则该简谐振动的初相位 为 π/4 , 振动方程为
2cos(πt+ π/4)cm
10.系统的共振角频率与系统自身性质以 及阻尼大小有关。系统的阻尼越大，共 振时振幅值越低，共振圆频率越小。
11. 固有频率为v0的弹簧振子，在阻尼 很小的情况下，受到频率为2的余弦策 动力作用，做受迫振动并达到稳定状态， 振幅为A。若在振子经平衡位置时撤去 策动力，则自由振动的振幅A’与A的关 系是 A’= 2A
(一)选择题
1.两个相同的弹簧，一端固定，另一端 分别悬挂质量为 m1, m2的两个物体。若 两个物体的振动周期之比为 T1 :T2 2 :1 则m1 : m2 =( )
A. 2 :1 C. 1: 4
B. 4 :1 D. 1: 2
2. 两个近地点各自做简谐振动，它们的 振 幅 相 同。第 一 个 质 点的振动方
程 x1 Acos(t ) ，当第一个质点从相
对平衡位置的正位移回到平衡位置时， 第二个质点在正最大位移处，第二个质 点的振动方程为：( )
A. x2 Acos(t / 2)
B. x2 Acos(t / 2)
C. x2 Acos(t 3 / 2)
D. x2 Acos(t )
D.振子不再作简谐振动。
(二) 填空题
1.已知谐振动方程为 x1 Acos(t ) ，振子 质量为m，振幅为A，则振子最大速度为___A__，
最大加速度为___2_A__，振动系统总能量为
_12_m___2_A__2或_12__k_A_，2 平均动能为_14_m____2 A，2 平均势 能为_1_m____2 A2。