真实气体在重力场中做功与过程有关

dW = P(h1) * dV1 + P(h2) * dV2
(20)
气体对外做功与过程无关,必须满足格林公式,即
∂P(h1) / ∂V2 − ∂P(h2) / ∂V1 = 0
(21)
-3-
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压强中两项 ρRT , aρ 2 之间没有确定的关系,它们必须各自满足(21),先考虑 ρRT ,得到
(8)
dρ / dh = df / dh * e−Mgh / RT − (Mg / RT ) f * e−Mgh / RT
= df / dh * e−Mgh / RT − (Mg / RT )ρ
对比(7)(8)(9)，得到
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(9)
df
/ dh * e −Mgh / RT
参考文献
[1] 缪波， 相互作用下的热力学， 中国科技论文在线(http://www.paper.edu.cn)， 2006.1 [2] 缪波，非均匀静电场和静磁场对体系热平衡的影响，中国科技论文在线(http://www.paper.edu.cn) ，2006.4 [3] 张三慧，大学物理学， 高等教育出版社， 1999.07 [4] 曾丹苓，工程热力学， 高等教育出版社， 1995.07
RT
f = −1/( 2a e−Mgh / RT + C)
(14)
RT
把(13)代入(8) 得到
-2-
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ρ=
−1
* e −Mgh / RT
2a e −Mgh / RT + C
RT
−1
=
(15)
Ce Mgh / RT + 2a
RT
,令 u(h) = e Mgh / RT ,研究物理模型中常数 C 的特性,设想气体的总量是 N 摩尔,细管内部的气体的
K3
*(
u(h1) Cu(h1) +
2a
u(h2)
-
Cu(h2) + 2a
)
(25)
RT 1
RT 1
∂ρ(h1) / ∂V2 − ∂ρ(h2) / ∂V1 ≠ 0
(26)
现在考虑第 2 项 aρ 2 ,气体对外做功与过程无关,必须满足格林公式,即
ρ(h1) * ∂ρ(h1) / ∂V2 − ρ(h2)∂ρ(h2) / ∂V1 = 0
∂ρ(h1) / ∂V2 − ∂ρ(h2) / ∂V1 = 0
(22)
∂ρ(h1) / ∂V2
=
⎜⎛ ⎜
1
⎜⎜⎝ Cu(h1) +
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ * u(h1) * ⎟⎟⎠
∂C ∂V2
=
⎜⎛ -⎜ ⎜⎜⎝
1 Cu(h1) +
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ * u(h1) * ⎟⎟⎠
K 2 ρ(h2)
∫
dE T
=
0
(31)
所以
∫ dS
=
∫
dQ T
=
∫
dW T
≠0
(32)
5.结束语
以上分析可以看出，气体做功和热量的进出与做功的过程有关，主要是分子相互作用的影响造 成的，在重力作用下，比较明显的表达出来。当没有重力这种效应应该存在，通过对不同过程 的比较，可以选择最好过程，可以提高热力学实践的效果。
虽然上面只考虑气体压强一个修正项，实际气体还要复杂得多，还要增加更多的修正项，
增加的部分不会改变上述的论点。下面讨论熵的循环积分，由热力学第1定律，得
∫ dS
=
∫
dQ T
=
∫
dE
+ dW T
=
∫
dE T
+
∫
dW T
(30)
-4-
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上述过程是等温变化.,显然
= K 2 ρ(h2) * ρ(h1)
u(h1) Cu(h1) + 2a
(23)
RT 1
同样可以得到,
∂ρ(h1) / ∂V2 = K 2 ρ(h2) * ρ(h1)
u(h2) Cu(h2) + 2a
(24)
RT 1
令 K3 = K 2 ρ(h2) * ρ(h1)
∂ρ(h1) / ∂V2
−
∂ρ(h2) / ∂V1 =
Actual gas apply work in gravitational field will be influenced by process
Miao Bo
Shenzhen Sanyou
Abstract the paper solved the distribute of density and pressure intensity in gravitational field ,and indicated the effect from microcosmic interacting to macroscopical thermodynamics , then base on that to research the actual gas in gravitational field : actual gas in two container with different tall , connected by two microtubule , if the capacity change (isothermal) ,gas will apply work .the magnitude will be influenced by the changing mode(process) of capacity .we can get the conclusion from the First law of thermodynamics ,the absorbing heat will be influenced by the changing process of capacity . Keywords：the second law of thermodynamics , entropy , Green’s indentities , actual gas , Clausius equation
(27)
根据前面的计算可以判断,(27)式也不成立.,这样
∂P(h1) / ∂V2 − ∂P(h2) / ∂V1 ≠ 0
(28)
所以真实气体在重力场中做功与过程有关,做功的循环积分不为 0,
∫ dW = ∫ P(h1) * dV1 + P(h2) * dV2 ≠ 0
(29)
4.真实气体在重力场中熵的循环积分不为 0
必须把两者之间的热力学量（压强、密度）的关系，即计算重力场真实气体压强、密度的分布。
真实气体在等温情况下的压强是气体密度的函数，可以写作[4]：
P = ρRT − aρ 2 + bρ 3 + 高阶项
考虑气体的密度较小，只考虑分子相互作用的一阶效应 aρ 2 , ρRT 是分子动能的表现.所以得到:
P = ρRT − aρ 2
,和 K 2 =
1 K1
dC dV1
=
−K 2 ρ(h1)
(17)
同理可以得到
dC dV2
= −K 2 ρ (h2)
(18)
容器 1、2 的压强为
P(h1) = ρ(h1)RT − aρ(h1)2
P(h2) = ρ(h2)RT − aρ(h2)2
(19)
3.真实气体在重力场中做功与过程有关
现在研究气体做等温膨胀,对外做功,
0.引言
重力场中真实气体的密度是不均匀的,分子作用力将会影响气体的分布,造成边界的气体流 动[1]。本文将研究重力场中分子力作用下真实气体密度、压强分布、做功、熵的变化。
1.物理模型
如图所示：两容器内装有真实气体,高度h1、h2，体积V1 、V2 ，两者用细管连接。
图1 物理模型
பைடு நூலகம்
任何一个容器体积变化，气体对外做功，另一容器内气体密度发生变化。要确定做功特点，
*V1
* u(h1)
∂C ∂V1
⎜⎛ +⎜
1
⎜⎜⎝ Cu(h2)
+
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ ⎟⎟⎠
*V2
* u(h2)
∂C ∂V1
=0
令
K1
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
Cu
1 (h1)
+
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ ⎟⎟⎠
*V1
⎜⎛ * u(h1) + ⎜
1
⎜⎜⎝ Cu(h2) +
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ ⎟⎟⎠
* u(h2) *V2
(1)
这里ρ的单位是摩尔/立方米，后面要用到的一个密度ρ’,单位是千克/立方米。两者之间的关系
ρ ' = Mρ
-1-
M—气体克分子量。
2.重力场中真实气体的密度和压强的分布
由（1）得到
dP = (RT − 2aρ)dρ
流体在重利场中压强变化：
dP = −ρ ' gdh = −ρMgdh
由（2）（3）得到
量忽略不计.
−1
−1
Cu(h1) +
2a
*V1 + Cu(h2) +
2a
*V2 =N
(16)
RT
RT
在后面的计算中 dC/dV1 和 dC/dV2 的关系比较重要,对(16)进行 V1,V2 的求导.
−1 Cu(h1) +
2a RT
⎜⎛ +⎜
1
1 ⎜⎜⎝ Cu(h1) +
2a RT
⎟⎞ 2 ⎟ ⎟⎟⎠
-5-
(RT − 2aρ)dρ = − ρMgdh
（4）
（2） （3）
(
RT ρ
−
2a)dρ
=
−Mgdh
（5）
dρ / dh = − ρMg RT − 2aρ
（6）
由于 2aρ比较小，得到
dρ / dh = − ρMg (1 + 2aρ )
RT
RT
（7）
分子的引力作用只是对理想气体分布作了小的修正，设
ρ = f * e−Mgh / RT
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真实气体在重力场中做功与过程有关
缪波
深圳三友
E-mail：zbl1905@126.com
摘 要：本文求解了真实气体在重力场的密度和压强的分布,其中显示了微观相互作用对宏观热 力学量的影响.以此为基础,研究重力场中的真实气体:不同高度的两容器装有真实气体,两者用细 管连接. 容器体积变化(等温),气体对外做功.做功的大小与体积变化的方式(过程)有关.由热力学 第 1 定律,可以得出体系吸收热量与体积变化的方式有关. 关键词：热力学第 2 定律，熵，格林公式，真实气体，克劳修斯公式
= − 2aMg (RT )2
f e2 −2Mgh / RT
(10)
df / dh = − 2aMg f e2 −Mgh / RT (RT )2
(11)
df / f 2 = − 2aMg e−Mgh / RT * dh (RT )2
(12)
− 1/ f = 2a e−Mgh / RT + C
(13)