第五章 热力学第二定律与熵 习题解答.

所以1-2-3过程的熵变为：
S3 S1
2 dQ
1
T

3 dQ 2
T
C P ,m
600 dT 300
T
CV ,m
300 dT
600
T
R ln 2
⑵ 1-3为等温过程，其熵变为： 3 dQ V3 SBaidu Nhomakorabea S1 R ln R ln 2 V2 1 T
P / Pa 1
W 2 热机效率为 ： Q吸 8
5.3.6 理想气体经历一正向可逆循环，其循环过程在T-S图上可表示 为从300K、1106J/K的状态等温地变为300K、5105J/K的状态， 然后等熵地变为400K、5105J/K，最后按一条直线变回到300K、 1106J/K的状态。（1）在T-S图上正确画出循环图； （2）求循环 T/K 效率及它对外所作的功 解：⑴ T-S图上的循环过程如图示 ⑵ 1~2过程等温、放热； 2~3过程等 熵、绝热；3~1过程方程为：
(2)
注意到(2)式的总熵变小于(1)式的总熵变，可知增加一个中间温度 (323K)的热源后，水和热源合在一起（它们是绝热系统）的总熵 变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在 一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变， 应该使水所经历的是可逆过程，即按照前面分析中所描述的那样， 使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是 可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。
⑵ 设初态氦气、氖气的状态参量为（S表示截面积）：
He 1mol ; PHe 5 105 Pa; VHe 0.3 S
Ne; PNe 1 105 Pa; VNe 0.5 S
末态氦气、氖气的状态参量为(l表示静止时活塞距气缸左边的距离)：
'He 1mol; P'He ; V 'He lS
T ( 2 104 K 2J 1 ) S 500K
400 300
3 2 1
S / (KJ/K)
500 1000
此过程是吸热过程，吸收的热量为：
S S
Q吸 S 2 TdS S 2 ( 2 104 K 2J 1 ) S 500K dS 1.75 108 J 1 1
5.3.5 有一热机循环，它在T-S图上可以表示为其半长轴及半短轴分 别平行于T轴及S轴的椭圆。循环中熵的变化范围从S0到3S0，T的变 化范围从T0到3T0。试求该热机的效率。 T
解：做出示意图 椭圆中心坐标为 (2 S0 ,2T0 )
椭圆半长、半短轴的长度分别为：S0 , T0
3T0 T0
3
4
⑶ 整个气体的熵变等于氦气和氖气熵变之和。
S SHe SNe
0.6 S 0.3 S 0.2 S dV d V 2 1 He Ne R ln 2 1 R ln 3 . 22 JK 3 V 5 0.5 S V
5.3.3 水的比热容比是4.18KJ· Kg-1· K-1。⑴ 1Kg0℃的水与一个 373K的大热源相接触，当水的温度到达373K时，水的熵改变多少？ ⑵ 如果先将水与一个323K的大热源接触，然后再让它与一个373K 的大热源接触，求系统的熵变。 ⑶ 说明怎样才可使水从273K变到 373K而整个系统的熵不变。 分析： 由于前两问都是在温差不满足△T/T<<1的条件下的热传递， 因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其始、末态 都和他的初、末态相同的可逆过程。例如，水在等压条件下 依次和一系列的温度从T1逐步上升到T2的热源相接触，相邻 两热源之间的温差满足△T/T<<1的条件。只有水达到新的平 衡态后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触， 使达到下一热源的温度…如此使得水的温度也逐步从从T1上 升到T2。这样就可以认为水在任何时刻的温度几乎都是处处 相等的,它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两 个可逆和不可逆过程的始末两态相同,因而熵变相同。 解：⑴ 设水的初温T1 ,终温T3 ,水的定压比热容cP，则有: dT dQ mc P dT TdS dS mc P T
2
⑶ 1-4-3过程由1-4的绝热过程和4-3的等压过 程组成，有： T4 V4 1 1 T1V1 T4V4 T3 V3
4
3 40
2 7
20
V /L
联立上式，代入T1=300K， T3=300K，可得： T4 2
300K
则1-4-3过程的熵变为：
S3 S1 ( S4 S1 ) ( S3 S4 ) 7 0 R 2 4 T
所以B室温度为： TB 2
又：P0V0 2 P0VB

1
T0
2 27 T
0
1.22T0
VB 2 V0 0.61V0
5 7
VA 2V0 VB 2V0 0.61V0 1.39V0 2 P0VA T0 2 1.39T0 2.78T0 则A室温度为： TA P0V0 ⑵ 由于气缸和活塞都是绝热的，A室气体对B室气体做的功就是B 室气体内能的增加（两室气体均为1mol），有：
W UB CV ,m (TB T0 ) 5 R(1.22T0 T0 ) 0.55RT0 2
⑶ 加热器传给A室的热量等于A室气体和B室气体内能增量的和：
第五章
习题解答
5.1.1 试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点(注意:不一 定是理想气体) 分析: 题中已明确指出这是对于任何物质而言的，所以不能应用理 想气体等温线和绝热线来证明它们不能相交于两点。由于热 力学第一定律和热力学第二定律具有普适性和可靠性，只要 假定在任意一个状态图上的绝热线与等温线相交于两点，然 后证明这样必然违背热一律或热二律，那么这一命题必然是 错误的。 证明：假设绝热线与等温线相交于两点A和B，从而围城一个闭合 区域，分两种情况讨论。 ⑴ 绝热线在等温线的下面。假设此循环是顺时针的，则此过程 P 对外做功，而在整个循环中只从单一热源吸热 A 并全部用来对外做功，而不产生其它影响，这 违反了热二律的开尔文表述，因此，这种情况 CB 下，等温线不能和绝热线相交于两点 D V
1 2
椭圆面积为 A12341 S0T0 S0 T-S图上顺时针循环面积为热机对外所做功， 因而： W A12341 S0T0
3 S0
S
由图可见，3—4—1过程吸热，吸收的热量为该段循环 曲线下的面积，故有： 4)S T Q吸 1 S T 2 T 2 S ( 0 0 0 0 0 0 2 2
S mc P ln T3 T T mc P ln 3 1 184JK 1 T1 T1
(2)
整个系统的总熵变为： S S2re S3re S2H 2O S3H 2O 97 JK 1
(1)
⑶ 可以看出在⑴中，水和热源的总熵变为
T3 T3 T1 S mc P ln mc P ln 184JK 1 T1 T1
3 dQ 300
2 2 7 300 2 dT 7 R ln 2 7 R ln 2 T 2

可见：熵确为态函数，其变化仅由始末态决定，而与路径无关。
5.3.2 如图所示，一长为0.8m的圆柱形容器被 一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在 距左端0.3m处。活塞左边充有1mol压强为 He Ne 5×105Pa的氦气，右边充有压强为1×105Pa的 氖气，它们都是理想气体。将气缸浸入1L水中， 开始时整个物体系的温度均匀地处于25℃。气 缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于新的平 衡位置，试问这时⑴ 水温升高多少？⑵ 活塞将静止在距气缸左边 多大距离位置？ ⑶ 物体系的总熵增加多少？ 分析： 开始时活塞是固定的，放松以后活塞振动起来，说明开始时 活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气 和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体 系（气缸以及内部的气体和外面的水）的温度均匀地处于 25℃，它不可能和外界交换热量。所以一开始气缸以及内部 气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变，谁 的温度也不变。 解：⑴ 水温保持25℃不变。
如此题设得证。
A D
C
B
V
5.3.1 如图所示，图中1-3为等温线，1-4为绝热线，1-2和4-3均为等 压线，2-3为等体线。1molH2(理想气体)在1点的状态参量为 V1=0.02m3，T1=300K；在3点的状态参量为V3=0.04m3，T3=300K。 试分别用如下三条路径计算S3-S1：⑴1-2-3 ; ⑵ 1-3 ; ⑶ 1-4-3. 分析：因为能够用实线表示的状态变化图 P / Pa 1 2 线一般都可以认为是可逆变化过程，所以 dQ 可用 dS 来计算熵变。 T V2 3 4 解： ⑴ 1-2为等压过程 ： T2 T1 600K V1 20 40 V / L 2-3为等体过程，且H2为双原子分子，故： 7 5 C P ,m R , CV ,m R 2 2
T3 S mc P ln 1.30 103 JK 1 T1
⑵ 整个系统的总熵变应为水的两次熵变和热源的两次熵变之和。 设水的初温T1，323K热源的温度为T2，373K热源的温度为T3 。由 于323K和373K热源处于恒温下，它们放出的热量分别为： Q2 mc P (T2 T1 ) , Q3 mc P (T3 T2 ) Q2 Q3 , S3re 两个热源的熵变分别为： S2re T2 T3 水在两次传热过程中的熵变分别为： T T S2H 2O mc P ln 2 , S3H 2O mc P ln 3 T1 T2 整个系统的总熵变为： (1) S S2re S3re S2H 2O S3H 2O 97 JK 1 ⑶ 可以看出在⑴中，水和热源的总熵变为
⑵ 绝热线在等温线的上面。同样可以假设此循环是顺时针的， 但是它在B-C-A等温过程中放热，不吸热，它无法和热力学第 二定律相联系，但是这样违背热力学第一定律。因为这是一个 顺时针循环，它是对外做功的。注意到在A-D-B过程中是绝热 的，在B-C-A过程中是放热的，所以在整个循环中即放热又对 外做功，这样就违背了热一律。 P
'Ne Ne; P'Ne P'He ; V 'Ne (0.8 l ) S
由于物质的量和温度都不变，所以有：
PHe VHe P'He lS
PNe VNe P 'Ne (0.8 l ) S P 'He (0.8 l ) S
l 0.6m; Ne 1 mol 3


系统在整个循环过程中对外作的功为T-S图中所围三角形1231 的面积，即： W A1231 0.5 100 500 103 J 2.5 107 J 循环效率为：
W 2.5 107 1 14.3% 8 Q吸 1.75 10 7
5.3.7 绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成A、B两室。活塞在气 缸内可无摩擦地自由滑动。 A、B内各有1mol双原子分子理想气体。 初始时气体处于平衡态，他们的压强、体积、温度分别为P0,V0,T0。 A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2P0，试问： ⑴ 最后A、B两室内气体温度分别是多少？ ⑵ 在加热过程中，A室 气体对B室气体做了多少功？ ⑶ 加热器传给A室气体多少热量？ ⑷ A、B两室的总熵变是多少？ 分析：注意气缸和活塞都是绝热的。A对B的影响是通过活塞的做 功实现的，而A、B的压强始终相等，A、B的总体积不变。 解： ⑴ B经历的是准静态绝热过程。设B的末态体积与温度分别为 VB,TB； A的末态体积与温度分别为VA,TA。双原子分子理想气 体的=7/5，则有： 2 P0 1 P0 1 TB T0