抛物线及其标准方程简单的几何性质导学案(第二课时).
人教版高中数学选修2-1导学案：第二章第四节抛物线的简单几何性质第二课时
第二章第四节抛物线的简单几何性质第二课时设计者：李晓帆 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．了解抛物线与直线的关系；2. 在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处.______________________________________________________________________________自学探究问题1.直线和椭圆、双曲线的判定方法是什么？问题2.直线与抛物线的位置关系如何判定?【技能提炼】1. 已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式】过点(2,0)M 又如何？【思考】直线和抛物线有一个公共点一定相切吗？2.已知抛物线的方程)0(22>=p px y ，AB 是过焦点F 的一条弦，点()()2211,,,y x B y x A 求证：⑴4,221221p x x p y y =-=⑵θ221sin 2p p x x AB =++= （θ为直线AB 的倾斜角） ⑶以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑷A,B 在准线上的射影为C,D ，则︒=∠90CFD .教师问题创生学生问题发现 变式反馈1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥．2.已知抛物线x y 62=，过点()1,4P 引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程.3．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =，求直线AB 的方程．4．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．*5.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．6.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点， 证明：pFB FA 211=+7．已知抛物线x y -=2于直线()1+=x k y 相交于A,B 两点。
抛物线及其标准方程(第二课时)教学设计
教学目标
知识目标：
1、理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程并能初步利用它们解决有关问题；
2、培养运用坐标法、数形结合法、待定系数法理解和解决有关问题。
能力目标：
1、进一步培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力；
拓展题目：分别求抛物线①y=ax2（a＞0）、②y=ax2（a＜0）的焦点坐标、准线方程。
教师引导学生回忆。通过简单的知识回顾导入新课。
教师组织学生紧扣坐标法步骤探究3种抛物线标准方程，然后交流，规范书写过程。
学生独立完成知识归纳表格。
学生观察、对比、归纳，发现标准方程、图象开口方向、焦点位置这3者之间的关系。
四、小结知识、形成系统
相关概论：
思想方法：
五、布置作业、拓展新知
必做题目：教材：P64习题2.3A组第1、2、3题
选做题目：
1、已知抛物线经过点（-3，-1），求抛物线的标准方程。
2、探照灯与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深是10cm，那么灯泡应装在与反射镜的顶点（即截得抛物线的顶点）相距多远的地方？
2、初步培养学生应用所学知识解决问题的能力。
情感目标：
1、提升学生的自信心；
2、激发学生对数学的学习兴趣。
教材分析
重点：抛物线标准方程的应用。
难点：抛物线标准方程的推导。
教学方法
学案导学法
教学内容
师生活动
设计意图
教
学
过
程
教
学
过
程
一、提出问题、导入新课
1、复习当焦点在x轴正半轴时，抛物线方程推导方法、抛物线的焦点坐、准线方程；
《抛物线的简单几何性质》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《抛物线的简单几何性质》第2课时教学设计“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p ．课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图；第二课时主要内容为焦半径公式．1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系． 教学难点：抛物线几何性质的综合运用．复习引入 （多媒体投影）活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx ＋ny 2＝0（m ·n ≠0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是（－m 4n，0），准线方程是x ＝m 4n ，离心率是1，通径长|mn|．②若点A （3，2），点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，则使|MA |＋|MF |取最小值的抛物线上点的坐标是（2，2）．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用． 新课讲解1斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0）．所以直线AB 的方程为y ＝x －1．①将方程①代入抛物线方程y 2＝4x ，得（x －1）2＝4x ，化简得x 2－6x ＋1＝0． 解之得：x 1＝3＋22，x 2＝3－22．将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得y 1＝2＋22，y 2＝2－22． 即A 、B 坐标分别为（3＋22，2＋22）、（3－22，2－22）． ∴|AB |＝422＋422＝8．解法二：如右图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离|AA ′|，而|AA ′|＝x 1＋1．同理|BF |＝|BB ′|＝x 2＋1，于是得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2．由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB |＝6＋2＝8．点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长（运算量一般较大）；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长（运算简单）． 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF |＝x 1 ＋p2．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px ①点A 的坐标为（y 202p ，y 0），则直线OA 的方程为y ＝2p y 0x （y 0≠0）②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是（p 2，0），所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2（x －p2）⑤其中y 20≠p 2．联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P （－2，1），斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k （x ＋2）．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k(x ＋2)y 2＝4x （*） 消去x 可得ky 2－4y ＋4（2k ＋1）＝0①当k ＝0时， 直线与抛物线只有一个公共点． 由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14．此时，直线l 与抛物线只有一个公共点（14，1）．（2）当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16（2k 2＋k －1）． ①由Δ＝0， 即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1， 或k ＝12．所以， 当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0， 即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12．所以， 当－1＜k ＜12，且k ≠0时，方程①有两个解， 此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0， 即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1， 或k ＞12．所以， 当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解， 此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1， 或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1， 或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论． 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ＝0时．直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； （2）当a ≠0时．Δ＞0→方程组两组解→相交； Δ＝0→方程组一组解→相切；Δ＜0→方程组没有解→相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短． 解：设点P （t ，4t 2）到直线y ＝4x －5的距离为d ． ∴d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517．当t ＝12时，d 取得最小值，此时P （12，1）为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．14 B ．0或14 C ．0或－34 D ．14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是（ ） A ．（1，1） B ．（3，3） C ．（32，34） D ．（12，14） 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是________________ 5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1．B 2．C 3.2 4．y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题． 布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题． 补充练习1．已知直线l 过点A （－3p 2，p ）且与抛物线y 2＝2px （p >0）只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点的一条直线和抛物线相交于点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________．4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2．C 3．384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－（2p －4）x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14．|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15． 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6． ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x ．本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．。
《2.3.2抛物线的简单几何性质》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线的简单几何性质》导学案学习目标:1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程:一、课前准备 复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是___________________．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形标准方程焦点(0,)2p -准线 2p y =-顶点 (0,0)(0,0)对称轴 x 轴 离心率试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程（ ）、对称轴（ ）、离心率（ ）． ※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点 (5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =． 三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是( )． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程( ) ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB=______________________．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；P--．⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)2.M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
《抛物线及其标准方程》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《抛物线及其标准方程》第2课时教学设计本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数提供了直观的图象感觉；在高中阶段也有着广泛的应用，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用．但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线之后，已具备了探讨这个问题的能力．因此，这一节的教学既是与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美，也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础．我们在教学中采用“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，具体做法如下：（1）通过图片的形象展示及信息技术应用，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了抛物线的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．（2）类比椭圆、双曲线标准方程的求解过程，思考→研究讨论→点拨引导，得到抛物线标准方程．通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．课时分配本节内容分两课时完成．第一课时讲解抛物线的定义及其标准方程；第二课时讲解运用抛物线的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．1．掌握定义法求解动点轨迹方程的基本步骤．2．加深理解抛物线的定义，并拓展推广抛物线定义．3．能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题．4．能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力．教学重点：抛物线的定义及方程的运用．教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化．复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．推导抛物线的标准方程如图所示，建立直角坐标系，设|KF |＝p （p >0），那么焦点F 的坐标为（p 2，0），准线l 的方程为x ＝－p 2． 设抛物线上的点M （x ，y ），则有x －p 22＋y 2＝|x ＋p 2|． 化简方程得 y 2＝2px （p >0）．方程y 2＝2px （p >0）叫做抛物线的标准方程．（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （p 2，0），它的准线方程是x ＝－p 2． （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py ．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下．3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF |＝p （p >0），则抛物线的标准方程如下：（1）y 2＝2px （p >0），焦点：（p 2，0），准线l ：x ＝－p 2．（2）x 2＝2py （p >0），焦点：（0，p 2），准线l ：y ＝－p 2． （3）y 2＝－2px （p >0），焦点：（－p 2，0），准线l ：x ＝p 2． （4） x 2＝－2py （p >0），焦点：（0，－p 2），准线l ：y ＝p 2． 热身练习1．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程． 学情预测：学生可能会由已知，得点M 属于集合P ＝{M ||MF |＋1＝|x ＋5|}．将|MF |用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M 的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐．引导学生仔细分析题目的条件，“点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．解：如图，设点M 的坐标为（x ，y ）．由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线．∵p 2＝4，∴p ＝8． 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x ．设计意图：此题为抛物线定义的灵活应用，加强对抛物线定义的理解与认识．2．说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程．（1）y 2＝8x 焦点为______________，准线方程为____________________．（2）x 2＝4y 焦点为______________，准线方程为____________________．（3）2y 2＋3x ＝0 焦点为______________，准线方程为____________________．（4）y ＝－16x 2 焦点为______________，准线方程为____________________． 解：（1）（2，0），x ＝－2 （2）（0，1），y ＝－1 （3）（－38，0），x ＝38（4）（0，－32），y ＝32设计意图：复习已知抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程的方法：关键要确定轴向．3．根据下列条件写出抛物线的标准方程．（1）焦点是F （－3，0）．（2）准线方程是y ＝3．（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上．解：（1）y 2＝－12x （2）x 2＝－12y （3）x 2＝－8y 或x 2＝8y活动设计：以上3个问题可让学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导． 讲授新课（一）标准方程的再认识1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点（3，－4）．（2）焦点在直线x －y ＋2＝0上．活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许．（1）分析：因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所以要根据条件选设方程形式．解：因为点（3，－4）在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下．故设方程为y 2＝2px （p >0）或x 2＝－2py （p >0）．将点（3，－4）代入得方程为：y 2＝163x 或x 2＝－94y ． （2）分析：因为焦点在直线上，而且是标准方程，所以焦点也应该在坐标轴上． 而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点．解：由题意知直线与坐标轴交于（－2，0）和（0，2）．若抛物线以（－2，0）为焦点，则方程为y 2＝－8x ．抛物线以（0，2）为焦点，则方程为x 2＝8y ．点评：（1）掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程，解题时强调方程形式的选择；（2）进一步熟悉抛物线的焦点位置与标准方程之间的关系；（3）培养学生运用知识解决问题的能力．（二）定义的拓展2抛物线y 2＝4x 上一点到焦点的距离为3，则这个点的坐标是____________．（变式一）抛物线y2＝4x上一点的横坐标是4，则这个点到焦点的距离为____________．（变式二）抛物线y2＝2px上有一点A（4，m）到准线的距离为6，则m＝____________．（变式三）抛物线上一点A（－5，m）到焦点F（n，0）的距离为6，则抛物线的标准方程为____________________．（变式四）已知点A（0，－1），点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到定点A的距离与点P到抛物线的准线的距离和的最小值为__________________．设计意图：由定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，后者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独地表示出来，所以应该围绕这个特点来解决问题．解：由题意可知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为这个点到焦点的距离为3，所以它到准线的距离也是3，从而它的横坐标为2，将它代入方程得坐标为（2，±22）．（变式一）答案：5（变式二）m＝±4 2（变式三）由已知焦点F（n，0）得：焦点在x轴上，所以准线方程为x＝－n．抛物线上一点A（－5，m）到焦点F（n，0）的距离为6，所以它到准线的距离也等于6，而且点A（－5，m）在y轴的左侧，故开口向左，设方程为y2＝4nx，则－n－（－5）＝6，∴n＝－1．所以方程应为：y2＝－4x．（变式四）解：如图点P到点A的距离与点P到抛物线焦点距离之和为P A＋PF，故最小值在A、H、F三点共线时取得，此时P A＋PF＝AF．又A（0，－1），F（1，0），所以，AF＝0－12＋－1－02＝2．点评：解决变式四需注意先判断定点的位置，再进行转化．（三）数学应用3已知抛物线形古城门底部宽12 m，高6 m，建立适当的坐标系，求出它的标准方程．解：如图建立直角坐标系，设方程为x 2＝－2py ，则A （6，－6）在抛物线上，即：62＝－2px （－6）∴2p ＝6故方程为x 2＝－6y ．引申：一辆货车宽4 m ，高4 m ， 问能否通过此城门？解：让货车沿正中央行驶，车宽4 m ，当x ＝2时，y ＝－x 26＝－16×22＝－23． 此时，地面到该点的高度为h ＝6－23＝163＞4．故车子可以顺利通过． 研究：若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？解：让货车靠正中央行驶，车宽4 m ，当x ＝4时，y ＝－x 26＝－16×42＝－83． 此时，地面到该点的高度为h ＝6－83＝103＜4．故车子不能顺利通过．达标检测1．到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 33的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2．抛物线x ＝－y 28的准线方程是（ ） A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．y ＝132 D ．y ＝143．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点（－5，25）到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x4．过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是________________．5．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是__________．6．在抛物线y 2＝8x 上有一点P ，它到焦点的距离是20，则点P 的坐标是________．答案：1．D 2．A 3．B 4．y 2＝－92x 或x 2＝43y 5．3 6．（18，12）或（18，－12）本课小结1．由方程求基本量，反过来可以由一些基本量求出方程；2．基本知识：转化思想 ，用到焦点的距离转化为到准线的距离；3．解决问题，解决一些与抛物线有关的实际问题．作业布置补充练习的1，3，4．补充练习1．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则它到焦点的距离是________．2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是________．3．如图：一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m ，求水面宽度．4．抛物线上一点（a ，－3）到焦点（0，m ）的距离是5，求抛物线的标准方程． 答案：1.52．y ＝－14a3．解：建立如图所示的直角坐标系．则A 点坐标为（2，－2），设抛物线的方程为x 2＝－2py ，将点A 坐标（2，－2）代入方程得：x 2＝－2y ．若水面下降1 m ，此时对应的B 点的纵坐标变为－3．即：y ＝－3，代入方程得：x 2＝－2×（－3）＝6．x ＝±6，所以水面的宽变为2 6 m ．4．解：因为焦点在y 轴上，由点（a ，－3）的特点可设方程为x 2＝－2py （p >0）．则准线方程为：y ＝p 2，故有p 2－（－3）＝5，p ＝4．方程为：x 2＝－8y ．设计本节课主要是为了使学生加深对抛物线的定义的理解，加深对抛物线标准方程的认识，以及能够运用抛物线标准方程解决现实生活中与之有关的问题．设计从复习抛物线定义及标准方程的推导开始，让学生对进一步加深对知识的理解，然后通过例题引导学生分析问题，解决问题，熟练掌握抛物线的标准方程的四种形式．通过变式训练逐步增加难度，循序渐进，增加学生的思维量，使其能够全面地分析问题、解决问题，最后通过一道实际问题，让学生知道知识来源于生活，又能够服务于生活，提高学生的学习兴趣．。
抛物线的简单几何性质(教学设计)高中数学 人教A版2019选择性必修第一册
3.3.3抛物线的简单几何性质(第二课时)教学设计(一) 教学内容：通过解决具体问题体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及抛物线在实际生活动中的应用举例.(二) 教学目标1.通过解决问题，能熟练利用抛物线的定义、方程和性质解决综合问题，提升学生的解题能力；2.通过实例，能体会抛物线在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识.(三) 教学重点和难点重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养(四) 教学过程设计引入：我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
问题 1 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.【师生活动】教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？学生：只要证明证明点D的纵坐标和点B的纵坐标相等即可.教师：D、B两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？学生：D、B两点的坐标与点A的坐标和直线AB有关，【分析】既然D、B两点的坐标与A有关，我们可以先把点A坐标设出来，然后用点A 的坐标表示D 、B 的坐标.教师引导和板书，学生思考：如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy .设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),点A 的坐标为(y 022p,y 0)(y 0≠0)，则直线OA 的方程为y =2p y 0x,抛物线的准线方程是x =−p2.联立直线OA 和准线方程可得点D 的纵坐标为−p 2y 0.焦点F 的坐标是(p2,0)，当y 02≠p 2时，直线AF 的方程为y =2py 0y 02−p 2(x −p2).联立直线AF 和抛物线方程可得点B 的纵坐标为−p 2y 0，与点D 的纵坐标相等，于是DB 平行于抛物线的对称轴.当y 02=p 2时，易知结论成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴. 追问1 你还有其他证明方法码？学生回答：由于点D 、B 的坐标还和直线AB 有关，我们还可以先设直线AB 的方程.学生解答：如图所示，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),焦点F坐标为(p2,0), 易知直线AB斜率为不0,可设过点F的直线AB的方程为x=my+p2，点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2).联立直线AB和抛物线的方程得y2−2py−p2=0，由韦达定理可知y1y2=−p2,则有y2=−p2y1,即点B的纵坐标为−p 2y1 .准线方程为x=−p2，直线OA的方程为y=y1x1x，联立直线OA和准线的方程可得点D的纵坐标为−py12x1.又点A在抛物线上，满足y12=2px1，可得x1=y122p,故−py12x1=−p2y1，即点D的纵坐标为−p2y1，与B的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.【设计意图】问题1是教材136的例5, 例5是抛物线的一个性质，目的是让学生体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及提升解决抛物线综合问题的能力，教材后面的追问环节是加深理解相应的数学方法. 师生活动中的目的是引导学生转化问题和提示学生解题方向，也为后面一题多解做铺垫。
《抛物线的几何性质》 导学案
《抛物线的几何性质》导学案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。
2、能够运用抛物线的几何性质解决相关的问题。
3、通过对抛物线几何性质的探究，提高观察、分析和解决问题的能力。
二、学习重点1、抛物线的几何性质，如开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。
2、抛物线几何性质的应用。
三、学习难点1、抛物线几何性质的推导和理解。
2、运用抛物线的几何性质解决综合问题。
四、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：焦点在 x 轴正半轴上：＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 x 轴负半轴上：＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴正半轴上：＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴负半轴上：＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
五、新课讲解（一）抛物线的范围以抛物线\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼）为例，因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（2px ＼geq 0\），又因为\（p ＞ 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在\（x\）轴的右侧。
同理，对于抛物线\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），＼（x ＼leq 0\），抛物线在\（x\）轴的左侧。
对于抛物线\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（y ＼geq 0\），抛物线在\（y\）轴的上方。
高中数学 2.3.4抛物线的简单几何性质(2)导学案 新人教版选修1-1(1)
§2.3.4 抛物线的简单几何性质（2）学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．学习过程一、课前准备7072，文P61~ P63找出疑惑之处）复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点(2,3)P-的抛物线的方程为（）．A．29 4y x= B. 29 4y x=-或24 3x y=-C. 24 3x y= D. 29 2y x=-或24 3x y=复习2：已知抛物线22(0)y px p=->的焦点恰好是椭圆2211612x y+=的左焦点，则p= ．二、新课导学※学习探究探究1：抛物线22(0)y px p=>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：①这点到准线的距离为；②焦点到准线的距离为；③抛物线方程；④这点的坐标是；⑤此抛物线过焦点的最短的弦长为．※典型例题例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．（理）例2已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？小结：① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；②直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交．※ 动手试试练1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥．2．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =，求直线AB 的方程．三、总结提升※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ；2．抛物线与直线的关系．※ 知识拓展过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M ,N 两点，则11MF NF +为定值，其值为2p ． 学习评价※ 当堂检测1．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB 的最小值为 （ ）．A. 2p B. p C. 2p D. 无法确定 2．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）．A. 52B. 5C. 152D. 10 3．过点(0,1)且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有 （ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条4．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______________．5．抛物线上一点(5,25)-到焦点(,0)F x 的距离是6，则抛物线的标准方程是 ．课后作业※ 夯基达标1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.1122⎡⎤-,⎢⎥⎣⎦B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4] 2.过点M (2,4)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.03.对于抛物线C :24y x =,我们称满足2004y x <的点0(M x 0)y ,在抛物线的内部,若点00()M x y ,在抛物线的内部,则直线l :0y y 02()x x =+与抛物线C 的位置关系是( )A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能有一个,也可能有两个公共点D.无公共点4.抛物线2y x =-上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3 5.设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点PA l A ,⊥,为垂足,如果直线AF 的斜率为3,那么|PF |= .6．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点， PQ =15，求抛物线的方程．7． 从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．8.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,求抛物线方程.9.已知抛物线C:22(0)y px p =>的准线为l ,过M (1, 0)3的直线与l 相交于点A ,与C 另一个交点为B,若AM =MB ,求抛物线C 的方程.※ 能力提升10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为 ( ) A.2 B.2 C.32 D.22 11.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,且|AF |=2,则|BF |= .12.已知抛物线的方程为22y x =,直线l 的方程为y =kx +1(k ∈R ),当k 分别为何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A,B 是抛物线上的两个点，线段AB 的中点M 的坐标为(2,2),求△ABF 的面积.14.已知A,B 是抛物线24y x =上的两点,O 是抛物线的顶点,且OA OB ⊥,求证:直线AB 过定点.※ 拓展探究15.天体运行的轨道经常是一个二次曲线,而地球恰好位于轨道的焦点处,研究天体的运行轨道问题可以转化为研究二次曲线的问题,天体运行轨道的分析并不是深不可测的,只要用我们所学的知识就可以研究.看下面的问题:设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为d (万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30,求这颗彗星与地球的最短距离.。
抛物线导学案(第二课时)
一轮复习抛物线导学案（第二课时）班级姓名教学目标：1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质2.了解抛物线的简单应用，通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.教学重点：抛物线的定义、几何图形和标准方程教学难点：双曲线简单几何性质,体会数形结合的思想及双曲线的应用教学过程一、知识回顾1．抛物线的定义一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上的点的轨迹称为抛物线．其中定点F称为抛物线的，定直线l称为抛物线的．2．抛物线的标准方程和几何性质3.直线与抛物线的位置关系1．求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．3．注意直线是否垂直x轴，如果可以垂直直线可设为x＝my＋t，注意直线是否平行抛物线对称轴．二、例题讲解一、选择题1．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．2B．3C．3D．22．A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝() A．2 B．3 C．6 D．93．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝()A．2 B．4 C．6 D．84.抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x5.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( ) A ．2 B ．22 C ．3D ．326．(多选题)已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－4B ．F 点的坐标为(0，4)C ．|FN |＝12D ．三角形ONF 的面积为162(O 为坐标原点)二、填空题7．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________． 9．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以点F 为圆心，|F A |为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点．若△FBC 为等腰直角三角形，且△ABC 的面积是42，则抛物线的方程是________． 三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．11．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.。
抛物线和简单几何性质教案(焦点弦的性质)
抛物线的几何性质（第二课时）---------抛物线的焦半径和焦点弦的性质一、教学目标(一)认知目标通过对抛物线焦点弦有关性质的探究，进一步改善对“抛物线”的认知结构。
(二)能力目标从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线焦点弦的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力.培养发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力。
(三)情感目标通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辩证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
二、学情分析学生已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的简单几何性质以及直线与抛物线的位置关系，有了一定的知识储备和探究问题的能力，因此本节课是学生能力的提升，知识的完善和升华。
三、重点难点应用函数与方程思想变形与化简技术处理焦点弦的有关性质。
1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质推理和应用的方法渗透．四、教法与学法分析本节课坚持运用“3+1教学模式”，将“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”的三维目标细化为教学的三个环节，即“理解课题相对完整的知识方法-------抛物线的定义与标准方程的四种形式统一起来；感悟典型问题的变式探究--------抛物线中焦点弦问题，获得解决典型问题的经验与规律---------运用方程和函数思想处理问题”。
在“抓迁移，促能力”形成的过程中，立足于培养学生学习数学的习惯，使学有目标，记有规律，用有方法，贯彻通性通法，对灵活应用分层次要求。
努力做到教法、学法的最优组合。
并体现以下特点：（1）充分利用数形结合，促使学生由感性认识上升为理性认识。
（2）重视学生主体参与。
学生是学习的主体，教是为了使学生会学，因此，对本节课每个环节，都应通过学生的自主学习、合作探究、交流展示的学习过程来完成。
人教版高中数学优质教案2：2.3.2 抛物线的简单几何性质(二) 教学设计
2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；2．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质： 标准方程 图形顶点 对称轴 焦点 准线 离心率()022>=p pxyx y O F l ()0,0 x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e()022>-=p px y x yO F l()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2p x = 1=e ()022>=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e()022>-=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p 2p y = 1=e注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）抛物线的简单几何性质(三）2．直线与抛物线：（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为： d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
《2.3.2抛物线的简单几何性质(2)》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
2.3.2《抛物线的简单几何性质（2）》导学案
【学习目标】
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
【自主学习】
复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是____________．
复习2：抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是____________．
复习:3：根据下列条件，求抛物线的标准方程
⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；
⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．
【合作探究】
例1(教材P 61例4)斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．
变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．
小结：求过抛物线焦点的弦长，可用弦长公式求解，也可利用抛物线的定义求解．
【目标检测】
1．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
2．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB =____________．
3.M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠=o ，求FA ．。
高中数学教案——抛物线的简单几何性质 第二课时
课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
高中数学 抛物线的简单几何性质(二)导学案 新人教A版选修2-1
2014-2015学年高中数学 抛物线的简单几何性质（二）导学案 新人教A 版选修2-1【学习要求】1．提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性. 2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题. 【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 【双基检测】1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2．已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B ．(－2,22)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22)3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在4．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.【问题探究】题型一 抛物线的标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.跟踪训练1 求以双曲线x28－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.题型二 抛物线的几何性质例2 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.跟踪训练2 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .题型三 抛物线中的定值、定点问题例3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.跟踪训练3 A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点.【当堂检测】1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号).4．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________.【课堂小结】求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.【拓展提高】1．已知抛物线)0(22>=p px y 与)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ ）A ．)6,0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ2．已知抛物线y x 42=，则以⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1为中点的弦所在的直线方程是（ ） A ．062=+-y x B ．042=-+y x C ．0924=+-y x D ．0124=-+y x 3．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4．已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点（1）求实数k 的值（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，ABC ∆面积最大？。
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主编审核定稿班级组别
学习目标
1.抛物线标准方程的理解
2.抛物线简单的几何性质
3.根据几何性质解决与抛物线有关的问题
重点难点
1.几何性质的理解
2.几何性质的用运
自主学习过程
一.复习回顾
1.抛物线标准方程的表达式及其焦点坐标准线分别为(请填写下表
二.自主学习
阅读教材68页的内容,研究抛物线的简单的几何性质,以y 2=2px(p>0为例回答下面问题
A . 425
B 225
C . 825
D . 25
5.过抛物线y 2=2px(p>0的焦点作一条直线交抛物线于A(x1, y 1 , B(x2,
y 2 ,则212
1x x y y为(
A . 4 B -4 C . p2 D .-p2 6.已知抛物线的焦点在直线x -2y -4=0上,则此抛物线的标准方程是( A . Y 2=16x B . X 2=-8y C . Y 2=16x或x 2=-8y D . Y 2=16x或x 2=8y 7.直线y =kx -2与抛物线y 2=8x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值为______.
8.动圆M经过点A(3, 0且与直线l :x =-3相切,则动圆圆心M的轨迹方程为______.
9.已知抛物线的焦点在x轴上,直线y =2x +1被抛物线截得的线段长为,求抛物线的标准方程.
10.抛物线y 2=2px(p>0有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是y =2x ,斜边长是53,求此抛物线方程.
(1范围:(2对称性:
(2顶点:(4离心率:
它等于这个点到准线的距离.对焦半径的理解如下
抛物线y 2
=2px(p>0上的点M(x0, y 0与焦点F的距离|MF |=02
x p
+.
抛物线y 2
=-2px(p>0上的点M(x0, y 0与焦点F的距离x 2=2py(p>0上的点M(x0, y 0与焦点F的距离|MF |=0
五.反思与小结
1.求抛物线的标准方程需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值,过焦点的直线与
抛物线的交点问题有时用焦半径公式较简单
2.数形结合的思想在本节内容中有重要的体现.
3.我还存在的疑惑是
4.我对导学案的建议是
3.过抛物线y 2=2px(p >0焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,过A、B作抛物线的准线的垂线,垂足是A 1、B 1,则∠ A 1FB 1=_______.
4.已知直线l与抛物线y 2=8x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F , A点的坐标为(8, 8 ,则线段AB的中点到准线的距离是(
四.强化训练
1.抛物线y 2=9x与直线2x -3y -8=0交于M、N两点,线段MN中点坐标是(
A . 4
27, 8113(- B. 4
27,
8
113(
C. 4
27, 8
113(-
-
D.
4
27,
8
113(-
2.抛物线y 2
=12x截直线y =2x +1所得弦长等于(
A . B. 2 C. 2 D. 15
例题3.仔细阅读课本例题5,完成下面的变式训练题:设抛物线y 2=2px(p>0的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC ∥ x轴.证明:直线AC经过原点O .
例题4.仔细阅读课本例题6,理解直线与抛物线公共点个数的三种情况:0个, 1个, 2个,重点搞清楚只有一个公共点时直线与抛物线的位置关系
例题2.仔细阅读课本例题4,掌握用数形结合的方法求焦半径以及弦长.完成下面的变式训练题:
1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上点P(-3, m到焦点距离为5,则抛物线方程为(
A . y 2=8x B. y 2=-8x C. y 2=4x D. y 2=-4x
2.抛物线y 2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是( A . (±6, 9 B. (9,±6 C. (9, 6 D. (6, 9
2
y p
+.
抛物线x 2
=-2py(p>0上的点M(x0, y 0与焦点F的距离|MF|=0
2
y p
-.
三.典例剖析
例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点22, 2(-M ,求它的标准方程,并画出其大致图形.
变式:已知抛物线的顶点在坐标原点,并且经过点22, 2(-M ,求它的标准方程,并画出其大致图形.