第四讲不等式

第四讲 不等式、线性规划(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMI1.命题点 两个数(代数式)的大小比较、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用、简单的线性规划．2.交汇点 两个实数(代数式)的大小比较与函数的单调性，一元二次不等式与二次函数、一元二次方程，基本不等式与函数的应用，线性规划与直线的方程、斜率、截距、距离、图形的面积等知识交汇考查．3.常用方法 一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.对应学生用书P013[必记公式]1．a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ) 2．ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 4．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)[重要结论]1．不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 (1)a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (3)a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (4)a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法 f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； 当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 3．判断二元一次不等式表示的平面区域的方法在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点(x 0，y 0)，通过Ax 0＋By 0＋C 的符号来判断Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)所表示的区域．[易错提醒]1．忽略限制条件致误：应用不等式的性质时，要注意限制条件． 2．注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．3．忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．4．解分式不等式时，直接把分母乘到一边，不注意分母的取值范围，致误．对应学生用书P013热点一 不等式的解法例1(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋xx ，x <0log12x ，x >0，则f (x )≥－2的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[4，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0,4] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪[4，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪(0,4] [解析] 当x <0时，f (x )≥－2，即1＋xx ≥－2，可转化为1＋x ≤－2x ，得x ≤－13；当x >0时，f (x )≥－2，即log12 x ≥－2，可转化为log12 x ≥log12 4，解得0<x ≤4.综上可知不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0,4]．[答案] B(2)[2015·西安八校联考]设集合A ＝{x |lg (10－x 2)>0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2x <12，则A ∩B ＝( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(－3，－1)D ．(1,3)[解析] A ＝{x |lg (10－x 2)>0}＝{x |－3<x <3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2x <12＝{x |x <－1}，A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．故选C.[答案] C求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．1．[2015·长春质监]已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1]C ．(－1,0)D ．[0,2]答案 D解析 由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.2．[2015·石家庄质检(二)]函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ∈[0，1)4－2x ，x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232，54 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，log 232∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，log 232∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 答案 C解析 ①当0≤x 0<1时，2x 0≤32，x 0≤log 232， ∴0≤x 0≤log 232.②当1≤x 0≤2时，4－2x 0≤32，x 0≥54， ∴54≤x 0≤2，故选C.热点二 简单的线性规划问题例2 (1)[2015·云南统测]某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎨⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16[解析] 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.故选C.[答案] C(2)x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[解析] 作出可行域(如右图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．故选D.[答案] D(3)已知双曲线x 28－y 22＝1的两条渐近线与函数y ＝x 3＋x 2＋x ＋1在点M (1,4)处的切线围成的封闭区域为P (包括边界)，设点A 为区域P 内的任一点，已知B (4,5)，O 为坐标原点，则OA →·OB→的最大值为( )A.2312 B ．3 C ．2D.2611[解析] 双曲线x 28－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，对函数y ＝x 3＋x 2＋x ＋1进行求导，得y ′＝3x 2＋2x ＋1，则其在点M (1,4)处的切线方程为y －4＝6(x －1)，设A (x ，y )，则OA →·OB →＝(x ，y )·(4,5)＝4x ＋5y ，设z ＝4x ＋5y ，变形为y ＝－45x ＋z 5，作出线性区域可知，当y ＝－45x ＋z 5经过y －4＝6(x －1)与y ＝12x 的交点时OA →·OB→取得最大值，则⎩⎨⎧y －4＝6(x －1)y ＝12x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝411，y ＝211，所以求得的最大值为z max ＝411×4＋211×5＝2611.[答案] D本例(2)条件不变，把目标函数改为z ＝y ＋2x －1，求z 的取值范围？ 解 可知z 的几何意义为可行域内的点(x ，y )与(1，－2)的斜率．可知z 的范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．解决线性规划问题应关注三方面(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．1．定义在[－2,4]上的函数f (x )的部分值如下表：f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫67，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，65D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 答案 B解析 由导函数f ′(x )的图象知，f (x )在区间(－2,0)上递减，在区间(0,4)上递增，从表中可以看出，在区间(－2,0)∪(0,4)上，－1<f (x )<1，所以－2<2a ＋b <4，且2a ＋b ≠0.又因为两正数a ，b ，所以0<2a ＋b <4，而b ＋3a ＋3＝b －(－3)a －(－3)表示点(a ，b )与点(－3，－3)连线的斜率，在直角坐标系中作出0<2a ＋b <4的区域和点(－3，－3)，易知0－(－3)2－(－3)<b ＋3a ＋3<4－(－3)0－(－3)，即b ＋3a ＋3∈⎝⎛⎭⎪⎫35，73，故选B.2．[2015·陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元答案 D解析 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋2y ≤12x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.热点三 基本不等式的应用例3 (1)[2015·兰州双基过关]已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20[解析] 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，∴AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.[答案]A(2)[2015·沈阳质监]若直线l：xa＋yb＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x 轴和y轴上的截距之和的最小值是________．[解析]由直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×⎝⎛⎭⎪⎫1a＋2b＝3＋b a ＋2ab，因为ba＋2ab≥2ba×2ab＝22(当且仅当ba＝2ab时取等号，即b＝2a时取得)，所以a＋b≥3＋2 2.[答案]3＋2 2(3)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c＋1＋9a＋9的最大值为________．[解析]由Δ＝0知ac＝4，且a>0，c>0，1c＋1＋9a＋9＝a＋9＋9c＋9ac＋a＋9c＋9＝a＋9c＋18 a＋9c＋13＝1＋5a＋9c＋13≤1＋529ac＋13＝65，当⎩⎪⎨⎪⎧ac＝4，a＝9c，即a＝6，c＝23时等号成立．[答案]6 5利用基本不等式解题应关注三方面(1)利用基本不等式求最值的注意点①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．(2)求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．(3)结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有①x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a＋a (x >a )． ②若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．1．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析 通解：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.优解：由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b ＝abb ＝2a时，取等号，选C.2．[2015·陕西高考]设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.3．[2015·重庆高考]设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2 解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.对应学生用书P015课题4 不等式中参数取值范围的求解已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33审题过程切入点 借助奇函数，分析解析式，作函数图象． 关注点 数形结合，分析恒成立问题.[规范解答]当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a 2x －3a 2，x >2a 2，①又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示．②由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1，③∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，故选B.④利用数形结合解决此类问题的模型示意图如下：1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ＋1，x ≤0log 3x ＋ax ，x >0，若f (f (－1))>4a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (－1)＝3，∴f (f (－1))＝1＋3a >4a ，∴a <1，故选A.2．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，若x 2＋ax －2>0在[1,5]上无解，则只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，所以x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解时，a >－235.对应学生用书P146一、选择题1.已知集合A ＝{x |x 2－x <0}，集合B ＝{x |2x <4}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵A ＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x <2}，∴“x ∈A ”可以推出“x ∈B ”；在集合B 中取元素－1，则－1∉A ，∴“x ∈B ”不能推出“x ∈A ”．故选A.2．设非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A.1a >1b B ．ab <b 2 C ．a ＋b >0 D ．a －b <0答案 D解析 令a ＝－1，b ＝1，经检验A 、C 都不成立，排除A 、C ；令a ＝－3，b ＝－2，经检验B 不成立，排除B ，故选D.3．[2015·烟台一模]若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2答案 A解析 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2，选A.4．[2015·江西八校联考]已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(－2,1)，在平面区域⎩⎨⎧x ≥0x ＋y ≤2y ≥0上取一点N ，则使|MN |取得最小值时，点N 的坐标是( )A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(2,0)答案 B解析 作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，当MN ⊥y 轴时，|MN |取到最小值，即N (0,1)．5．[2015·南昌一模]已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m，若目标函数z ＝2x＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A.4 B ．3 C ．2 D ．－12答案 C解析⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ＝0y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.6．[2015·福建高考]若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 解法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b ＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.解法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.7．[2015·兰州诊断]已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 答案 C解析 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选C.8．[2015·河北省名校联盟监测(二)]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A.2 2 B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.9．[2015·九江一模]若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y的最小值为( ) A.53B ．2 C.35 D.12答案 A解析依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y －3≤00≤y ≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3,0)，C (2,1)，z ＝2＋y x1＋y x ＝1＋11＋y x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2，故选A. 10．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 答案 D解析 t t 2＋9＝1t ＋9t ，而y ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18，因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 二、填空题11．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面边长x m ，宽y m ，则x ×y ×1＝4，∴xy ＝4，设造价为z ，∴z ＝20xy ＋10×2(x ＋y )＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×24＝160(元)，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．12．[2015·陕西质检(二)]若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0a ＋2b <－1.a ＋b >－2根据约束条件作出可行域，可知14<b －2a －1<1.13．[2015·辽宁五校联考]设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2513解析 因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数z ＝ax ＋by 过点(4,6)时取最大值，则4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，即a 2＋b 2的最小值是2513.14．[2015·江西八校联考]已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2，0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．答案 4 2解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，即x ＝32，y ＝34时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.。