第四讲不等式
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第四讲 不等式、线性规划(选择、填空题型)
命题全解密
MINGTIQUANJIEMI
1.命题点 两个数(代数式)的大小比较、一元二次不等式的求解、基本不等式
的应用、简单的线性规划．
2.交汇点 两个实数(代数式)的大小比较与函数的单调性，一元二次不等式与二次函数、一元二次方程，基本不等式与函数的应用，线性规划与直线的方程、斜率、截距、距离、图形的面积等知识交汇考查．
3.常用方法 一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.
对应学生用书P013
[必记公式]
1．a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ) 2．ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． 3.
a 2＋
b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab
a ＋b
(a >0，b >0)． 4．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)
[重要结论]
1．不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 (1)a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b ，c <0⇒ac
b (n ∈N ，n ≥2)． 2．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法 f (x )
g (x )
>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )
g (x )
≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 当0a g (x )⇔f (x ) 当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； 当0log a g (x )⇔f (x ) 在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点(x 0，y 0)，通过Ax 0＋By 0＋C 的符号来判断Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)所表示的区域． [易错提醒] 1．忽略限制条件致误：应用不等式的性质时，要注意限制条件． 2．注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立． 3．忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可． 4．解分式不等式时，直接把分母乘到一边，不注意分母的取值范围，致误． 对应学生用书P013 热点一 不等式的解法 例1 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 1＋x x ，x <0 log12 x ，x >0，则f (x )≥－2的解集是( ) A.⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，－13∪[4，＋∞) B.⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，－13∪(0,4] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ －13，0∪[4，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －13，0∪(0,4] [解析] 当x <0时，f (x )≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x ≤－2x ，得x ≤－13；当x >0时，f (x )≥－2，即log12 x ≥－2，可转化为log12 x ≥log12 4，解得0 综上可知不等式的解集为⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，－13∪(0,4]． [答案] B (2)[2015·西安八校联考]设集合A ＝{x |lg (10－x 2 )>0}，集合B ＝⎩ ⎨⎧⎭⎬⎫ x | 2x <12，则A ∩B ＝( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(－3，－1) D ．(1,3) [解析] A ＝{x |lg (10－x 2 )>0}＝{x |－3 ⎬⎫ x | 2x <12＝{x |x <－1}，A ∩B ＝{x |－3 [答案] C 求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解． 1．[2015·长春质监]已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ x ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0) D ．[0,2] 答案 D 解析 由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1 R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选 D. 2．[2015·石家庄质检(二)]函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x ∈[0，1)4－2x ，x ∈[1，2]，若f (x 0)≤3 2，则 x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫log 232，54 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，log 232∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ C.⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤0，log 232∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 答案 C 解析 ①当0≤x 0<1时，2x 0≤32，x 0≤log 232， ∴0≤x 0≤log 23 2. ②当1≤x 0≤2时，4－2x 0≤32，x 0≥5 4， ∴5 4≤x 0≤2，故选C. 热点二 简单的线性规划问题 例2 (1)[2015·云南统测]某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、 b 满足不等式组⎩⎨⎧ 2a －b ≥5a －b ≤2 a <7 ，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝