[初中数学]解直角三角形及其应用复习教案 人教版

解直角三角形及其应用
◆考点聚焦
1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点．
2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．
◆备考兵法
正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．
注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．
（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．
（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题．
◆识记巩固
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）三边之间的关系：a2+b2=_____；
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；
（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；
（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．
2．解直角三角形的四种类型：
3．坡面的_________的比叫坡度i （•也叫坡比）•，•坡度越大，•坡面越陡；•坡面与______的夹角，用a 表示，tana=i=
h
l
． 4．视线在水平线上方的角叫做_______；视线在水平线下方的角叫________
．
5．方向角：正北或正南方向与目标方向线所成的_______的角叫方向角，•常用“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”来描述． 识记巩固参考答案:
1．（1）c
2
（2）90° （3）斜边的一半 （4）斜边的一半 2
a b 90°-∠
a c 90°-∠A sin a
A
90°-∠A c ·
°-∠A 3．垂直高度
h 和水平宽度L 水平面 4．仰角 •俯角 5．小于90° ◆典例精析
例1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，tnaB=
2
，
AB 的长． 解析 如图，过点C
作CD ⊥AB 于点D ，分别求出
AD ，DB 的长后就可求出AB 的长． ∵∠CDA=∠CDB=90°，
∴AD=AC ·
cos30
°，
CD=
12AC=1
2
×
∴DB=
tan CD
B
==2．
∴AB=AD+DB=3+2=5．
例2 如图，海中有一个小岛A ，它的周围8海里内都有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，•这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解析 过点A 作AC ⊥BD 于点C 点，由题意可知，∠ABC=30°，∠ADC=60°． 在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC=AC
BC
，
∴BC=
tan AC
ABC
∠=．
在Rt △ADC 中，∵tan ∠ADC=
AC
DC
，
∴DC=
tan AC ADC ∠=3
AC ．
而BC=BD+DC ，且BD=12（海里），
3
AC ，
∴．
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
点评 对于这类题目，首先应弄清楚方位角的含义；其次，•要通过作垂线构造直角三角形，将问题转化成解直角三角形． ◆中考热身
1．（2008，山东威涨）如图1，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P•在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，•则灯塔P 到环海路的距离PC=________米（用根号表示）．
图1 图2 图3
2．（2008，广东湛江）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB10米的C处，•用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40°，已知测角仪的高CD=1.5米，则旗杆AB•的高为______米．
（精确到0.1米，供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）3．（2008，湖北襄樊）如图3，张华同学在某建筑物的C处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，•旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为_______米．（结果保留根号）
4．（2008，江苏盐城）•某工厂接到一批支援四川省汶川县灾区抗震救灾帐篷的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成（如图所示），•已知等腰三角形
ABE的底角∠AEB=θ，且tanθ=3
4
，矩形BCDE的边CD=2BC，这个横截面框架（•包括BE）
所用钢管总长15米，求帐篷的篷顶A到底部CD的距离．（结果精确到0.1m）
◆迎考精练
一、基础过关训练
1．从点A看点B的俯角为60°，那么从点B看点A的仰角为（）
A．60° B．30° C．60°或30° D．都不对
2．如图所示，为测一河两岸相对电线杆A，B间的距离，在距A点15m的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离为（）
A．15sin50° B．15cos50°m C．15tan50° D．15m
图4 图5
3i=______，坡角α=_____．
4．如图所示，两条宽度都为a的纸条，交叉重叠在一起，且它们的交角为 ，•则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为_______．
5．如图所示，在山顶点P测得正东A，B两船的俯角分别是30°和60°，且两船相距200主，则山高PQ为多少米？（结果保留根号）
二、能力提升训练
6．某中学九（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，•沿直线CD向塔AB 方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60°，已知湖面低于地面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）
7．台风是一种自然灾害，•它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级．每离台风中心距离增加20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正在15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变．如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由； （2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
参考答案
中考热身
1．．9.9 3． 4．解：过点A 作AF ⊥BE 于点F ，设BC=x ． ∵AB=AE ，∴BF=EF ．
∵CD=2BC=2x ，∴BF=EF=BC=x ． ∵tan=θ，∴AF=EF ·tan θ=3
4
x ． ∴AB=AE=
5
4
x ． ∴AB+AE+（BC+CD ）×2=
5
2
x+6x=15． ∴x=3017
，∴x+34x=74x=74×30
17≈3.1（米）．
即帐篷的篷顶A 到底部CD 的距离约为3.1米． 迎考精练 基础过关训练
1．A 2．C 3 3 30° 4．2
sin a α
5．解：设PQ=x 米．
∵P 处测得A ，B 的俯角分别为30°和60°，
∴∠A=30°，∠PBQ=60°．
∴BQ=
tan 60PQ ︒=3x ，AQ=tan 30PQ ︒
，
∴．
∴ 能力提升训练
6．解：延长CD ，交AB 的延长线于点E ，则∠AEC=90°，∠ACE=45°，∠ADE=60°，CD=18米．
设线段AE 的长为x ．
在Rt △ACE 中，∵∠ACE=45°，∴CE=AE=x ．
在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE=tan60°=
AE
DE
∴． ∵CD=18米，且CE-DE=CD ，
∴x-
3
x=18，解得x=（
∵BE=1米，∴AB=AE-BE=（
即塔AB 的高度是（
7．解：（1）如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．因为AB=220km ，∠B=30°，所以AD=•110km ，即点A 距台风中心的最近距离为20×（12-4）=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到这次台风影响． （2）在BC 上取两点E ，F ，使AE=AF=160（km ）．当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都要受到这次台风的影响．由勾股定理得
=km ）
，•所以．•因为台风中心以
15km/h 的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为．
（3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为
110 20=6.5（级）．
12-。