第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动

v u y
fx
1
p x
v t
u v x
v v y
fy
1
p y
V
V V
g
1
p
t
不可压缩
u v 0 或 V 0 x y
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二、理想、不可压缩流体一元定常流动的基本方程
沿流线的一元流动微分方程
V V f 1 p
l
l
f grad ∏为力势函数 l
伯努利方程的应用
1）小孔出流问题：
已知: 图示一敞口贮 水箱,孔与液面的垂直 距离为h(淹深).设水 位保持不变.
求： (1)出流速度v (2)出流流量Q
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
解： (1)设流动符合不可压缩无粘性 流体定常流动条件.
从自由液面上任选一点1画一条 流线到小孔2，并列伯努利方程
根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数 ，它和
速度的三个分量的关系为：
u x
v y
w z
v vv v V ui vj wk grad
§4 理想不可压缩流体的平面势流
2、速度势函数定义
P
Vl dl A
Vll
P
Q
R
速度沿 l 方向上的积分。仅是一个数学量，
锐角边ε= 0.61~0.66, k=0.97~0.99
流线型圆弧边ε=1.0，k=0.98
内伸管ε= 0.5,
实际孔口出流应为：
Q kA 2gh A 2gh (e)
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h)应 考虑速度不均匀分布的影响。
单位重力液体所具有的水头。
伯努利方程中每一项表示单位重量流体具有的能量
§3 理想不可压缩流体的一元流动
对于气体的低速流动，重力作用可以忽略不计，可视为不可压缩流体，
在沿流线高度不变的情况下：
V2
p
gz C
2
p
1 2
V 2
C'
p0
静压
动压
总压/滞止压强
沿一条流线上，静压和动压之和等于常数/总压保持不变
x
y
上 d 0 ，流函数 都有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。
§4 理想不可压缩流体的平面势流
4、对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和
函数。
u
y v
x
z 0
v u 0 x y
2
x 2
2
y 2
2
0
满足拉普拉斯方程
5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位
目录
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
流体及其主要物理性质 流体静力学 流体运动学基础 流体动力学基础 相似原理和量纲分析 理想不可压缩流体的定常流动 粘性流体流动
第六章 理想不可压缩流体的定常流动
§1 理想不可压缩流体的一元流动 §2 理想不可压缩流体的平面势流 §3 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §4 平面无旋流动的叠加
平面势流流动：
1、平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，由两个坐标唯一确 定该点的流动参数，且流动是无旋的。
2、满足上述要求的有轴对称流动问题和相互平行的所 有平面上的流动情况完全一样的流动问题
3、在实际情况中不存在平行平面完全一样的流动。 为了简化，这类问题只是近似地作二元流动问题来处理
§4 理想不可压缩流体的平面势流
(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
小孔出流量
Ae
A
收缩截面面积 / 孔口面积 (c)
Q vAe vA A 2gh
(d)
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关，实际的孔口流速会
比理论流速低一些，可以定义速度系数k，即实际平均速
度/理论速度。
伯努利方程的应用
2）毕托测速管
已知: 设毕托管正前方的流速 保持为v,静压强为p,流体密度为 ρ,U 形管中液体密度ρm .
求： 用液位差Δh表示流速v
毕托测速管
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v2 2
gz A
p
v02 2
2、流函数的物理意义
P A点为流场内一固定点，P点为流场内任意
一点，通过A、P两点可以作无数曲线，通
过这些曲线的体积流量为P点位置的函数，
该函数就叫流函数。
Q
V
为AP弧段上增加 的一微元段，
R
n
V为垂直于该段
上的平均速度
A
Q 为通过微元段引 起的流量增加量
§4 理想不可压缩流体的平面势流
3、流函数的性质几点讨论：
重力场中的一元流动微分方程
V V 1 p
l l l
fl g cos g z l
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿流线积分
V V 1 p
l l l
1V 2
2
dp
C
C
gz
V 2 gz p C
2
伯努利（Bernoulli）方程
在重力作用下，不可压缩理想流体作定常流动时，沿同一条流线单位质量流体 的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，但可转换。
代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为
上式中
1/ 2
(m
( A1 /
/ ) 1
A2 )2 1
μ称为流速系数，文特里管的流量公式为
(f) V1 2gh
Q A1 2gh
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2，
且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影 响应用伯努利方程。
Dt
V
V V
g
1
p
t
讨论：
1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。
2、 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 Dt
3、
V 0 t
g 1 p 0
此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理
想流体欧拉运动微分方程。
V
V
g
1
p
§3 理想不可压缩流体的一元流动
v12 2
gz1
p1
v22 2
gz2
p2
(a)
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强 p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得
v v2 2g(z1 z2 ) 2gh
(b)
讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始 速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平 行于液面的狭缝出流。
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿同一条流线 的伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
V22 2
V12 2
g(z2
z1)
p1 p2
伯努利方程的几何意义和能量意义
z p V2 H
g 2 g
位势头
静压头
质点的位置高度 相当的高度
速度头 总机械能
相当的高度
伯努利方程中每一项的量纲与长度单位相同，表示
g
z0
p0
(a)
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0
p
1 2
v2
(b)
毕托测速管
1 2
称v2 为动压强,p0称为总压强
1 2
v 2
p0
p
(c)
AB的位置差可忽略
1 v2 p vB2 pB
2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
伯努利方程： 理想、不可压缩、定常平面流动，不考虑重力，无旋流动
p 1 V 2 C '
2
讨论：和一元伯努利方程形式完全相同，但 1、一元方程只适用于同一条流线，与流动是否有旋无关 2、二元方程是在无旋下得到的，适用于整个流场
§4 理想不可压缩流体的平面势流
二、流函数 1、流函数的引入
对于不可压缩流体的平面流动有连续性方程如下：
没有对应的物理意义。
A
速度势函数是在无旋流动条件下，由速度沿两点间线积分（速度环量）与路径无关
引入的（速度环量为零，流动无旋），二元，三元无旋流动都存在速度势函数。
§3 理想不可压缩流体的一元流动
一、流体运动的基本方程回顾
动量方程： 粘性、不可压缩流体
N-S方程
（粘性系数为常数）
Du Dt
gx
1
p x
2u x2
2u y 2
2u z 2
Dv Dt
gy
1
p y
2v x2
2v y 2
2v z 2
Dw Dt
gz
1
p z
2w x2
2w y 2
2w z 2
厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
三元流动
u t
u
u x
v
u y
w
u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w
v z
gy
1
p y
不可压缩
V
V
V
g
1
p
t
u v w 0 或 V 0 x y z
w t
uபைடு நூலகம்
w x
v
w y
w
w z
gz
1
p z
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二元流动
u t
u u x
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
连续性方程： 适用于不可压缩和可压缩，定常和非定常流动。
u v w 0
t x y z
D
Dt
u x
v y
w z
0
讨论： 1、定常流动：
0 V 0
t 适用于不可压缩和可压缩流动
2、不可压缩流动： D 0
Dt
V 0
适用于定常和非定常流动
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体基本微分方程组
1、对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没 有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外）。
2、对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。
u v 0 x y
u
y
v
x
2 2
yx xy
3、由全微分式 d dx dy vdx udy 可知，在每一条流线 udy vdx 0
基本方程组：
动量方程：
u t
u
u x
v u y
fx
1
p x
V
V V
g
1
p
t
v v v
1 p
t
u v x y
fy
y
v 定常 V 0
t
不考虑重力
Vv
Vv
1
p
连续性方程：
D
Dt
u x
v y
w z
0
不可压缩 无旋流动条件：
u v 0 x y v u 0 x y
或 V 0
§4 理想不可压缩流体的平面势流
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1
p1
gz3
p3
(c)
gz2
p2
gz4
p4
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p0 p (m )gh
(e)
由(c) , (e)式可得
(m
) gh
k
1 2
v 2
(d)
k 称为毕托管系数。由(d)式可得
v k( m 1) 2gh
伯努利方程的应用
3）文特里管流量计
已知: 文特里管如图所示 求： 管内流量Q
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流 动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.
第六章 理想不可压缩流体的定常流动
§1 理想不可压缩流体的一元流动 §2 理想不可压缩流体的平面势流 §3 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §4 平面无旋流动的叠加
§4 理想不可压缩流体的平面势流
一、理想不可压缩流体的平面势流
本节主要介绍经典流体力学的一些内容和在简单流动问题中的应用，讨论仅限 定常平面无旋流动（平面势流）。
DV
g
1
p
2V
Dt
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体
u t
u
u x
v
u y
w u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w v z
gy
1
p y
w t
u
w x
v
w y
w w z
gz
1
p z
v
DV g 1 p
Dt
V
V V
g
1
p
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
DV g 1 p