习题1-新教材参考答案

习题一参考答案
1-1 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
32+=t x , 542+-=t t y （SI ）
(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝4s 时刻的位置矢量，该段时间间隔内质点的位移和平均速度；(3)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(4)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1） j t t i t r
)54()32(2+-++=m
(2)将1=t ,4=t 代入上式即有
j i r
251+= m j i r
5112+=m j i r r r
3612+=-=∆m
(3) 114s m 1233614-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v
(4) 1s m )42(2d d -⋅-+==j t i t
r
v
则 j i v 424
+= 1s m -⋅ (5) 2s m 2d d -⋅==j t
v
a
这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-2 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 t
a 32+=
（SI ）。

初始时刻，质点的速度为102-⋅=s m v ，位置坐标为m x 5=,试求质点在任意时刻t 的速度和位置坐标。

解：dt t adt dv )32(+==
2002
3
22)32(t t dt t v v t
⋅++=++=⎰ dt t t vdt dx )2
3
22(2⋅++==
3
20202
1
25 )2
3
22(t t t dt
t t x x t ⋅+++=⋅+++=⎰
1-3一质点从静止开始作直线运动,开始加速度为a , 次后加速度随时间均匀增加,经过时间τ后，加速度为2a ，经过时间2τ后，加速度为3a ，…. 求经过时间n τ后该质点的加速度和走过的距离。

解：t a
a kt a t a τ
+=+=)(
dt t a dv )(=
2002)( t a
at dt t a a v v t
τ
τ+=++=⎰ 3
20
2
0)(6)(2 )2( ττ
ττ
τ
n a
n a dt t a at x x x n +=+
=-=∆⎰
1-4 质点沿x 轴运动，其加速度和位置坐标的关系为 43+=x a （SI ） 质点在x ＝0处的速度为18-⋅s m ,试求质点在任何坐标处的速度。

解： ∵ x
v
v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量： x x adx d )34(d +==υυ
两边积分得 c x x v ++=222
3421 c x x v 28322++= 由题知，0=x 时，80=v ,∴32=c
∴ 12s m 6483-⋅++=x x v
1-5 一艘正在以速度v 0沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方相反,大小与速度平方成正比,即d v /d t=－kv 2，式中k 为常数。

求电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度大小。

解：2d d d d d d d d kv x
v
v t x x v t v a -====
kdx v
dv
-=
kx v v
-=0
ln
kx e v v -=0
1-6 如图所示，路灯距离地面的高度为h ,身高0h 的人在路灯下以速度0v 匀速行走, 求此人头顶的影子的移动速度和影子长度的变化率( 设t 时刻人到路灯的水平距离为l )。

解：设人影的长度为x ，则人头顶的影子到灯的水平距离为
y l x =+；人在路灯下的行走速度为0v dt
dl
=，影子长度的变化率为dt dx ，则此人头顶的影子的移动速度为dt
dx dt dl dt dy v +==， 0
h x h y = dt
dx h h dt
dx v dt
dy ⋅=
+=00 dt dx h h v )1(
00-= 000v h h h dt dx ⋅-= 00
0v h h h
dt dx v v ⋅-=+= 习题1-6 用图
1-7如图所示，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端h 的平台上，此人的行进速度为0v ，且保持不变，求小车在
任意时刻的速度和加速度。

解：以小车前进方向为X 轴，以滑轮为原点，小车的坐标为X ，
人的坐标为S 又速度定义有 v dt dx
v v dt dS v =-===
车人, 0 由于绳长0l 不变，故 0l l x =+ dt
dl
dt dx -=
又 222l h s =+ dt
dl
l dt ds s 22=
2
2
0h
s s v dt
ds
l s dt dl dt dx v +=⋅==-
=车
2
/322
220)(h s h v dt dv
a +==
习题1-7 用图
1-8 一质点P 从O 点出发以匀速率1cm/s 作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径为1m ，如图所示,当它走过2/3圆周时,求这段时间内质点的平均速度的大小和方向。

解：如图所示
o
60
=θ，
2
3sin ==θR x ，23
cos =
+=θR R y j i j y i x r
2
323+=+=
R s π23
2
⋅=
∆ 340034π
π=
=∆=
∆v R v s t )33(8003j i t r v +=∆∆=π 14003380036-⋅==s m v π
π 3tan ==
x
y
ϕ 060=ϕ
习题1-8 用图
1-9 一质点沿半径为R 的圆周运动, 在t = 0时经过某点P, 此后它的速率v 按v =A+B t (A 、B 为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度和法向加速度的的大小。

解：dt Bt A ds )(+= R Bt At s π22
1
2=+=
B dt dv a ==τ )2(1)(12222
2t B ABt R R A Bt A R R v a n ++=+==
R R
B
R A a n π222⋅+=
1-10 以一定初速度0v 斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气
阻力, 当该物体的速度v
与水平面的夹角为θ 时，求它的切向
加速度和法向加速度的大小。

解：设小球所作抛物线轨道如图所示． 在上升过程中
θθτcos , sin g a g a n =-=
在下降过程中
θ
θτcos , sin g a g a n ==
1-11一人以15 米每秒的速率向东奔跑,他感到风从正北方吹来；当他以加倍的速度奔跑时,则感到风从正东北方向吹来,求风的速度。

解：e r a v v v +=
1-12 一汽车在雨中以速率0v 沿直线行驶,下落雨滴的速度方向偏向车辆前方,且与竖直方向成θ角,速率为u ,车后有一长方形物A,要使该物体不被雨淋湿,问车的速度至少要多大?
解：
习题1-12图
1-13在河水流速υ0＝2 m·s －
1的地方有小船渡河.如果希望小船以
υ＝4 m·s －1的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大
小和方向应如何？
解: 设小船相对于河水的速度方向θ, 如图示 .
2
022υυ+=u
52202=+=υυu m/s=4.47
υυθ00)90tan(=
-5
5
522=
= θ= 114.09
u
υ。