习题1-新教材参考答案

习题一参考答案

1-1 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

32+=t x , 542+-=t t y （SI ）

(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝4s 时刻的位置矢量，该段时间间隔内质点的位移和平均速度；(3)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(4)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1） j t t i t r

)54()32(2+-++=m

(2)将1=t ,4=t 代入上式即有

j i r

251+= m j i r

5112+=m j i r r r

3612+=-=∆m

(3) 114s m 1233614-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v

(4) 1s m )42(2d d -⋅-+==j t i t

r

v

则 j i v 424

+= 1s m -⋅ (5) 2s m 2d d -⋅==j t

v

a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-2 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 t

a 32+=

（SI ）。初始时刻，质点的速度为102-⋅=s m v ，位置坐标为m x 5=,试求质点在任意时刻t 的速度和位置坐标。

解：dt t adt dv )32(+==

2002

3

22)32(t t dt t v v t

⋅++=++=⎰ dt t t vdt dx )2

3

22(2⋅++==

3

20202

1

25 )2

3

22(t t t dt

t t x x t ⋅+++=⋅+++=⎰

1-3一质点从静止开始作直线运动,开始加速度为a , 次后加速度随时间均匀增加,经过时间τ后，加速度为2a ，经过时间2τ后，加速度为3a ，…. 求经过时间n τ后该质点的加速度和走过的距离。

解：t a

a kt a t a τ

+=+=)(

dt t a dv )(=

2002)( t a

at dt t a a v v t

τ

τ+=++=⎰ 3

20

2

0)(6)(2 )2( ττ

ττ

τ

n a

n a dt t a at x x x n +=+

=-=∆⎰

1-4 质点沿x 轴运动，其加速度和位置坐标的关系为 43+=x a （SI ） 质点在x ＝0处的速度为18-⋅s m ,试求质点在任何坐标处的速度。

解： ∵ x

v

v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )34(d +==υυ

两边积分得 c x x v ++=222

3421 c x x v 28322++= 由题知，0=x 时，80=v ,∴32=c

∴ 12s m 6483-⋅++=x x v

1-5 一艘正在以速度v 0沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方相反,大小与速度平方成正比,即d v /d t=－kv 2，式中k 为常数。求电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度大小。

解：2d d d d d d d d kv x

v

v t x x v t v a -====

kdx v

dv

-=

kx v v

-=0

ln

kx e v v -=0

1-6 如图所示，路灯距离地面的高度为h ,身高0h 的人在路灯下以速度0v 匀速行走, 求此人头顶的影子的移动速度和影子长度的变化率( 设t 时刻人到路灯的水平距离为l )。

解：设人影的长度为x ，则人头顶的影子到灯的水平距离为

y l x =+；人在路灯下的行走速度为0v dt

dl

=，影子长度的变化率为dt dx ，则此人头顶的影子的移动速度为dt

dx dt dl dt dy v +==， 0

h x h y = dt

dx h h dt

dx v dt

dy ⋅=

+=00 dt dx h h v )1(

00-= 000v h h h dt dx ⋅-= 00

0v h h h

dt dx v v ⋅-=+= 习题1-6 用图

1-7如图所示，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端h 的平台上，此人的行进速度为0v ，且保持不变，求小车在

任意时刻的速度和加速度。

解：以小车前进方向为X 轴，以滑轮为原点，小车的坐标为X ，

人的坐标为S 又速度定义有 v dt dx

v v dt dS v =-===

车人, 0 由于绳长0l 不变，故 0l l x =+ dt

dl

dt dx -=

又 222l h s =+ dt

dl

l dt ds s 22=

2

2

0h

s s v dt

ds

l s dt dl dt dx v +=⋅==-

=车

2

/322

220)(h s h v dt dv

a +==

习题1-7 用图

1-8 一质点P 从O 点出发以匀速率1cm/s 作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径为1m ，如图所示,当它走过2/3圆周时,求这段时间内质点的平均速度的大小和方向。

解：如图所示

o

60

=θ，

2

3sin ==θR x ，23

cos =

+=θR R y j i j y i x r

2

323+=+=

R s π23

2

⋅=

∆ 340034π

π=

=∆=

∆v R v s t )33(8003j i t r v +=∆∆=π 14003380036-⋅==s m v π

π 3tan ==

x

y

ϕ 060=ϕ

习题1-8 用图