2019年兰州市高一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)

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甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷含解析

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高一数学第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.直线0x a -=的倾斜角为（） A. 30 B. 60C. 120D. 150【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.【详解】直线0x a +-=的斜率为=，因此，直线0x a +-=的倾斜角为150. 故选：D.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，求出直线的斜率是关键，考查计算能力，属于基础题. 2.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（）A. 快、新、乐B. 乐、新、快C. 新、乐、快D. 乐、快、新【答案】A【解析】【分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选A ．【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题. 3.正方体ABCD A B C D ''''-中，直线D A '与DB 所成的角为（） A. 30o B. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】连结,B D AB '''，由正方体的性质可得B D DB ''，所以直线D A '与DB 所成的角为AD B ∠'',在AD B ''中由正方体的性质可知AD D B B A ''''==，60AD B ''∴∠=，选C.点睛：由异面直线所成角的定义可知求异面直线所成角的步骤：第一步，通过空间平行的直线将异面直线平移为相交直线；第二步，确定相交直线所成的角；第三步，通过解相交直线所成角所在的三角形，可求得角的大小.最后要注意异面直线所成角的范围是(0,90⎤⎦.4.正六棱锥底面边长为a ，体积为32，则侧棱与底面所成的角为（）． A. 30° B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B 【解析】试题分析：因为正六棱锥的底面边长为a ，所以226S ==底面积，又体积为3，所以棱锥的高h a =，所以侧棱与底面所成的角为45︒．故选B ．考点：正六棱锥的体积5.已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，给出下列命题： ①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ； ③若,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，则n 与α相交； ④若,//m n m αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ. 其中真命题的个数是 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】根据面面垂直判定定理可得，命题①正确；根据面面平行判定定理可得，一个平面内的两条相交直线与另一平面平行才能得到面面平行，当,m n 平行时无法得到//αβ，命题②不正确；,m n αα⊂⊄且,m n 是异面直线，则n 与α相交或平行，命题③不正确；m αβ⋂=，所以,m m αβ⊂⊂，根据线面平行判定定理可得，//,//n n αβ，命题④正确．综上可得，命题①④正确，故选B6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A.122+B. 2+C. 1D. 12+【答案】B 【解析】【分析】先由斜二测画法的原则，得到原平面图形为直角梯形，根据直观图的腰长和上底长，得到原平面图形的腰长与上下底的长，进而可求出其面积.【详解】由斜二测画法的原则可得：原平面图形为直角梯形，因为直观图中，腰和上底边均为1所以原图形的上底长度为1，下底为2cos451+⋅=BC AB ，直角腰长为2，因此，这个平面图形的面积是(111222=⨯++⨯=+S 故选：B【点睛】本题主要考查由直观图求原图形的面积，熟记斜二测画法的原则即可，属于常考题型.7.已知两定点()3,5A -、()2,8B ，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】作出图形，可知点A 、B 在直线10x y -+=的同侧，并求出点B 关于直线10x y -+=的对称点B '的坐标，即可得出PA PB +的最小值为AB '. 【详解】如下图所示：由图形可知，点A 、B 在直线10x y -+=的同侧，且直线10x y -+=的斜率为1，设点B 关于直线10x y -+=的对称点为点(),B a b '，则281022812a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得7a =，3b =，即点()7,3B '，由对称性可知PA PB PA PB AB ''+=+≥==故选：D.【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为） A. 16π B. 24πC. 36πD. 64π【答案】C 【解析】【分析】求出正四棱锥的高以及底面外接圆的半径，并设该正四棱锥外接球的半径为R ，根据题意列出关于R 的方程，求出R 的值，然后利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】如下图所示，在正四棱锥P ABCD -中，设底面正方形ABCD 的中心为点E ，可知该正四棱锥的外接球球心在直线PE 上，由于正方形ABCD 的边长为4，1122AE AC ∴==⨯= 易知PE ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，PE AC ∴⊥，且4PE ==，设正四棱锥P ABCD -的外接球半径为()0R R >，且4OE R =-，由勾股定理得222OE AE OA +=，即()2248R R -+=，解得3R =，因此，该正四棱锥的外接球的表面积为2244336R πππ=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查正四棱锥外接球表面积的计算，解题的关键就是确定球心的位置，并列方程求解，考查计算能力，属于中等题.9.棱台上、下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（） A. 1:7 B. 2:7C. 7:19D. 5:16【答案】C 【解析】【分析】计算出棱台上、下底面的相似比，可得出棱台上底面与中截面的面积之比，再利用棱台的体积公式可得出棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比.【详解】棱台上、下底面面积比为1:9，则该棱台上、下底面的相似比为1:3，所以，该棱台上底面与中截面的相似比为1:2，设该棱台的上底面面积为S ，高为2h ，则中截面面积为4S ，下底面面积为9S .(47193S S h+=.故选：C.【点睛】本题考查棱台体积比的计算，解题时可充分利用棱台的体积公式进行计算，也可以采用“还台为锥”的策略，利用锥体体积的比值来求解，考查计算能力，属于中等题. 10.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A.316cm B.312cm C.313cm D.323cm 【答案】D 【解析】【分析】作出几何体的实物图，可知该几何体是在棱长为1cm 的正方体中挖去一个四棱锥所形成的几何体，由此可计算出该多面体的体积. 【详解】该几何体的实物图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1cm 的正方体1111ABCD A B C D -中挖去四棱锥1111A A B C D -所形成的几何体，因此，该多面体的体积为()3231211133cm -⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11.已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MAM B 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于 A. 43-B. 34-C. 54-D. 45-【答案】A 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为直线MA 、MB 关于直线3y =对称，故两直线斜率互为相反数，设直线MA 方程的斜率为k ，则直线MB 斜率为k -，所以，直线MA 方程为：3(4)y k x -=+，223(4)25y k x x y -=+⎧⎨+=⎩ 整理得：2222(1)(86)1624160k x k k x k k +++++-=，所以：21281641k kx k +-=-+ ，即：21241641k k x k --+=+，2123831k k y k-++=+，所以2222464383,11k k k k A k k ⎛⎫--+-++ ⎪++⎝⎭，同理2222464383,11k k k k B k k ⎛⎫-++--+ ⎪++⎝⎭，所以222222223833831641146446412311ABk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===---+-++--++，故选A ．12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点()2,0A 、()0,4B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是（）参考公式：若ABC ∆的顶点A 、B 、C 的坐标分别是()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，则该ABC ∆的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.A. ()4,0-B. ()4,0-，()2,0-C. ()4,0-，()3,0-D. ()4,2-【答案】A 【解析】【分析】设点C 的坐标为(),m n ，由重心的坐标公式求得该三角形的重心坐标，代入欧拉线方程得一方程，求出线段AB 的垂直平分线方程，和欧拉线方程联立求出三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得出另一方程，两方程联立可求出点C 的坐标. 【详解】设点C 的坐标为(),m n ，由重心的坐标公式可知ABC ∆的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n ++-+=，整理得40m n -+=，①线段AB 的中点坐标为()1,2，直线AB 的斜率为40202AB k -==--，线段AB 的垂直平分线方程为()1232y x -=-，即230x y -+=，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以，ABC ∆的外心为()1,1-，则()()2222113110m n ++-=+=，整理得22228m n m n ++-=，②联立①②得40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩，当0m =，4n =时，点B 、C 重合，舍去，因此，顶点C 的坐标是()4,0-. 故答案为：()4,0-.【点睛】本题考查点的坐标的计算，涉及直线交点坐标的计算，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1- 【解析】【分析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为【答案】【解析】试题分析：由题可得正四棱柱的底面边长为：416,4,2S S a ⋅===．而它的外接球的直径为它的体对角线长：2R R =，则球的体积为：343V R π==考点：多面体与外接球．15.若关于x x b =+只有一个实根，则实数b 的取值范围是______. 【答案】{}[1,1)2-【解析】【分析】把关于x x b =+只有一个实根，转化为曲线y =y x b =+的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，关于x x b +只有一个实根，转化为曲线y =y x b =+的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线y =y x b =+的图象，如图所示，结合图象可知，当直线y x b =+介于2l 和3l 之间的直线或与1l 重合的直线符合题意，又由直线y x b =+在y 轴上的截距分别为- 所以实数b 的取值范围是{}[1,1)2-.故答案为{}[1,1)2-.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把方程的解转化为直线与曲线的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.16.已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -，若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ，使得对于圆O 上的任意一点P ，都有PB PA 为同一常数.则点B 的坐标是________. 【答案】9,05⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设点B 的坐标为(),0t ，设()0PB PA λλ=>，由等式PB PAλ=以及点P 在圆O 上，列出关系式，利用恒成立，可以求出点B 的坐标.【详解】假设存在这样的点(),0B t ，使得()0PB PAλλ=>，则222PB PA λ=，设点P 的坐标为(),x y ，则()()222225x t y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦，即()22222221025x y tx t x y x λ+-+=+++，由于点P 在圆O 上，则229x y +=，所以，()22291034tx t x λ-++=+，整理得()()2221023490t x t λλ++--=对任意的[]3,3x ∈-恒成立， 222503490t t λλ⎧+=∴⎨--=⎩，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去），所以，存在点9,05B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于圆O 上任意一点P ，都使得35PB PA =. 故答案为：9,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，涉及两点间距离公式的应用，同时也要注意到点在圆上这一条件的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B .（1）求弦AB 的垂直平分线方程；（2）求弦AB 的长.【答案】（1）3230x y --=；（2【解析】【分析】（1）将圆方程化为标准式，可得出圆心坐标，由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线为过圆心且与直线AB 垂直的直线，由此可得出线段AB 的垂直平分线方程；（2）计算出圆心到直线AB 的距离d ，然后利用勾股定理可计算出弦AB 的长.【详解】（1）圆方程可整理为：()2214x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径2r =，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，可设直线l 的方程为320x y C -+=，代入圆心的坐标得31200C ⨯-⨯+=，解得3C =-. 因此，弦AB 的垂直平分线方程为3230x y --=；（2）圆心()1,0到直线2310x y ++=的距离d ==故2AB ==. 【点睛】本题考查圆中弦的垂直平分线方程以及直线截圆所得弦长的计算，解题时要充分利用垂径定理来计算，考查运算求解能力，属于基础题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等.D 、E 、F 分别为棱AB 、BC 、11A C 的中点.（1）证明//EF 平面1A CD ；（2）证明平面1ACD ⊥平面11A ABB . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接ED ，证明四边形1A DEF 为平行四边形，可得出1//EF A D ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//EF 平面1A CD ；（2）由1AA ⊥平面ABC ，可得出1AA CD ⊥，由三线合一思想可得出CD AB ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出CD ⊥平面11A ABB ，然后利用平面与平面垂直的判定定理可证明出结论成立.【详解】（1）连接ED ，E 、D 分别为BC 、AB 的中点，//ED AC ∴且12ED AC =，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C 且11AC A C =，又F 为11A C 的中点，1//A F AC ∴且112A F AC =，1//ED A F ∴且1ED A F =，∴四边形1A DEF 是平行四边形，1//EF A D ∴，又1A D ⊂Q 平面1A CD ，EF ⊄平面1A CD ，//EF ∴平面1A CD ；（2）1A A ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，1CD AA ∴⊥，由于ABC ∆是等边三角形，且D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥.1A A AB A =，CD \^平面11A ABB ，CD ⊂平面1A CD ，平面1ACD ⊥平面11A ABB . 【点睛】本题考查直线与平面平行和平面与平面垂直的证明，熟悉平行与垂直的判定定理是证明的关键，考查推理能力，属于中等题.19.如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ＝＝＝，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥C BGF -的体积．【答案】(1)见解析;(2) 13C BGF V -=【解析】试题分析：解:(1)∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥，又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE BF ⊥，又∵BF BC B ⋂＝，∴AE ⊥平面BCE .(2)由题意可得，G 是AC 的中点，连接FG ，∵BF ⊥平面ACE ，∴CE BF ⊥，又∵BC BE ＝，∴F 是EC 的中点，∴在AEC 中，FG ∥AE ，112FG AE ＝＝， ∵AE ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF .在Rt BEC 中，12BF CE CF ＝＝∴S BCF ＝12＝1， ∴C BGF V －＝G BCF V －＝13BCF S FG ⋅⋅＝13. 考点：空间中直线与直线之间位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．点评：本题主要考查垂直关系，利用线面垂直的定义和判定定理，进行线线垂直与线面垂直的转化；求三棱锥体积常用的方法：换底法．20.△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.(1)求直线AB 的方程；(2)求直线BC 的方程；(3)求△BDE 的面积．【答案】（1）210x y －＋＝；（2）2370x y ＋－＝；（3）110【解析】试题分析：（1）由CD 所在直线的方程求出直线AB 的斜率，再由点斜式写出AB 的直线方程；（2）先求出点B ，点C 的坐标，再写出BC 的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E 到AB 的距离d ，以及B 到CD 的距离BD ，计算BDE S ∆即可或求出,BE D 到BE 的距离d ，计算BDE S ∆.试题解析：(1)由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.(2)由，得.即直线AB 与直线BE 的交点为B(，2)．设C(m ，n)，则由已知条件得，解得，∴C(2,1)．∴BC 边所在直线方程为＝，即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E(1,1)．∴|BE|＝＝，由，得.∴D(，)，∴D 到BE 的距离为d ＝，∴S △BDE ＝·d·|BE|＝110. 21.如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =，AB AC =，CE 与平面ABE 所成的角为45.（1）证明：AD CE ⊥；（2）求二面角A CE B --的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取BC 的中点H ，利用面面垂直的性质定理可得出AH ⊥平面BCDE ，可得出CE AH ⊥，并证明出Rt HCD Rt CDE ∆∆，可得出CE HD ⊥，可证明出CE ⊥平面ADH ，由此可得出AD CE ⊥；（2）由CE ⊥平面ADH 可得知APH ∠为二面角A CE B --的平面角，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，连接CG 、EG ，可得出45CEG ∠=，利用几何关系计算出AH 和PH ，即可计算出tan APH ∠的值.【详解】（1）如图，取BC 的中点H ，连接DH 交CE 于点P ，连接AH 、AP .AB AC =，点H 为BC 的中点，AH BC ∴⊥且1HC =. 又平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，AH ⊂平面ABC . AH ∴⊥平面BCDE ，又CE ⊂平面BCDE ，AH CE ∴⊥. 又HC CD CD DE ==，Rt HCD Rt CDE ∴∆∆，CDH CED ∴∠=∠，CE DH ∴⊥. 又AH DH H =，AH ⊂平面AHD ，HD ⊂平面AHD ，CE ∴⊥平面AHD . AD ⊂Q 平面AHD ，AD CE ∴⊥；（2）由（1）可知CE ⊥平面AHD ，AP ⊂平面AHD ，AP CE ∴⊥，又HD CE ⊥，APH ∴∠就是二面角A CE B --的平面角，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，连接CG 、EG .BE BC ⊥且BE AH ⊥，AH BC H =，BE ∴⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，BE CG ∴⊥，CG AB ⊥，AB BE B =，CG ∴⊥平面ABE ，CEG ∴∠就是CE 与平面ABE 所成的角，即45CEG ∠=，又6CE =，CG EG ∴==又2BC =，60ABC ∴∠=，2AB BC AC ∴===，AH ∴=又3HD =，2CH HP HD ∴==，则tan 3AH APH HP ∠==. 故二面角A CE B --的正切值是3.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了二面角正切值的计算，涉及面面垂直性质定理以及直线与平面所成角的定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22.已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -且圆心在直线210x y ++=上（1）求圆C 的方程（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A 、B 两点，是否存在实数a 使得过点P （2，0）的直线l 垂直平分AB ？若存在，求出a 值，若不存在，说明理由．【答案】（1）x 2+y 2-6x +4y +4=0（2）不存在实数a【解析】【详解】（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 则有解得6{44D E F =-==∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x+4y+4=0（2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3,-2)C 必在l 上．所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =．把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=．由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．由于1(,?0)2∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线l 垂直平分弦AB ．。

2019甘肃省高一上学期数学期末考试试卷

高一年级期末考试试题说明：本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上1.若A (-2, 3) , B (3, -2), C ( 1 , m)三点共线，则m 的值是( )2A. --B. —C. -2D. 22 22.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )3 3 ' 3 3 5 3 5 3A. 24^RB. —n RC. ^4-n RD. —R3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。

，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（1.2B, 24.如图，三棱柱A1B1C1-ABC 中，侧棱AA1，底面ABC,底面三角形是BC中点，则下列叙述正确的是（A.AC,平面ABB1A11与B〔E是异面直线C.A1C1 // B〔ED.AEXBB1ABC是正三角形,5.设m, n是两条不同的直线, 命题正确的是（）A.若m_L & 则a_L 0;C.若m II & 则all 0；B是两个不同的平面，且m? % n? &则下列1—4正初用6.已知ab <0,bc <0 ,则直线ax +by =c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限俯视图7 .已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）3D. 84 cm8 .若a 2+b 2=2c 2（cw0）,则直线ax+by+c=0被圆x 2+y 2= 1所截得的弦长为（）“1 c c 2 cA. 2B. 1 CD. %29.在四面体 ABCD 中，已知棱AC 的长为42,其余各棱长都为 1,则二面角 A-CD-B 的B. 1C.叵 D .贝33 310 .如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 、G 、H 分别为 AA 「AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线 EF 与GH 所成的角等于（）A. 45°B. 60°C. 90° D, 120°11 .若曲线y = J 1—x 2与直线y = x+b 始终有交点，则b 的取值范围是（）A.[」,72]B. [-1,V2）C. [1,72]D. （1,72）12 .已知正三棱锥P —ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过 A 的截面与棱PB, PC 分别交于点D 和点E,则截面9DE 周长的最小值是（）A. V 2B. 2 向C.疵D. 2 我3A. 108 cm3B. 100 cm3C. 92 cm第II卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13.两个球的体积之比为8 : 27,则这两个球的表面积之比为 .14.经过点P（3,-1）,且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是15.等腰直角AABC中，AB=BC=1 , M为AC的中点，沿BM把AABC折成二面角，折后A与C 的距离为1,则二面角C—BM—A的大小为 .16.已知点A（—1,1）, B（2, —2）,若直线l: x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况）, 则实数m的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）求满足以下条件的m值.（1）已知直线2mx+ y+6 = 0与直线（m—3）x-y+7=0平行；（2）已知直线mx+ （1 — m）y= 3与直线（m— 1）x+ （2m+ 3）y= 2互相垂直.18.（本小题满分12分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1,0）,与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方）,且|AB|=2.⑴求圆C的标准方程；⑵求圆C在点B处的切线方程.19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD中，CD=1, Z BCD =60 °, BDXCD,正方形ADEF ,且面ADEF，面ABCD .（1）求证：BD,平面ECD；（2）求D点到面CEB的距离.20.（本小题满分12分）已知AABC的顶点B （-1 , -3）,边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y—7=0, BC边上中线AD所在的直线方程为x—3y—3 = 0.(1)求直线AB的方程；(2)求点C的坐标.21.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA i B i C i的底面是边长为2的正三角形，巳F分别是BC, CC i的中点.(1)证明：平卸AEF，平卸B1BCC1；(2)若直线A〔C与平面A1ABB1所成的角为45 ,求二棱锥22.(本小题满分12分)如图，已知AA』平面ABC, BB AA1=47,BB1 = 2W，点E和F分别为BC和A〔C的中点(1)求证：EF//平面'A1B1BA;⑵求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.FAEC的体积.A1^Z C'B1 #MxCB1 // AA1? AB=AC = 3, BC = 245,c高一数学期末考试答案、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAADACBDCBAD、选择题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分，）13.4: 9 14.工+2丁—0或工+。

2019-2020学年人教A版甘肃省兰州一中高一第一学期期末数学试卷含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．直线x+y﹣a＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（）A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新3．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线D′A与DB所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．7．已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．5B．C．5D．8．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为（）A．16πB．24πC．36πD．64π9．棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1：7 B．2：7 C．7：19 D．5：1610．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm311．已知圆的方程x2+y2＝25，过M（﹣4，3）作直线MA，MB与圆交于点A，B，且MA，MB 关于直线y＝3对称，则直线AB的斜率等于（）A．B．C．D．12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且△ABC的欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，则顶点C 的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，0）二、填空题（本大题共4小题）13．直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则a的值为．14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为．15．已知关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围是．16．已知圆O：x2+y2＝9，点A（﹣5，0），若在直线OA上（O为坐标原点），存在异于A的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数．则点B的坐标是．三、解答题（本大题共6小题）17．设直线2x+3y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明EF∥平面A1CD；（2）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1．19．如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．20．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．21．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC，CE与平面ABE所成的角为45°．（1）证明：AD⊥CE；（2）求二面角A﹣CE﹣B的正切值．22．已知圆C过点M（0，﹣2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小）1．直线x+y﹣a＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．解：直线x+y﹣a＝0 即y＝﹣x+a，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则 0≤α＜π，且tanα＝﹣，故α＝150°，故选：D．2．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（）A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新【分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选：B．3．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线D′A与DB所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】易知BD1∥AC1，可得∠DBD1即为异面直线D'A与DB所成的角，又因为△DBD1为等边三角形，易得结论．解：连接BD1，则BD1∥AC1，∴∠DBD1即为异面直线D'A与DB所成的角，∵△DBD1为等边三角形，∴∠DBD1＝60°，故选：C．4．正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据正六棱锥底面边长为a，体积为a3，确定侧棱及高的长，即可求侧棱与底面所成的角．解：∵正六棱锥的底面边长为a，∴S底面积＝6•＝∵体积为a3，∴棱锥的高h＝a∴侧棱长为a∴侧棱与底面所成的角为45°故选：B．5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据线面垂直的判定定理，可判断①的对错；根据面面平行的判定定理，可得到②的真假；根据空间线面关系的定义及判定方法，可以得到③的正误，根据线面平行的判定方法，易得到④的对错；结合判断结果，即可得到答案．解：根据面面垂直的判定定理，我们易得①正确；根据面面平行的判定定理，我们可得由于m与n不一定相交，则命题②为假命题；如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交或平行，故③也为假命题；若若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，根据线面平行的判定定理，我们可得④为真命题；故选：C．6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出原来的平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积．解：根据题意，画出图形，如图所示；则原来的平面图形上底是1，下底是1+，高是2，∴它的面积是×（1+1+）×2＝2+．故选：D．7．已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．5B．C．5D．【分析】推导出点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，求出点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），∴|PA|+|PB|的最小值为：|BC|＝＝2．故选：D．8．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为（）A．16πB．24πC．36πD．64π【分析】正四棱锥顶点在底面的投影在高所在的直线上，底面顶点连接，在直角三角形中求出半径进而求出外接球的表面积．解：由题意可得，顶点P在底面的投影为正方形ABCD的中心M，连接MD，PM，则MD＝AB＝•4＝2，PM＝＝＝4，由题意正四棱锥的球心在高PM上，设球心为O，连接OD，则OD＝OP为外接球的半径R，在三角形OMD中，R2＝OD2＝OM2+MD2，即R2＝（PM﹣R）2+MD2＝（4﹣R）2+（2）2，解得：R＝3，所以球的表面积S＝4πR2＝36π，故选：C．9．棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1：7 B．2：7 C．7：19 D．5：16【分析】根据棱台的体积公式，以及面积之比等于相似比的平方，求出棱台上下边长的比，利用中截面与体积比的关系，求出中截面分棱台成两部分的体积之比．解：棱台体积公式：V＝H（S上+S下+）棱台上、下底面面积之比为1：9，则上下边长比为1：3，那么依比例求出中截面边长与下边长比为2：3，上底面、中截面下底面面积之比为1：4：9，棱台的中截面分棱台成两部分的高相同，代入体积公式得出体积比．故选：C．10．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】根据三视图复原出几何体，再计算该几何体的体积．解：该三视图复原几何体如图所示，它是正方体去掉一个四棱锥后的几何体，它的体积是：V几何体＝V正方体﹣V四棱锥＝13﹣×12×1＝（cm3）．故选：D．11．已知圆的方程x2+y2＝25，过M（﹣4，3）作直线MA，MB与圆交于点A，B，且MA，MB 关于直线y＝3对称，则直线AB的斜率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意不妨设A的坐标，求出MA的斜率，然后求出MB的斜率，求出B的坐标，即可求出AB的斜率．解：A，B都不是唯一确定的不妨令点A为（5，0）则MA斜率k1＝MA，MB关于直线y＝3对称，故MB斜率为MB方程为y﹣3＝（x+4）y＝x+代入圆的方程x2+（x+）2＝25x2+x2+x+＝255x2+13x﹣28＝0（x+4）（5x﹣7）＝0x＝﹣4（舍）或x＝把x＝代入MB方程得y＝所以A（5，0）B（）所以直线AB斜率为故选：A．12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且△ABC的欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，则顶点C 的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，0）【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．解：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：﹣+2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k＝＝﹣2，AB的中垂线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则a的值为﹣1 ．【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3＝0，解得a＝3或﹣1．当a＝3时，l1与l2重合，应舍去．因此a＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为．【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其体积．解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2 ，∴球的半径为，球的体积是V＝＝，故答案为：15．已知关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围是．【分析】令y＝，y＝x+k．画出图象．分别求出：直线y＝x+k与半圆y＝相切时，直线y＝x+k经过点B，C时，直线y＝x+k经过点A时的k的值，即可得出结论．解：令y＝，y＝x+k．画出图象．直线y＝x+k与半圆y＝相切时，可得k＝．直线y＝x+k经过点B，C时，可得k＝1．直线y＝x+k经过点A时，可得k＝﹣1．结合图象可得：﹣1≤k＜1或k＝时，关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围是{k|﹣1≤k＜1或k＝}．故答案为：{k|﹣1≤k＜1或k＝}．16．已知圆O：x2+y2＝9，点A（﹣5，0），若在直线OA上（O为坐标原点），存在异于A 的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数．则点B的坐标是（﹣，0）．【分析】根据题意，假设存在这样的点B（t，0）满足题意，设＝λ，结合圆的方程变形可得（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，据此分析可得，解可得t的值，即可得答案．解：根据题意，点A（﹣5，0）在x轴的负半轴上，直线OA即x轴，假设存在这样的点B（t，0），使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数，这个常数为λ，即＝λ，变形可得则PB2＝λ2PA2，则有（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，将y2＝9﹣x2代入得：x2﹣2xt+t2+9﹣x2＝λ2（x2+10x+25+9﹣x2），即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9＝0对x∈[﹣3，3]恒成立，则有，解可得t＝﹣；故B的坐标为（﹣，0）；故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设直线2x+3y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【分析】（1）根据圆的弦的性质可知，弦的垂直平分线过圆心，则问题可解；（2）利用垂径定理去求即可．解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2＝4，圆心坐标为（1，0），半径r＝2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3＝0．（2）圆心（1，0）到直线，故．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明EF∥平面A1CD；（2）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1．【分析】（1）连接ED，证明四边形A1DEF是平行四边形，可得EF∥A1D．利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面A1CD；（2）证明CD⊥面A1ABB1，即可证明平面A1CD⊥平面A1ABB1．【解答】证明：（1）连接ED，∵ED∥AC，ED＝AC又∵F为A1C1的中点．∴A1F∥DE，A1F＝DE∴四边形A1DEF是平行四边形∴EF∥A1D又A1D⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD∴EF∥平面A1CD…（2）∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥CD∵D是AB的中点，∴AB⊥CD∴CD⊥面A1ABB1，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1．…19．如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．【分析】（1）证明AD⊥AE，BC⊥AE．推出BF⊥AE．证明AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．（2）求出GF＝1．说明GF⊥面BCE．通过V C﹣BGF＝V G﹣BCF求解即可．【解答】（1）证明：因为AD⊥面ABE，所以AD⊥AE，又BC∥AD，所以BC⊥AE．因为BF⊥面ACE，所以BF⊥AE．又BC∩BF＝B，所以AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．（2）解：因为AE＝EB＝BC＝2，所以，，，又因为G为AC中点，所以GF＝1．因为AE⊥面BCE，所以GF⊥面BCE．所以V C﹣BGF＝V G﹣BCF＝．20．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S△BDE即可．或求出BE，D到BE的距离d，计算S△BDE．解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，∴直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0；（2）由，得，即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；设C（m，n），则由已知条件得，解得，∴C（2，1）；∴所以BC边所在的直线方程为＝，即2x+3y﹣7＝0；（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴E到AB的距离为：d＝；又点B到CD的距离为：BD＝，∴S△BDE＝•d•BD＝．另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴BE＝，由，得，∴D（，），∴D到BE的距离为：d＝，∴S△BDE＝•d•BE＝．21．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC，CE与平面ABE所成的角为45°．（1）证明：AD⊥CE；（2）求二面角A﹣CE﹣B的正切值．【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明：AD⊥CE；（2）求出二面角的平面角，即可求二面角A﹣CE﹣B的正切值．【解答】证明：（1）如图，取BC的中点H，连接HD交CE于点P，连接AH、AP．∵AB＝AC，∴AH⊥BC又∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AH⊥平面BCDE，∴AH⊥CE，又∵，∴Rt△HCD∽Rt△CDE∴∠CDH＝∠CED，∴HD⊥CE∴CE⊥平面AHD∴AD⊥CE．（2）由（1）CE⊥平面AHD，∴AP⊥CE，又HD⊥CE∴∠APH就是二面角A﹣CE﹣B的平面角，过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接CG、EG．∵BE⊥BC，且BE⊥AH，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥CG，∴CG⊥平面ABE，∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，即∠CEG＝45°，又CE＝，∴CG＝EG＝．又BC＝2，∴∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∴AH＝又HD＝，∴HP＝＝，∴tan∠APH＝＝3．22．已知圆C过点M（0，﹣2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设出圆的一般式方程，表示出圆心坐标，把圆心坐标代入到直线x+2y+1＝0中得到一个关于D，E及F的方程，然后把M与N的坐标代入所设的圆的方程，得到两个关于E，F及D的方程，三个方程联立即可求出D，E及F的值，确定出圆C的方程；（2）利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心C 必然在直线l上，由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，进而求出实数a的值，然后由已知直线ax﹣y+1＝0，变形得到y＝ax+1，代入（1）中求出的圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，即可求出a的取值范围，发现求出的a的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB．解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0则有解得∴圆C的方程为：x2+y2﹣6x+4y+4＝0；（2）设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l上．所以l的斜率k PC＝﹣2，而，所以．把直线ax﹣y+1＝0即y＝ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9＝0．由于直线ax﹣y﹣1＝0交圆C于A，B两点，故△＝36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．由于，假设错误，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．。

甘肃省兰州市高一上学期期末数学试卷

甘肃省兰州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·新宁模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A . 球B . 圆锥C . 圆台D . 圆柱2. （2分）已知向量，若与共线，则（）A .B . 2C .D . -23. （2分）在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则AD与平面所成角的大小是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一上·林芝期末) 过点且与直线：平行的直线的方程是（）A .B .C .D .5. （2分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3 ，则（）A . 9B . 6C . 3D . 26. （2分）两圆和的位置关系是（）A . 内切B . 相交C . 外切D . 外离7. （2分）下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）A .B .C .D .8. （2分）曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（）A .B .C .D . 09. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二下·定兴期中) 已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为（）A . 45°B . 135°C . 45°或135°D . 90°11. （2分）半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为（）A . (x－4)2＋(y－6)2＝6B . (x±4)2＋(y－6)2＝6C . (x－4)2＋(y－6)2＝36D . (x±4)2＋(y－6)2＝3612. （2分）如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A . 直线AC上B . 直线AB上C . 直线BC上D . △ABC内部二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·佛山期中) ,为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．14. （1分）在平面直角坐标系xoy中，若三条直线2x+y﹣5=0，x﹣y﹣1=0和ax+y﹣3=0相交于一点，则实数a的值为________ ．15. （1分） (2016高一下·盐城期中) 原点到直线2x+y﹣5=0的距离等于________．16. （1分）已知A、B、C、D四点不共面，则与这四点距离相等的平面共有________个．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·黄石期末) 正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积．（2）求二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．18. （5分） (2016高一下·大连开学考) 在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y=3x+3上，若△ABC 的面积为10，求点C的坐标．19. （10分）已知圆的圆心为原点，且与直线相切。

甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题参考答案

2019--2020第一学期期末联片数学考试卷答案一、选择题1.A2.D3.A4.B5.B6.C7.C8.C9.B 10.C 11.C 12.D二、填空题13.-2<x<4 14.12 15.450 16.y＝2x三、解答题：17.（10分）(1)由,得－3＜x＜3,∴函数f(x)的定义域为(－3,3).(2)函数f(x)是偶函数,理由如下：由(1)知,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x),∴函数f(x)为偶函数.18.（12分）S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2＝(60＋4)π.V＝V台－V锥＝π(＋r1r2＋)h－πr2h1＝π.19.（12分）证明:(1)取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MO CC1.又F为BB1的中点,所以BF CC1.所以MO BF.所以四边形MOBF为平行四边形.所以MF∥BO,又MF⊄平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.(2)因为F为BB1的中点,易得AF=C1F,又M为AC1的中点,所以MF⊥AC1.又四边形ABCD为菱形,所以BO⊥AC.又MF∥BO,所以MF⊥AC.又AC1∩AC=A,所以MF⊥平面A1ACC1.20.（12分）(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,∵F、F1分别是AC、A1C1的中点,∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1,C1F∩BF＝F,∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1＝A1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.21.（12分）（1）作图可证过P 点与原点O 距离最大的佳绩是过P 点且与PO 垂直的直线,由l ⊥OP ,得k 1k OP ＝－1,所以k 1＝ kOP 1＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）,即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为5｜－5｜｜－5｜＝.（2）过P 点不存在到原点距离超达的直线,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线.22.（12分）解：当直线l 的方程为x ＝1时,可验证不符合题意,故设l 的方程为y －2＝k (x －1), 由解得A ；由解得B .因为|AB |＝,所以＝.整理得7k 2－48k －7＝0.解得k 1＝7或k 2＝－.故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0.。

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兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高一数学说明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球表面积的比值为( ) A ．21 B ．23 C ．31 D ． 346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上,BCDO若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( ) A ．214 B ．14 C ．213D ．37．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x 2017log 2017)(+=，则在R 上，函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[-D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写MN在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ， 51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元；当20>x 时，年销售总收入为260万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根，则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .ABC1A 1C 1B EFH当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,ADAB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答题卡第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 1C A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分)ABC 1A1C1BEFH17． (本小题8分)18．(本小题10分)1C A19. (本小题10分)兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃提示 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥ADCB1A 1C 1B EH证明 (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AFB B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l . 当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．解 (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线，由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P 点且与原点距离最大的直线，最大距离为d == 17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D S又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ．(2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点，1CA D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴． 5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点 5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小．(2) 求二面角C PD A --的正弦值．解 (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴．由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴．又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴．过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角．由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则, 7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM . 在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．解 (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2．依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数aa x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>．若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．a a g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(mina a a a x g。

2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析

2019～2020学年度度第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.0°【参考答案】A 【试题分析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值,再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数.解：设过原点(0,0)和点(－1,－1)的直线方程的斜率为k,且该直线的倾斜角为α, 由题意可知：tanα＝k ＝()()0101----＝1,又α∈(0,180°),则α＝45°. 故选A2.下列命题正确的是( )A.若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,则12l l PB.若直线l 上有两个点到平面α的距离相等,则l αPC.直线l 与平面α所成角θ取值范围是090θ︒︒<<D.若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 【参考答案】D 【试题分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误.对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型. 3.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.6【参考答案】A 【试题分析】易得该三棱锥为长方体的一角,根据体积公式求解即可. 画出三棱锥易得体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 4.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是( ) A.线段AB 的中垂线 B.线段AB 的中垂面 C.过AB 中点的一条直线 D.一个圆【参考答案】B 【试题分析】直观想象求解即可.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是线段AB 的中垂面. 故选：B本题主要考查了空间想象能力,属于基础题型.5.设长方体的对角线长是4,过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60︒,则此长方体的体积是( ) A.39B.82C.83D.163【参考答案】B 【试题分析】画图再设过某一顶点的两条棱与对角线的夹角都是60︒再求棱长即可.由题画出图像,可设1,AD DD 与对角线1DB 的夹角为60︒.因为14DB =,故11cos 602DD DB =︒=,同理1cos 602DA DB =︒=,又222211DB DD DA DC =++可得22DC =.故长方体的体积为222282V =⨯⨯=.故选：B本题主要考查了长方体中的线线夹角以及棱长与对角线的关系等.属于基础题型.6.已知点A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点,且2,AB AC AD ===,AB AC ⊥,AC AD ⊥AD AB ⊥,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.12π D.8π【参考答案】C【试题分析】易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,再求正方体的体对角线与外接球表面积即可. 易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,且体对角线为外接球的直径d , 故222222212d =++=.故外接球的表面积212S d ππ==.故选：C本题主要考查了正方体中的一角三棱锥与外接球的表面积,属于基础题型.7.已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是( ). A.1或3 B.1或5C.3或5D.1或2【参考答案】C 【试题分析】当k －3＝0时,求出两直线的方程,检验是否平行；当k －3≠0时,由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k 的值.解：由两直线平行得,当k －3＝0时,两直线的方程分别为 y ＝－1 和 y ＝3/2,显然两直线平行.当k －3≠0时,由()k 34k1/32k 32--=≠--,可得 k ＝5.综上,k 的值是 3或5, 故选 C.【此处有视频,请去附件查看】8.设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( )A.若,l ααβ⊥⊥,则l β⊂B.若//,//l ααβ,则l β⊂C.若,//l ααβ⊥,则l β⊥D.若//,l ααβ⊥,则l β⊥【参考答案】C 【试题分析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β,而对于C 是正确的.9.锐二面角l αβ--,直线AB⊂α,AB 与l 所成的角为45°,AB 与平面β成30°角,则二面角l αβ--的大小为( ) A.30° B.45°C.60°D.90°【参考答案】B 【试题分析】如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,再求∠AOC 的大小即得解.如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,连接BC ,OC.在Rt△AOB 中,∠ABO ＝45°,设AB ＝1,则AO ＝2. ∵在Rt△ACB 中,∠ABC ＝30°,∴AC ＝12AB ＝12, ∴在Rt△ACO 中,sin∠AOC ＝12222AC AO ==,∴∠AOC ＝45°. 所以二面角l αβ--的大小为45°.故答案为B】(1)本题主要考查线面角和二面角的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：(几何法)找→作(定义法、三垂线法、垂面法)→证(定义)→指→求(解三角形).方法二：(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n u r r ；再代入公式•cos m nm nα=±v vv v (其中,m n u r r 分别是两个平面的法向量,α是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“±”号) 10.函数23y x =-在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A.1.55 B.1.65 C.1.75 D.1.85【参考答案】C【试题分析】易得函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈判断即可.由题函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈,四个选项中离1.75最近. 故选：C本题主要考查了函数的零点问题.属于基础题型.11.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A.83π B.32πC.8πD.82π【参考答案】C 【试题分析】试题分析：2的等腰直角三角形,一条长为2的侧棱与底面垂直的三棱锥,其外接球就是底边长为2,高为2的正四棱柱的外接球,设球半径为R ,则222242228,48R R ππ===,故选C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的外接球体积.12.已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,＋∞),f(x)是奇函数,且当x ＞0时,f(x)＝x 2﹣x ＋a,若函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a≤0 C.a≤1 D.a≤0或a ＝1【参考答案】D 【试题分析】试题分析：要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则根据函数是奇函数,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可.解：因为f(x)是奇函数,所以g(x)＝f(x)﹣x 也是奇函数,所以要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可. 由g(x)＝f(x)﹣x ＝0得,g(x)＝x 2﹣x ＋a ﹣x ＝x 2﹣2x ＋a ＝0, 若△＝0,即4﹣4a ＝0,解得a ＝1.若△＞0,要使当x ＞0时,函数g(x)只有一个零点,则g(0)＝a≤0, 所以此时,解得a≤0.综上a≤0或a ＝1. 故选D.考点：函数的零点.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.求满足282144x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合是______________.【参考答案】(－2,4) 【试题分析】因为2282822144482244x x xx x x x ---+-⎛⎫>⇔>⇔-+>-⇔-<<⎪⎝⎭14.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,则此球的半径为_____厘米. 【参考答案】12 【试题分析】试题分析：2334,6427123V Sh r h R R ππ====⨯= 考点：球的体积和表面积15.已知正四棱锥P ABCD -(底面是正方形且侧棱都相等)中,2,2PA AB ==,M 是侧棱PC 的中点,则异面直线PA 与BM 所成角的大小为 .【参考答案】45o 【试题分析】设AC 与BD 相交于点O ,连接OM .因为ABCD 是正方形,所以O 是AC 中点.而M 是PC 中点,所以1//2OM AP ,则OMB ∠是异面直线AP 与MB 所成角.因为P ABCD -是正四棱锥,所以PO ⊥面ABCD ,从而可得面PAC ⊥面ABCD .因为BO AC ⊥,所以BO ⊥面PAC ,从而BO OM ⊥.因为2,2PA AB ==,所以11,12OM OB BD ===,所以BOM ∆是等腰直角三角形,从而可得45OMB ∠=o 16.已知直线20ax y a +++=恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是_____________. 【参考答案】2y x = 【试题分析】由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,从而可得定点坐标,进而可求直线方程. 由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,令1020x y +=+=,可得1,2x y =-=-,∴直线20ax y a +++=恒经过一个定点()1,2--, ∴过这一定点和原点的直线方程是002010y x --=----,即2y x =. 故答案为2y x =.本题考查直线恒过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x ). (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由.【参考答案】(1)()3,3-；(2)偶函数,理由详见解析【试题分析】试题分析：(1)求定义域,通常就是求使函数式有意义的自变量取值集合,所以只要满足各项都有意义即可,对数型的函数求值域,关键求出真数部分的取值范围就可以了；(2)判断函数奇偶性,就是利用奇偶性定义判断即可.试题解析：(1)由函数式可得30{30x x +>->()33,3,3x x ∴-<<∴∈- 又333()log (3)log (3)log (3)(3)f x x x x x =++-=+-233log (9)log 92x =-≤=所以值域为(],2-∞(2)由(1)可知定义域关于原点对称()33()log (3)log (3)f x x x f x -=-++=所以原函数为偶函数考点：1.求复合函数的定义域、值域；2.用定义判断函数奇偶性.18.如图所示,在四边形ABCD 中,90DAB ︒∠=,135ADC ︒∠=,5AB =,22CD =,2AD =,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.【参考答案】S =表面6042ππ+148,3V π=. 【试题分析】如图,过C 作CE 垂直于AD ,交AD 延长线于E ,则所求几何的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的表面积＝S =表面6042ππ+,体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.：本题考查了旋转体结构特征,以及旋转体的体积.解决本类问题时,首先要作出旋转体的直观图,仔细分析旋转体的结构特征,为顺利解题创造依据,这类问题对空间想象力,转化能力以及计算能力都有较高的要求,需要特别强化训练注意总结解题规律.19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为菱形,F 为1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点,求证:(1)MF P 平面ABCD ; (2)MF ⊥平面11A ACC .【参考答案】(1) 证明见解析(2) 证明见解析【试题分析】(1) 取AC 的中点O ,再证明MF BO ∥即可.(2)利用等腰三角形与菱形的性质证明1MF AC ⊥与MF AC ⊥即可. 证明:(1)取AC 的中点O ,连接MO , 因为M ,O 分别为1AC ,AC 的中点,所以112MO CC ∥ 又F 为1BB 的中点, 所以112BF CC ∥. 所以MO BF ∥.所以四边形MOBF 为平行四边形.所以MF BO ∥,又MF ⊄平面ABCD ,BO ⊂平面ABCD ,所以MF P 平面ABCD.(2)因为F 为1BB 的中点,易得1AF C F =,又M 为1AC 的中点,所以1.MF AC ⊥又四边形ABCD 为菱形,所以BO AC ⊥.又MF BO ∥所以MF AC ⊥.又1AC AC A =I ,所以MF ⊥平面11A ACC .本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定与性质,属于中等题型.20.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,ABC V 与111A B C △都为正三角形,且1AA ⊥平面ABC ,1F F ，分别是11AC A C ，的中点.求证：(1)平面11AB F ∥平面1C BF ；(2)平面11AB F ⊥平面11ACC A .【参考答案】(1)见解析.(2)见解析.【试题分析】(1)由1,F F 分别是11,AC A C 的中点,证得1111,B F BF AF C F ∥∥,由线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF ,再根据面面平行的判定定理,即可证得平面11AB F ∥平面1C BF .(2)利用线面垂直的判定定理,可得11B F ⊥平面11ACC A ,再利用面面垂直的判定定理,即可得到平面11AB F ⊥平面11ACC A .(1)在三棱柱111ABC A B C -中,因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点,所以1111,B F BF AF C F ∥∥,根据线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF又11111,B F AF F C F BF F ==I I ,∴平面11AB F ∥平面1C BF .(2)在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面111A B C ,所以111B F AA ⊥,又1111B F AC ⊥,1111A C AA A =I ,所以11B F ⊥平面11ACC A ,而11B F ⊂平面11AB F ,所以平面11AB F ⊥平面11ACC A .本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.21.已知点(2,1)P -.(1)求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？(2)是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由.【参考答案】(1) 250x y --=,最大距离是5 (2) 不存在,见解析【试题分析】(1)作图可得当l OP ⊥时直线l 与原点距离最大,再根据垂直求解即可.(2)根据(1)中的结论判断即可.(1)作图可证过P 点与原点O 距离最大的距离是过P 点且与PO 垂直的直线,由l OP ⊥,得11OP k k =-,所以112OPk k == 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-,即250x y --=.即直线250x y --=是过P 点且与原点O 距离最大的直线,=(2)由(1)可得过P 点且与原点O 6<,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线. 本题主要考查了点与线的距离的最值问题,需要画图分析得l OP ⊥时距离最大.属于基础题型.22.过点()1,2P 的直线l 被两平行线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =求直线l 的方程.【参考答案】()()1271,217y x y x -=--=--. 【试题分析】当直线l 的方程为1x =时,可验证不符合题意,故设l 的方程为()21y k x -=-,由2{4310y kx k x y =+-++=解得3758,3434k k A k k --+⎛⎫ ⎪++⎝⎭；由2{4360y kx k x y =+-++=解得312810,3434k k B k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭,因为AB ==整理得274870k k --=,解得17k =或217k =-. 直线方程为()()1271,217y x y x -=--=-- 考点：直线与直线的位置关系.。

2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题(考试时间为120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．45°或135°D．0°2．下列命题正确的是()A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l23．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 B．2 C．3 D．64．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是()A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2 C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD＝2，AB⊥AC，AC ⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是()A．16π B．20π C．12π D．8π7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或28．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β9．已知二面角α-l-β是锐二面角，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α-l-β的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°10．函数y＝x2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是() A．1.55 B．1.65C．1.75 D．1.8511．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.8π3B．32π C．8π D．82π12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋a，若函数g(x)＝f(x)－x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是() A．a<0 B．a≤0C．a≤1 D．a≤0或a＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.求满足8241－x⎪⎭⎫⎝⎛＞x－24的x的取值集合是．14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．15.已知正四棱锥P ABCD(底面是正方形且顶点P 在底面的射影为底面中心)中,PA=2,AB=错误！未找到引用源。

兰州市2019年数学高一上学期期末调研试卷

兰州市2019年数学高一上学期期末调研试卷一、选择题1．设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D.()()f x f x +-是偶函数2．已知实数a 满足35a =，则函数5()2log 3xf x a x =+-的零点在下列哪个区间内A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)3．已知半圆C ：221x y +=（0y ≥），A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使3BPQ π=∠，则t 的取值范围是（）A ．[⋃B ．[⋃C ．[,0)(0,33-⋃ D ．23[(0,]33-4．已知函数()f x 为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数()f x 中，分别具有性质()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+、()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =的函数序号依次为( )A ．③，①，②，④B ．④，①，②，③C ．③，②，①，④D ．④，②，①，③5．设0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．如图给出的是计算1111246102+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A ．102i >B ．102i ≤C ．100i >D ．100i ≤7．2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则等于A ．B ．C ．D ．8．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值，则球O 的表面积为（）. A ．36π B ．16πC ．12πD ．163π 9．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为A ．B ．C ．D ．10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．10D ．211．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤312．已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A ．1,6πωϕ== B ．1,6πωϕ==-C ．2,6πωϕ==D ．2,6πωϕ==-二、填空题13．设函数()f x 2=()g x ax a 1=+-，若对任意[)1x 0,∞∈+都有(]2x ,1∞∈-使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为______．14．圆台两底面半径分别为2 cm 和5 cm ，母线长为，则它的轴截面的面积是________cm 2. 15．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.16．已知数列{}n a ：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，，11k +，21k +，，1k k +，，则99a =__________．三、解答题17．若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0x <时，()1f x >；（1）求证：()0f x > （2）求证：()f x 为减函数（3）当1(4)16f =时，解不等式21(3)(5)4f x f x -⋅-≤18．函数()f x =A ,()lg[(1)(2)(1)g x x a a x a =---<定义域为B . （1）求A ；（2）若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.19．如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1.（1）求证:直线A 1B ∥平面ACD 1（2）已知三棱锥D 1一BCD 的所有顶点在同一个球面上,求这个球的体积 20．已知a R ∈，函数()||f x x x a =-．（1）当2a =时，求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求函数()()1g x f x =-的零点个数． 21．计算下列各式的值：(1)210-2321832--9.6-4272+（）（）（）（）；(2)log 33＋lg 25＋lg 4＋77log 2. 22．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．1a 2≥ 14．6315．,a b 中没有能被5整除的数 16．815三、解答题17．（1）略（2）略(3){}|01x x ≤≤ 18．（1）()[),11,-∞-⋃+∞；（2）1(,2)[,1)2-∞-.19．（1）略；（2）6. 20．（1）略；（2）略 21．（1）12（2）15422．（1）；（2），；（3）．。