锐角三角函数练习题(含答案)
锐角三角函数练习卷(含答案)
锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。
- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。
- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。
答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。
答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。
答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。
答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。
证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。
锐角三角函数(附答案)
教材过关二十八 锐角三角函数一、填空题1.在直角三角形中，斜边和一直角边的比是5∶3，最小角为α，则sin α=_______________,cos α=_________________,tan α=__________________. 答案：53 54 43 提示：假如两边长分别为5、3,则另一边为4,且3所对的角最小,由此可得答案. 2.在△ABC 中,若︱sinA-21︱+(23-cosB)2=0, 则∠C=___________________. 答案：120° 提示：由sinA=21,可得∠A=30°, 由cosB=23,得∠B=30°,则∠C=120°. 3.6tan 230°-3sin60°-2cos45°=__________________. 答案：21-2 提示：tan30°=33,sin60°=23,cos45°=22. 4.等腰三角形的两条边长分别是 4 cm ，9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是________________. 答案：92 提示：三角形三边只能为4,9,9.5.若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA-3=0，则∠A=__________________. 答案：45°提示：解这个一元二次方程,可得tanA 的值,但∠A 为锐角,所以只能取正值. 6.如图9-43,AB 、CD 是两栋楼，且AB=CD=30 m,两楼间距AC=24 m,当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB 楼在CD 楼上的影子是m.（精确到0.1 m ）图9-43答案：16.2提示：画出图形,解直角三角形. 二、选择题7.在△ABC 中，∠C=90°,下列式子正确的是A.b=atanAB.b=csinAC.a=ccosBD.c=asinA 答案：C 提示：因为cosB=ca,所以a=ccosB. 8.在Rt △ABC 中,各边都扩大四倍，则锐角A 的各三角函数值 A.没有变化 B.分别扩大4倍 C.分别缩小到原来的41D.不能确定 答案：A提示：因为各边都扩大四倍,它们的比值不变,故三角函数值也不变. 9.在Rt △ABC 中, 2sin(α+20°)=3，则锐角α的度数是A.60°B.80°C.40°D.以上结论都不对 答案：C提示：2sin(α+20°)=3,得sin(α+20°)=23, 所以α+20°=60°,α=40°.10.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于 A.25 B.35 C.552 D.32答案：B 提示：∵tanB=25，a b =25，可令b=5,a=2,则c=3,cosA=35. 11.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1 cm ，则斜边上的高为 A.41 cm B.21cmC.43 cm D.23 cm 答案：C 提示：直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半,求出两直角边再利用面积或射影定理. 三、解答题12.(2010四川泸洲中考)如图9-44，在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿北偏东45°方向行进了53千米到达B 地，然后再沿北偏西45°方向行进了5千米到达目的地点C.图9-44（1）求A 、C 两地之间的距离；（2）试确定目的地C 在点A 的什么方向？ 解：根据题意,可知∠ABC=90°,∵AB=53,BC=5, AC 2=AB 2+BC 2 =75+25 =100.∴AC=10千米.(2)在Rt △ABC 中,tan ∠BAC=AB BC =355=33, ∴∠BAC=30°.∴C 在点A 的北偏东15°.提示：根据方向角,先确定出△ABC 是直角三角形,可用勾股定理求AC,再利用三角函数求出CA.13.如图9-45，用测角仪测得铁塔顶点A 的仰角为30°，测角仪离铁塔中心线AB 的距离为40米，测角仪CD 高1.5米，求铁塔的高度.（精确到0.1米）图9-45答案：24.6米.提示：铁塔的高度AB=40tan30°+1.5≈24.6(米). 14.如图9-46，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.图9-46解：在Rt △ABD 中, ∵tan ∠ADB=BDAB=1,∴BD=AB. 又在Rt △ABC 中,∵tanC=BC AB =33, ∴BC=30tan AB=3AB.又∵BC-BD=14,∴3AB-AB=14. ∴AB=7(3+1)(米).15.如图9-47，水面上有一浮标，在高于水面1米的地方观察，测得浮标顶的仰角30°，同时测得浮标在水中的倒影顶端俯角45°，观察时水面处于平静状态，求水面到浮标顶端的高度.（精确到0.1米）图9-47答案：3.7米.提示：过A 作AD ⊥BC 于D,则∠BAD=30°,∠DAC=45°. 设BD=x,则AD=xcot30°.又AD=DC 且BE=DC,即x+1=xcot30°. 求得x ≈2.73.∴BE=2.73+1≈3.7(米).16.如图9-48，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A 点出发沿正西方向进行的，在A 点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B 点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C 处，此时B 在C 的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？图9-48解：过B 作BD ⊥AC 于D,在Rt △BCD 中,∠BCD=60°,∵tan60°=CD BD ,∴CD=︒60tan BD. 同理,在Rt △BAD 中,AD=︒30tan BD，又∵AD-CD=200，∴3BD-33BD=200. ∴BD=1003>100.∴不会穿过学校.。
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。
锐角三角函数的经典测试题含答案
CE平行于AB，BC的坡度为i 1: 0.75，坡长0.64，cos40BC 140米，则AB的长为( )(精确0.77，tan40 0.84 )A．78.6米【答案】CB．78.7 米C．78.8 米D．78.9 米锐角三角函数的经典测试题含答案一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高解析】【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atan α，BD＝atan β，得出CD＝BC+BD＝atan α +atan即β可．【详解】∴BC＝atan α，BD＝atan β，∴CD＝BC+BD＝atan α+atan β，故选C．点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD 是解题的关键．2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40 ，若DE 55米，DE CE，CE 36米，acos α +acos βC．atan α +atan βaD．tanatan在Rt△ABD 和Rt△ABC中，AB＝ a ，BC BDtan α＝，tan β＝AB ABB．答案】CA．533B．C．222D．【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG 求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF 为0.75xm ∵BC=140m∴在Rt△BCF中，x20.75x 21402，解得：x=112 ∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ ADG 是直角三角形∵ DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m 设AB=ym ∵∠ DAB=40°DG 167 ∴tan40 °= 0.84AG y 120 解得：y=78.8 故选： C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值3．如图，在等腰直角△ABC中，∠ C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠ BED的值是（）35解析】分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ，设CD 1，CF x，则CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△ DEF是△AEF翻折而成，∴△ DEF≌△ AEF，∠ A＝∠ EDF，∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ EDF＝45°，由三角形外角性质得∠ CDF+45°＝∠ BED+45°，∴∠ BED＝∠ CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，3解得：x 3，4CFsin BED sin CDFDF故选：B．点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（）71 C．D．7 3 24 3 【答案】 C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，25 25 7解得x= 25，故CE=8-25 = ，4 4 4CE 7∴tan ∠CBE= .CB 24故选 C. 考点：锐角三角函数.5．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P的仰角是45 ，向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30°，则该电线杆PQ 的高度（）A．24B．7A．6 2 3 B．6 3 C．10 3 D．8 3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x 表示出AE和BE，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．【详解】解：延长PQ 交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，∠ A=45°，AE=PE=x；∵∠ PBE=60°∴∠ BPE=30°在直角△BPE中，BE= 3 PE= 3 x，33∵AB=AE-BE=6米，则x- x=6，3解得：x=9+3 3．则BE=3 3 +3 ．在直角△BEQ中，QE= 3 BE= 3（3 3 +3）=3+ 3．33∴PQ=PE-QE=9+3 3-（3+ 3 ）=6+2 3．答：电线杆PQ的高度是（6+2 3 ）米．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题6．如图，在x轴的上方，直角∠ BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠ BOA的两边分别与12函数y 、y 的图象交于B、A 两点，则∠ OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D 【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE ；1设 B 为（a，）， A 为OF AF a2 1 2（b，），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到a2b22 ，此为解决问题的关 b a b2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠ OAB= 2为定值，即可解决问题．2【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△ OFA，∴BE OE∴OF AF ，12设点 B 为（a，），A 为（b，2），a b12则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= 2，a b2可代入比例式求得 a 2b 2 2 ，即 a 2 2 ， b 2该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．7．如图，要测量小河两岸相对的两点 P ，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一解析】 分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 【详解】∵PA ⊥ PB ，PC=100米，∠ PCA=35°，根据勾股定理可得： OB= OE 2EB 2a 212，OA= OF 2 AF 2∴tan ∠OAB=OBOA1 b 22 2 (b 2 b 2) = 2 b b2 b 42 = 22∴∠ OAB 大小是一个定值，因此∠ 故选 DOAB 的大小保持不变 .D ． 100tan55 米°a 2a 122 b2b b 42 b 2 b 42点睛】PA 等于（ ）C ． 100tan35米°∴小河宽PA=PCtan∠ PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．② 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠ D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1 米，参考数据：tan36 °≈0，.7c3os36 °≈0，.8s1in36 °≈）0.59A．5.6 B． 6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE 的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB 交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt △BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12 ）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m ，DE ＝DC+CE ＝8+24＝32m ， 由 tan36 °≈ 0.，73得＝0.73，解得 AB ＝0.73 ×3＝2 23.36m ． 由线段的和差，得AB ＝AE ﹣BE ＝23.36﹣12＝ 11.36 ≈ 11m.4， 故选： C ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 切函数，线段的和差．9．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ E BA ′=60 °，进而可得∠ ABM=30°，在Rt △ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .【详解】 ∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °，CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正A ． 8 33【答案】 A 【解析】 【分析】B ． 4 33C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得解得： BM= 8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .故选 B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质， 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图 1，在△ABC 中，∠ B ＝90°，∠ C ＝ 30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA 、AC 向点 C 以 恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时到达点 C ，设△BPQ 的面积为 y （cm 2）．运动时间为 x （ s ）， y 与 x 之间关系如图 2所示，当点 P 恰好为 AC 的中点时， PQ 的长为（ ）10． 如图，菱形 ABCD 中， AC 交 BD 于点 O ，DE ⊥BC 于点 E ，连接 OE ，∠ DOE ＝120°，DE A ． 33【答案】 B 【解析】 【分析】证明 △OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OD=OB ，CD=BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠ DEB=90°，∴OE=OD=OB ． ∵∠ DOE=120°，∴∠ BOE=60°，∴△ OBE是等边三角形，∴∠ ∵∠ DEB=90°，∴ BD= DE 2 3 ．sin60 3B ．23 3D ． 3 3DBC=60°直角三角形斜边的中3，解：设 AB ＝a ，∠ C ＝ 30°，则 AC ＝2a ，BC ＝ 3 a ， 设 P 、 Q 同时到达的时间为 T ，则点 P 的速度为 3a ，点 Q 的速度为 3a ，故点 P 、 Q 的速度比为 3： 3， TT 故设点 P 、 Q 的速度分别为： 3v 、 3 v ，由图 2 知，当 x ＝2 时，y ＝6 3，此时点 P 到达点 A 的位置，即 AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝ 2×3 v ＝ 2 3 v ，11y ＝AB ×BQ ＝6v ×2 3 v ＝ 6 3 ，解得： v ＝1，22故点 P 、Q 的速度分别为： 3， 3，AB ＝6v ＝6＝a ， 则 AC ＝12，BC ＝6 3 ，如图当点 P 在 AC 的中点时， PC ＝6，此时点 P 运动的距离为 AB+AP ＝12，需要的时间为 12÷3＝4， 则 BQ ＝3 x ＝4 3 ， CQ ＝ BC﹣ BQ ＝6 3 ﹣4 3 ＝2 3 ， 过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，PC ＝ 6，则 PH ＝ PCsinC ＝ 6×1 ＝3，同理 CH ＝3 3 ，则 HQ ＝ CH ﹣ CQ ＝ 3 3 ﹣2 3 ＝2PQ ＝ PH 2 HQ 2 ＝ 3 9 ＝2 3，D ． 4 3【答案】【解析】【分析】 点 P 、 Q 的速度比为【详解】3： 3 ，根据 x ＝2，y ＝6 3 ，确定 P 、Q 运动的速度，即可求解．C故选： C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关 系，进而求解．12．一艘轮船从港口 O 出发，以 15海里 /时的速度沿北偏东 60°的方向航行 4小时后到达 A 处，此时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛 B ．若以港口 O 为坐标原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向， 1 海里为 1 个单位长度建立平面直角坐标系（如解析】分析】 【详解】解： OA=15×4=60海里，∵∠ AOC=60°，∴∠ CAO=30°，∵sin30°= OCAO 2∴CO=30 海里， ∴AC=30 3 海里， ∴BC=（30 3 －50）海里， ∴B （ 30 3 －50， 30） 故选 A点睛】 本题考查掌握锐角三角函数的应用．13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测 角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD .如图，嘉淇与假山的水平距离 BD 为 6m ，他的D ．（30，30 3 ）C ．（30 3 ，30）眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE经过量角器的60 刻度线，则假山的高度CD 为（）A．2 3 1.6 m B．2 2 1.6 m C．4 3 1.6 m D．2 3m【答案】A【解析】【分析】CK CK根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30 °= ，进而得出CD 的长．AK 6【详解】解：如图，过点 A 作AK CD 于点K∵BD=6 米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠ AOE=6°0 ，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠ CAK=30°，CK CK∴tan30 °= ，AK 6解得：CK=2 3即CD=CK+DK=2 3 +1.6=（ 2 3 +1.6）m ．故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.14．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosA （）答案】 B 【解析】【分析】构造全等三角形，证明 △ABD 是等腰直角三角形，进行作答【详解】过 A 作 AE ⊥ BE ，连接 BD ，过 D 作 DF ⊥BF 于 F. ∵AE=BF ，∠ AEB=∠ DFB ，BE=DF ，∴△ AEB ≌△ BFD ，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ ABD 是等腰直角三角形，∴cos ∠ DAB= 22 答案选 B.【点睛】 本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题 解题关键 .15． 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，AB ：BC ＝2：1，且 BE ∥ AC ， CE ∥答案】 B解析】分析】DC 交线段 DC 延长线于点 F ，连接 OE 交BC 于点 G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形 OBEC 是菱形，则 OE 与 BC 垂直平分，易得 EF=1 x ， 2 1 A ． 2B ． 2 2C ． 3 2D ． 55C ． 62 3D ． 10过点 E 作 EF ⊥直线 B ． A ．4CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点 E 作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝1 AD＝1 x，OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，1∴CF＝OE＝x．2本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．16．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m 千米∴tan ∠EDC＝EFDF2x xA．m cotcot千米B．cot cot千米C．tan tan千米D．tan tan故选：B．点睛】m m m【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotBO=PO cot m，又AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot = . 所以答案选 A. cot cot【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键17．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠ DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是解析】分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ ADC=12°0 ，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ ADC=18°0 -60°=120 °，∵DF是菱形的高，∴DF⊥ AB，∴DF=AD?sin60 °=834 3，2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积- 扇形DEFG的面积=8 4 3120 (4 3)32 3 16．360故选： C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．DF 为半径C．32 3 16 D．18 3 答案】C18．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 nmile 的小岛 A 出发， 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔小岛 A 的距离是 ( AB 的长．【详解】 CDcos ∠ ACD= ，AC∴CD=AC?cos ∠ACD=6×0 3 30 3 ．2在 Rt △DCB 中，∵∠ BCD=∠ B=45°，∴CD=BD=30 3 ，∴AB=AD+BD=30+30 3 ．答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是( 30+30 3 )nmile ．故选 D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用 -方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与A ． 30 3 n mile 【答案】 D【解析】【分析】过点 C 作 CD ⊥AB ， B ． 60 n mile C ．120 nmile D ． (30 30 3) n mile则在 Rt △ACD 中易得A D 的长，再在直角 △BCD 中求出 BD ，相加可得 在 Rt △ACD中， AC=60．为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长 为 10 2 km ，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处 位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 【答案】 A【解析】【分析】【详解】解：∵∠ MAB=4°5 ， BM=10 2 ，∴AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km ， 过点 B 作 BD ⊥AC ，交 AC 的延长线于 D ， 在 Rt △ADB 中，∠ BAD=∠MAC ﹣∠ MAB=7°5 ﹣45°=30°， BDtan ∠ BAD=AD∴AD= 3 BD ， BD 2 +AD 2 =AB 2，即BD 2+( 3 BD )2=202，∴ BD=10，∴ AD=10 3 ，在 Rt △BCD 中， BD 2+CD 2=BC 2， BC=4 3 ，∴ CD=2 3 ， ∴AC=AD ﹣ CD=10 3 ﹣ 2 3 =8 3 km ，答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为 8 3 km ． 故选 A ．【考点】解直角三角形的应用 -方向角问题．AC 的长为（ ）B ． 9 3C ． 6 3D ． 7 320．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮 船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船 所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为 （ ）【答案】 D【解析】 【分析】 根据题意得出：∠ B=30°，AP=30 海里，∠ 案．【详解】 解：由题意可得：∠ B=30°， AP=30海里，∠ APB=90°， 故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为： BP= AB 2 AP 2 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． B ． 45 海里 C ．20 3 海里 D ．30 3 海里APB=90°，再利用勾股定理得出 BP 的长，求出答 30 3 （海里）。
锐角三角函数的经典测试题及答案
锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。
如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。
C地在A地北偏东75°方向。
且BD=BC=30m。
从A地到D地的距离是（）A。
303mB。
205mC。
302mD。
156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。
详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。
因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。
因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。
所以，从A地到D地的距离是156m。
故选D。
点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。
2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。
1/5B。
5/5C。
35/5D。
9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。
详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。
点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
初三数学锐角三角函数测试题及答案
ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、 选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（ ）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（ ） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（ ）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（ ）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（ ）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ， 如果PC=6，那么PD 等于（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（ ）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（ ）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、 填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。
人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)
第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
初中锐角三角函数习题及详细答案
锐角三角函数一、选择题1． sin30°的值为〔 〕 A ．32B ．22C ．12D ．332．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是〔 〕 A ． 3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是〔 〕 A ．34B ．43 C ．35 D ．454．如图，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为〔 〕 A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m5．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为〔 〕A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，6．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为〔 〕 A ．43．4C ．23．27．图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕A 833m B ．4 mC ．43 mD ．8 m8)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为〔 〕米．A ．25B ．253C ．10033D ．253+9．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是〔〕A ．23 B ．32C ．34D ．4310．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是〔〕A ．233cmB ．433cmC ．5cmD ．2cm 11．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是〔〕 A ．3B ．5C ．25D ．225 12．如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是〔 〕A ．172B ．52C ．24D ．713．如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为〔 〕 A ．30π B ．40πC ．50π D ．60π14．在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为〔 〕 〔A 〕km 3310 〔B 〕km 335〔C 〕km 25 〔D 〕km 35 15.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是〔 〕 A ．3B ．6C ．8D ．916．如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠=〔 〕A ．35 B ．45 C ．34 D ．4317．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是〔 〕 A ．14B ．4C ．117D ．41718．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为〔 〕 A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 519． 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为〔 〕 ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个20．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ〔如图所示〕，则sinθ的值为〔 〕 〔A 〕125 〔B 〕135 〔C 〕1310 〔D 〕131221．如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是〔 〕． A ．π5168 B ．π24C ．π584D ．π12 22．如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为〔 〕A ．2B ．433C ．23D ．4323．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD．3米 24．〕已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3425． 2sin 30°的值等于〔 〕A ．1 BCD ．2 26．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3427．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD米 28．一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°，则AB 的长为〔 〕 A ．12米B米C．2米 D．3米 二、计算题〔每小题3分，共12分〕 1.计算：()1200911sin 602-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭°2.10120094sin 3022⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭－（3.计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．4．先化简．再求值．22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．三、解答题1．〕如图，AC 是O ⊙的直径，PA ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，PA =5．求〔1〕O ⊙的半径；〔2〕sin BAC ∠的值．2．〔4分〕〔20XXXX 〕如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．〔结果保留根号〕CDBA北60°30°CCAB60° 45°北北3.〕为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰〔如图9所示〕，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该据：2 1.43 1.7≈，≈〕商船所在的位置C 处？〔结果精确到个位．参考数4．如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，若测得飞机到目标B 的距离AB 约为2400米，已知sin 0.52α=，求飞机飞行的高度AC 约为多少米？5.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？〔结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈〕BC AαC AB1．C 2. D 3。
《锐角三角函数》习题（含答案）
《锐⾓三⾓函数》习题（含答案）《锐⾓三⾓函数》⼀、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐⾓,且，则为 ( )933425543A B C D ．．．．2．在Rt△ABC 中，∠C = 90°，下列式⼦不⼀定成⽴的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90°3．直⾓三⾓形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．C ．10或D ．⽆法确定4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =B ．c =C ．c = a·tanAD ．c = sin a A cos a A tan a A 5、的值等于（）o o 45cos 45sin +A. B. C. D. 12213+36．在Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S△ABC 等于( )A. 3B. 300C.D. 155037．当锐⾓α>30°时，则cosα的值是（）A ．⼤于B ．⼩于CD 12128．⼩明沿着坡⾓为30°的坡⾯向下⾛了2⽶，那么他下降（）A ．1⽶B ⽶C ．9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）（D10．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC 等于（）43 A ．6 B ． C ．10 D ．12323⼆、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．12．若sin28°=cosα，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡⾯的坡度为1，则坡⾓是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝，则BC 的长为_______cm .5416.如图，在⾼楼前点测得楼顶的仰⾓为，向⾼楼前进60⽶到点，⼜测得仰⾓为，则该⾼楼的D 30?C 45?⾼度⼤约为A.82⽶B.163⽶C.52⽶D.70⽶17．如图，⼩鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的⾼度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰⾓＝60°，则旗杆AB 的⾼度为．（计算结果保留根号）α（16题)三、解答题18．由下列条件解直⾓三⾓形：在Rt△ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 2sin60°·tan45°；（2）+ sin45°22cos 30cos 60tan 60tan 30?+四、解下列各题20．如图所⽰，平地上⼀棵树⾼为5⽶，两次观察地⾯上的影⼦，第⼀次是当阳光与地⾯成45°时，第⼆次是阳光与地⾯成30°时，第⼆次观察到的影⼦⽐第⼀次长多少⽶？（第21．如图，AB 是江北岸滨江路⼀段，长为3千⽶，C 为南岸⼀渡⼝，为了解决两岸交通困难，拟在渡⼝C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°⽅向，B 在C 的东北⽅向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A 是⼀个半径为300⽶的圆形森林公园的中⼼，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修⼀条长为1000⽶的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进⾏说明。
1.1 锐角三角函数 北师大版九年级数学下册课时同步练习(含答案)
北师大版九下 1.1 锐角三角函数一、选择题（共12小题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=2，则tan A等于( )A. 12B. 2 C. 55D. 52. 若∠A是锐角，且sin A=cos A，则∠A的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=35，则cos B的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 434. 梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )A. sin A的值越小，梯子越陡B. cos A的值越小，梯子越陡C. tan A的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于( )A. 34B. 43C. 35D. 456. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A的值为( )A. 55B. 255C. 225D. 1057. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为( )A. 12B. 43C. 34D. 28. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =3BC ，则 tan B 的值为 ( )A. 13B. 3C. 24D. 229. 在 Rt △ABC 中， ∠C =90∘ ，下列各式中正确的是 ( )A. sin A =sin BB. tan A =tan BC. sin A =cos BD. cos A =cos B10. 如图所示，△ABC 的项点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( )A. 12B. 22C. 2D. 2211. 如果 ∠A 为锐角，且 cos A =14，那么 ( )A. 0∘<∠A <30∘B. 30∘<∠A <45∘C. 45∘<∠A <60∘D. 60∘<∠A <90∘12. 规定：sin (―x )=―sin x ，cos (―x )=cos x ，cos (x +y )=cos x cos y ―sin x sin y ，给出以下四个结论：（1）sin (―30∘)=―12；（2）cos2x =cos 2x ―sin 2x ；（3）cos (x ―y )=cos x cos y +sin x sin y ；（4）cos15∘=6―24．其中正确的结论的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题）13. 在△ABC中，∠C=90∘，AB=13，BC=5，则sin A的值是．14. 在平面直角坐标系中，请任意写出一个y轴上的点的坐标．15. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．16. 如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“>”“=”或“<”）17. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长为．三、解答题（共7小题）18. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=8，AC=4，求tan A和cot B的值．19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90∘，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2．20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．21. 实验中学八年级数学兴趣小组进行活动时，姚老师在黑板上给出了这样一道题目：设 A =333，B =222，C =111，试比较 A ，B ，C 的大小．同学们议论纷纷，共得出了三种答案：（1）A >B >C ；（2）B >A >C ；（3）C >A >B ．那么你认为哪种答案正确呢?请说出你的理由．22. 比较下列个组函数值的大小：sin19∘ 与 cos70∘．23. 已知在 △ABC 中，∠BAC =90∘，D ，E 在 BC 上，且 BD =DE =BC ．（1）设 AB =AC ，求证：tan ∠BAD ⋅tan ∠CAE =14；（2）设 AB ≠AC ，第（1）题中结论是否仍成立?如成立，请证明；如不成立，请说明理由．24. 矩形 ABCD 中，AB =5，BC =4，E 为 BC 边上一点，将 △AEB 沿 AE 翻折得 △AEBʹ，点 Bʹ恰好落在 CD 边上，求 ∠BAE 的余切值．答案1. B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90∘，所以tan A=BCAC=2．2. B3. A【解析】在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，∴cos B=BCAB =35．4. B5. B6. A【解析】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，如图，可构造格点直角三角形ABD，由勾股定理可得AD=25，BD=5，AB=5，∴sin A=BDAB =55．7. C8. D9. C10. A【解析】如图所示，连接BD，由网格的特点可得BD⊥AC，AD=22+22=22，BD=12+12=2，在Rt△ABD中，tan A=BDAD =222=12．11. D12. C【解析】（1）sin(―30∘)=―sin30∘=―12，故此结论正确；（2）cos2x=cos(x+x)=cos x cos x―sin x sin x=cos2x―sin2x，故此结论正确；（3）cos(x―y)=cos[x+(―y)]=cos x cos(―y)―sin x sin(―y)=cos x cos y+sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘―30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误所以正确的结论有3个．13. 51314. (0,―1)15. 3416. >【解析】方法1：如图1所示，连接BC，在AD上取一网格点G，在网格点处取点F，构建等腰直角三角形AFG，∵tan∠BAC=BCAC=1，tan∠EAD<1，∴∠BAC>∠EAD．方法2：如图2所示，在AD上取网格点H，在AE上取网格点N，连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，则S△ANH=2×2―12×1×2×2―12×1×1=12AH⋅NP，∴PN=35．在Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN =355=35，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB =222=22．∵22>35，∴∠BAC>∠DAE．17. 4或1418. tan A=2，cot B=2．19. ∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b―a)2，∴c2=4×12ab+(b―a)2=2ab+b2―2ab+a2，即c2=a2+b2．20. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，∵∠DEA+∠AEF=∠BFC+∠CFE=180∘，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．21. （2）正确．理由：∵A =333=(2―1)―333=2333=(23)111=8111，B =222=(3―1)―222=3222=(32)111=9111，C =111=(5―1)―111=5111，而 9111>8111>5111，∴B >A >C ．22. 因为 cos70∘=cos (90∘―20∘)=sin20∘，而 sin19∘<sin20∘，所以 sin19∘<cos70∘．23. （1） tan ∠BAD =tan ∠CAE =12（2） 仍成立，tan ∠BAD =12⋅ACAB ，tan ∠CAE =12⋅ABAC ．24. 2。
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锐角三角函数练习题
一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）
1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D）
A.30米
B.10米
C. 米
D. 米
2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为
（C）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A）
Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ
4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C）
Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3
（第2题）（第3题）（第4题）
5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A）
A. B. C. D.
7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B）
A．150 B．C．9 D．7
8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A）
A．B．3 C．D．
9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ）
A. (m2)
B. (m2)
C.1600sinα(m2)
D.1600cosα(m2)
10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C）
A.1
B.
C.
D.
（第9题）（第10题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）
11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。
12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。
13．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米
（答案可保留根号）。
14．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部
点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离BE=9 米，旗杆台阶高1米，
则旗杆顶点离地面的高度为米（结果保留根号）。
(第12题) (第13题) (第14题)
三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
15．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？
（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）
15．作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°,在Rt ACD中，
CD=AC•tan∠CAB=4×0.51=2.04（米）
所以小敏不会有碰头危险。
16．已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。
求BC的长（结果保留根号）。
16．解：过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ABD中，∠B =45°，
∴AD = BD=AB sinB= 。
在Rt ACD中，∠ACD = 60°，
∴tan60°= ，即，解得CD = 。
∴BC = BD + DC = + 。
四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
17．如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅
顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的
仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
17．解：∵∠BFC = ，∠BEC = ，∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC = ，∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中，
答：宣传条幅BC的长是17.3米。
18．如图，甲船在港口的北偏西方向，距港口海里的处，沿AP方向以12
海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，
现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。
求乙船的航行速度。
（精确到0.1
海里/时，参考数据，）
18．依题意，设乙船速度为海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C
处，作于，则海里，海里。
在中，，。
在中，，∴，
∴，∴。
答：乙船的航行速度约为19.7海里/时。
五、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。
请你
在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。
（1）所需的测量工具是：；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x。
19．解：（1）皮尺、标杆。
（2）测量示意图如图所示。
（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c
∵△DEF∽△BAC，∴，
∴，∴。
20．梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE
的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积。
（结果保留三位有效数字，参考数据：，）
20．52.0
六、（本大题满分8分）
21．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命
所在点C 的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：）
21．
七、（本大题满分8分）
22．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交
叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°。
（1）求B、D之间的距离；
（2）求C、D之间的距离。
22．解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∴∠DBC=30°。
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°。
∴∠DAB=∠ADB．∴BD=AB=2。
即B，D之间的距离为2km。
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。
∴DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，
∴CD=DO－CO= （km）。
即C，D之间的距离为km。
八、（本大题满分10分）
23．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派
三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D 点，再跳入海中。
救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。
（参考数据，）
莲山课件原文地址：/shti/cusan/86275.htm。