二年级奥数-第一讲--周期问题

周期问题

在我们的日常生活中，经常会遇到一些按照一定的规律不断重复出现的现象。例如：

⑴一年四季：春、夏、秋、冬的次序反复出现。

⑵一周7天：按照周一至周日的顺序反复出现。

⑶ 12生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪的顺序不断反复出现。

典型例题

例1我国的农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这十二种动物按顺序轮流代表个年的年号。例如，第一年如果属鼠，那第二年就是属牛，第三年就是虎年，……，如果公元1年是猴年，那么公元1201年是什么年？

分析：人的生肖是依次不断重复的出现的，12年为一个周期。从公元1到公元1201年，正好经历了1201年。采用余数除法计算：

1201÷12 = 100（组）……1（个），余数是1，按照顺序猴年的下一年是鸡年，所以公元1201年是鸡年；

可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。

例2一串珠子如图排列，规律是“三红、二黄”，想一想，第30

颗是红色还是黄色的？那第52颗呢？

分析：这是一个典型的周期，这串珠子的排列规律是“三红、二黄”，每5个珠子组合成一组，这5个珠子不断地重复出现，所以周期是5。我们可以通过余数找出中间珠子的颜色。

30÷（3+2）=6（组），正好整除，所以第30颗是黄色的；

52÷（3+2）=10（组）……2（个），余数是2，所以第52颗是红色的；

可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。

例3羊村的村长手里有1︿36号数字卡片，依次发给喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊五个小朋友，请问第36号卡片发给谁？谁拿到的卡片最多？

分析：“喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊”这五个羊羊实际上相当于一个周期，就是说36张卡片按照，每5张为一个周期，36里一共有多少个周期，余数是多少。

36÷5=7（组）……1（张），余数是1，说明这种卡片是第7个周期以后，应该是给喜羊羊。喜洋洋比其他小朋友多拿一张，也就是喜洋洋拿到的最多。

想一想：那第28张应该发给谁？

例4有一列数字，按432791864327918643279186……排列。那么第

54个数字是多少？

分析：我们发现，这个数是43279186一直循环下去的，也就是每6个数字作为一个循环周期，而54=6×9，所以第54个数字就是第9个循环周期的最后一个数字6。

例5有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…

（1）第51个数是多少？

（2）这81个数相加的和是多少？

分析：从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。

之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。

解（1）51÷5=10……1 按照循环次序可知：第51个数为7。

（2）17×10+7=177 所以这51个数相加的和为279

例6假设所有自然数排列起来如下图所示，44应排在哪个字母下面？248应排在哪个字母下面？

A B C D

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

. . . .

. . . .

分析：我们发现，这个数是43279从排列情况可知，这些自然数按从小到大4个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数除以4的余数来判断。

解 44÷4=11

所以44排在第4个字母D的下面。

46÷4=11 (2)

所以46排在第2个字母B的下面。

例78个小朋友围在一起做击鼓传花的游戏，由第一个小朋友开始传，传到第8个后，又传给第一个小朋友，他们在传的同时按照自然数数列报数，当报到96时，花在哪个小小朋友手上？

如果是100呢？

分析：由题意可得，我们将8个小朋友分为一组，即周期是8。

96÷8=12，所以花正好在第8个小朋友手上。

如果是100的话，100÷8=12 (4)

所以正好传到第四个小朋友手里。

例8100个3相乘，积的个位数是多少？(此题较难，视学生对前面教学内容的接受情况而定)

分析：1个3的个位数字是3，2个3的个位数字是9，3个3的个位数字是7，4个3的个位数字是1，5个3的个位数字又是是3，依次以3，9，7，1，3，9，7，1…循环下去，100=25×4，所以100个3相乘，积的个位数字是经过25个周期的最后一个数字，也就是1

如果是100的话，100÷8=12 (4)

例9、2003个学生按下列方法编号排成5列：（此题较难）

一二三四五

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

…………

…………

问：最后一位学生应站在第几列？

答案：观察这些学生排列的情况可以看出，除1~5外，从第2排起都是按8个数一个循环依次不断重复出现。因此，除以8余数为1、2、3、4、5、6、

7、0对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。

（2003－5）÷8=249 (6)

因此，第2003个学生站在第3列。

练习：

1、有同样大小的红、白、黑珠共60颗，按先3颗红的后2颗白的再

1颗黑的排列。第32颗是什么颜色？

答案：先3颗红的后2颗白的再1颗黑的排列，也就是每3+2+1=6颗珠子为一个排列周期，第32颗珠子是经过了5个周期后的第2颗珠子，故是红

色。

2、有红、黄、蓝三种颜色的小纸花93朵，把它们按4朵红的、3朵黄的、2朵蓝的顺序排列着。（1）问最后一朵是什么颜色的？（2）三种颜色的小花各多少朵？