角的平分线的判定

直于 Awenku.baidu.com，BC, CA，垂足分别 为D, E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴ PD=PE.
同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
探究思考： 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
已知：如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上.
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就 一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，
都应在角的平分线上．
1.请完成教材P51T3、P52T7.
证明：如答图所示，过点P作PD⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM. 同理， PM=PN. ∴PD=PN. ∴点P在∠A的平分线上.
总结
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心.
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( B ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
O 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上.
D
A
P E
B
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
例1 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线 的判定
回顾旧知
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两
边的距离相等. A
D
P
P到OA的距离 C 角平分线上的点
O
P到OB的距离 B
E
知识点 1 角平分线的判定
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB 于点E，PD= PE ， 可 以得到什么结论 ？
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
知识点 2 三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到 三边AB，BC， CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ____4__∶__5__∶__6__.
3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
性质
(2)点在角的平分线上 判定定理 点到这个角两边的距离 相等．
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. 因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上， 所以PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)． 同理PF＝PH， 所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
总结
证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线
上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件： “垂直”和“相等”.
1 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对