角的平分线的判定
角平分线的判定
第2课时 角平分线的判定
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
60°，则 ∠EBF=60 度， B BE= BF .
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
是
3.
A E
C D
个角的平分线上呢?画出图形写出已知和需求证的结论.并证明
知识总结
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
定理的作用：判断点是否在角平分线上. D
C
应用格式：
P
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O来自求证:PA 平分∠MAN.
如图,已知 BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,BE、CF 相交于点 D.若 BD=CD, 求证:AD 平分∠BAC.
课堂小结
内容
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上
角平分线 作 用
的判定定理
判断一个点是否在角的平分线上
结 论 三角形的角平分线相交于内部一点
F
G
C
D
A
EB
导入新课
复习回顾
1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到OB的距离
人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
角平分线的性质(8月9日)
角平分线的性质与判定1.角平分线性质定理：已知：如图，点P 在AOB ∠的平分线上，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 求证：PD PE = 证明：角平分线性质的符号语言： P 在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ∴PD PE =总结：该定理为我们提供了证明两条垂线段 的一个新思路．注 ：在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可例1：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ．求证：BE=CF ．例2：如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点；(2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．ABCDE P O ABCDEP O练1：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。
连接EF ，交AD 于点G 。
说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。
2. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC.求证AB=AC.C2.判定定理（即角平分线性质定理的逆定理）：已知：点P 在AOB ∠的 ，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ，且PD PE =求证：点P 在AOB ∠的平分线上。
证明：即：在一个角的内部， 的点，在这个角的角平分线上。
总结：该定理为我们提供了证明两个角 的一个新思路。
角平分线判定的符号语言：PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 且PD PE =∴P 在AOB ∠的平分线上 （或写成OP 是AOB ∠的平分线）ABCDE P O ABCD E PO例3：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P 。
求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
C例4：PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P 。
角平分线的判定人教版八年级数学上册
8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
谢谢！
（1）证明：∵∠C＝90°，
第9课 角平分线的判定
（1）证明：∵∠C＝90°，
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠DEC，BC＝EC.
∴∠BEC＝∠DEC.
第9课 角平分线的判定
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为D，M，N.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠B＝∠BEC.∴∠BEC＝∠DEC. ∴CE平分∠BED．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
又PM⊥AB，PN⊥AC，
∵BP是△ABC的外角平分线.
∴AD是△ABC的角平分线．
∴△ABC≌△DEC（SAS）.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠BEC＝∠DEC. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
角平分线性质与判定语言表述
02
利用角平分线的性质可 以证明某些结论或推导 出其他相关性质。
03
通过判定可以找到满足 特定条件的角平分线， 从而解决问题。
04
在解题过程中，需要根 据问题的具体情况选择 合适的性质或判定方法 。
04
CATALOGUE
角平分线的实际应用
几何图形中的角平分线
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分 ，这条线段被称为该角的 角平分线。
推论1
在三角形中，角的平分线与对边 相交，将相对边分为两段成比例
的线段。
推论2
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂线段与该点到角的顶
点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论3
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂足是该垂足到角的顶
点的距离最短。
与角平分线相关的辅助线作法
作法1
01
在三角形中，为了证明某结论，可以过某点作角的平分线或平
手工制作
在制作手工艺品时，如剪纸、折纸等 ，角平分线可以帮助确定对称轴，从 而制作出精美的作品。
角平分线在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要利用角 平分线的性质来证明几何定理或
推导新结论。
最值问题
通过构造角平分线，可以解决一些 几何中的最值问题，如求点到直线 的最短距离等。
组合几何
在组合几何问题中，角平分线可以 帮助确定图形的对称性，从而找到 解决问题的突破口。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两等分， 且与相对边上的交点到该角的顶 点的距离相等。
定理与推论
角平分线定理
角平分线上的任意一点到该角的两边 的距离相等。
推论
角平分线的性质和判定
⾓平分线的性质和判定⾓的平分线的性质及判定⼀. 教学内容：1. ⾓平分线的作法．2. ⾓平分线的性质及判定．3. ⾓平分线的性质及判定的应⽤．⼆. 知识要点：1. ⾓平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆⼼，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆⼼，⼤于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. ⾓平分线的性质及判定（1）⾓平分线的性质：⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意⼀点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂⾜分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②⼏何表达：（⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等）如图所⽰，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）⾓平分线的判定：到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内⼀点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在R t△PAO和R t△PBO中，∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②⼏何表达：（到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上．）如图所⽰，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. ⾓平分线性质及判定的应⽤①为推导线段相等、⾓相等提供依据和思路；②实际⽣活中的应⽤．例：⼀个⼯⼚，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300⽶．在下图中标出⼯⼚的位置，并说明理由．4. 画⼀个任意三⾓形并作出两个⾓（内⾓、外⾓）的平分线，观察交点到这个三⾓形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：⾓平分线的性质及判定2. 难点：⾓平分线的性质及判定的应⽤【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但⾓平分线的性质及判定有时出现在综合题题⽬当中，因此还是⽐较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所⽰，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不⽤三⾓形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．⼜∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的⾓平分线上（到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三⾓形内⾓和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等）．评析：利⽤三⾓形全等进⾏问题证明对平⾯⼏何的学习有⼀定的积极作⽤，但也会产⽣消极作⽤，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题⽅法的多样性．例2. 如图所⽰，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上⼀点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．分析：判定⼀条射线是不是⼀个⾓的平分线，可⽤⾓平分线的定义和⾓平分线的判定定理．根据题意，⾸先由⾓平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利⽤平⾏线推得∠3＝∠4，最后⽤⾓平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．⼜∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由⾓平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使⽤“同理”．例3. 如图所⽰，已知△ABC的⾓平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到⼀个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采⽤⾓的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂⾜分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的⾓平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上）．例4.如图所⽰的是互相垂直的⼀条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹⾓的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建⽴平⾯直⾓坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹⾓的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，⼜∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：⾓平分线的性质的作⽤是通过⾓相等再结合垂直证明线段相等．例5.如图所⽰，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定⼀点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．⼜∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是⼀道探索题，要善于利⽤已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利⽤⾓平分线的性质将要探究的结论进⾏转化．这是初中⼏何中常⽤的⼀种数学思想．【⽅法总结】学过“⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等”与“到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上”这两个结论后，许多涉及⾓的平分线的问题⽤这两个结论解决很⽅便，需要注意的是有许多同学对证明两个三⾓形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应⽤这两个结论，仍然去找全等三⾓形，结果相当于重新证明了⼀次这两个结论．所以特别提醒⼤家，能⽤简单⽅法的，就不要绕远路．【模拟试题】（答题时间：90分钟）⼀. 选择题1. 如图所⽰，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的⼤⼩关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是⾓平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A.4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是⾓平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所⽰，点P是∠BAC的平分线AD上⼀点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所⽰，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三⾓形三边距离相等的点是（）A. 三条⾼的交点B. 三条中线的交点C. 三条⾓平分线的交点D. 不能确定7. 如图所⽰，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所⽰，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修⼀个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. ⼀处B. ⼆处C. 三处D. 四处⼆. 填空题9. 如图所⽰，点P是∠CAB的平分线上⼀点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所⽰，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所⽰，P在∠AOB的平分线上，在利⽤⾓平分线性质推证PD＝PE时，必须满⾜的条件是____________________．12. 如图所⽰，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所⽰，C为∠DAB内⼀点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所⽰，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上⼀点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后⼀个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成⽴吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．19. 如图所⽰，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹⾓为90°，其仓库G在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（⽐例尺为1∶10000，⽤尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“⾓平分线”的另⼀种尺规作法，其⽅法为：（1）如图所⽰，以O为圆⼼，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆⼼，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．【试题答案】⼀. 选择题1. B2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. D⼆. 填空题9. 3cm 10. 40°，50° 11. PD⊥OA，PE⊥OB12. ⾓平分，全等，⾓平分线的性质，点D到AB、AC两边13. ∠DAB的⾓平分线上14. （1）3（2）1515. （1）PD＝PE（2）到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上三. 解答题16. （1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．17. （1）证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，⼜∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，∵∠AFD＋∠CFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）仍成⽴．18. 证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD＝CE，∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△BCE，∴AC＝BC．19. （1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，（2）仓库G到铁路的实际距离是100m．四. 探究题20. 他这种作法对，理由如下：由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，∴△BCO≌△ADO，AC＝BD，∴∠OCE＝∠ODE，∵∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴CE＝DE，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．。
角平分线的判定
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
角的平分线的性质 角的平分线的判定
角平分线的性质定理和判定
第一局部：知识点回忆1、角平分线：把一个角平均分为两个一样的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二局部：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图第三局部：例题剖析例1. ：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，〔1〕求证：BD+DE=AC ． 〔2〕求△DBE 的周长．分析：〔1〕因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，那么CD=DE ；〔2〕由〔1〕可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，那么AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ．解答：解：〔1〕∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，课题 11-4角平分线的性质定理和判定 学生XX年级八年级日期2021.9.22冯晓娟∴BC=BD+CD=BD+DE，AC=BC，∴AC=BD+DE；〔2〕∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM 平分∠DAB ．例3.如图，△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是 多少？．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进展计算即可求解．解答：解：如图，连接OA ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是22，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， ∴S △ABC =21×22×3=33． 故答案为：33． 第四局部：典型例题例1、：如下图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．在△AOD 和△AOE 中，∠ADC ＝∠AEB∠1＝∠2OA ＝OA，∴△AOD ≌△AOE 〔AAS 〕．∴OD=OE ．在△BOD 和△COE 中，∠BDC ＝∠CEBOD ＝OE ∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE 〔ASA 〕．∴OB=OC ．【变式练习】如图，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．解答：证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中PA ＝PCPE ＝PF∴Rt △PEA ≌Rt △PFC 〔HL 〕，∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°． 点评：此题考察了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． 〔1〕假设连接AM ，那么AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； 〔2〕线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．3〕CD 、AB 、AD 间？直接写出结果首先要作辅助线，ME ⊥AD 那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC ，再利用中点的条件可知ME=MB ，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM 平分∠DAB ．〔2〕根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．〔3〕证Rt △DCM ≌Rt △DEM ，推出CD=DE ，同理得出AE=AB ，即可得出答案．解答：〔1〕证明：作ME ⊥AD 于E ，∵MC ⊥DC ，ME ⊥DA ，MD 平分∠ADC ，∴ME=MC ，∵M 为BC 中点，∴MB=MC ，又∵ME=MC ，∴ME=MB ，又∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴AM 平分∠DAB ．〔2〕解：DM ⊥AM ，理由是：∵DM 平分∠CDA ，AM 平分∠DAB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC ∥AB ，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°-〔∠1+∠3〕=90°，21NPF CBA即DM⊥AM．〔3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt △DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：此题考察了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比拟典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：此题主要考察角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答此题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC 的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等〞可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC〔到角两边距离相等的点在角的平分线上〕例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．〔1〕在图上标出仓库G的位置．〔比例尺为1：10000，用尺规作图〕．〔2〕求出仓库G到铁路的实际距离。
角平分线的判定定理
A
O E
P
证明： 作射线OP
∵
PD ^ OA
\
PE ^ OB
B
PDO PEO 90
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL） \ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
O
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
∵ \
PD ^ OA
PE ^ OB
PD = PE OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线的判定的应用书写格式：
D
A P
∵
PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD= PE
\OP 是 AOB的平分线（到一个角的
B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
E
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D P E
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA
PE ^ OB
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
角平分线判定方法
角平分线判定方法
宝子，今天咱来唠唠角平分线的判定方法哈。
角平分线呢，就是把一个角平分成两个相等角的那条线。
那咋判定一条线是不是角平分线呢？
有一种超简单的判定方法哦。
如果从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成的两个角相等，那这条射线就是这个角的角平分线啦。
就好比一个大蛋糕（这个角），你用一把刀（这条射线）切成了两块，要是这两块蛋糕一样大（两个角相等），那这把刀就是平分这个蛋糕（角）的啦。
还有一种判定方法跟距离有关呢。
在一个角的内部，如果有一点到角两边的距离相等，那么从这个点出发到角顶点的这条射线就是角平分线。
想象一下哈，你站在一个角里面的某个点上，你到这个角两边的距离就像是你伸出去的两只手到两边墙壁（角的两边）的距离，如果这两个距离一样长，那你站的这个点和角顶点连起来的线就是角平分线啦。
这就像是你站在一个很公平的位置，离两边都一样远呢。
宝子，你可别小看这些判定方法哦。
在做几何题的时候，这可是很有用的小秘诀。
比如说给你一个图形，让你找角平分线，你就可以看看有没有相等的角或者相等的距离。
要是能找到这些关键的信息，就像找到了打开宝藏的钥匙一样，一下子就能把问题解决啦。
而且呀，多理解这些判定方法，你会发现几何变得越来越有趣呢。
就像是玩一个解谜游戏，每一个判定方法都是一个小线索，把这些线索都串起来，你就能轻松解开几何图形的谜题啦。
。
全等三角形角平分线的判定
全等三角形角平分线的判定一、概述全等三角形是几何学中重要的概念之一，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。
在判定两个三角形是否全等时，角平分线是一个重要的判定条件之一。
本文将详细探讨全等三角形角平分线的判定方法。
二、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条角平分线。
角平分线的性质如下： 1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 三角形的三条角平分线交于一点，该点称为角平分点。
3. 角平分线与三角形的边相交，将边分成两个与角平分线所在直线段成比例的线段。
三、全等三角形的定义和判定条件全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
判定两个三角形全等的条件有多种，其中之一就是角平分线的相等性。
以下是判定两个三角形全等的常用条件：1. SSS（边-边-边）：若两个三角形的三条边分别相等，则它们全等。
2. SAS（边-角-边）：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们全等。
3. ASA（角-边-角）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
4. AAS（角-角-边）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
5. RHS（直角-斜边-高）：若两个直角三角形的斜边和高分别相等，则它们全等。
四、角平分线的判定方法在判定两个三角形全等时，我们可以利用角平分线的相等性来简化判定过程。
以下是角平分线的判定方法： 1. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
2. 若两个三角形的两个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
3. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的一个内角的角平分线相等，并且这两个内角的角平分线所在直线段成比例，则这两个三角形全等。
五、示例分析下面通过一个示例来说明角平分线的判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，AD/DE = BC/EF。
16.4角平分线的判定
.角平分线的判定定理
判定定理 ：在角的内部，到角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为： ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， PD=PE， ∴ 点P在∠AOB的平分线上 .
1
A D
P
2
C
B
O
E
试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为E、F.判断下列结论是否正确： (1)DE=DF. （√ ） (2)BD=CD. （√ ） (3)AD上任一点到AB、AC的距离相等. E （ √ ） (4)AD上任一点到点B、C的距离相等. B （√ ）
判断下列推理是否正确
F P A E
ห้องสมุดไป่ตู้
C D
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC ∴ AP平分∠BAC（到角两边距离相等 （错） 的点在这个角的平分线上）
（5）如图∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF ∴点P在∠BAC 的平分线上（到角两边 （对） 距离相等的点在这个角的平分线上）
B
A
已知：∠B = ∠Ｃ = 90°，AB = AC 求证:(1) ∠ADB = ∠ADC
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路， 铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５０ ０米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
角平分线的判定
回顾
思考
1. 什么叫角平分线？ 3.你还记得角平分线上的点有什么性质 吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相 等
命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
驶向胜利 的彼岸
小结：
这节课你学到了什么
小结
角平分线的判定定理
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
2、点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA， o 垂足分别为D、E，PD=PE，∠AOB=60 ， 则∠AOP= .
D O E A P
B
3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足 o 分别为B、C，BD=DC，∠BAC=100 ， o o 则∠BAD= ，∠CAD= .
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
4、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC 上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， F是OC上的另一点，连接DF，EF。求证： DF=EF
PE OB
O
D
A P
\
PD= PE
E OP 是 AOB的平分线（到一个角的 B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C
P P
C
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
《角平分线的判定》课件
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
角平分线的判定
堂
清
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交 点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
拓展与延伸
直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
灵宝市一中
学习目标
1、掌握角平分线的判定定理 2、会运用判定定理证明角相等问题
学习重难点
灵活运用角平分线的判定定理证明有关角 相等的问题
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A D O 1 2 E B P C
思考
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到 铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺 为1︰20000）
公路 铁路
S
解： 设OD=Xm 则由题得 = 解得x=0.025m 即OD=2.5cm
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
O
X 1
500 20000
公路
铁路
s
D C
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
角平分线的判定
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
课堂练习：
1、如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D， BD=CD。求证：AD平分∠BAC
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证: 点F在∠A的平分线上. 3、如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°， CB=CD，BA=DE，AB，ED的延长线相交 于点P。求证：CP平分∠APE M D
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
线段和差的运算
已知：如图，四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，CE⊥AB于E，CD ⊥AD求证： AB=AE+BE
E
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D P E
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
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12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线 的判定
回顾旧知
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两
边的距离相等. A
D
P
P到OA的距离 C 角平分线上的点
O
P到OB的距离 B
E
知识点 1 角平分线的判定
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB 于点E，PD= PE ， 可 以得到什么结论 ？
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
总结
证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在： “垂直”和“相等”.
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
性质
(2)点在角的平分线上 判定定理 点到这个角两边的距离 相等．
2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ____4__∶__5__∶__6__.
3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
1 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
O 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上.
D
A
P E
B
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
例1 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. 因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上， 所以PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)． 同理PF＝PH， 所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
证明：如答图所示，过点P作PD⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM. 同理， PM=PN. ∴PD=PN. ∴点P在∠A的平分线上.
总结
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心.
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( B ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
直于 AB，BC, CA，垂足分别 为D, E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴ PD=PE.
同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
探究思考： 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
已知：如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上.
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就 一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，
都应在角的平分线上．
1.请完成教材P51T3、P52T7.
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
知识点 2 三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到 三边AB，BC， CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂