历年高考数学压轴题集锦
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高考数学压轴题集锦
1.椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为22,相应于焦点(,)0F c (0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r
,求直线PQ 的方程;
(3)设AP AQ λ=u u u r u u u r
(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,证
明FM FQ λ=-u u u u r u u u r
. (14分)
2. 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ,且当]2,0[∈x 时,|1|)(-=x x f 。 (1) )
](22,2[Z k k k x ∈+∈时,求)(x f 的表达式。 (2) 证明)(x f 是偶函数。 (3) 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。
3.(本题满分12分)如图,已知点F (0,1),直线L :y=-2,及圆C :1)3(2
2
=-+y x 。 (1) 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1,求动点M 的轨迹E 的方程; (2) 过点F 的直线g (3) 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆
222
y a
x
+=1顶点,5 已知,二次函数f (x )(x )=-bx ,其中a 、b 、=0.
(Ⅰ)求证:f (x )及g (两点;
(Ⅱ)设f (x )、g (x 的取值范围. 6 已知过函数f (x )=3
x (1) 求a 、b 的值;
(2) 求A 的取值范围,使不等式f (x )≤A -1987对于x ∈[-1,4]恒成立;
(3) 令()()132
++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ,使得当]1,0(∈x 时,g (x )有
最大值1?
7 已知两点M (-2,0),N (2,0),动点P 在y 轴上的射影为H ,︱PH ︱是2和→
→
⋅PN PM 的等比中项。
(1) 求动点P 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
(2) 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ,求实轴最长的双曲线C 的
方程。 8.已知数列{a n }满足a
a a
a b a a a a a a a n n
n n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 (1)求数列{b n }的通项公式;
(2)设数列{b n }的前项和为S n ,试比较S n 与
8
7
的大小,并证明你的结论. 9.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称.
(Ⅰ)求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;
(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,21F F 为双曲线C 的左,右两个焦点,从1F 引2
1QF F ∠的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.
10. )(x f 对任意R x ∈都有.2
1)1()(=
-+x f x f (Ⅰ)求)21
(f 和)( )1
(
)1(N n n
n f n
f ∉-+的值. (Ⅱ)数列{}n a 满足:n a =)0(f +)1()1
()2()1(f n
n f n f n f +-+++ΛΛ,数列}{n a 是
等差数列吗?请给予证明;
(Ⅲ)令.16
32,,1
442
232221n
S b b b b T a b n n n n n -
=++++=-=
ΛΛ 试比较n T 与n S 的大小.
11. :如图,设OA 、OB 是过抛物线y 2
=2px 顶点O 的两条弦,且OA →·OB
→=0,求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)
12.知函数f (x )=log 3(x 2
-2mx +2m 2
+9
m 2-3
)的定义域为R
(1)求实数m 的取值集合M ; (2)求证:对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中,其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.
13.设关于x 的方程2x 2
-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=
.1
42
+-x t
x
(1). 求f()()βαf 和的值。
(2)。证明:f(x)在[],βα上是增函数。 (3)。对任意正数x 1、x 2,求证:βαα
ββα-<++-++2)()(
2
1212121x x x x f x x x x f
14.已知数列{a n }各项均为正数,S n 为其前n 项的和.对于任意的*
n N ∈,都有()2
41n n S a =+. I 、求数列{}n a 的通项公式.
II 、若2n n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立,求实数t 的最大值.
15.( 12分)已知点H (-3,0),点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,
且满足HP ·PM =0,PM =-2
3
, (1)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C ;
(2)过点T (-1,0)作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点,若在x 轴上存在一点E (x 0,0),使得△ABE 为等边三角形,求x 0的值.
16.(14分)设f 1(x )=
x
+12,定义f n +1 (x )=f 1[f n (x )],a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *
.
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =1
44422+++n n n n ,其中n ∈N *
,试比较9T 2n 与Q n 的大小.
17. 已知→
a =(x,0),→
b =(1,y ),(→
a +3→
b )⊥(→
a –3→
b ).
(I ) 求点P (x ,y )的轨迹C 的方程;
(II ) 若直线L :y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点,D (0,–1),且有 |AD|=|BD|,
试求m 的取值范围.
18.已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=⋅1
(1).3
f =且
(1)当n N +∈时,求)(n f 的表达式;
(2)设),()
(+∈=N n n nf a n 求证:1
3
;4n
k k a =<∑
(3)设1(1)
(),,()
n
n n k k nf n b n N S b f n +=+=
∈=∑试比较11
n
k k
S =∑
与6的大小. 19.已知函数),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列:),(),(,221a f a f …,
)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.