专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)

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专题05等边三角形的性质和判定综合题(原卷版)

专题05等边三角形的性质和判定综合题(原卷版)

专题05 等边三角形的性质和判定(综合题)知识互联网易错点拨知识点1:等边三角形等边三角形定义:叫等边三角形.细节剖析:由定义可知,等边三角形是一种特殊的.也就是说等腰三角形包括.知识点2:等边三角形的性质等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于.知识点3:等边三角形的判定等边三角形的判定:(1)的三角形是等边三角形;(2)的三角形是等边三角形;(3)是等边三角形.易错题专训一.选择题1.(2021秋•准格尔旗期末)已知:如图,△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N,则下列五个结论:①AD=BE;②∠BMC =∠ANC;③∠APM=60°;④AN=BM;⑤△CMN是等边三角形.其中,正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.(2021•商河县二模)一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为1,3,3,2,则这个六边形的周长是()A.13B.14C.15D.163.(2020秋•天心区期中)下列说法错误的是()A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等C.等腰三角形的角平分线,中线,高相互重合D.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.(2021秋•新昌县期末)如图,M,A,N是直线l上的三点,AM=3,AN=5,P是直线l外一点,且∠P AN=60°,AP=1,若动点Q从点M出发,向点N移动,移动到点N停止,在△APQ形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是()A.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C.等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D.等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5.(2021秋•平阳县校级月考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6,DE=2,则BC的长为()A.2B.4C.6D.86.(2020秋•九龙坡区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC 于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二.填空题7.(2022春•保定期末)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′,连接A′C,若BB′=2,则线段A′C的长为.8.(2020秋•玉州区期末)如图,六边形ABCDEF的六个内角都等于120°,若AB=BC=CD=6cm,DE=4cm,则这个六边形的周长等于cm.9.(2020秋•海淀区校级期中)如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.若BE∥AC,则∠C=.10.(2021秋•海曙区期末)一艘轮船从海平面上A地出发,向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地,再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地,则A,C两地相距海里.11.(2019秋•潮南区期中)两块完全一样的含30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C,如图所示.已知AC=6,则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于.12.(2017秋•巢湖市期末)已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面结论:①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;④S△ABC=S四边形ADCP;其中正确的有(填上所有正确结论的序号)13.(2021秋•华容县期末)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形;⑤∠AOB=60°.其中正确的有.(注:把你认为正确的答案序号都写上)三.解答题14.(2021秋•涡阳县期末)“中国海监50”在南海海域B处巡逻,观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上,现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC.15.(2020秋•曾都区期末)学习几何时,要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究.在△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,BD是AC边上的高,点E为直线BC上点,且CE=AD.(1)如图1,当点E在边BC上时,求证:△CDE为等边三角形;(2)如图2,当点E在BC的延长线上时,求证:△BDE为等腰三角形.16.(2021春•城关区校级期中)如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE.(1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形;(2)如图2,若D、E分别为AB、AC中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外)17.(2021秋•孝南区期末)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF =60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.(1)求证:△ABD是等边三角形;(2)求证:BE=AF.18.(2022春•通川区期末)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED =EC.(1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”、“<”或“=”).(2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE DB (填“>”、“<”或“=”);理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程).(3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).19.(2021秋•台州期中)如图,△ABC是边长为12cm的等边三角形,动点M、N同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动.(1)若点M的运动速度是2cm/s,点N的运动速度是4cm/s,当N到达点C时,M、N两点都停止运动,设运动时间为t(s),当t=2时,判断△BMN的形状,并说明理由;(2)当它们的速度都是2cm/s,且当点M到达点B时,M、N两点停止运动,设点M的运动时间为t(s),则当t为何值时,△MBN是直角三角形?20.(2021秋•香洲区期中)如图,在等边△ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟.(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来.(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?。

专题05 等腰三角形中的动态问题(解析版)

专题05 等腰三角形中的动态问题(解析版)

专题05 等腰三角形中的动态问题【典例解析】【例1-1】(2020·安徽省泗县月考)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=1.若点M,N分别在OA,OB上,且∠PMN为等边三角形,则满足上述条件的∠PMN有()A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D【解析】解:如图,在OA、OB上分别截取OE=OP,OF=OP,作∠MPN=60°.∠OP平分∠AOB,∠∠EOP=∠POF=60°,∠OP=OE=OF,∠∠OPE,∠OPF是等边三角形,∠EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∠∠EPM=∠OPN,∠∠PEM∠∠PON∠PM=PN,∠∠PNM 是等边三角形,只要∠MPN =60°,∠PMN 就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故答案为:D .【例1-2】(2020·贵州六盘水期末)如图,在ABC 中,3AB AC ==,50B C ∠=∠=,点D 在边BC 上运动(点D 不与点,B C 重合),连接AD ,作50ADE ∠=,DE 交边AC 于点E .(1)当100BDA ∠=时,EDC ∠= ,DEC ∠=(2)当DC 等于多少时,ABD DCE ≌△△,请说明理由;(3)在点D 的运动过程中,ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出BDA ∠的度数;若不可以,请说明理由.【答案】(1)30,100;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)在 △BAD 中,∵∠B =50°,∠BDA =100° ,∴∠EDC =30°,∠DEC =100°.(2)当CD =3时,∠ABD ∠∠DCE ,理由如下:∵AB =CD =3,∠B =50°,∠ADE =50°∴∠B =∠ADE∵∠ADB +∠ADE +∠EDC =180°,∠DEC +∠C +∠EDC =180°∴∠ADB =∠DEC又∠B =∠C∴△ABD ≌△DCE(3)可以,理由如下:∴∠BAC=80°①当AD=DE时,∠DAE=∠DEA=65°,∠∠BAD=∠BAC-∠DAE=15°∠∠BDA=115°②当AD=AE时,∠AED=∠ADE=50°∠∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=80°又∠∠BAC=80°∠∠DAE=∠BAE∴点D与点B重合,不合题意.③当AE=DE时,∠DAE=∠ADE=50°∠∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°∴∠BDA=100°.综上所述,当∠BDA的度数为115°或100°时,△ADE是等腰三角形.【变式1-1】(2019·霍林郭勒市期中)点A的坐标是(2,2),若点P在x轴或y轴上,且∠APO是等腰三角形,这样的点P共有()个A.6B.7C.8D.9【答案】C.【解析】解:分两种情况进行讨论,当OA是底边时,作OA的垂直平分线,和坐标轴的交点有2个;当OA是腰时,以点O为圆心,OA为半径画弧,和坐标轴有4个交点;以点A为圆心,OA为半径画弧,和坐标轴出现2个交点;∠满足条件的点P 共有8个,故答案为:C .【变式1-2】(2020·山西初二月考)综合与探究:在ABC ∆中, 3 cm AB AC BC ===.点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿线段AB 向点B 运动.(1)如图1,设点P 的运动时间为()t s ,当t =______s 时,PBC ∆是直角三角形.(2)如图2,若另一动点Q 从点B 出发,沿线段BC 向点C 运动,如果动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发,设运动时间为()t s ,求当t 为何值时,PBQ ∆是直角三角形.(3)如图3,若另一动点Q 从点C 出发,沿射线BC 方向运动,连接PQ 交AC 点D ,且动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发.∠设运动时间为()t s ,那么当t 为何值时,DCQ ∆是等腰三角形?∠如图4,连接PC .请你猜想:在点,P Q 的运动过程中,PCD ∆和QCD ∆的面积之间的数量关系为______.【答案】(1)32;(2)(3)见解析. 【解析】解:(1)当∠PBC 是直角三角形时,则∠BPC =90°,∠∠B =60°,∠BP =AP =32cm , ∠t =32, 故答案为:32;(2)∠当∠BPQ=90°时,BP=12 BQ,即3-t=12t,解得:t=2∠当∠BQP=90°时,BP=2BQ,即3-t=2t,解得:t=1故当t=1或2s时,∠PBQ是直角三角形;(3)∠∠∠DCQ=120°∠当∠DCQ是等腰三角形,CD=CQ,∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP3-t=2t,解得:t=1∠S∠PCD=S∠QCD,过点P作PE∠AC于E,过点Q作QG∠AC于点G,∠∠CGQ=∠AEP=90°∠AB=AC=BC∠∠A=∠ACB=∠QCG=60°∠∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD与∠QCD同底等高故S∠PCD=S∠QCD.【例2】(2020·江苏江阴月考)如图,在∠ABC中,AB=AC=10cm;BC=6cm,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.∠若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,∠BPD与∠CQP是否全等,请说明理由;∠若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使∠BPD与∠CQP全等?(2)若点Q以∠中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿∠ABC三边运动,直接写出经过多少秒后,点P与点Q第一次在∠ABC的那一条边上相遇.【答案】(1)∠∠BPD与∠CQP全等,∠点Q的运动速度是53cm/s.(2)经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇.【解析】解:(1)∠∠BPD与∠CQP全等,∠点P的运动速度是1cm/s,点Q的运动速度是1cm/s,∠运动1秒时,BP=CQ=1cm,∠BC=6cm,∠CP=5cm,∠AB=10,D为AB的中点,∠BD=5,∠BD=CP,∠AB=AC,∠∠B=∠C,∠∠BPD∠∠CQP.∠点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,则BP≠CQ,若∠BPD与∠CQP全等,只能BP=CP=3cm,BD=CQ=5cm,此时,点P运动3cm,需3秒,而点Q运动5cm,∠点Q的运动速度是53cm/s.(2)设经过t秒时,P、Q第一次相遇,∠P的速度是1厘米/秒,Q的速度是53厘米/秒,∠10+10+t=53 t,解得:t=30,此时点Q的路程=30×53=50(厘米),∠50<2×26,∠此时点Q在BC上,∠经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇.【例3-1】(2019·武汉市期中)如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,∠A1B1A2、∠A2B2A3、∠A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=1,则∠A9B9A10的边长为()A.32B.64C.128D.256【答案】D【解析】解:如图,∠∠A1B1A2是等边三角形,∠A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∠∠2=120°,∠∠MON=30°,∠∠1=180°-120°-30°=30°,又∠∠3=60°,∠∠5=180°-60°-30°=90°,∠∠MON=∠1=30°,∠OA 1=A 1B 1=1,∠A 2B 1=1,∠∠A 2B 2A 3、∠A 3B 3A 4是等边三角形,∠∠11=∠10=60°,∠13=60°,∠∠4=∠12=60°,∠A 1B 1∠A 2B 2∠A 3B 3,B 1A 2∠B 2A 3,∠∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∠A 2B 2=2B 1A 2,B 3A 3=2B 2A 3,∠A 3B 3=4B 1A 2=4,A 4B 4=8B 1A 2=8,A 5B 5=16B 1A 2=16,…∠∠A n B n A n +1的边长为 2n -1,∠∠A 9B 9A 10的边长为29-1=28=256.故答案为D .【例3-2】(2020·浙江温州月考)如图,图∠是一块边长为1,周长记为P 1的正三角形纸板,沿图∠的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图∠,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12)后,得图∠、∠,…,记第n (n ≥3)块纸板的周长为P n ,则P n -P n -1等于…( )A .112n -B .3-12nC .1-132n - D .132n -+212n -【答案】A【解析】解:P 1=1+1+1=3,P 2=1+1+12=52, P 3=1+1+14×3=114,P 4=1+1+14×2+18×3=238, … ∠P 3-P 2=114-52=211=42, P 4-P 3=238-114=311=82, ∠P n -P n -1=n-112, 故答案为:A .【变式3-1】(2020·山东牡丹期末)如图,已知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,在射线OM 上,112A B B ∆,223A B B ∆,334A B B ∆,均为等边三角形.若11OB =,则889A B B ∆的边长为( )A .64B .128C .132D .256【答案】B 【解析】解:∠∠A 1B 1B 2 是等边三角形,∠A 1B 1=A 1B 2,∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O =60°∠∠O =30°∠∠A 2A 1B 2=90°∠∠O =∠OA 1B 1=30°∠OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1同理可得:A 3B 3=4,A 4B 4=8,A n B n =2n -1∠∠A 8B 8B 9的边长为2-=128.故答案为:B .【变式3-2】(2019·贵州印江月考)如图,已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A B A B A B ==== ……,若∠A =70°,则11n n n A A B --∠的度数为( )A .702nB .1702n +C .1702n -D .2702n - 【答案】C【解析】解:∠1AB A B =,70A ∠=︒∠∠AA 1B =∠A =70°∠1112A B A A =∠∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2∠∠AA 1B =∠A 1A 2B 1+∠A 1 B 1A 2∠∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B =702︒=35° 同理可得:∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∠11n n n A A B --∠=1702n -︒ 故答案为C . 【习题精练】1.(2020·山东青州期中)如图,平面直角坐标系中,点A 在第一象限,∠AOx =40°,点P 在x 轴上,若∠POA 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有______个.【答案】4.【解析】解:有OA =OP 、AO =AP 、PO =P A 三种情况:∠以O 为圆心,OA 长为半径画弧,于x 轴有2个交点P 2、P 3,∠以A 为圆心,OA 长为半径画弧,与x 轴有2个交点O 、P 1,点O 与OA 不能构成三角形,P 1符合条件,∠作线段OA 的垂直平分线,交x 轴有1个交点P 4,∠P 4A =P 4O ,∠P 4符合条件,综上所述:符合条件的点共有4个,故答案为:42. (2019·浙江宁波模考)如图,10AOB ∠=︒,点P 在OB 上.以点P 为圆心,OP 为半径画弧,交OA 于点1P (点1P 与点O 不重合),连接1PP ;再以点1P 为圆心,OP 为半径画弧,交OB 于点2P (点2P 与点P不重合),连接12PP ;再以点2P 为圆心,OP 为半径画弧,交OA 于点3P (点3P 与点1P 不重合),连接23P P ;……按照上面的要求一直画下去,得到点n P ,若之后就不能再画出符合要求点1n P +了,则n =________.【答案】8【解析】根据题意可知,画出的三角形是等腰三角形,第一个底角10AOB ∠=︒;由三角形外角和定理可得,第二个等腰三角形的底角20°,第三个等腰三角形的底角30°,同理可得第n 个等腰三角形的底角度数为10n ,因为等腰三角形的底角小于90°,10n <90,即n <9.故答案为8.3.(2020·河北保定一模)如图,10AOB ∠=︒,点P 在OB 上.以点P 为圆心,OP 为半径画弧,交OA 于点1P (点1P 与点O 不重合),连接1PP ;再以点1P 为圆心,OP 为半径画弧,交OB 于点2P (点2P 与点P不重合),连接12PP ;再以点2P 为圆心,OP 为半径画弧,交OA 于点3P (点3P 与点1P 不重合),连接23P P ;……,按照上面的要求一直画下去,就会得到11223OP PP PP P P ===,则(1)234P P P ∠=_________︒;(2)与线段OP 长度相等的线段一共有__________条(不含OP ).【答案】100,9.【解析】解:(1)由题意可知,1PO PP =,121PP P P =,…,则11POP OPP ∠=∠,1212PPP PP P ∠=∠,…,∠AOB ∠=10°,∠1PPB ∠=20°,21P P A ∠=30°,32P P B ∠=40°,43P P A ∠=50°,54P P B ∠=60°,…,∠234P P P ∠=180°−40°−40°=100°,故答案为:100;(2)根据题意,10n <90,解得n <9.∠n 为整数,故n =8.∠54P P B ∠=60°,4556PP P P =, ∠456P P P ∆为等边三角形,∠与线段OP 长度相等的线段一共有9条(不含OP ),故答案为:9.4.(2020·福建连城期中)如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,4cm AC BC ==,点D 是斜边AB 的中点.点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .(1)填空:ABC S ∆=______2cm ;(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍,请你求出时间x 的值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)45或4. 【解析】解:(1)∠S ∠ABC =12×AC ×BC ∠S ∠ABC =12×4×4=8 故答案为:8(2)如图:连接CD∠AC =BC ,D 是AB 中点∠CD 平分∠ACB又∠∠ACB =90°∠∠A =∠B =∠ACD =∠DCB =45°∠CD =BD依题意得:BE =CF在∠CDF 与∠BDE 中,BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CDF ∠∠BDE (SAS )∠DE =DF(3)过点D 作DM ∠BC 于点M ,DN ∠AC 于点N ,∠AD =BD ,∠A =∠B =45°,∠AND =∠DMB =90°∠∠ADN ∠∠BDM (AAS )∠DN =DM当S ∠ADF =2S ∠BDE . ∠12×AF ×DN =2×12×BE ×DM ∠|4-3x |=2x∠x 1=4,x 2=45综上所述:x =45或4. 5.(2020·广东佛山月考)如图,在等边ABC ∆中,10AB AC BC ===厘米,4DC =厘米,如果点M 以3厘米/的速度运动.(1)如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动.点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动,它们同时出发,若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等:∠经过2秒后,BMN ∆和CDM ∆是否全等?请说明理由.∠当两点的运动时间为多少秒时,BMN ∆刚好是一个直角三角形?(2)若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等,点N 从点B 出发,点M 以原来的运动速度从点C 同时出发,都顺时针沿ABC ∆三边运动,经过25秒时点M 与点N 第一次相遇,则点N 的运动速度是__________厘米/秒.(直接写出答案)【答案】见解析.【解析】解:(1)∠∠BMN ∠∠CDM .理由如下:N 、M 速度相等,t =2∠CM =BN =6,BM =4∠BN =CM∠CD =4∠BM =CD∠∠B =∠C =60°∠∠BMN ∠∠CDM∠设运动时间为t 秒,∠BMN 是直角三角形有两种情况:当∠NMB =90°时,∠BNM =30°,BN =2BM∠3t =2(10-3t )解得:t =209当∠BNM =90°时,同理,BM =2BN ,即10-3t =2×3t ,解得:t =109 ∠当t =209或109秒时,∠BMN 是直角三角形; (2)分两种情况,∠若点M 运动速度快,则3×25-10=25V N ,解得V N =2.6;∠若点N 运动速度快,则3×25+20=25V N ,解得V N =3.8.6.(2018·湖北广水期中)(阅读)如图1,等边∠ABC 中,P 是AC 边上一点,Q 是CB 延长线上一点,若AP =BQ .则过P 作PF ∠BC 交AB 于F ,可证∠APF 是等边三角形,再证∠PDF ∠QDB 可得D 是FB 的中点.请写出证明过程.(运用)如图2,∠ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C不重合),Q是CB 延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE∠AB 于E,连接PQ交AB于D.(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,直接写出线段ED的长;如果发生改变,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:【阅读】∠∠ABC是等边三角形,∠∠ABC=∠ACB=60°,∠PF∠BC,∠∠AFP=∠APF=∠ABC=∠ACB=60°,∠AP=PF,∠AP=BQ,∠PF=BQ,∠PF∠BQ,∠∠FPD=∠DQB,∠PFD=∠QBD,∠∠PFD∠∠QBD;∠DF=DB.【运用】(1)∠∠ABC是边长为6的等边三角形,∠∠ACB=60°,∠∠BQD=30°,∠∠QPC=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∠QC=QB+BC=6+x,∠在Rt∠QCP中,∠BQD=30°,∠PC=12QC,即6﹣x=12(6+x),解得x=2,∠AP=2;(2)过Q作QG∠AB,交直线AB于点G,连接QE,PG,又∠PE∠AB于E,∠∠PGQ=∠AEP=90°,∠点P、Q速度相同,∠AP=BQ,∠∠ABC是等边三角形,∠∠A=∠ABC=∠GBQ=60°,在∠APE和∠BQG中,∠∠AEP=∠BGQ=90°,∠∠APE=∠BQG,∠∠APE∠∠BQG(AAS),∠AE=BG,PE=QG且PE∠QG,∠四边形PEQG是平行四边形,∠DE=12 EG,∠EB+AE=BE+BG=AB,∠DE=12 AB,又∠等边∠ABC的边长为6,∠DE=3,故运动过程中线段ED的长始终为3.7.(2020·乐清市月考)如图所示,∠ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度是1厘米/秒的速度,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B 点时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)M、N同时运动秒后,M、N两点重合?(2)当0<t<5时,M、N同时运动几秒后,可得等边三角形∠AMN?(3)M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰∠AMN,如果存在,请求出此时M、N运动的时间,如果不存在请说明理由.【答案】见详解.【解析】解:(1)M、N同时运动10秒后,点M、N重合;故答案为10;(2)如图,根据题意得:AM=t,BN=2t,则AN=10-2t,∴t =10﹣2t ,解得t =103; ∴当0<t <5时,M 、N 同时运动103秒后,可得等边三角形∠AMN ; (3)M 、N 在BC 边上运动时,可以得到以MN 为底边的等腰三角形,理由如下:由(1)知10秒时M 、N 两点重合,恰好在C 处.如图,∠AN =AM∠∠AMN =∠ANM∠∠AMC =∠ANB∠AB =BC =AC∠∠ACB 是等边三角形∠∠C =∠B在∠ACM 和∠ABN 中∠AC =AB ,∠C =∠B ,∠AMC =∠ANB∠∠ACM ∠∠ABN∠CM =BN设运动时间为y 秒时,∠AMN 是等腰三角形∠CM =y ﹣10,NB =30﹣2y∠y -10=30-2y ,解得y =403 ∠当运动时间为403秒时,M ,N 在BC 上使∠AMN 为等腰三角形. 8.(2020·南京月考)在ABC 中,90BAC ∠>︒,AB 的垂直平分线交BC 于M ,交AB 于E ,AC 的垂直平分线交BC 于N ,交AC 于F .(1)若AB AC =,120BAC ∠=︒,求证BM MN NC ==;(2)由(1)可知AMN 是______三角形;(3)去掉(1)中的“120BAC ∠=︒”的条件,其他不变,判断AMN 的形状,并证明你的结论; (4)当B 与C ∠满足怎样的数量关系时,AMN 是等腰三角形?直接写出所有可能的情况.【答案】见解析.【解析】解:(1)连接AM ,AN ,∠AB =AC ,∠BAC =120°∠∠B =∠C =30°∠AB 的垂直平分线交BC 于M ,AC 的垂直平分线交BC 于N ,∠BM =AM ,CN =AN ,∠∠C =∠CAN =30°,∠B =∠BAM =30°,∠∠AMN =60°,∠ANM =60°∠∠MAN =60°∠∠AMN 是等边三角形∠AM =AN =MN∠BM =MN =CN(2)等边;(3)等腰三角形,理由如下:∠AB =AC ,∠∠B =∠C ,∠AB 的垂直平分线交BC 于M ,AC 的垂直平分线交BC 于N ,∠BM =AM ,CN =AN ,∠∠C =∠CAN ,∠B =∠BAM ,∠∠AMN =2∠B ,∠ANM =2∠C∠∠B =∠C∠∠AMN=∠ANM,∠AM=AN∠∠AMN是等腰三角形(4)∠AMN=2∠B,∠ANM=2∠C,∠MAN=180°-2∠B-2∠C,∠当AM=AN时,∠B=∠C;∠当MN=AN时,得2∠B+∠C=90°;∠当MN=AM时,得∠B+2∠C=90°.9.(2020·长沙月考)点P是边长为3cm的等边∠ABC的边AB上的动点,点P从点A出发.沿线段AB向点B运动.(1)如图1,若另一动点Q从点B出发,沿线段BC向点C运动,如果动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发,设运动时问为t(s),连换AQ、CP交于点M,∠当t为何值时,∠PBQ是直角三角形?∠在P,Q运动的过程中,∠CMQ会发生变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.(2)如图2,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动,连接PQ交AC于点D,如果动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),连接PC,∠当t为何值时,∠DCQ是等腰三角形?∠在点P,Q的运动过程中,请探究∠PCD和∠QCD的面积之间的数量关系.【答案】(1)∠t=1或2;∠不发生变化,∠CMQ=60°;(2)∠t=1;∠面积相等【解析】解:(1)∠当∠PBQ是直角三角形时,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t∠PQB =90°,此时BP=2BQ∠根据题意,得3-t=2t解得t=1∠当∠BPQ=90°时,此时BQ=2BP∠根据题意,得t=2(3-t)解得:t=2∠当t=1或2时,∠PBQ是直角三角形;∠不发生变化,∠CMQ=60°在∠ABQ与∠CAP中,AP BQAPQ CAP AB CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABQ∠∠CAP∠∠BAQ=∠ACP∠∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ =∠CAP=60°∠∠CMQ=∠MAC+∠MCA∠∠CMQ=∠CAP=60°故不发生变化,∠CMQ=60°;(2)∠∠∠DCQ=120°,当∠DCQ是等腰三角形时,CD=CQ ∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP,即AD=2t∠AC=AD+CD∠2t+t=3解得t=1故答案为t=1时,∠DCQ是等腰三角形;∠面积相等,如图所示:过P作PE∠AD于E,过Q作QG∠AD于G,则PE QG ∠∠G=∠AEP易证∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD和∠QCD同底等高∠∠PCD和∠QCD面积相等故答案为∠PCD和∠QCD面积相等.10.(2020·广东惠来期末)如图,在等边∠ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q 同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作PE∠AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时,∠BPQ为直角三角形;(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)求DE的长.【答案】(1)2;(2)存在,t=3;(3)3cm【解析】解:(1)∠∠ABC是等边三角形,∠∠B=60°,∠当BQ=2BP时,∠BPQ=90°,∠6+t=2(6﹣t),∠t=2,∠t=2时,∠BPQ是直角三角形.(2)存在.理由:连接BF交AC于M.∠BF平分∠ABC,BA=BC,∠BF∠AC,AM=CM=3cm,∠EF ∠BQ ,∠∠EFM =∠FBC =12∠ABC =30°, ∠EF =2EM ,∠t =2•(3﹣12t ), 解得t =3.(3)过P 作PK //BC 交AC 于K .∠∠ABC 是等边三角形,∠∠B =∠A =60°,∠PK ∠BC ,∠∠APK =∠B =60°,∠∠A =∠APK =∠AKP =60°,∠∠APK 是等边三角形,∠P A =PK ,∠PE ∠AK ,∠AE =EK ,∠AP =CQ =PK ,∠PKD =∠DCQ ,∠PDK =∠QDC ,∠∠PKD ∠∠QCD ,∠DK =DC ,∠DE =EK +DK =12(AK +CK )=12AC =3cm . 11.(2019·哈尔滨市月考)如图,()(),6,00,4A B ,点B 关于x 轴的对称点为C 点,点D 在x 轴的负半轴上,∠ABD 的面积是30.(1)求点D坐标;(2)若动点P从点B出发,沿射线BC运动,速度为每秒1个单位,设P的运动时间为t秒,APC△的面积为S,求S与t的关系式.【答案】见解析.【解析】解:(1)由题意知,130 2AD BO⋅⋅=,∠AD=15,OD=9,∠点D坐标为(-9,0);(2)∠点B(0,4)关于x轴的对称点为C点,∠点C坐标(0,-4),∠当0<t≤8时,S=-3t+24,当t>8时,S=3t-2412.(2020·湖北襄州期末)已知等边∠ABC的边长为4cm,点P,Q分别是直线AB,BC上的动点.图1 图2(1)如图1,当点P从顶点A沿AB向B点运动,点Q同时从顶点B沿BC向C点运动,它们的速度都为lcm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接AQ,PQ.∠当t=2时,求∠AQP的度数.∠当t为何值时∠PBQ是直角三角形?(2)如图2,当点P在BA的延长线上,Q在BC上,若PQ=PC,请判断AP,CQ和AC之间的数量关系,并说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)∠根据题意得AP=PB=BQ=CQ=2,∠∠ABC是等边三角形,∠AQ∠BC,∠B=60°,∠∠AQB=90°,∠BPQ是等边三角形,∠∠BQP=60°,∠∠AQP=∠AQB﹣∠BQP=90°﹣60°=30°;∠由题意知AP=BQ=t,PB=4﹣t,当∠PQB=90°时,∠∠B=60°,∠PB=2BQ,得:4﹣t=2t,解得t=43;当∠BPQ=90°时,∠∠B=60°,∠BQ=2BP,得t=2(4﹣t),解得t=83;∠当t=43秒或t=83秒时,∠PBQ为直角三角形;(2)AC=AP+CQ,理由如下:过点Q作QF∠AC,交AB于F,则∠BQF是等边三角形,∠BQ=QF,∠BQF=∠BFQ=60°,∠∠ABC为等边三角形,∠BC=AC,∠BAC=∠BFQ=60°,∠∠QFP=∠P AC=120°,∠PQ=PC,∠∠QCP=∠PQC,∠∠QCP=∠B+∠BPQ,∠PQC=∠ACB+∠ACP,∠B=∠ACB,∠∠BPQ=∠ACP,在∠PQF和∠CP A中,BPQ ACPQFP PAC PQ PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠PQF∠∠CP A,∠AP=QF,∠AP=BQ,∠BQ+CQ=BC=AC,∠AP+CQ=AC.13.(2019·连云港市期中)如图,∠ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A.点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为2cm/s,点N的速度为3cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动秒后,∠AMN是等边三角形?(2)点M、N在BC边上运动时,运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN?(3)M、N同时运动几秒后,∠AMN是直角三角形?请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)当AM=AN时,∠MNA是等边三角形,设运动时间为t秒则:2t=12﹣3t解得t=12 5故点M、N运动125秒后,∠AMN是等边三角形;(2)点M、N在BC边上运动时,满足CM=BN时,可以得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN解得t=48 5运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN;(3)设点M、N运动t秒后,可得到直角三角形∠AMN ∠当M在AC上,N在AB上,∠ANM=90°时,∠∠A=60°∠∠AMN=30°∠AM=2AN则有2t=2(12﹣3t)∠t=3;∠当M在AC上,N在AB上,∠AMN=90°时,∠∠A=60°∠∠ANM=30°∠2AM=AN∠4t=12﹣3t∠t=127;∠当M、N都在BC上,∠ANM=90°时,解得t=10;∠当M、N都在BC上,∠AMN=90°时,则N与B重合,M正好处于BC的中点,此时2t=12+6解得t=9;综上所述,点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后,∠AMN为直角三角形.。

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、等腰三角形存在性问题例1. 【2019·黄石期中】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2cm,E、F分别是AB、AC 的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为ts(0<t<1),则当t=______时,△PQF为等腰三角形.【答案】2.【解析】解:∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2,∴AC=2AB=4,BC=√42−22=2√3,∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF=12BC=√3,BF=12AC=2,EF∥BC,由题意得:EP=t,BQ=2t,∴PF=√3-t,FQ=2-2t,①当PF =FQ 时,则√3-t =2-2t , 解得:t =2-√3;②当PQ =FQ 时,过Q 作QD ⊥EF 于D ,则PF =2DF , ∵BF =CF ,∴∠FBC =∠C =30°, 由上知,EF ∥BC , ∴∠BFP =∠C =30°,则DF DQ ,PF ,-t 2-2t )解得:t =611; ③当PF =PQ 时,∠PFQ =∠PQF =30°, ∴∠FPQ =120°,而在P 、Q 运动过程中,∠FPQ 最大为90°,所以此种情况不成立;故答案为:2-√3或611+. 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知:如图,在Rt ∥ABC 中,∥C =90°,AB =5cm ,AC =3cm ,动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动,设运动的时间为t 秒.(1)求BC边的长;(2)当∥ABP为直角三角形时,求t的值;(3)当∥ABP为等腰三角形时,求t的值.【答案】见解析.【解析】解:(1)在Rt∥ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,∥BC=4(cm);(2)由题意知BP=t cm,∥当∥APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4cm,即t=4;∥当∥BAP为直角时,BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,在Rt∥ACP中,AP2=32+(t-4)2,在Rt∥BAP中,AB2+AP2=BP2,即:52+[32+(t-4)2]=t2,解得:t=254,当∥ABP为直角三角形时,t=4或t=254;(3)如图所示,∥当AB=BP时,t=5;∥当AB=AP时,BP=2BC=8cm,t=8;∥当BP=AP时,AP=BP=tcm,CP=(4-t)cm,AC=3cm,在Rt∥ACP中,AP2=AC2+CP2,所以t2=32+(4-t)2,解得:t=258,综上所述:当∥ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=258.例3. 【2019·乐亭县期末】如图,矩形OABC的顶点A,C分别在坐标轴上,B(8,7),D(5,0),点P 是边AB或边BC上的一点,连接OP,DP,当∥ODP为等腰三角形时,点P的坐标为______.【答案】(8,4)或(52,7).【解析】解:∥四边形OABC是矩形,B(8,7),∥OA=BC=8,OC=AB=7,∥D(5,0),∥OD=5,∥点P是边AB或边BC上的一点,∥当点P在AB边时,OD=DP=5,∥AD=3,由勾股定理得:P A=√52−32=4,∥P(8,4).当点P在边BC上时,只有PO=PD,此时P(52,7).故答案为:(8,4)或(52,7).题型二、直角三角形存在性问题例1. 【2019·厦门六中月考】如图,在RtΔABC中,∥B=90°,AC=60,∥A=60°.点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动,设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF∥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,ΔDEF为直角三角形?请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)证明:在ΔDFC中,∥DFC=90°,∥A=60°,DC=4t,∥DF=2t又∥AE=2t∥AE=DF;(2)能;理由如下:∥AB∥BC,DF∥BC,∥AE∥DF.又AE=DF,∥ 四边形AEFD为平行四边形.∥∥A=60°,AC=60,∥AB=30,BC∥AD=AC-DC=60-4t,∥平行四边形AEFD为菱形,则AE=AD∥2t=60-4t,解得:t=10即当t=10时,四边形AEFD为菱形;(3)当t=7.5或12时,ΔDEF为直角三角形;理由如下:∥∥EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.在RtΔAED中,∥CDF=∥A=60°,∥AD=2AE.即60-4t=4t,∥t=7.5∥∥DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,∥∥ADE=∥DEF=90°.∥∥C=90°-∥A=30°可得:60-4t=t解得:t=12∥∥EFD=90°时,∥DF∥BC,∥点E运动到点B处,用了AB÷2=15秒,点D就和点A重合,点F也就和点B重合,点D,E,F不能构成三角形.此种情况不存在;综上所述,当t=7.5或12时,∥DEF为直角三角形.题型三、等腰直角三角形存在性问题例1. 【2019·株洲市期末】(1)操作思考:如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt∥ACB的直角顶点C在原点,将其绕着点O旋转,若顶点A恰好落在点(1,2)处.则∥OA的长为______;∥点B的坐标为______.(直接写结果)(2)感悟应用:如图2,在平面直角坐标系中,将等腰Rt∥ACB如图放置,直角顶点C(-1,0),点A(0,4),试求直线AB的函数表达式.(3)拓展研究:如图3,在直角坐标系中,点B(4,3),过点B作BA∥y轴,垂足为点A,作BC∥x轴,垂足为点C,P是线段BC上的一个动点,点Q是直线y=2x-6上一动点.问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt∥APQ,若存在,请求出此时P的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1,B(-2,1);(2)(3)见解析.【解析】解:(1)过点B作BE∥x轴于E,过点A作AF∥x轴于F,∥A(1,2),∥OF=1,AF=2,OA=√12+22=√5,∥∥AOB=90°,AO=OB,∥∥BEO∥∥OF A,∥BE=OF=1,OE=AF=2,∥B(-2,1).故答案为√5,(-2,1);(2)过点B作BH∥x轴于H,∥∥ACB=90°,AC=CB,∥∥BHC∥∥COA,∥HC=OA=4,BH=CO=1,OH=HC+CO=4+1=5,∥B(-5,1).设直线AB的表达式为:y=kx+b,将A(0,4)和B(-5,1)代入得,b=4, -5k+b=1,解得:k=0.6,b=4,即直线AB的函数表达式为:y=0.6x+4.(3)设Q(t,2t-6),分两种情况:∥当点Q在x轴下方时,Q1M∥x轴,与BP的延长线交于点Q1.∥∥AP1Q1=90°,∥∥AP1B+∥Q1P1M=90°,∥∥AP1B+∥BAP1=90°,∥∥BAP1=Q1P1M,∥∥AP1B∥∥P1Q1M,∥BP1=Q1M,P1M=AB=4,∥B(4,3),Q(t,2t-6),∥MQ1=4-t,BP1=BM-P1M=-2t+5,即4-t=-2t+5,解得:t=1∥BP1=-2t+5=3,此时点P与点C重合,∥P1(4,0);∥当点Q在x轴上方时,Q2N∥x轴,与PB的延长线交于点Q2.同理可证∥ABP2∥∥P2NQ2.同理求得P2(4,43).综上,P的坐标为:P1(4,0),P2(4,43).【刻意练习】1. 【2019·大连市期末】如图,直线x=t与直线y=x和直线y=12-x+2分别交于点D、E(E在D的上方).(1)直线y=x和直线y=12-x+2交于点Q,点Q的坐标为______;(2)求线段DE的长(用含t的代数式表示);(3)点P是y轴上一动点,且∥PDE为等腰直角三角形,求t的值及点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解:(1)联立y=x和y=12-x+2,得:4343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∥Q(43,43),故答案为:(43,43);(2)在y=x中,当x=t时,y=t;在y=12-x+2中,当x=t时,y=12-t+2,∥E(t,-12t+2),D(t,t).∥E在D的上方,∥DE=12-t+2-t=32-t+2.(3)当t>0时,∥当PE=DE时,32-t+2=t,解得:t=45,12-t+2=85,∥P点坐标为(0,85).∥当PD=DE时,32-t+2=t,解得:t=45,∥P点坐标为(0,45).∥当PE=PD时,即DE为斜边,∥32-t+2=2t,解得:t=47,∥P点坐标为(0,87).当t<0时,∥PE=DE和PD=DE时,得32-t+2=-t,解得t=4>0(不符合题意,舍去);∥PE=PD时,即DE为斜边,32-t+2=-2t,解得:t=-4,∥P点坐标为(0,0).综上所述:当t=45时,∥PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,85)或(0,45);当t=47时,∥PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,87);当t=-4时,∥PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,0).2. 【2019·兴城市期末】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标是1.(1)求此一次函数的解析式;(2)请直接写出不等式(k-3)x+b>0的解集;(3)设一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点M,点N在坐标轴上,当∥CMN是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.【答案】见解析. 【解析】解:(1)当x =1时,y =3x =3, ∥点C (1,3),将A (-2,6),C (1,3)代入y =kx +b ,得:263k b k b -+=⎧⎨+=⎩, 解得:14k b =-⎧⎨=⎩,∥直线AC 的解析式为:y =-x +4. (2)(k -3)x +b >0,即kx +b >3x ,由图象可知,当x <1时,y =kx +b 的图象在y =3x 图象的上方, ∥(k -3)x +b >0的解集为:x <1. (3)∥直线AB 的解析式为y =-x +4, ∥点M 的坐标为(0,4), ∥OB =OM , ∥∥OMB =45°.∥当∥CMN =90°时, ∥∥OMN =45°,∥MON =90°, ∥∥MNO =45°, ∥OM =ON ,∥点N 1的坐标为(-4,0); ∥当∥MCN =90°时, ∥∥CMN =45°,∥MCN =90°, ∥∥MNC =45°,∥CN =CM ,∥MN CM =2, ∥点N 2的坐标为(0,2). 同理:点N 3的坐标为(-2,0); ∥当∥CNM =90°时,CM ∥x 轴, ∥点N 4的坐标为(0,3).综上所述:当∥CMN 是直角三角形时,点N 的坐标为(-4,0),(0,2),(-2,0),(0,3).3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图,在平面直角坐标系中,A (a ,0),B (0,b ),且a 、b 满足(a ﹣2)2+0.(1)求直线AB 的解析式;(2)若点M 为直线y =mx 上一点,且∥ABM 是等腰直角三角形,求m 值;(3)过A 点的直线y =kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ,N 点的横坐标为﹣1,过N 点的直线y =2k x ﹣2k交AP于点M ,试证明PM PNAM-的值为定值.【答案】见解析.【解析】解:(1)∥(a﹣2)20,∥a=2,b=4,∥A(2,0),B(0,4),设直线AB的解析式是y=kx+b,得:204k bb+=⎧⎨=⎩,解得:k=﹣2,b=4,∥直线AB的函数解析式为:y=﹣2x+4;(2)当m>0时,分三种情况:∥如图,当BM∥BA,BM=BA时,过点M作MN∥y轴于N,∥∥MBA=∥MNB=∥BOA=90°,∥∥NBM+∥NMB=90°,∥ABO+∥NBM=90°,∥∥ABO=∥NMB,∥∥BMN∥∥ABO,∥MN=OB=4,BN=OA=2,∥ON=2+4=6,∥M的坐标为(4,6),将(4,6)代入y=mx得:m=32;∥如图,AM∥BA,AM=BA,过点M作MN∥x轴于N,∥BOA∥∥ANM,同理,得M的坐标为(6,2),m=13;∥如图,AM∥BM,AM=BM,过M作MN∥X轴于N,MH∥Y轴于H,则∥BHM∥∥AMN,∥MN=MH,设M(x,x)代入y=mx得:x=mx,∥m=1,m的值是32或13或1;当m<0时,同理可得:m=14-或32-或﹣2;(3)解:设NM与x轴的交点为H,过M作MG∥x轴于G,过H作HD∥x轴,HD交MP于D点,连接ND,由题意得:H(1,0),M(3,k),A(2,0),∥A为HG的中点,∥∥AMG∥∥ADH,由题意得:N点坐标为(-1,-k),P(0,-2k),∥ND∥x轴,N与D关于y轴对称,∥∥AMG∥∥ADH∥∥DPC∥∥NPC,∥PN=PD=AD=AM,∥PM-PN=PM-PD=DM=2AM,即PM PNAM=2.4. 【2019·厦门大学附中期末】如图(1),Rt∥AOB中,∥A=90°,∥AOB=60°,OB=,∥AOB的平分线OC交AB于C,过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.(1)求OC、BC的长;(2)当t=1时,求∥CPQ的面积;(3)当P在OC上,Q在ON上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,∥OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.【答案】见解析.【解析】解:(1)∥∥A =90°,∥AOB =60°,OB = ∥∥B =30°,∥OA =12OB ,由勾股定理得:AB =3, ∥OC 平分∥AOB ,∥∥AOC =∥BOC =∥B =30°, ∥OC =BC ,在∥AOC 中,由勾股定理得:AO 2+AC 2=CO 2,∥2+(3﹣OC )2=OC 2, 解得:OC =2, 即BC =2, ∥OC =2,BC =2.(2)如图,过点C 作CH ∥PQ 于H ,当t =1时,CQ =OQ =PC =PB =1, ∥PQ ∥OB ,∥∥CPQ =∥B =30°, ∥CQ =CP .CH ∥QP ,∥QH =PH ,∥CH =12PC =12,AH =PH ,∥QP∥S ∥PQC =12•PQ •CH =12×12=4.(3)∥ON ∥OB , ∥∥NOB =90°, ∥∥B =30°,∥A =90°, ∥∥AOB =60°, ∥OC 平分∥AOB , ∥∥AOC =∥BOC =30°, ∥∥NOC =90°﹣30°=60°, ∥OM =PM 时, ∥MOP =∥MPO =30°,∥∥PQO =180°﹣∥QOP ﹣∥MPO =90°, ∥OP =2OQ , 即2(t ﹣2)=4﹣t ,解得:t =83,∥PM =OP 时,此时∥PMO =∥MOP =30°, ∥∥MPO =120°, ∥∥QOP =60°,不存在; ∥OM =OP 时,过点M 作MH ∥ON 于M ,由题意得:OP =OM =4﹣t ,∥MH =12(4-t ),OH (4-t ),∥OHM =∥OPM =75°, ∥∥HQM =45°,∥QH =HM =12(4-t ),∥OQ =QH +OH ,即12(4-t )(4-t )=t -2,解得:t ,综合上述:当t 为83或63+时,∥OPM 是等腰三角形.5. 【2019·潮州市期末】如图,在∥ABC 中,∥A =120°,AB =AC =4,点P 、Q 同时从点B 出发,以相同的速度分别沿折线B →A →C ,射线BC 运动,连接PQ . 当点P 到达点C 时,点P 、Q 同时停止运动. 设BQ =x ,∥BPQ 和∥ABC 重叠部分的面积为S . (1)求BC 的长;(2)求S 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; (3)请直接写出∥PCQ 为等腰三角形时,x 的值.【答案】见解析. 【解析】解:(1)过点A 作AD ∥BC 于D ,∥∥A =120°,AB =AC =4, ∥∥B =∥C =30°,∥AD =12AB =2,BD∥BC =2BD(2)当0<x ≤4时,点P 在线段AB 上,如图,过点P 作PN ∥BC 于点N ,在Rt ∥PBN 中,BP =BQ =x ,∥B =30°, ∥PN =0.5x , S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x ×12x =14x 2,当4<x P 在线段AC 上,过点P 作PN ∥BC 于点N , BQ =AB +AP , ∥BQ =x ,AB =AC =4,∥AP =BQ -AB =X -4,PC =AC -AP =8-x , 在Rt ∥PCN 中,∥C =30°, ∥PN =12PC =4- 12x , S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x (4- 12x ) =14x 2+2x当<x <8时,点P 在线段AC 上,点Q 在线段BC 的延长线上,过点P 作PN ∥BC 于点N ,S=12×BC×PN=12×(4-12x)=.综上所述,S=()(()22104412448x xx x xx⎧<≤⎪⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩(3)∥当点P在AB上,点Q在BC上时,∥PQC不可能是等腰三角形;∥当点P在AC上,点Q在BC上时,PQ=QC,此时x;∥当点P在AC上,点Q在BC的延长线时,PC=CQ,此时x6. 【2019·南宁市期末】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∥B=90°,AD=8cm,BC=10cm,AB=6cm,点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点C时,两点同时停止运动.若设运动时间为t(s).(1)直接写出:QD=,PC=;(用含t的式子表示)(2)当t为何值时,四边形PQDC为平行四边形?(3)若点P与点C不重合,且DQ≠DP,当t为何值时,∥DPQ是等腰三角形?【答案】(1)8-t;10-2t;(2)(3)见解析.【解析】解:(2)∥四边形PQDC为平行四边形,∥QD=PC,即8-t=10-2t,解得:t=2.(3)∥∥DPQ是等腰三角形,且DQ≠DP,∥DQ=PQ或DP=PQ,∥DQ=PQ,过点Q作QH∥BC于H,则BP=2t,AQ=BH=t,PH=t,QH=AB=6,∥DQ2=PQ2,(8-t)2=62+t2,解得:t=74;∥DP=PQ,过点P作PM∥AD于M,则QM+AQ=BP,即822tt t-+=,解得:t=85,综上所述,当t为74或85秒时,∥DPQ是等腰三角形.7. 【2019·涟源市期末】如图,已知矩形ABCD,AB=8,AD=4,E为CD边上一点,CE=5,动点P从点B 出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接EP,设点P的运动时间为t秒,则当t为何值时,∥P AE为等腰三角形.【答案】见解析.【解析】解:∥ABCD为矩形,AB=8,AD=4,∥∥D=90°,∥CE=5,∥DE=CD-CE=3在Rt∥ADE中,由勾股定理得:AE=5,(1)当AP=AE时,即8-t=5,解得:t=3;(2)当PE=AE时,过点E作EF∥AB于F,则PF=AF=5,EF=4,由勾股定理得:PF=3,AP=2PF=6,∥BP=t,则AP=8-t=6,解得:t=2;(3)当PE=P A时,过点E作EF∥AB于F,∥BP=t,∥AP=8-t,BF=CE=5,PF=5-t,由勾股定理得:PE2=EF2+PF2,∥42+(5-t)2=(8-t)2,解得:t=236,综上所述,当t为2秒、3秒或236秒时,∥P AE为等腰三角形.8. 【2019·重庆外国语月考】如图,在Rt∥ABC中,∥ACB=90°,∥A=30°,AB=12,点F是AB的中点,过点F作FD∥AB交AC于点D.若∥AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动,得到∥A1F1D1,当F1与点B重合时停止移动.设移动时间为t秒,如果D1,B,F构成的∥D1BF为等腰三角形,求出t值.【答案】见解析.【解析】解:∥如图,当BF=BD1=6时,在Rt∥BF1D1中,BF1=∥AA1=FF1=6﹣∥t=3∥如图,当D1F=D1B时,易知AA1=FF1=F1B=3,可得t=32.∥如图,当FD1=FB=6时,可得AA1=FF1=t综上所述,满足条件的t 的值为332 9. 【2019·平潭期中】如图,在平面直角坐标系中,A (0,8),B (4,0),AB 的垂直平分线交y 轴与点D ,连接BD ,M (a ,1)为第一象限内的点.(1)求点D 坐标;(2)当S ∥DBC =S ∥DBM 时,求a 的值;(3)点E 为y 轴上的一个动点,当∥CDE 为等腰三角形时,直接写出点E 的坐标.【答案】见解析..【解答】解:(1)设D 点坐标为(0,m ),由题意知,CD 是线段AB 的垂直平分线,∥AD =BD ,∥(8-m )2=m 2+42,解得:m =3,即D 点坐标为(0,3).(2)由(1)知,AD =5, ∥S ∥BDA =12×5×4=10, ∥S ∥DBC =12S ∥BDA =5, ∥S ∥DBC =S ∥DBM ,即S∥DBM=5,求得直线BD的解析式为:y=-34x+3,当y=1时,x=83,∥12×(a-83)×3=5,解得:a=6(3)设E点坐标为(0,x),设C点坐标为(n,t)则n=2DCASAD△=2, t=4,即C点坐标为(2,4),∥D(0,3),则CD2=5,DE2=(x-3)2,CE2=4+(x-4)2,∥当CD=DE时,5=(x-3)2解得:x x=3;∥当CD=CE时,5=4+(x-4)2解得:x=5或x=3(舍);∥当DE=CE时,(x-3)2=4+(x-4)2解得:x=112,综上所述,当∥CDE为等腰三角形时,E点坐标为(0,,(0,3,(0,5),(0,112).。

特殊三角形的存在性(讲义及答案).

特殊三角形的存在性(讲义及答案).
9. 已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4, sin∠BAC 3 ,E 是 AB 延长线上一点,连接并延长 EC,过 5 点 A 作 AD∥BC,交 EC 的延长线于点 D.则当△ACD 是等 腰三角形时,BE 的长为______________.
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10. 在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,AB=CD=4,且 ∠B=60°,M 是 CD 上一动点,作 MN⊥CD,交 BC 于 N,将 ∠C 沿 MN 翻折,使点 C 落在射线 CD 上的点 E 处.当 △ANE 为等腰三角形时,CM 的长为_______________.
11. 如图,BC⊥y 轴,BC<OA,点 A,点 C 分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上,D 是线段 BC 上一点,BD= 1 OA= 2 ,AB=3, 4 ∠OAB=45°,E,F 分别是线段 OA,AB 上的两动点,且始终 保持∠DEF=45°.使△AEF 为等腰三角形,则线段 OE 的值 为___________.
12. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点 E 为 AB 上一点, AE= 2 3 ,点 F 在 AD 上,将△AEF 沿 EF 折叠,当折叠后点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 的垂直平分线上时,折痕 EF 的长 为__________.
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13. 如图,四边形 ABCD 是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点 E 是射 线 DA 上一动点,把△CDE 沿 CE 折叠,其中点 D 的对应点 为点 D′,若 CD′垂直于菱形 ABCD 的边时,则 DE 的长为 ___________.
3.Байду номын сангаас直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点: 理论上三角形的三个顶点分别作为直角顶点进行分类(往往 存在不变特征,分析排除不可能为直角顶点的情况),通常借 助三等角模型,k1·k2=-1 或勾股定理等进行求解.

八年级 专题05 动点中特殊三角形存在性的勾股求解基础巩固提升训练((学生版)

八年级 专题05 动点中特殊三角形存在性的勾股求解基础巩固提升训练((学生版)

基础巩固+技能提升【基础巩固】1. (2020·江苏苏州期中)如图,Rt ACB ∆中,90ACB ∠=︒,13AB =,5AC =,动点P 从点B 出发沿射线BC 运动,当APB ∆为等腰三角形时,这个三角形底边的长为________.2.(2020·浙江宁波期中)老师请同学在一张长为17cm ,宽为16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上)请你计算剪下的等腰三角形的面积.3.(2020·山东烟台期中)Rt △AB C 中,∠ACB=90°,AB=10cm ,AC=6cm ,动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动,设运动时间为t (s ).当t 为何值时,△ABP 为直角三角形?4.(2020·仪征市月考)如图,长方形ABCD,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.(1)求AE的长.(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒,①则当t为何值时,△PAE为等腰三角形?②当t为何值时,△PAE为直角三角形,直接写出答案.5.(2019·广东深圳宝安期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,若点P 从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动,设运动时间为t(t>0)秒.(1)AC=cm;(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求此时t的值;(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形.6.(2019·渠县月考)如图,在ABC 中,5cm AB AC ==,6cm BC ,动点P 从点C 出发,按C A B C →→→的路径运动,且速度为2cm ,设运动时间为(s)t . (1)求ABC 的面积; (2)求AC 边上的高BD 的长;(3)当t 为何值时,APC △的面积为29.6(cm );(4)当点P 在BC 边上运动时,若PCD 是等腰三角形,请求出满足条件的t 的值.7. 已知在Rt ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm ,BC=8cm ,CD 为AB 边上的高.动点P 从点A 出发,沿着ABC 的三条边逆时针走一圈回到A 点,速度为2cm/s ,设运动时间为t . (1)求CD 的长;(2)当P 在AB 边上运动,t 为何值时,ACP 为等腰三角形?8.(2020·河南南阳月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动,设运动的时间为t秒.(1)求BC边的长;(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.9.(2019·四川师范大学附属中学期中)如图,在长方形ABCD中,已知AB=8cm,BC=10cm,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.以点A为原点,分别以AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴建立坐标系.(1)求出点B、E、F的坐标.是以AF为腰长的等腰三角形?若存在,请直接(2)在x轴上是否存在点G,使AFG写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【技能提升】1. 如图,点M ,N 把线段AB 分割成AM ,MN 和BN ,若以AM ,MN ,BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M ,N 是线段AB 的“勾股分割点”已知点M ,N 是线段AB 的“勾股分割点”,若2AM =,3MN =,则BN 的长为__________.2.(2020·泰州市月考)如图,在△ABC 中,已知BA =BC ,∠B =120°.(1)画AB 的垂直平分线DE 交AC 、AB 于点D 、E (保留作图痕迹,作图痕迹请加黑描重); (2)求∠A 的度数;(3)若AC =6cm ,求AD 的长度.3.已知在Rt ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P 的运动时间为t .连结AP . (1)当t=3秒时,求AP 的长度(结果保留根号); (2)当ABP 为等腰三角形时,求t 的值.4.(2020·信阳市期中)(1)发现:如图1,∠BAD =90°,AB =AD ,过点B 作BC ⊥AC 于点C ,过点D 作DE ⊥AC 于点E ,由∠1+∠2=∠2+∠D =90°,得∠1=∠D ,∠ACB =∠AED =90°,可以推理得到△ABC ≌△DAE ,进而得到AC=______,BC=_______.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型;(2)应用:如图2,在△ABC 中,D 是BC 上一点,AC =AD =BD ,∠CAD =90°,AB =6,请求出△ABC 的面积;(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-1,-4),点B 为平面内一点.若△AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点B 的坐标5.(2020·河南南阳期末)如图,在Rt ABC 中,90C ∠=︒,8cm AC ,6cm BC ,M 在AC 上,且6cm AM =,过点A (与BC 在AC 同侧)作射线AN AC ⊥,若动点P 从点A 出发,沿射线AN 匀速运动,运动速度为1cm/s ,设点P 运动时间为t 秒.(1)经过_________秒时,Rt AMP △是等腰直角三角形?(2)经过_________秒时,△AMP ≌△CBM ?判断这时的BM 与MP 的位置关系,说明理由.(3)经过几秒时,PM AB ⊥?说明理由.6.(2019·盐城市期中)如图1,在平面直角坐标系中,点B (8,0),点C (0,6),点A在x轴负半轴上,且AB=BC.(1)求点A的坐标;(2)如图2,若点E是BC的中点,动点M从点.A.出发..以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B匀速运动,设点M的运动时间为t(秒);①若△OME的面积为2,求t的值;②如图3,在点M的运动过程中,△OME能否成为直角三角形?若能,求出此时t的值,并写出相应的点M的坐标;若不能,请说明理由.7.(2020·吉林长春期末)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=6.延长BC到点E,使CE=3,连结DE.动点P从点B出发,沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动,点P运动的时间为t秒.(1)DE的长为.(2)连结AP,求当t为何值时,△ABP≌△DCE.(3)连结DP.①求当t为何值时,△PDE是直角三角形.②直接写出当t为何值时,△PDE 是等腰三角形.8.(2020·常州武进区月考)如图,OC、AB互相垂直,已知OA=8,OC=6,且AB=AC.(1)求OB的长;(2)如图②,若点E为边AC的中点,动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动,设点M运动的时间为t(秒);①若OME的面积为1,求t的值;②如图③,在点M运动的过程中,OME能否成为直角三角形?若能,求出此时t的值,并写出相应的OM的长;若不能,请说明理由.9.(2020·浙江杭州期中)如图,已知在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,8AC =,16BC =,D 是AC 上的一点,3CD =,点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动,设点P 的运动时间为t .连结AP .(1)当5t =秒时,求AP 的长度;(2)当ABP △为等腰三角形时,求t 的值;(3)过点D 做DE AP ⊥于点E ,在点P 的运动过程中,当t 为何值时,能使DE CD =?10.(2020·盐城市期中)如图,△ABC中,AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒2cm,设出发的时间为t秒.(1)请判断△ABC的形状,说明理由.(2)当t为何值时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形.(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.直接写出t为何值时,P、Q?。

专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)

专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一.平行四边形的存在性1.(2022•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AB于点M,求PM+AM的最大值及此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,点P′与点P关于抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴对称.将抛物线y=﹣x2+bx+c向右平移,使新抛物线的对称轴l经过点A.点C在新抛物线上,点D在l上,直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标,并把求其中一个点D的坐标的过程写出来.2.(2022•郴州)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,将直线BC向上平移,得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.①当点D在抛物线的对称轴l上时,连接CD,与x轴相交于点E,求线段OE的长;②如图2,在抛物线的对称轴l上是否存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F与点D的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2022•攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点),A两点,且二次函数的最小值为﹣1,点M(1,m)是其对称轴上一点,y轴上一点B(0,1).(1)求二次函数的表达式;(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连结P A,PB,设点P的横坐标为t,△P AB的面积为S,求S与t的函数关系式;(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点N的坐标,若不存在,请说明理由.4.(2022•内蒙古)如图,抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0),D(﹣2,﹣)两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B,C不重合),求使△MBC面积最大时M点的坐标,并求最大面积;(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)5.(2022•资阳)已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),且与x轴交于点B (﹣1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)如图,将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°,此时点A、B的对应点分别为点C、D.①连结AB、BC、CD、DA,当四边形ABCD为矩形时,求m的值;②在①的条件下,若点M是直线x=m上一点,原二次函数图象上是否存在一点Q,使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.二.矩形的存在性6.(2022•泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+x+c经过A(﹣2,0),B(0,4)两点,直线x=3与x轴交于点C.(1)求a,c的值;(2)经过点O的直线分别与线段AB,直线x=3交于点D,E,且△BDO与△OCE的面积相等,求直线DE的解析式;(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点,在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F,G,使B,F,G,P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.8.(2021•齐齐哈尔)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上C、D两点之间的距离是2;(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q的坐标.9.(2022•随州)如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,且OA=OC,P为抛物线上一动点.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时,求四边形P ABC面积的最大值,并求出此时P点的坐标;(3)设M为抛物线对称轴上一动点,当P,M运动时,在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为矩形?若存在,直接写出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2023•秦都区校级二模)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,且OC=3OA,点D为抛物线的对称轴与x轴的交点,连接CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点F为坐标平面内一点,在第一象限的抛物线上是否存在点E,使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形?若存在,请求出符合条件的点E的横坐标;若不存在,请说明理由.7.(2022•元宝区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上C、D两点之间的距离是11;(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q的坐标.8.(2022•鱼峰区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)在第二象限内是否存在一点M,使得四边形ABCM为矩形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.三.菱形的存在性9.(2022•朝阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,﹣3),连接BC.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标.(2)如图,点P为线段BC上的一个动点(点P不与点B,C重合),过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.(3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动,同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动,在平面内是否存在点N,使得以点P,M,B,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出符合条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2021•湘潭)如图,一次函数y=x﹣图象与坐标轴交于点A、B,二次函数y=x2+bx+c图象过A、B两点.(1)求二次函数解析式;(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.11.(2021•鄂尔多斯)如图,抛物线y=x2+2x﹣8与x轴交于A,B两点(点A 在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)连接AC,直线x=m(﹣4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上,点N在直线AC上,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2021•通辽)如图,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(﹣1,0)两点,交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标及△PBC的周长;(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.13.(2021•娄底)如图,在直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求b、c的值;(2)点P(m,n)为抛物线上的动点,过P作x轴的垂线交直线l:y=x于点Q.①当0<m<3时,求当P点到直线l:y=x的距离最大时m的值;②是否存在m,使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形,若不存在,请说明理由;若存在,请求出m的值.14.(2021•山西)综合与探究如图,抛物线y=x2+2x﹣6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D.①试探究:在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线l交于点M,与直线AC交于点N.当S△DMN =S△AOC时,请直接写出DM的长.15.(2020•阜新)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(﹣3,0),B(1,0),交y轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.(1)求这个二次函数的表达式;(2)①若点P仅在线段AO上运动,如图,求线段MN的最大值;②若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考数学难题突破题型05 特殊三角形存在性问题33页PPT

中考数学难题突破题型05 特殊三角形存在性问题33页PPT
中考数学难题突破题型05 特殊三角形 存在性问题
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律,就难以成功。
3、道德行为训练,不是通过语言影响 ,而是 让儿童 练习良 好道德 行为, 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体,养 成儿童 自觉的 纪律性 ,这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做,明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生,以及整个命运 的,只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

10.中考数学专题05 八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)

10.中考数学专题05  八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)

专题05 八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”)【知识点3】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫对称轴,两个图形中对应点叫做对称点【知识点4】轴对称图形的概念把一个图形沿某条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么成这个图形是轴对称图形,这条直线式对称轴【知识点5】垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线【知识点6】轴对称性质:1、成轴对称的两个图形全等2、如歌两个图形成轴对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上【知识点7】线段的对称性1、线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上【知识点8】角的对称性1、角是轴对称图形,角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上【知识点9】等腰三角形的性质1、等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一【知识点10】等腰三角形判定1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形斜边上中线等于斜边一半【知识点11】等边三角形判定及性质1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60°(补充) 等腰梯形:两腰相等的梯形是等腰梯形【知识点12】等腰梯形性质1、等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等【知识点13】等腰梯形判定1.、两腰相等的梯形是等腰梯形2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形【知识点14】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²+b²=c²【知识点15】勾股定理逆定理如果一个三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形【知识点16】勾股数满足a²+b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数【考点1 全等三角形的判定】【例1】(2018秋•利津县期中)如图,AB∥CD,BC∥AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是()A.4 B.3 C.2 D.1【变式1-1】(2018秋•思明区校级期中)如图,已知,∠CAB=∠DAE,AC=AD,增加下列条件:①AB =AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E;⑤∠1=∠2.其中能使△ABC≌△AED的条件有()A.2个B.3个C.4个D.5个【变式1-2】(2018秋•东台市期中)根据下列已知条件,能够画出唯一△ABC的是()A.AB=6,BC=5,∠A=50°B.AB=5,BC=6,AC=13C.∠A=50°,∠B=80°,AB=8 D.∠A=40°,∠B=50°,∠C=90°【变式1-3】(2018秋•东台市期中)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,BC=EF,∠B=∠E;③∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组【考点2 等腰三角形中的分类讨论思想】【例2】(2018春•鄄城县期末)等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为()A.3cm B.6cm C.3cm或6cm D.8cm【变式2-1】(2018春•金水区校级期中)已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角是()A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°【变式2-2】(2018秋•绥棱县期末)已知一个等腰三角形底边的长为5cm,一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm,则腰长为()A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.10cm【变式2-3】(2018秋•沙依巴克区校级期中)等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于()A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°【考点3 勾股定理与折叠】【例3】(2019•云阳县校级模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将其折叠使AB落在对角线AC上,得到折痕AE,那么BE的长度为()A.B.C.D.【变式3-1】(2018春•江夏区期中)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边CD上一点,将△ADM 沿直线AM对折,得△ANM,连BN,若DM=1,则△ABN的面积是()A.B.C.D.【变式3-2】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B 落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A.B.C.D.【变式3-3】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.2 B.C.D.【考点4 轴对称中的最值问题】【例4】(2018秋•吴江区期中)如图,∠AOB=45°,点P是∠AOB内的定点,且OP=1,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A.B.C.2 D.1.5【变式4-1】(2018秋•如皋市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD 是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()A.2.4 B.4.8 C.4 D.5【变式4-2】(2018秋•大连期中)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=4,点C和点D分别是射线OA 和射线OB上的动点,△PCD周长的最小值是4,则∠AOB的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°【变式4-3】(2018•营口)如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,交AC 于点D,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是()A.B.2 C.2D.4【考点5 线段垂直平分线的应用】【例5】(2018•太仓市模拟)如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数为°.【变式5-1】(2018春•叶县期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC为钝角,BC=6,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,连接AD、AE,那么△ADE的周长为.【变式5-2】(2018秋•江都区期中)如图,在△ABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N,∠ACB=118°,则∠MCN的度数为.【变式5-3】(2018秋•丰县期中)如图,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DE⊥AB 于E,作DF⊥AC于F,若CD=5,DF=4,则BE=.【考点6 复杂的尺规作图】【例6】(2018秋•六合区期中)在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角.在八年级第二章,我们学会了一些基本的尺规作图,这些特殊的角也能用尺规作出.下面请各位同学开动脑筋,只用直尺和圆规完成下列作图.已知:如图,射线OA.求作:∠AOB,使得∠AOB在射线OA的上方,且∠AOB=45°(保留作图痕迹,不写作法)【变式6-1】(2018秋•泗洪县期中)已知:如图,在△ABC中,AC<AB且∠C=2∠B (1)用直尺和圆规作出一条过点A的直线1,使得点C关于直线的对称点落在边AB上(不写作法,保留作图痕迹)(2)设(1)中直线l与边BC的交点为D,请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由.【变式6-2】(2018秋•丹阳市期中)如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.(1)试用直尺和圆规,在直线AB上求作点P,使△PBC为等腰三角形.要求:①保留作图痕迹;②若点P有多解,则应作出所有的点P,并在图中依次标注P1、P2、P3、…;(2)根据(1)求P A的长(所有可能的值)【变式6-3】(2018•惠山区二模)如图,已知△ABC(AC<AB<BC),请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):(1)在边BC上确定一点P,使得P A+PC=BC;(2)作出一个△DEF,使得:①△DEF是直角三角形;②△DEF的周长等于边BC的长.【考点7 与直角三角形性质的有关综合】【例7】(2018秋•泗洪县期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.(1)说明DC=DG;(2)若DG=7,EC=4,求DE的长.【变式7-1】(2018秋•海州区校级期中)如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)请说明:DE=DF;(2)请说明:BE2+CF2=EF2;(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).【变式7-2】(2018秋•高邮市期中)如图,AD是△ABC的高,CE是△ABC的中线.(1)若AD=12,BD=16,求DE;(2)已知点F是中线CE的中点,连接DF,若∠AEC=57°,∠DFE=90°,求∠BCE的度数.【变式7-3】(2018秋•太仓市期末)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,BC=10.(1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠EMF的度数;(2)若EF=4,求△MEF的面积.【考点8 等腰三角形与全等三角形的综合】【例8】(2019•东莞市模拟)如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BE与AD相交于F.(1)求证:BF=AC;(2)若CD=3,求AF的长.【变式8-1】(2018秋•临清市期末)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:CD=BF;(2)求证:AD⊥CF;(3)连接AF,试判断△ACF的形状.【变式8-2】(2019秋•宁河县校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,点D是BC的中点,过点C作CE⊥AB,垂足为点E,交AD于点F.(1)求证:AE=CE;(2)求证:△AEF≌△CEB.【变式8-3】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.【考点9 与三角形有关的动点问题】【例9】(2018秋•全椒县期末)已知△ABC中,AC=BC,∠C=120°,点D为AB边的中点,∠EDF=60°,DE、DF分别交AC、BC于E、F点.(1)如图1,若EF∥AB.求证:DE=DF.(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题(1)的结论是否成立?说明理由.【变式9-1】(2019秋•本溪期末)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB 于点F,连接BE.(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是三角形;(2)若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形.【变式9-2】(2018秋•十堰期末)在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一条边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图,当点D在BC延长线上移动时,若∠BAC=25°,则∠DCE=.(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.①当点D在BC延长线上移动时,α与β之间有什么数量关系?请说明理由;②当点D在直线BC上(不与B,C两点重合)移动时,α与β之间有什么数量关系?请直接写出你的结论.【变式9-3】(2019秋•上城区期末)如图1,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线,动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE,连接BE.(1)判断AD与BE是否相等,请说明理由;(2)如图2,若AB=8,点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5,试求PQ的长;(3)在第(2)小题的条件下,当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时.判断PQ的长是否为定值,若是请直接写出PQ的长;若不是请简单说明理由.【考点10 与等边三角形的性质与判定有关问题综合】【例10】(2018春•天心区校级期末)如图,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.(1)求证:∠AEB=∠ADC;(2)连接DE,若∠ADC=105°,求∠BED的度数.【变式10-1】(2018秋•广州期末)如图1,点A是线段BC上一点,△ABD,△AEC都是等边三角形,BE 交AD于点M,CD交AE于N.(1)求证:BE=DC;(2)求证:△AMN是等边三角形;(3)将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°,其它条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断(1)、(2)两小题结论是否仍然成立,并加以证明.【变式10-2】(2018秋•麻城市校级期末)(1)如图,△ABC中,AB=AC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其它条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【变式10-3】(2017秋•仁寿县期末)如图1,C是线段BE上一点,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE,连结AE、BD.(1)求证:BD=AE;(2)如图2,若M、N分别是线段AE、BD上的点,且AM=BN,请判断△CMN的形状,并说明理由.【考点11 等腰三角形新定义问题】【例11】(2018秋•滨湖区期中)【定义】数学课上,陈老师对我们说,如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形,那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”,如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”.【理解】如图①,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,请你在这个三角形中画出它的“好线”,并标出等腰三角形顶角的度数.如图②,已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形,请你在这个三角形中画出它的“好好线”,并标出所分得的等腰三角形底角的度数.【应用】(1)在△ABC中,已知一个内角为42°,若它只有“好线”,请你写出这个三角形最大内角的所有可能值;(2)在△ABC中,∠C=27°,AD和DE分别是△ABC的“好好线”,点D在BC边上,点E在AB 边上,且AD=DC,BE=DE,请你根据题意画出示意图,并求∠B的度数.【变式11-1】(2019春•顺德区月考)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.(1)如图1,△ABC是等腰锐角三角形,AB=AC(AB>BC),若∠ABC的角平分线BD交AC于点D,且BD是△ABC的一条特异线,则∠BDC=度;(2)如图2,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE 是△ABC的一条特异线;(3)如图3,已知△ABC是特异三角形,且∠A=30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数(如有需要,可在答题卡相应位置另外画图).【变式11-2】(2019秋•余姚市校级期中)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)【变式11-3】(2019秋•常州期中)定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.如图1,把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线.(1)如图2,请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)(2)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.【考点12 旋转法探索几何证明题】【例12】(2019•广州模拟)(1)如图(1),在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.①求证:BE+CF>EF.②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明;(2)如图(2),在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.【变式12-1】(2018秋•灌云县期中)解决问题(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD.小明想到条件∠EAF=∠BAD应用需要转化,将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处,此时△ABG≌△ADF,把线段BE、FD集中到一起,进一步可以再证明EF=EG=BE+FD.证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD∴△ABG≌△ADF.小明没有证明结束,请你补齐证明过程.基本运用:请你用第(1)题的解答问题的思想方法,解答下面的问题(2)已知如图2,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点,且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+CF2;拓展延伸(3)已知如图3,等边△ABC内有一点P,AP=8,BP=15,AP=17,求∠APB的度数.【变式12-2】(2018秋•丰县期中)如图,画∠AOB=90°,并画∠AOB的平分线OC.(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直,垂足为E、F(如图1),则PE PF(选填<,>,=)(2)把三角尺绕着点P旋转(如图2),PE与PF相等吗?试猜想PE、PF的大小关系,并说明理由.拓展延伸1:在(2)条件下,过点P作直线GH⊥OC,分别交OA、OB于点G、H,如图3①图中全等三角形有对(不添加辅助线)②猜想GE、FH、EF之间的关系,并证明你的猜想.拓展延伸2:画∠AOB=70°,并画∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,作∠EPF=110°.∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点(如图4),PE与PF相等吗?请说明理由.【变式12-3】(2018秋•盐都区校级期中)(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的度数为;②线段AD、BE之间的数量关系是.(2)拓展研究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,若AE=15,DE=7,求AB的长度.(3)探究发现:图1中的△ACB和△DCE,在△DCE旋转过程中当点A,D,E不在同一直线上时,设直线AD与BE相交于点O,试在备用图中探索∠AOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.。

专题05-等腰、等边三角形压轴真题(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05-等腰、等边三角形压轴真题(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题(原卷版)题型一:等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.(湘一芙蓉)如图,已知△ABC中,AB=AC=12cm,BC=10cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段AC上由点A 向C点以4cm/s的速度运动.(1)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发,经过2秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发,△CPQ的周长为16cm,设运动时间为t,问:是否存在某一时刻t,使得△CPQ是等腰三角形?如存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由.2.(中雅)如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P 从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;(2)何时△PBQ是直角三角形?(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.3.(青竹湖)已知,△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动.(1)如图1,设点P的运动时间为t(s),那么t为何值时,△PBC是直角三角形;(2)若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.①如图2,设运动时间为t(s),那么t为何值时,△DCQ是等腰三角形?②如图3,连接PC,请你猜想:在点P、Q的运动过程中,△PCD和△QCD的面积有什么关系?并说明理由.4.(广益)如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分∠OBA,交x轴于D点.(1)若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:ON=OD;(2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰Rt△BPF,其中∠BPF=90°,连接F A并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变?若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.5.(长郡、雅礼)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,△OAB为等边三角形,P、Q 分别为AO、AB边上的动点,点P、点Q同时从点A出发,且当其中一点停止运动时,另一点也立即停止运动;若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动,点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动,设运动时间为t,已知点A坐标为(a,b),且满足(a﹣6)2+|a﹣b|=0.(1)求A点坐标;(2)如图1,连接BP、OQ交于点C,请问当t为何值时,∠OCP=60°;(3)如图2,D为OB边上的中点,P,Q在运动过程中,D,P,Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形,若能,求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积:若不能,请说明理由.6.(师梅)如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,0),点B是y轴正半轴上一动点,点C、D在x正半轴上.(1)如图,若∠BAO=60°,∠BCO=40°,BD、CE是△ABC的两条角平分线,且BD、CE交于点F,直接写出CF的长.(2)如图,△ABD是等边三角形,以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ,连接QD并延长,交y轴于点P,当点C运动到什么位置时,满足PD=DC?请求出点C 的坐标;(3)如图,以AB为边在AB的下方作等边△ABP,点B在y轴上运动时,求OP的最小值.7.(郡维)等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E.(1)如图(1),已知C点的横坐标为﹣1,直接写出点A的坐标;(2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB =∠CDE;(3)如图(3),若点A在x轴上,且A(﹣4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连接CD 交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化?若变化请说明理由,若不变化,请求出BP的长度.8.(长郡)如图,在△ABC中.AB=AC,点E在线段BC上,连接AE并延长到G,使得EG=AE,过点G作GD∥BA分别交BC,AC于点F,D.(1)求证:△ABE≌△GFE;(2)若GD=3,CD=1,求AB的长度;(3)过点D作DH⊥BC于H,P是直线DH上的一个动点,连接AF,AP,FP,若∠C=45°,在(2)的条件下,求△AFP周长的最小值.9.(广益)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(0,3)与点B关于x轴对称,点C(n,0)为x轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°,点D在第一象限内.连接BD,交x轴于点F.(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度数;(2)用含n的式子表示点D的坐标;(3)在点C运动的过程中,判断OF的长是否发生变化?若不变求出其值,若变化请说明理由.题型二:等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10.(雅境)(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.①∠AEB的度数为②猜想线段AD,BE之间的数量关系为:,并证明你的猜想.(2)拓展探究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请求出∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系.11.(郡维)如图1,已知△ABC和△EFC都是等边三角形,且点E在线段AB上.(1)求证:BF∥AC;(2)过点E作EG∥BC交AC于点G,试判断△AEG的形状并说明理由;(3)如图2,若点D在射线CA上,且ED=EC,求证:AB=AD+BF.12.(北雅)已知:△ABC为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点,AD=DE.(1)如图1,当E在AC的延长线上且CE=CD时,求证:BD=CD;(2)如图2,当E在AC的延长线上时,AB+BD等于AE吗?请说明理由;(3)如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出AB、BD、AE的数量关系,并证明.13.(中雅)已知△ABC为等边三角形,取△ABC的边AB,BC中点D,E,连接DE,如图1,易证△DBE为等边三角形,将△DBE绕点B顺时针旋转,设旋转的角度∠ABD=α,其中0<α<180°.(1)如图2,当α=30°,连接AD,CE,求证:AD=CE;(2)在△DBE旋转过程中,当α超过一定角度时,如图3,连接AD,CE会交于一点,记交点为点F,AD交BC于点P,CE交BD于点Q,连接BF,请问BF是否会平分∠CBD?如果是,求出α,如果不是,请说明理由;(3)在第(2)问的条件下,试猜想线段AF,BF和CF之间的数量关系,并说明理由.14.(雅实)如图1,△ABC为等腰三角形,∠ABC=90°,点P在线段BC上(不与B、C 重合),以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ,且点Q在AP的左下方,过点Q作QE⊥AB于点E.(1)求证:△P AB≌△AQE;(2)连接CQ交AB于M,若PC=2PB,求的值.(3)如图2,过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F,过P点作DP⊥AP交AC于点D,连接DF,当点P在线段BC上运动时(不与B,C重合),式子的值会变化吗?若不变,求出该值;若变化,请说明理由.15.(师梅)如图1,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,AB=AC,16.∠BAC=90°,CM⊥y轴,交y轴于点M.(1)求证∠ABO=∠CAM;(2)如图2,D,E为y轴上的两个点,BD=BE,BD⊥BE,求∠CEM的度数;(3)如图3,△P AQ是等腰直角三角形,∠P AQ为顶角,点Q在x轴负半轴上,连接CB,交y轴于点H,AC与x轴交于点G,连接PC,交AQ于点K,交x轴于点N,若CN=CM,NG=3,HM=2,求GH.16.(博才)如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,(1)求C点的坐标;(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,P A为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP﹣DE的值;(3)如图3,已知点F坐标为(﹣2,﹣2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时,以下两个结论:①m﹣n为定值;②m+n为定值,其中只有一个结论是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.17.(青竹湖)如图,四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示,且A(0,a),B (b,a),C(b,0),又a,b满足﹣+b2+4b+8=0,点P在x轴上且横坐标大于b,射线OD是第一象限的一条射线,点Q在射线OD上,BP=PQ.并连接BQ交y 轴于点M.(1)求点A,B,C的坐标为A、B、C.(2)当BP⊥PQ时,求∠AOQ的度数.(3)在(2)的条件下,若点P在x轴的正半轴上,且OP=3AM,试求点M的坐标.。

专题05 三角形(解答题)(上海精编)-七年级数学下学期挑战满分期末冲刺卷(沪教版)(原卷版)

专题05 三角形(解答题)(上海精编)-七年级数学下学期挑战满分期末冲刺卷(沪教版)(原卷版)

专题05 三角形(共51题)(解答题)上海各区期末试题为核心,上海名校试题为拓展一、解答题1.(2020·上海松江区·七年级期末)在△ABC 中,已知△A :△B :△C =2:3:5,求△A 、△B 、△C 的度数. 2.(2020·上海松江区·七年级期末)如图,已知 AD △BC ,点E 是AD 的中点,EB =EC .试说明AB 与CD 相等的理由.3.(2020·上海闵行区·七年级期末)如图,已知在△ABC 中,△B =80°,点D 在BC 的延长线上,△ACD =3△A ,求:△A 的度数.4.(2020·上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末)根据要求画图(不要求写画法)(1)画△ABC ,使3BC cm =,50A ∠=︒,100C ∠=︒;(2)在△ABC 中,画出边BC 上的高.5.(2020·上海市建平中学七年级期末)如图,点 E 是等边ABC ∆外一点,点 D 是 BC 边上一点,AD BE =,CAD CBE ∠=∠,联结ED 、EC .试判断DCE ∆的形状,并说明理由.6.(2020·上海市建平中学七年级期末)如图,在ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥,垂足为D ,点 E 在AD 上,点F 在AD 的延长线上,且//CE BF ,试说明DE DF =.=,AD BCAB AC⊥∴=()BD//CE BF∴∠=()CED(完成以下说理过程)7.(2020·上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末)如图,已知,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD、CE.=的理由;(1)说明BD CE(2)延长BD,交CE于点F,求△BFC的度数.8.(2020·上海松江区·七年级期末)如图,在Rt△ABC中,△ACB=90°,AC=BC,点D在边BC上(不与点B、C重合),BE△AD,重足为E,过点C作CF△CE,交线段AD于点F.(1)试说明△CAF△△CBE的理由;(2)数学老师在课堂上提出一个问题,如果EF=2AF,试说明CD=BD的理由.班级同学随后进行了热烈讨论,小明同学提出了自己的想法,可以取EF的中点H,联结CH,就能得出结论,你能否能根据小明同学的想法,写出CD=BD的理由.9.(2020·上海浦东新区·七年级期末)如图,已知点C是线段AB上一点,△DCE=△A=△B,CD=CE.(1)说明△ACD与△BEC全等的理由;(2)说明AB=AD+BE的理由.10.(2020·上海浦东新区·七年级期末)如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,△BAC=80°,AD△BC,AD=AB,联结BD并延长,交AC的延长线于点E,求△E的度数.11.(2018·上海虹口区·七年级期末)如图,已知AB=CD,点E是AD的中点,EB=EC.试说明AD//BC的理由.12.(2018·上海虹口区·七年级期末)说理填空:如图,点E是DC的中点,EC=EB,△CDA=120°,DF//BE,且DF平分△CDA,求证:△BEC为等边三角形.解: 因为DF 平分△CDA (已知)所以△FDC=12△________. ( ) 因为△CDA=120°(已知)所以△FDC=______°.因为DF//BE (已知)所以△FDC=△_________.(____________________________________)所以△BEC = 60°,又因为EC=EB ,(已知)所以△BCE 为等边三角形.(_____________________________)13.(2018·上海虹口区·七年级期末)如图,在ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,CD 与BE 交于点O ,且满足BD CE =,12∠=∠.试说明ABC 是等腰三角形的理由.14.(2018·上海杨浦区·七年级期末)如图,已知O 是等边三角形ABC 内一点,D 是线段BO 延长线上一点,且OD OA =,120AOB ∠=︒,求BDC ∠的度数.15.(2018·上海杨浦区·七年级期末)如图,已知90B C ∠=∠=︒,AE ED ⊥,AB EC =,点F 是AD 的中点,说明EF AD ⊥的理由.解:△AE ED ⊥(已知),△90AED ∠=︒(垂直的意义).又△90B ∠=︒(已知),△B AED ∠=∠(等量代换).△AEC B BAE ∠=∠+∠(_____________________________________________).即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠.△BAE DEC ∠=∠(等式性质).在ABE ∆与ECD ∆中,()()()B C AB EC BAE DEC ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知已知已证 △ABE ECD ∆∆≌(______________________),△AE ED =( )△___________________________________(已知),△EF AD ⊥(___________________________________________).16.(2018·上海杨浦区·七年级期末)如图,已知线段5BC =厘米,以点B 为圆心、4厘米长为半径画弧,再以点C 为圆心、3厘米长为半径画弧.设两条弧在BC 的上方交于点A ,在BC 的下方相交于点D ,联结AB 、AC 、DB 、DC .(1)请按上面的步骤画出ABC ∆、DBC ∆;(2)联结AD ,说明AD 与BC 有怎样的位置关系?请说明理由.解:17.(2018·上海松江区·)如图,在ABC ∆中,已知AB AC =,点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上,且BD CE =,BF CD =.(1)说明BDF CED ∆≅∆的理由;(2)说明FDE B ∠=∠的理由.18.(2018·上海松江区·)书上的一个等腰三角形被墨迹污染了,只有底边AB 和底角B 可见.(1)请你画出书上原来的等腰ABC ∆的形状,并写出结论;(可以使用尺规或三角板、量角器等工具,但保留画图痕迹及标志相应符号);(2)画出ABC ∆边AB 上的高,点D 为垂足,并完成下面的填空:将“等腰三角形底边上的高平分底边和顶角”的性质用符号语言表示:在ABC ∆中,如果AC BC =,且CD AB ⊥,那么_______________,且_________________.19.(2017·上海长宁区·七年级期末)如图,点D 是等边ABC ∆中边AC 上的任意一点,且BDE ∆也是等边三角形,那么AE 与BC 一定平行吗?请说明理由.20.(2017·上海长宁区·七年级期末)如图,已知:90B C AED ∠=∠=∠=︒.(1)请你添加一个条件,使ABE ∆与ECD ∆全等,这个条件可以是_______.(只需填写一个)(2)根据你所添加的条件,说明ABE ∆与ECD ∆全等的理由.21.(2017·上海长宁区·七年级期末)如图,在ABC ∆中,点D 在BC 边上,3C ∠=∠,123∠=∠.说明ABD ∆是等腰三角形的理由.下面七个语句是说明ABD ∆是等腰三角形的表述,但是次序乱了.请将这七个语句重新整理,说明ABD ∆是等腰三角形,并说出依据.△ABD ∆是等腰三角形;△23C ∠=∠+∠;△3C ∠=∠;△AB AD =;△123∠=∠;△123∠=∠;△223∠=∠;△12∠=∠.整理如下:22.(2018·上海杨浦区·七年级期末)(1)如图,在△ABC 中,AB =AC ,△A =36°,BD 平分△ABC 交AC 于D .请说明△BDC 是等腰三角形;(2)在(1)的条件下请设计四个不同的方案,将△ABC 分割成三个等腰三角形,请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数;(3)若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形,则原三角形中最大内角的所有可能值为 .23.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,在ABC ∆和DEF ∆中,点,,,B E C F 在同一直线上,请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件,余下的1个作为结论,并说明结论正确的理由.△AB DE =;△AC DF =;△ABC DEF ∠=∠;△BE CF =.24.(2019·上海崇明区·七年级期末)如图,在ABC 中,E 是AD 上的一点,EB EC =,ABE ACE =∠∠,请说明AD BC ⊥.解:因为EB EC =(已知),所以EBC ECB ∠=∠(△).又因为ABE ACE =∠∠(已知),所以ABE EBC ACE ECB ∠+∠=∠+∠(△).即A ABC CB =∠∠.所以AB AC =(△). 在ABE △和ACE △中,()()()AB AC EB EC AE AE ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已证已知④,所以ABE ACE △≌△(△).得BAD CAD ∠=∠(△).所以AD BC ⊥(△).25.(2019·上海奉贤区·七年级期末)阅读并填空:如图,ABC 是等腰三角形,AB AC =,D 是边AC 延长线上的一点,E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ,如果OE OD ,那么CD BE =,为什么?解:过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠(两直线平行,同位角相等)D OEF ∠=∠(________)在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△,(________)所以CD FE =(________)因为AB AC =(已知)所以ACB B =∠∠(________)所以EFB B ∠=∠(等量代换)所以BE FE =(________)所以CD BE =26.(2019·上海杨浦区·七年级期末)如图,在'''ABC A B C ∆∆和中,已知'A A ∠=∠,'B B ∠=∠,''AB A B =,试把下面运用“叠合法”说明ABC ∆和'''A B C ∆全等的过程补充完整:说理过程:把ABC ∆放到'''A B C ∆上,使点A 与点'A 重合,因为 ,所以可以使 ,并使点C 和'C 在AB (''A B )同一侧,这时点A 与'A 重合,点B 与'B 重合,由于 ,因此, ;由于 ,因此, ;于是点C (射线AC 与BC 的交点)与点'C (射线''A C 与''B C 的交点)重合,这样 .27.(2020·上海市民办立达中学七年级期末)如图点M是线段BC的中点,且AB=CD,AC=BD(1)试说明△ABC△△DCB的理由;(2)试说明AM=DM的理由.28.(2020·上海市民办立达中学七年级期末)如图,BD、CE分别是△ABC的高,在BD上取BN=AC,在射线CE上截取点M使得CM=BA,(1)补全下来说明△AMC和△NAB全等的过程及理由.解:△BD、CE分别是△ABC的高(已知)△△AEC=△ADB=90°(三角形高的意义)△△AEC+△EAC+△ACE=180°,△ADB+△DAB+△ABD=180°()△ (等式性质)在△AMC和△NAB中AC=NB(已知)△MCA=△ABN(已证)CM=BA(已知)△△AMC△△NAB()(2)猜想AM和AN有什么关系?(请直接回答,不需要写出证明过程)29.(2019·上海普陀区·七年级期末)如图,已知△ ABC 中,点D 、E 是BC 边上两点,且AD AE ,∠BAE =∠CAD = 90︒ ,(1)试说明△ABE 与△ACD 全等的理由;(2)如果 AD =BD ,试判断△ADE 的形状,并说明理由.30.(2019·上海普陀区·七年级期末)如图,已知△ABC ,分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外部作等边三角形ABD 和等边三角形ACE 联结DC 、BE 试说明DC =BE 的理由.31.(2019·上海长宁区·七年级期末)如图,已知AD 是ABC ∆的一条中线,延长AD 至E ,使得DE AD =,连接BE . 如果5,7AB AC ==,试求AD 的取值范围.32.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,已知ABC △中,AB AC =,O 是ABC △内一点,且OB OC =,试说明AO BC ⊥的理由.33.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,ABC △中,B C ∠=∠,D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC上,且BD CE =,DEF B ∠=∠求证:ED EF =.证明:△DEC B BDE ∠=∠+∠( ),且DEC DEF FEC ∠=∠+∠(如图所示),△DEF FEC B BDE ∠+∠=∠+∠(等量代换)又△DEF B ∠=∠(已知), △BDE =∠∠________________(等式性质).在EBD △与FCE △中,______BDE BD CEB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(已知)(已知) △EBD FCE △≌△( )△ED EF =( ).34.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,点A E F C 、、、在一直线上,,,DE BF DE BF AE CF ==∥.试说明AB CD ∥的理由.35.(2019·上海浦东新区·七年级期末)阅读并填空:如图,已知在ABC △中,AB AC =,点D E 、在边BC 上,且AD AE =,说明BD CE =的理由.解:因为AB AC =,所以_______________(等边对等角).因为_______________,所以AED ADE ∠=∠(等边对等角).在ABE △与ACD 中,______________,,AED ADE AB AC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ABE ACD △≌△(_______________)所以_______________(全等三角形对应边相等),所以_______________(等式性质).36.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,已知:在ABC 中,点D ,E 是边BC 上的两点,且,AB BE AC CD ==.(1)若90BAC ∠=︒,求DAE ∠的度数;(2)若120BAC ∠=︒,直接写出DAE ∠的度数;(3)设,BAC DAE αβ∠=∠=,猜想α与β的之间数量关系(不需证明).37.(2018·上海金山区·七年级期末)如图,点D ,E 分别是ABC 的边BC 上两点,请你在下列三个式子AB AC =,AD AE =,BD CE =中,选两个作为条件,余下的一个作为结论,编写一个说理题,并进行解答.如图,已知点D ,E 分别是ABC 的边BC 上两点______,______,那么______吗?为什么?38.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,在等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,B ,P ,Q 三点在一条直线上,且△ABP =△ACQ ,BP =CQ ,问△APQ 是什么形状的三角形?试证明你的结论.39.(2019·上海浦东新区·七年级期末)如图,已知AC=BC=CD ,BD 平分△ABC ,点E 在BC 的延长线上.(1)试说明CD△AB 的理由;(2)CD 是△ACE 的角平分线吗?为什么?40.(2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考)如图,在四边形ABCD 中, //AD BC ,E 是AB 的中点,连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ,点G 在边BC 上,且GDF ADF ∠=∠.(1)求证:ADE ∆△BFE ∆.(2)连接EG ,判断EG 与DF 的位置关系并说明理由.41.(2020·上海市第十中学七年级月考)如图,点 C 为线段 AB 上一点,△ACM 、△CBN 都是等边三角形,AN 、MC 交于点 E ,BM 、CN 交于点 F(1)说明 AN=MB 的理由(2)△CEF 是什么三角形?为什么?42.(2020·上海市第十中学七年级月考)如图,在△ABC 中,点 D 、E 分别在 BC 、AC 上且 BD=CE ,AD=DE , △C =△ADE , 则△B =△C ,试填写说理过程.解因为△EDB =△C+△DEC ( )即△ADB+△ADE =△C+△DEC因为△C =△ADE ( )所以△ =△ (等式性质)在△ABD 与△DCE 中,AD=DE ADB=DEC _________⎧⎪∠∠⎨⎪⎩所以△ABD △ △DCE ( )所以△B =△C ( )43.(2018·上海市久隆模范中学七年级月考)如图,已知ABC 中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D为AB 的中点.(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动. △若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP 是否全等,请说明理由; △若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, BPD △与CQP 是否可能全等?若能,求出全等时点Q 的运动速度和时间;若不能,请说明理由.(2)若点Q 以△中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC 三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇?44.(2019·上海浦东新区·七年级月考)如图,已知:BD CE =,AB AC =,AD AE =,且B 、C 、D 三点在一直线上,请填写23∠∠=的理由.解:在ABD ∆与ACE ∆中,BD CE =(已知), AB AC =(已知), AD AE =(已知), 所以ABD ACE ∆≅∆所以B ACE ∠=∠BAD ∠=∠________(________)所以BAD CAD ACE CAD ∠-∠=∠-∠(等式性质),即∠________=∠________.因为1ACD B ∠=∠+∠(________)即31ACE B ∠+∠=∠+∠,所以13∠=∠(________).所以23∠∠=(等量代换).45.(2018·上海市第八中学七年级月考)如图,已知分别以△ABC 的边AB 、AC 为腰向外做等腰三角形△ABD 和△ACE ,且△BAD=△EAC=40°,(1)试说明△DAC 与△BAE 全等的理由.(2)求△BFC 的度数46.(2019·上海七年级月考)如图,已知四边形ABCD 中,AB=10厘米,BC=8厘米,CD=12厘米,△B=△C,点E 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时.点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动.(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPE 与△CQP 是否全等?请说明理由.(2)当点Q 的运动速度为多少时,能够使△BPE 与△CQP 全等.47.(2019·上海市兴陇中学七年级月考)如图,在△ABC 中,△BAC=90°,AB=AC ,点D 是BC 上一动点,连接AD ,过点A 作AE△AD ,并且始终保持AE=AD ,连接CE .(1)求证:△ABD△△ACE ;(2)若AF 平分△DAE 交BC 于F ,探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若BD=3,CF=4,求AD 的长.48.(2020·四川成都市·七年级期末)如图,在△ABC 中.AB =AC ,点E 在线段BC 上,连接AE 并延长到G ,使得EG =AE ,过点G 作GD △BA 分别交BC ,AC 于点F ,D .(1)求证:AB =GF ;(2)若GD ═10,AD =3,求DC 的长度;(3)在(2)的条件下,S △DCF =7,求△ABC 的面积.49.(2020·辽宁沈阳市·七年级期末)已知△ACD =60°,AC =DC ,MN 是过点A 的直线,B 、E 两点在直线MN 上,△BCE =60°,CB =CE .(1)问题发现:如图1,BD 和EA 之间的数量关系为 ,BD 、AB 、BE 之间的数量关系为 ; (2)拓展探究:当MN 绕点A 旋转到如图2位置时,BD 、AB 、BE 之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.(3)解决问题:当MN 绕点A 分别旋转到如图2和如图3位置时,若当时△CAN =50°,连接AD ,则△ADB 的大小为 .50.(2020·四川雅安市·七年级期末)如图,在ABC ∆中,AC BC =,90ACB ∠=︒,点D 为ABC ∆内一点,且BD AD =.(1)求证:CD AB ⊥;(2)若15CAD ∠=︒,E 为AD 延长线上的一点,且CE CA =.△求BDC ∠的度数.△若点M 在DE 上,且DC DM =,请判断ME 、BD 的数量关系,并说明理由. △若点N 为直线AE 上一点,且CEN ∆为等腰∆,直接写出CNE ∠的度数.51.(2020·四川成都市·七年级期末)(1)如图1,ABC 和DCE 都是等边三角形,且B ,C ,D 三点在一条直线上,连接AD ,BE 相交于点P ,求证:BE AD =. (2)如图2,在BCD 中,若120BCD ∠<︒,分别以BC ,CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ,等边CDE △,等边BDF ,连接AD 、BE 、CF 恰交于点P . △求证:AD BE CF ==;△如图2,在(2)的条件下,试猜想PB ,PC ,PD 与BE 存在怎样的数量关系,并说明理由.。

二次函数中特殊三角形存在性问题(解析版)(北师大版)

二次函数中特殊三角形存在性问题(解析版)(北师大版)

专题05二次函数中特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一点,且ΔΔ2PAC DAC S S =(3)M 为抛物线对称轴上一点,是否存在以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形,的坐标,若不存在,请说明理由.1(3) 点A与点B关于对称轴②如图,以点B 为圆心,BC BCM 为等腰三角形.在Rt BEM 中,BM BC =∴22(210)42EM =-=∴此时点M 的坐标为(2,-2③如图,作线段BC 的垂直平分线,与时MB MC =,BCM 为等腰三角形.∴综上所述:点M的坐标为【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题,求出到底边的距离等于高的直线解析式,利用画【变式训练1】.如图,已知直线两点,且与x轴的另一个交点为(1)求抛物线的表达式;(2)D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为坐标;点D 的横坐标为m ,248433D m m m ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭,248433DF m m ∴=--+∴点P 点B 关于y 轴对称,PC BC ∴=,此题PBC 是等腰三角形,延长BC 交直线=1x -于点90P PB '∠=︒ ,90CP P CBP '∴∠+∠=︒,CBP CPB ∠=∠ ,221BP BC = ,()221117r ∴++=,解得:113r =,2r =-()113P ∴-,,如图4,2BP BC =,且点设直线=1x -与x 轴交于点(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点,求(3)直线x m =(不经过点的值.【答案】(1)25y x x =-+设()2,54P t t t -+,则D ()(245PD t t ∴=-+-- BCP PDB PDC S S S =+△△△11S PD OB ∴=⨯=(1)求m 的值及这个二次函数的关系式:(2)求ABC 的面积;(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点写出符合条件的Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)1m =,221y x x =++(2)3(1)若直线y mx n =+经过B ,(2)在抛物线的对称轴=1x -上找一点(3)设点P 为抛物线的对称轴【答案】(1)3y x =+,y =-(2)2()1,M -综上,P 点的坐标为(1,1)-,(-【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式,二次函数的性质,两点之间线段最短,等腰三角形的性质;根据几何图形的性质构建方程是解题的关键.类型二、直角三角形存在性问题例.如图,已知抛物线2y ax =(1)求抛物线的解析式;(2)直接写出直线AC 的解析式和点(3)在线段AD 下方的抛物线上求一点(4)在抛物线的对称轴上是否存在点不存在,请说明理由.设215266E x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,其中所以2111226PE x x ⎛=-+- ⎝所以1S S S 2AED AEP PED =+=⨯ 因为203-<,开口向下,所以S AED 有最大值,最大值为把1x =代入21566y x x =-此时813E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,;(4)解:存在,如图(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的点【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识,解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题.∥则:CD PN∠=∠∴CDO PNF由题意可得OB OC =,OC BC'⊥∴1452BOF BOC ∠=∠=︒,45D FC OFE ''∠=∠=︒数的性质求出最大值即可得答案;(3)设()P 3m -,,分ACP 90∠=︒时,CAP 90∠=︒时,APC 90∠=︒时,三种情况讨论,利用勾股定理求出m 的值即可得答案.【详解】(1)把()()A 7,0,B 1,0-两点坐标代入2y x bx c=-++得497010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩,解得:67b c =-⎧⎨=⎩,∴抛物线方程为:2y x 6x 7=--+,顶点坐标()M 316-,,(2)如图1,设矩形EMDF 的周长为l ,()2E x x 6x 7,--+,∴2EH x 6x 7=--+,∵A (-7,0),B (1,0),∴抛物线对称轴为直线x=-3,①当7x 3-<<-时,EF 3x =--,()l 2EH EF =+,=()22x 6x 73x --+--=()22x 7x 4--+=()22x 7x 4-+-2(1)求点B的坐标;(2)分别求出直线(3)在抛物线的对称轴上是否存在点出点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型三、等腰直角三角形存在性问题(1)点P的坐标为(2)若点M在PC的垂直平分线上,且在第一象限内,当为.2,4(1,1【答案】()【分析】(1)由题意可得点A∴112122EP CP==⨯=.当BPM△是等腰直角三角形时,且只有以点∴PM MB=,∵PME DMB DMB∠+∠=∠+∴PME MBD∠=∠,(1)求抛物线的关系式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE、设()2,43P m m m -+,过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形,∴2MN OH ==,OM NH =∵PM m =,∴2PN MN PM m =-=-,∵POF 为等腰直角三角形,则∴90MPO FPN ∠+∠=︒,∵90MPO MOP ∠+∠=︒,过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形,∴2MN OH ==,OM NH =∵PM m =,∴2PN MN PM m =-=-,同上可得(AAS MOP PNF △≌△∴OM PN =,∴2432m m m -+=-,过点P 作PM x ⊥轴于点M ∴四边形MHFN 为矩形,∴FN HM OM OH m ==-=-∵POF 为等腰直角三角形,则∴90MPO FPN ∠+∠=︒,∵90MPO MOP ∠+∠=︒,∴∴()AAS MOP PNF △≌△,∴∴2432m m m -+-=-,解得:35+过点P 作PM x ⊥轴于点M ,过点(1)直接写出抛物线1C (2)如图,点A 在抛物线求点A 的坐标.【答案】(1)(1:C y x =-设点A ()()2,26m m --,则 OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形,AB AO ∴=,∴()HL ABD AOC ≌,BD AC ∴=,2m ∴-=(1)求该抛物线的解析式及顶点Q 的坐标.(2)连结CQ ,判断线段CQ 与线段AE 有何关系,请说明理由.(3)如图2.若点P 是直线AD 上方的抛物线上的一动点,设点P 的横坐标为①连结PA 、PD ,当m 为何值时,12PAD DAB S S =△△.②在直线AD 上是否存在一点H 使PQH 为等腰直角三角形,若存在请求出∵3OB OC AO ==,∴3OB =,1OA =,∴()3,0B ,()1,0A -,设抛物线解析式为2y ax bx c =++,∴30930c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩,解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴抛物线解析式为223y x x =-++,∵()222314y x x x =-++=--+,∴顶点()1,4Q ;(2)解:过点Q 作QG OB ⊥与点G ,过点C 作CM QG ⊥于点M ,交AD 于点N ,则1CM OG ==,4QG =,∵4MG OC ==,∴1QM QG MG =-=,∴1CM QM ==,又90CMQ ∠=︒,∴45CQM QCM ∠=∠=︒,对于1y x =+,令0x =,则1y =,∴()0,1E ,又()1,0A -,则3DF =,设()2,23P m m m -++∴223PK m m =-++当12PAD DAB S S =△△时,∵90GQP QPG ∠+∠=︒,90QPG HPM ∠+∠=︒,∴HPM GQP ∠=∠,又90HMP PGQ ∠=∠=︒,PH PQ =,∴PHM QPG ≌ ,∴PG MH =,GQ PM =,∴()2423m m t m --++=-,21231m m m t -=-++--,解得0m =或2m =(舍去);Ⅱ、当90PQH ∠=︒时,如图,当QP QH =时,则点P 、H 关于抛物线的对称轴对称,即PH 垂直于抛物线的对称轴,∴PH x ∥轴,∴45QHP QPH ∠=∠=︒,同Ⅰ可得0m =或2m =(舍去);Ⅲ、当90QHP ∠=︒时,点P 在AD 的下方,与题意不符.综上,m 的值为0.【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式,抛物线上点的坐标的特征,一次函数图象上点的坐标特征,平行线的判定与性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.(1)求抛物线解析式;(2)点Q 是抛物线上一动点,且满足23ABQ ABC S S = ,求Q (3)P 是对称轴左侧抛物线上一动点,以AP 为斜边作等腰直角三角形,图形并求出P 点坐标.【答案】(1)223y x x =+-;(2)点Q 的坐标为()16,2-+或()16,2--或(12,-+-(3)(2,3)--或()4,5-.①点P 在第三象限时,抛物线223y x x =+-的对称轴为直线=1x -,∴2AQ =,过点P 作PG DM ⊥于G ,∴90PGM MQA ∠=∠=︒,90MPG PMG ∴∠+∠=︒,∵90AMP ∠=︒,∴90PMG AMQ ∠+∠=︒,∴MPG AMQ ∠=∠,在PGM △和MQA △中,90PGM MQA MPG AMQ MP MA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS PGM MQA ≌,∴2MG AQ ==,PG QM =,设()1,(0)M m m -<,∴QM m =-,∴PG m =-,2QG QM MG m =+=-,∴()1,2P m m --,点P 在抛物线223y x x =+-上,∴()2(1)2132m m m -+--=-,12m ∴-=-或11(m -=舍),()2,3P ∴--.②当点P 在第二象限时,同①的方法得,()4,5P -;综上所述,点P 的坐标为()2,3--或()4,5-.【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积公式,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,会利用数形结合的思想及方程的思想方法解决数学问题是关键.。

专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法(原卷版)(北师大版)

专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法(原卷版)(北师大版)

专题05坐标系中与几何图形有关的四种考法类型一、点的规律性问题【变式训练1】如图,在平面直角坐标系中,点第二次向左跳动3个单位至点()221P -,,至点()432P -,,第五次跳动至点()533P ,点P 的坐标是【变式训练2】如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移右平移1个单位,得到点()11,1A 点()21,3A -;把点2A 向下平移3下平移4个单位,再向右平移4的坐标为.【变式训练4】如图,在直角坐标系中,第一次将换成22OA B △,第三次将则n A 的坐标为类型二、将军饮马最值问题例.如图,ABC 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A -,(1,1)B --,(3,2)C -.(1)在图中,请画出与ABC 关于x 轴对称的A B C ''' ;(2)直接写出点B '的坐标;(3)求作y 轴上一点P ,使得BP PC +最短.(1)请画出与四边形ABCD 关于直线m 成轴对称的四边形(2)求四边形1111D C B A 的面积;(3)在直线m 上作一点P ,使得PD PC +的长度最小,请在直线(1)作ABC 关于y 轴的轴对称图形得(2)已知点P 是x 轴上一点,则1PA +关于直线m (1)作出ABC称点为C').的面积为.(2)ABC(3)点P直线m上的动点,求类型三、面积问题(1)填空:=a______,b=______ (2)如果在第三象限内有一点(M(3)在(2)条件下,当32m=-时,的面积相等,请求出点P的坐标.(1)填空:=a______,b=(2)如果在第三象限内有一点(3)在(2)的条件下,当m=形ABM的面积相等,请求出点类型四、角度数量关系问题(1)直接写出b,c的值:b=__________,c=__________(2)当点P在直线OC上运动时.是否存在一个点P点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)不论点P运动到直线OC上的任何位置(不包括点者之间是否存在某种固定的数量关系,如果存在,请直接写出它们的关系;如果不存在,请(1)直接写出a ,c 的值.(2)如图1,点()4,4B ,在第二象限内有一点,P m ⎛ ⎝范围.(3)如图2,若DOA DAO ∠=∠,点G 是第二象限内一点,上一动点,连接AE 交OD 于点H ,当点E 在OC 上运动时,(1)=a ______,b =______.(2)如图2,若AC BC ⊥,点P 线段OC 上一点,连接BP ,延长BP 交AC 于点CPQ CQP ∠∠=时,求证:BP 平分ABC ∠.(3)如图3,若AC BC ⊥,点E 是点A 与点B 之间一动点,连接CE ,CB 始终平分当点E 在点A 与点B 之间运动时,BEC BCO∠∠的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由.(1)=a ______,b =______,B 点的坐标为______(2)点P 在y 轴上运动的过程中,是否存在三角形存在,请求出点P 的坐标,若不存在请说明理由.(3)点P 在y 轴上运动的过程中,APB ∠与PAO ∠写出.课后训练2.【初步探究】(1)如图1,在四边形ABCD 中,90B C ∠=∠=︒,E 是边BC 上一点,,AB EC BE CD ==,连接,AE DE .请判断AED △的形状,并说明理由.【问题解决】(2)若设,,DE c CD a CE b ===,试利用图1验证勾股定理.【拓展应用】(3)如图2,在平面直角坐标系中,已知点(2,0)A ,点(4,1)B ,点C 在第一象限内,若ABC 为等腰直角三角形,求点C 的坐标.3.综合与实践.积累经验我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定,在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.例如:我们在解决:“如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,线段DE 经过点C ,且AD DE ⊥于点D ,BE DE ⊥于点E .求证:AD CE =,CD BE =”这个问题时,只要证明ADC CEB ∆∆≌,即可得到解决,(1)请写出证明过程;类比应用(2)如图2,在平面直角坐标系中,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 的坐标为()0,2,点C 的坐标为()1,0,求点B 的坐标.拓展提升(3)如图3,ABC ∆在平面直角坐标系中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 的坐标为()2,1,点C 的坐标为()4,2,则点B 的坐标为____________.4.如图1,在Rt OAB V 中,90B Ð=°,BO BA =,以点O 为原点,OA 所在直线为x 轴,顶点B 在第一象限,建立平面直角坐标系.(1)若6OA =,求点B 的坐标;(2)如图2,点C 在y 轴负半轴上,连接BC ,交x 轴于点D ,过点B 作BE BC ⊥,交x 轴于点E ,线段OC ,OE ,OB 有怎样的数量关系?请说明理由;(3)在(2)的条件下,如图3,点F 在x 轴负半轴上,45FBC ∠=︒,2FD ,2OF ,2AD 之间有怎样的数量关系?请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,直线1y x =+分别交x 轴,y 轴于点A 、B .另一条直线CD 与直线AB 交于点(),6C a ,与x 轴交于点()3,0D ,点P 是直线CD 上一点(不与点C 重合).(1)求a 的值.(2)当APC △的面积为18时,求点P 的坐标.(3)若直线MN 在平面直角坐标系内运动,且MN 始终与AB 平行,直线NM 交直线CD 于点M ,交y 轴于点N ,当90BMN ∠=︒时,求BMN 的面积.6.如图,已知长方形OABC ,AB OC ∥,AO BC ,O 为平面直角坐标系的原点,3OA =,4OC =,点B 在第四象限.(1)直接写出点B 的坐标______;(2)点Q 从原点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O A B C O ----的路线运动.①当点Q 运动了4秒时,直接写出此时点Q 的坐标______;②当三角形OAQ 的面积为3时,直接写出点Q 的坐标;(3)若过点B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点P ,且直线BP 将长方形OABC 的面积分为1:4两部分,求点P 的坐标.。

三角形存在性问题【考点精讲】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)

  三角形存在性问题【考点精讲】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)

1.判定△ABD的形状,并说明理由。

运用勾股定理或两点间的距离公式,求出该三角形各边的长,再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状。

2.在对称轴x=1上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.设出动点P的坐标为(1,t)后,分三种情况,若P为顶点,则PB=PC;若B为顶点,则BP=BC;若C为顶点,则CP=CB。

分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度,列方程求解即可。

3.若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若△ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离,再分类讨论等腰三角形各边的情况,进而求出点P的坐标。

4.△ABD与△BOD是否相似?说明理由.专题20 三角形存在性问题知识导航方法技巧用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长,再用相似的判定方法,注意相似中没有指明对应边,所以要分类讨论。

题型一:等腰三角形存在性问题【例1】(四川南充市)如图,已知抛物线2()40y ax bx a=++≠与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为52x=.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ.当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由.(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且2DQE ODQ∠=∠.在y轴上是否存在点F,使得BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.题型精讲题型二:直角三角形存在性问题【例2】(四川广安市)如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点,其中A 点坐标为()3,0,B 点坐标为()1,0-,连接AC 、BC .动点P 从点A 出发,在线段AC个单位长度向点C 做匀速运动;同时,动点Q 从点B 出发,在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ ,设运动时间为t 秒.(1)求b 、c 的值;(2)在P 、Q 运动的过程中,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小,最小值为多少?(3)在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ,使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.题型三:等边三角形存在性问题【例3】(遵义)如图,抛物线y=ax2+94x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点,过点M作MP△y轴,交抛物线于点P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)以M为圆心,MP为半径作△M,当△M与坐标轴相切时,求出△M的半径.题型四:三角形相似存在性问题【例4】(陕西)已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B (其中A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求点B 、C 的坐标;(2)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.提分训练1.(通辽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.(1)求抛物线的函数解析式;(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.2.(四川泸州市)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ,B ,C 三点(1)求证:△ACB =90° (2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点,过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ,交x 轴于点F . △求DE +BF 的最大值;△点G 是AC 的中点,若以点C ,D ,E 为顶点的三角形与AOG 相似,求点D 的坐标.3.(铜仁市)如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得△CMN=90°,且△CMN与△OBC 相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.4.(黑龙江中考真题)如图,抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -,与y 轴交于点C ,连接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,顶点为点D .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点,点Q 在射线ED 上,若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与BOC 相似,请直接写出点P 的坐标.5.(湖北)在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ,与y 轴交于点C ,顶点D 的坐标为()1,4-.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1,若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠,求点P 的坐标;(3)如图2,M 是直线BC 上一个动点,过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ,Q 是直线AC 上一个动点,当QMN 为等腰直角三角形时,直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标6.(湖南)如图所示,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且2OA =,4OB =,8OC =,抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ,与x 轴交于点N .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 是对称轴上的一个动点,是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.(3)D 为CO 的中点,一个动点G 从D 点出发,先到达x 轴上的点E ,再走到抛物线对称轴上的点F ,最后返回到点C .要使动点G 走过的路程最短,请找出点E 、F 的位置,写出坐标,并求出最短路程.(4)点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点,点R 在x 轴上,是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △?若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.。

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专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野
【例题精讲】
题型一、等腰三角形存在性问题
例1. 【2019·黄石期中】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2cm,E、F分别是AB、AC 的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为ts(0<t<1),则当t=______时,△PQF为等腰三角形.
例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知:如图,在Rt△ABC中,△C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为t秒.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
例3. 【2019·乐亭县期末】如图,矩形OABC的顶点A,C分别在坐标轴上,B(8,7),D(5,0),点P 是边AB或边BC上的一点,连接OP,DP,当△ODP为等腰三角形时,点P的坐标为______.
题型二、直角三角形存在性问题
例1. 【2019·厦门六中月考】如图,在RtΔABC中,△B=90°,AC=60,△A=60°.点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动,设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF△BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,ΔDEF为直角三角形?请说明理由.
题型三、等腰直角三角形存在性问题
例1. 【2019·株洲市期末】(1)操作思考:如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点,将其绕着点O旋转,若顶点A恰好落在点(1,2)处.则△OA的长为______;△点B的坐标为______.(直接写结果)
(2)感悟应用:如图2,在平面直角坐标系中,将等腰Rt△ACB如图放置,直角顶点C(-1,0),点A(0,4),试求直线AB的函数表达式.
(3)拓展研究:如图3,在直角坐标系中,点B(4,3),过点B作BA△y轴,垂足为点A,作BC△x轴,垂足为点C,P是线段BC上的一个动点,点Q是直线y=2x-6上一动点.问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ,若存在,请求出此时P的坐标,若不存在,请说明理由.
【刻意练习】
1. 【2019·大连市期末】如图,直线x=t与直线y=x和直线y=
1
2
-x+2分别交于点D、E(E在D的上方).
(1)直线y=x和直线y=
1
2
-x+2交于点Q,点Q的坐标为______;
(2)求线段DE的长(用含t的代数式表示);
(3)点P是y轴上一动点,且△PDE为等腰直角三角形,求t的值及点P的坐标.
2. 【2019·兴城市期末】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2,6),且与x 轴交于点B ,与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ,点C 的横坐标是1. (1)求此一次函数的解析式;
(2)请直接写出不等式(k -3)x +b >0的解集;
(3)设一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点M ,点N 在坐标轴上,当△CMN 是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.
3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图,在平面直角坐标系中,A (a ,0),B (0,b ),且a 、b 满足(a ﹣2)
2+
0.
(1)求直线AB 的解析式;
(2)若点M 为直线y =mx 上一点,且△ABM 是等腰直角三角形,求m 值;
(3)过A 点的直线y =kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ,N 点的横坐标为﹣1,过N 点的直线y =2k x ﹣2
k
交AP
于点M ,试证明
PM PN
AM
-的值为定值.
4. 【2019·厦门大学附中期末】如图(1),Rt △AOB 中,△A =90°,△AOB =60°,OB =,△AOB 的平分
线OC交AB于C,过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.
(1)求OC、BC的长;
(2)当t=1时,求△CPQ的面积;
(3)当P在OC上,Q在ON上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.
5. 【2019·潮州市期末】如图,在△ABC中,△A=120°,AB=AC=4,点P、Q同时从点B出发,以相同的速度分别沿折线B→A→C,射线BC运动,连接PQ. 当点P到达点C时,点P、Q同时停止运动. 设BQ=x,△BPQ和△ABC重叠部分的面积为S.
(1)求BC的长;
(2)求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)请直接写出△PCQ为等腰三角形时,x的值.
6. 【2019·南宁市期末】如图,在四边形ABCD中,AD△BC,△B=90°,AD=8cm,BC=10cm,AB=6cm,点
Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点C时,两点同时停止运动.若设运动时间为t(s).
(1)直接写出:QD=,PC=;(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时,四边形PQDC为平行四边形?
(3)若点P与点C不重合,且DQ≠DP,当t为何值时,△DPQ是等腰三角形?
7. 【2019·涟源市期末】如图,已知矩形ABCD,AB=8,AD=4,E为CD边上一点,CE=5,动点P从点B 出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接EP,设点P的运动时间为t秒,则当t为何值时,△P AE为等腰三角形.
8. 【2019·重庆外国语月考】如图,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△A=30°,AB=12,点F是AB的中点,
过点F作FD△AB交AC于点D.若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动,得到△A1F1D1,当F1与点B重合时停止移动.设移动时间为t秒,如果D1,B,F构成的△D1BF为等腰三角形,求出t值.
9. 【2019·平潭期中】如图,在平面直角坐标系中,A(0,8),B(4,0),AB的垂直平分线交y轴与点D,连接BD,M(a,1)为第一象限内的点.
(1)求点D坐标;
(2)当S△DBC=S△DBM时,求a的值;
(3)点E为y轴上的一个动点,当△CDE为等腰三角形时,直接写出点E的坐标.。

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