数圈创新押题卷答案
2025届福州市高考数学押题试卷含解析
2025届福州市高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-2．直线0(0)ax by ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切3．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62564．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-5．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D6．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个7．已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心12．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高考押题金卷(全国卷ⅱ)数学(文)试卷及答案解析
绝密★启封前 高考押题金卷（全国卷Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-r r r r r r，则m =（）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12- 4.甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（） (A)14(B)12(C)13(D)345.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7()B 5()C -5()D -76.下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（）A ．ln(y x =+B ．2y x = C ．tan y x =D ．xy e =（7）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如104(mod 6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》aaaa中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（）(A)6(B)9(C)12(D)218.已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=（A ）-74（B ）-54（C ）-34（D ）-149.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(12)+,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k=2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A.e>2B.1<e<3C.e>5D.1<e<512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 0x <<第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2025届福建省莆田市高考数学押题试卷含解析
2025届福建省莆田市高考数学押题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭2．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,23．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289 C ．329D ．3274．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-5．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >8．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．39．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．5210．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 11．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 12．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省各地2025届高考数学押题试卷含解析
河南省各地2025届高考数学押题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．722．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-3．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π4．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．326．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.7．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ）A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 8．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤9．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ） A ．2BCD ．311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．3C ．13-D ．1312．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题23 创新型问题-2020届高三数学选择填空压轴题题型总结与强化训练含答案
专题23 创新型问题-2020届高三数学选择填空压轴题题型总结与强化训练含答案【方法综述】创新型问题主要包括：（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.（Ⅱ）创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一实际应用问题【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____. 【答案】70 40【解析】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得a+b＝110 ③由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b＝1290 ④，解③④得：a ＝70人，b ＝40人， 故答案为：70，40．【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子： ①②③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）A ． ②③B ． ①④C ． ①③D ． ②④ 【答案】B类型二 创新性问题【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】B【解析】对于①，可得，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即，此时当k=100时，不存在，故①错误；对于②，若是在上的“追逐函数”，此时，解得，当时，，在是递增函数，若是“追逐函数”则，即，设函数即，则存在，所以②正确；对于③，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即，当k=4时，就不存在，故③错误；对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即此时取即，故存在存在，所以④正确；故选B【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．【例3】【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，①n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②①﹣②得2n﹣1a n＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即a n＝n+1，对n＝1时，a1＝2也成立，所以.【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( )A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】令，则，所以数列是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，所以数列是“数列”．综上，“数列”的个数为．本题选择C选项.2.【江西师范大学附属中学2019高三上期末】已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③．其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①由，，所以；x<2或时.②当x为整数时，当时，[x]=n，所以的值域为[0,1).③因为=所以n为偶数时=n为奇数时=所以==1010综上，只有命题①正确，故选B.【强化训练】一、选择题1．【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A．,B．,C．, D．,【答案】D【解析】设，为上任意一点：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；本题正确选项：2．【安徽省江南十校2019届高三3月检测】计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和．．．．为（）A．1973 B．1974 C．1975 D．1976【答案】C【解析】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：3．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二)】若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B4．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟】正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )A．4 B．3 C．8 D．6【答案】D【解析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，第六次回到E点，AE．故需要碰撞6次即可．故选：D．5．【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次诊断】设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；；；是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于①，是任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故③正确．对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确．本题正确选项：6．【湖南省岳阳市2019届高三二模】已知，若存在，使，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，且在上单调递减，所以函数只有一个零点.即，得.函数在区间上存在零点，由，得.令，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以只需即有零点，故选B.7．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于①，易得M＝1，∀k＞1，有21＝k，即为，＝log2（k+1），当k＝100时，log2（k+1），即不存在＜．对于②，，得m=M＝1，只需检验m=1时，是否符合题意，∀k＞1，有2＝1+ln＝k，即为，＝e k﹣1，即有e k﹣1⇔k＜e2k﹣2，由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0，即有x＜e2x﹣2，则存在＜；∴m=1满足题意对于③，易得M＝1，∀k＞1，有2＝2k，即为，，当k＝4，不存在＜x2．对于④，由题意又时，存在，取t=m+,此时，且k>,有2＝k，即为，，令g（k）==，k>, ∴，∴g（k）在（）单调递减，∴g（k）<g（）=,又t=m+, ∴g（）=0，即g（k）<0，∴<，故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④故选：B．8．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题：①函数不是“函数”；②函数是“函数”，且；③函数是“函数”；④函数是“函数”，且.其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】分析命题①：定义域为，，，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“函数”，故命题①是真命题.分析命题②：，定义域为，当时，函数是增函数，构造两个函数，，图象如下图所示：通过图象可知当，而，即，，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数是“m函数”，即成立，故命题②是真命题.分析命题③：函数定义域为，显然时，，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题③是假命题.分析命题④：函数定义域，当时，是增函数，故只需成立，是增函数，也就是成立，是增函数，构造二个函数，如下图所示：通过图象可知：当时，，而，所以.从而有时，时，函数是增函数，显然区间长度为，而所以函数是“函数”，又，即.故命题④是真命题.综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B.二、填空题9.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.【答案】1【解析】若为线周期函数则满足对任意，恒成立即，即则本题正确结果：10.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面.则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次．【答案】31【解析】设是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数时,;时,小金属片柱,大金属片柱,小金属片从柱柱,完成,；时, 小金属片柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,用种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用种方法把中、小两金属片从柱柱,完成，同样方法，依次可得：11．【北京延庆区2019届高三一模】已知集合，集合满足①每个集合都恰有5个元素;②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的最大值与最小值的和为_______.【答案】96【解析】易知，当的最大值为57.当的最小值为39.故答案为：9612．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.【答案】【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．13．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离为,已知点,则的取值范围为___.【答案】【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，令|x|=，|y|= ,则|x|，|y|故故答案为：．14．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.【答案】【解析】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，，当时，，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.15．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：①数列是等比数列；②数列是递增数列；③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.【答案】②④【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，，所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即④正确；③错误，综上可知正确的由②④.16．【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联考】若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）①；②；③.【答案】①②【解析】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.。
2024年中考数学考前押题密卷+(全解全析)(新疆卷)
2024年中考数学考前押题密卷（新疆卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2024−的相反数是（ ） A ．2024− B ．2024C ．12024−D ．12024【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【解析】2024−的相反数是2024， 故选：B ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解析】A ．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C ．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D ．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D ．3．如图，直线m n ∥，点A 在直线n 上，点B 在直线m 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线m 于点C ．若156∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．23︒B ．24︒C ．30︒D ．34︒【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出2180CAD ∠+∠=︒，结合已知条件即可求出2∠的度数． 【解析】如图所示，∵m n ∥，∴1180CAD ∠+∠=︒，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒， ∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵156∠=︒，∴56902180︒+︒+∠=︒，∴234∠=︒，故选：D ． 4．下列运算正确的是（ ） A ．532x x x −= B ．236x x x ⋅=C ．()3236327ab a b −=− D ．824x x x ÷=【答案】C【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、同类项合并计算即可．【解析】A 、532x x x −≠，故本选项错误； B 、23235x x x x +⋅==，故本选项错误；C 、()()33236363327ab a b a b −=−=−，故本选项正确；D 、88262x x x x −==÷，故本选项错误； 故选：C ．5．点()11,A x y 和()22,B x y 在一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象上，已知0kb >，当12x x >时，12y y <，则一次函数y kx b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，根据题意可得一次函数y kx b=+中y随x增大而减小，则可得0k<，0b<，据此可得一次函数y kx b=+的图象进过第二、三、四象限，据此可得答案．【解析】∵当12x x>时，12y y<，∴一次函数y kx b=+中y随x增大而减小，∴0k<，∵0kb>，∴0b<，∴一次函数y kx b=+的图象进过第二、三、四象限，故选：D．6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD AB⊥，垂足为E，22.5ACD∠=︒，4AB=，则CD的长为（）A．B．5C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用，连接OD，由圆周角定理得出45,AOD∠=︒根据垂径定理可得1,2CE DE CD==证出DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【解析】连接OD，如图所示：∵AB是O的直径，弦,CD AB⊥4,AB=12,,2OD CE DE CD∴===22.5,ACD∠=︒245,AOD ACD∴∠=∠=︒DOE ∴△为等腰直角三角形，DE ∴=2CD DE ∴== 故选：A ．7．据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x ，则可列方程为（ ） A ．()()105105110512632x x ++++= B ．()21051632x += C ．()()210510511051632x x ++++= D ．()()2111632x x ++++=【答案】C【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每月比上月增长的百分数为相同的x ，则第2个月接待游客约为()1051x +万人，第3个月接待游客约为()21051x +万人，再根据3个月累计接待游客约632万人列出对应的方程即可． 【解析】设每月比上月增长的百分数为相同的x ， 由题意得，()()210510511051632x x ++++=， 故选：C ．8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，以下结论错误的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在线段AB 的垂直平分线上 D ．:1:2ABD ABC S S =△△【答案】D【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含30︒的直角三角形的性质，A 根据作图的过程可以判定AD 是BAC ∠的角平分线；B 利用角平分线的定义可以推知30CAD ∠=︒，则由直角三角形的性质来求ADC ∠的度数；C 利用等角对等边可以证得AD DB =，由线段垂直平分线的判定可以证明点D 在AB 的垂直平分线上；D 利用30︒角所对的直角边是斜边的一半求出1122CD AD DB ==，进而可得:1:2DAC ABD S S =△△，则:2:3ABD ABC S S =V V ．【解析】根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确，不符合题意； ∵9030C B ∠=︒∠=︒，，∴60CAB ∠=︒，∵AD 是BAC ∠的平分线， ∴30DAC DAB ∠=∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故B 正确，不符合题意； ∵3030B DAB ∠=︒∠=︒，， ∴AD DB =，∴点D 在AB 的垂直平分线上，故C 正确，不符合题意； ∵30CAD ∠=︒， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:2DAC ABD S S =△△，则:2:3ABD ABC S S =V V ，故D 错误，符合题意， 故选：D ．9．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴正半轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③10c −<<；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a−．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．①根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，可判断a ，b ，c 与0的大小关系；②将3x =代入二次函数()20y ax bx c a =++≠，可得93y a b c =++；③根据题意可得1OC <，结合点C 的坐标为()0,c ，点C 位于y 轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点A 的坐标为(),0c −，可得20ac bc c ++=，结合22bx a=−=，可求得点A 的坐标，进而求得点B 的坐标．【解析】①∵抛物线开口向下， ∴0a <．将0x =代入二次函数解析式，得y c =． ∴点C 的坐标为()0,c ． ∵点C 位于y 轴负半轴， ∴0c <． ∵对称轴22bx a=−=， ∴0b >．∴0abc >．结论①正确．②将3x =代入二次函数()20y ax bx c a =++≠，得93y a b c =++．根据二次函数图象可知930y a b c =++>．结论②错误． ③∵OA OC =，1OA <， ∴1OC <．又点C 的坐标为()0,c ，点C 位于y 轴负半轴， ∴1c −<．∴10c −<<．结论③正确．④∵OA OC =，点C 的坐标为()0,c ，点C 位于y 轴负半轴，点A 位于x 轴正半轴， ∴点A 的坐标为(),0c −．因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点(),0A c −，可得20ac bc c −+=．化简，得10ac b −+=．因为对称轴22bx a=−=， 所以，4b a =−．将4b a =−代入10ac b −+=，得410ac a ++=．可得14ac a−−=． 所以，点A 的坐标为014,a a ⎛+⎫⎪⎝⎭． 设点B 的坐标为(),0x ．根据题意可得：144ax a++=． 则1x a=−．所以，点B 的坐标为1,0a ⎛⎫− ⎪⎝⎭．所以，关于x 的方程20ax bx c ++=的两个解为114a x a +=，21x a=−． 结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④． 故选：C ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）10x 应满足的条件是 ．【答案】5x ≥【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可． 【详解】根据题意得：50x −≥， 解得：5x ≥， 故答案为：5x ≥．11．分解因式：328x x −= ．【答案】()()222x x x +−【分析】此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．首先提取公因式2x ，再利用平方差公式分解因式得出即可．【解析】()322824x x x x −=−()()222x x x =−+故答案为：()()222+−x x x ．12．一个正多边形的一个内角等于一个外角的32倍，则这个正多边形是正 边形． 【答案】五【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和问题，熟记正多边形的内角和度数公式是解题关键．由题意得该正多边形的内角和等于外角和的32倍，据此即可求解． 【解析】∵该正多边形的一个内角等于一个外角的32倍，∴该正多边形的内角和等于外角和的32倍， 设此多边形的边数为n ，则有：()321803602n −⨯︒=⨯︒，解得：5n =， 故答案为：五．13．已知圆锥的母线长为17cm ，侧面积为2136cm π，则这个圆锥的高是 cm ．【答案】15【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．圆锥的侧面积π=⨯底面半径⨯母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高．【解析】设底面半径为,r 则13617r ππ=⨯， 解得8cm r =，15． 故答案为：15．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 在x 轴上，AB OA ⊥，BC OA ∥，D 为AB 上一点，OD ，CD 分别平分COA ∠，OCB ∠，点C ，D 落在反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）的图象上，若OCD 的面积为6，则k = ．【答案】8【分析】过D 作DH OC ⊥于H ，过C 作CE OA ⊥于E ，利用反比例函数系数k 的几何意义得到6梯形△ADCE OCD S S ==，设,k D b b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据角平分线的性质得到AD DH BD ==，利用坐标与图形性质求得,22k C b b ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用梯形面积公式求解即可．【解析】过D 作DH OC ⊥于H ，过C 作CE OA ⊥于E ，∵点C ，D 在反比例函数k y x =的图象上，∴2△△COE AOD kS S ==,则6梯形△ADCE OCD S S ==， 设,k D b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵OD ，CD 分别平分COA ∠，OCB ∠，∴AD DH BD ==， ∵AB OA ⊥，∴,2k B b b ⎛⎫⎪⎝⎭，∵BC OA ∥，∴,22k C b b ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()12622k k b b b b ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，解得8k =，故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数系数k 的几何意义、坐标与图形、角平分线的性质、梯形的面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想以及系数k 的几何意义得到6梯形△ADCE OCD S S ==是解答的关键．15．如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==P 在矩形ABCD 内且120APB ∠=︒，连接DP ，则DP长度的最小值为 ．【分析】以AB 为底边向下作等腰三角形AOB ，使得120AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以AO 为半径作圆，则点P 在劣弧AB 上，连接DO 交劣弧AB 于点P '，连接OP ，分析得到当点P 与点P '重合时，DP 最小，再求解DP '即可．【解析】以AB 为底边向下作等腰三角形AOB ，使得120AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以AO 为半径作圆，则点P 在劣弧AB 上，连接DO 交劣弧AB 于点P '，连接OP ，∵DP OP DO +≥，∴DP OP DP OP ''+≥+， ∵OP OP '=，∴DP DP '≥， ∴当点P 与点P '重合时，DP 最小，过点O 分别作,OM AB OE DA ⊥⊥交AD 的延长线于点E ，则1AM BM OE ===， ∵180120302OBA OAB ︒−︒∠=∠==︒，∴tan 1OM AE AM OAB ==⋅∠==cos AM OA OP OAB ====∠∵DE DA AE =+==∴在Rt POE中，DO ===∴DP DO OP ''=−==即DP三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（11分）（1）计算：(2124cos453−⎛⎫−︒−+− ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：()21321323x x x x ⎧−≤+⎪⎨−+>−⎪⎩并求出它的正整数解．【答案】（1）7（2）5x ≤，正整数解为:1、2、3、4、5【解析】（1）(21 24cos453−⎛⎫︒−+−⎪⎝⎭492−=92−=7=（2）()21321323x xxx⎧−≤+⎪⎨−+>−⎪⎩①②，解不等式①得：5x≤，解不等式②得：14x<，∴原不等式组的解集为：5x≤，∴原不等式组的正整数解1、2、3、4、5．17．（11分）先化简，再求值．（1）22223336933x x x xxx x x x⎛⎫−+÷−+÷⎪−+−−⎝⎭，其中，x是使得不等式2x﹣3＜1成立的最大整数：（2）[（2a﹣b）2﹣（b﹣2a）（2a+b）+4a2]÷（14−a），其中a，b满足|2a+b﹣2|+（b+2）2＝0．【答案】（1）()33xx−+，112−；（2）-48a+16b，-128．【解析】（1）222233(3)6933x x x xxx x x x−+÷−+÷−+−22(23)(3)(3)3(3)33x x x x x xx x x−−−−−=÷⋅−−+222(23)33(3)693x x x xx x x x x−−−=⋅⋅−−+−+2(23)33(3)3(23)3x x x xx x x−−−=⋅⋅−−+3(3)xx=−+，由2x-3＜1得：x＜2，∵x是使得不等式2x-3＜1成立的最大整数，∴x=1，当x=1时，原式=-()1131312=−⨯+；（2）[(2a-b)2-(b-2a)(2a+b)+4a2]÷(-14a)=（4a 2-4ab +b 2-b 2+4a 2+4a 2）•（-4a） =（12a 2-4ab ）•（-4a） =-48a +16b ， ∵|2a +b -2|+(b +2)2=0，∴22020a b b +−=⎧⎨+=⎩，解得22a b =⎧⎨=−⎩， 当a =2，b =-2时，原式=-48×2+16×(-2)=-128．【点睛】本题考查了分式的化简求值、整式的化简求值、解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确明确它们各自计算方法．18．（11分）已知，如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 是ABC 的中线，F 是BD 的中点，连接CF 并延长到E ，使FE CF =，连接BE 、AE ．(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若8BC =，5BE =，求菱形AEBD 的面积． 【答案】（1)详见解析；(2)24【详解】（1）证明：∵F 是BD 的中点， ∴DF BF =，∵,CF EF CFD EFB =∠=∠， ∴()CDF EBF SAS ≌，∵90,ABC BD ∠=︒是ABC 中线， ∴BD AD CD ==，∵CDF EBF ≌△△， ∴,CD BE FCD FEB =∠=∠， ∴BE CD ∥， ∵B E CD A D ==， ∴四边形AEBD 是平行四边形， ∵BD AD =，∴四边形AEBD 是菱形；（2）解：连接ED ，,BE CD CD BE =∥Q ，∴四边形BCDE 是平行四边形，8DE BC ∴==，5,AD BE BD ==Q 是ABC 中线，210A C A D ∴==，90,8ABC BC ∠=︒=Q ，6A B ∴===，∵四边形AEBD 是菱形，∴菱形AEBD 的面积为11682422AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．19．（10分）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．“跳水”是学生喜欢的运动项目之一，为了解学生对“跳水”知识的了解程度，某学校从200名喜欢“跳水”运动的学生中随机抽取了50学生进行了测试，将他们的成绩（百分制）分成五组，绘制成如下频数直方图．(1)已知90100x ≤≤这组的数据为91、95、97、94、92、98、92，92．则这组数据的中位数是______，众数是______；(2)根据题中信息，如果这200名喜欢“跳水”运动的学生全部进行测试，估计学生成绩在7090x ≤≤的总人数；(3)学校想要从成绩在5060x ≤≤的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表法或树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】(1)93，92(2)估计学生成绩在7090x ≤≤的总人数为112人； (3)抽到的2名学生来自不同年级的概率是56．【详解】（1）解：将数据从小到大重新排列为91、92、92、92、94、95、97、98． 92出现了三次，现出次数最多，则众数是92； 排在中间的两个数是92、94，则中位数是9094932+=， 故答案为：93，92； （2）解：121620011250+⨯=（人）， 答：估计学生成绩在7090x ≤≤的总人数为112人；（3）解：用A 表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C 和D 分别表示九年级学生， 画树状图如下：共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种， ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是105126=． 20．（10分）如图，某同学利用学校某建筑物测量旗杆的高度，他在C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为31︒，旗杆底部B 点的俯角为44︒．若旗杆底部B 点到该建筑的水平距离9BE =米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶部A 离地面的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：7sin4410︒≈，7cos4410︒≈，tan441︒≈，1sin312︒≈，9cos3110︒≈，3tan315︒≈）【答案】15.4米【解析】如图，作CH AB ⊥于H ，在Rt ACH 中， ∵31ACH ∠=︒，tan31AHCH︒=，∴3tan319 5.45AH CH =⋅︒=⨯=米，在Rt CHB △中， ∵44HCB ∠=︒，tan44BHCH︒=， ∴tan44919BH CH =⋅︒≈⨯=米，∴旗杆顶点A 离地面的高度为9 5.4115.4++=米． 答：旗杆顶点A 离地面的高度为15.4米．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数my x=的图象与一次函数()2y k x =−的图象交于A ，B 两点， 其中A 点坐标为()3,2．(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B 点坐标； (2)根据图象直接写出不等式()2mk x x>−的解集； (3)若点C 在y 轴上，且满足ABC 的面积为10，求点C 的坐标． 【答案】(1)6y x=，24y x =−，()1,6B −− (2)1x <−或03x << (3)()0,1或()0,9−【详解】（1）解：∵点()3,2A 在反比例函数my x=和一次函数()2y k x =−的图象上； ∴23m=，()232k =−， 解得：6m =，2k =， ∴反比例函数的解析式为6y x=， 一次函数的解析式为24y x =−；解方程组624y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，得1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =−⎧⎨=−⎩，经检验，1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =−⎧⎨=−⎩均是方程组的解，∴反比例函数与一次函数图象的另一交点B 的坐标为()1,6−−； （2）由图象可知，不等式()2mk x x>−的解集是1x <−或03x <<； （3）设24y x =−与y 轴的交点为M ，令0x =，则4y =−， ∴点M 的坐标为()0,4−，过点()3,2A 作AE y ⊥轴于点E ，过点()1,6B −−作BF y ⊥轴于点F ， ∴3AE =，1BF = 设C 点的坐标为()0,C y ， ∴()44C C CM y y =−−=+ ∵111022ABCAMCBMCSSSCM AE CM BF =+=⋅+⋅= ∴1134141022C C y y ⨯⨯++⨯⨯+=， ∴45C y +=， 解得1C y =或9C y =−， ∴点C 的坐标为()0,1或()0,9−．22．（12分）如图，AB 为O 的直径，C 为圆上的一点，D 为劣弧BC 的中点，过点D 作O 的切线与AC的延长线交于点P ，与AB 的延长线交于点F ，AD 与BC 交于点E ．求证：∥；(1)BC PF(2)2=⋅CD DE AD(3)若O 1DE=，求AE的长度；【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)3【详解】（1）证明：连接OD，如图，D为劣弧BC的中点，∴CD BD=，OD BC∴⊥．Q 是O的切线，PF∴⊥，OD PF∴∥；BC PF（2）证明：连接OD，BD，如图，D为劣弧BC的中点，∴CD BD=，∠=∠．CD BD∴=，DCB CADCDE ADC ∠=∠，CDE ADC ∴△∽△，∴CD ADDE CD=， 2CD DE AD ∴=⋅；（3）解：设AE x =，则1AD x =+． 由（2）知CD ADDE CD=， 21(1)1CD DE AD x x ∴=⋅=⨯+=+．21BD x ∴=+．AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，222AD BD AB ∴+=．OAB ∴=∴22(1)(1)x x +++=，解得：3x =或6x =−（不合题意，舍去），3AE ∴=．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接OD ，BD 是解决此类问题常添加的辅助线．23．（13分）已知抛物线()21:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >．(1)求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；(2)若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；(3)若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)()()1,1,2,1−−；(3)4k ＞【详解】（1）联立()()211y a x h y k x h ⎧=−−⎪⎨=−−⎪⎩，解方程，得,ah kx h x a+==， 当x h =时，1y =−，即直线与抛物线恒过点(),1h −，故直线l 与抛物线C 至少有一个交点． （2）当1a =时，()21:1C y x h =−−，∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±， ∵12x x <，∴12,11x h x h ==+−， ∵121033x x <+<，∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数， ∴1,2h h ==，故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−． （3）．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立． 故()()22121k h h a h h +−−+−−＞， 整理得：2k a ＞． 又∵2k a ＞， ∴024a ＜＜， ∴4k ＞．。
北京市海淀区2025届高考数学全真模拟密押卷含解析
北京市海淀区2025届高考数学全真模拟密押卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A 3B 3C 6 D ．625．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里6．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．37．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9288．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．149．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4π B ．38π C ．2π D ．58π 10．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>11．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－312．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数圈创新卷Plus参考答案
“初等数学笔记”专栏&数圈&数圈 plus&数圈 once 教科研协作体2021 届高三统一联合考试 数学创新卷 Plus （参考答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）第Ⅲ卷（附加题 20 分）三部分满分 150(+20)分，考试时间 150 分钟组卷&排版：槿灵兮命题：各题号后注明════════════★望有所收获★═══════════第Ⅰ卷（选择题满分 60 分）一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上） 1.（常伟思）选 D.命制本题主要为了考察空间想象能力和对信息的分析与处理能力。
由题中所给信息得，如果从不同的方向（正对着侧面）观察选项中的正方体，只能看到三个 坐标轴的两个。
此时看到的曲线就是空间曲线在某一平面的投影。
根据题中所给解析式可以确定 该平面中两个变量的关系。
注意到 A 中 t 的范围是[0,20]，而该曲线在 z 轴的最大值为 60，故 A 选项错误。
根据题中解析式，若以 y 为自变量，x 为因变量，这个函数一开始会剧烈震荡，而 B 选项几乎不震荡，故 B 项错误。
根据题中解析式，若以 y 为自变量，为 x 因变量，最后函数值会趋近于 o ，这个函数分母最小为 2，分子最小为-6 最大为 6，所以不可能出现 C 项的情况:x 很小和很大时函数值差距非常大， 所以 C 项错误，故选 D 。
本质和普通的判断图像是一样的。
很多地方卷倾向于在高等数学与高中数学的衔接处命题。
2.（槿灵兮）选 D.我们可以容易知道，球面角∠ABD= ，∠ADB= ，∠BAD= ， 因此球面△ABD 的三个内角的和：∠ABD+∠ADB+∠BAD= ， 球面△ABD 的面积=(∠ABD+∠ADB+∠BAD)=P.S:一般地，在半径为 r 的球面上，有：任意球面△ABC 的面积=(A ＋B+C-π)r²3.（章小白）选 C.我们尝试构造一个右图所示的三角形. 之后由余弦定理得：sin ²29°+sin ²31°-2sin29°sin31°sin120° = sin ²29°+sin ²31°+sin29°sin31° = sin ²120 = 3.44.（Leo）5.（cyb 酱）解析 : 选择 D , 首先我们定义一个正整数没有平方因子 , 指这个数的素因子分解中 , 每个素数的幂次都不超过 2 .显然 , 每一个有平方因子的正整数的算数平方根 , 都是一个比其更小的无平方因子正整数的算数平方根的整数倍 . 因为我们可以将每个素数的偶数次方提到根号外 , 直到诸素数的幂次剩 0,1 次 , 根号里剩一个无平方因子的数 .逐一检验 , 不难计数得中无平方因子的数有 61 个 ( 关于技巧 , 比较好的方法是计算 4,9 倍数的数个数为[100/4]+[100/9]-[100/36]= 34, 再排除掉25,50,75,49,98 五个未统计的, 剩余100-34-5=61 个 )因为有平方因子的数的上述性质 , 对任意一个无平方因子的数 d 这个集合中被选入坏集合的数至多只能有一个 , 否则就会有成立 ,于是这与坏集合的定义相矛盾 .这表明 , 选出的数的数量最多不会超过 61 . 反过来 , 下面证明所有无平方因子的数构成一个坏的集合 .我们证明一个更强结论 , 大于1 的正整, 若他们其中任意多个的乘积都是无平方因子的,那么构成Q的一个2k次扩域,其中任意多个正整数的乘积的平方根构成这个域的一组Q-基 . 进而我们推出在原题里 , 为小于100的素数构成的集合.那么那61个平方根就是这2k个平方根的一个子集,于是也是一个坏的集合 ( 线性无关的集合 )6.（Leo）选D第 4 页 共 14 页6 67.（受精卵菜圾）选 B.因为事情比较巧，它要求每个人只给其余 5 个人之一写一封信。
2023届高三信息押题卷(二)全国卷理科数学试题(含解析)
2023届高三信息押题卷（二）全国卷理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________2．．C．．．某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行1001人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为不喜爱该商品合计10A．18B．6．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位）以一个月31天计算，记此人第n S nA ．2B ．9．已知函数()(3sin f x ω=正确的是（ ）A ．()1π3sin 312f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3π342f ⎛⎫=⎪⎝⎭3A．1-B．1C．2D．314．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A为“五名同学所选项目各不相同P A B=_________.务”，则()(1)若G为AE的中点，求证：(2)求二面角B EF D--的正弦值20．已知椭圆22221(x ya b a b+=>上的截距为1，且与椭圆交于(1)求椭圆的方程；()6参考答案：故选：C.6．D【分析】根据题意可得，数列将t分离出来，再结合基本不等式即可得到结果【详解】由题意可知，数列{【详解】的面积为4π，所以圆O 的半径222552OA =+，所以圆锥的高OA 在底面圆周上，所以AB AC =BC 的距离最大，即2OD =，此时由ABF △的重心为5(3-126y y +=-，直线AB 的斜率11AB y k x =12211AB AB y y k =+⋅-，中，由余弦定理得在ABC△中，由余弦定理得在BCD22BD CD+所以GE CF =，GE CF ∥，所以四边形CFEG 是平行四边形，所以CG FE ∥.因为FE ⊂平面DEF ，CG ⊄所以CG //平面DEF .因为AE //CF ，22AB AE CF ===所以()2,0,0B ，()0,2,0D ，(0,0,E 从而()2,2,1EF =- ，()0,2,1BF = ，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z = 令2z =，得1y =-，2x =，即m =）。
2024届高考数学复习创新题型专项(立体几何)练习(附答案)
2024届高考数学复习创新题型专项（立体几何）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---2．（2022春ꞏ辽宁大连ꞏ高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192πcmB ．2208πcmC ．2272πcmD ．2336πcm3．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD -中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b = ，AD c = ，则BE = （ ）A ．1122a b c -++ B ．1133a b c -++ C ．2233a b c ++ D ．1133a b c -+- 4．（2022秋ꞏ河南商丘ꞏ高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2021秋ꞏ江西宜春ꞏ高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A ．30B ．2C ．D ．6．（2021春ꞏ陕西榆林ꞏ高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.27．（2022ꞏ全国ꞏ高一专题练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈10=尺）；若该圆锥的母线长x 尺，则x =（ ）A B C D 8．（2021秋ꞏ吉林四平ꞏ高三四平市第一高级中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm ，则该阿基米德多面体的表面积为（ ）A ．(24800cm +B ．(24800cm +C ．(23600cm +D ．(23600cm + 9．（2022秋ꞏ宁夏吴忠ꞏ高二青铜峡市高级中学校考开学考试）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为4V V π=牟球，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即38V r V =-牟方盖差，从而计算出343V r π=球.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则:V V =方差盖（ ）A B ．1 C D ．10．（2022秋ꞏ湖北襄阳ꞏ高二襄阳市第一中学校考阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++ ，则x y z ++=（ ）A ．32B ．23 C ．1 D ．3411．（2022秋ꞏ江西抚州ꞏ高二临川一中校考期中）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，经测量可知圆台的高约为16cm ，圆柱的底面直径约为18cm ，则该组合体的体积约为（ ）（其中π的值取3）A ．11280cm 3B ．12380cm 3C ．12680cm 3D ．12280cm 312．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高三校联考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）AB ．3πC ．D ．13．（2022秋ꞏ青海西宁ꞏ高三统考期中）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm ，口长13.5cm ，口宽12cm ，底长12.5cm ，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm ，下部分看作台体，则其体积约为（ ）11.5≈，12.7≈）A ．37460.8cmB ．3871.3cmC ．31735.3cmD ．32774.9cm14．（2022秋ꞏ湖北ꞏ高二校联考期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．23 D ．3415．（2023ꞏ江西抚州ꞏ高三金溪一中校考开学考试）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=+⋅）A ．1.5LB ．2.4LC ．5.0LD ．7.1L16．（2022春ꞏ湖南长沙ꞏ高二湖南师大附中校考阶段练习）波利亚在其论著中多次提到“你能用不同的方法推导出结果吗？”，“试着换一个角度探索下去……”.这都属于“算两次”的原理.另外，更广义上讲，“算两次”也是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一个问题解两次，得到相同的结果，体现殊途同归，一题多解.试解决下面的问题：四面体ABCD 中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的表面积为（ ）A ．7925πB ．7320πC ．6316πD ．4π17．（2022秋ꞏ黑龙江齐齐哈尔ꞏ高二齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为46cm ，圆柱的高为3cm ，圆柱的底面圆直径为30cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A ．22090cm πB ．22180cm πC ．22340cm πD ．22430cm π18．（2022秋ꞏ湖北武汉ꞏ高二武汉市第十一中学校考阶段练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为43π时，该裹蒸粽的高的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．1019．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．(86++B ．(68+C ．(86+D ．(68+ 20．（2022秋ꞏ江苏连云港ꞏ高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）A ．B ．24+C ．24+D ．24+二、多选题21．（2021秋ꞏ重庆沙坪坝ꞏ高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（ ）A ．该玉琮的体积为3π184+(3cm )B ．该玉琮的体积为7π274-(3cm ) C ．该玉琮的表面积为54π+(2cm ) D ．该玉琮的表面积为549π+(2cm )22．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为3cm 2，高为6cm （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积，则（ ） 4.44≈）A ．这两碗馅料最多可包三角粽35个B ．这两碗馅料最多可包三角粽36个C ．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D ．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个23．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒米，则该正四棱锥的（ ）A ．底面边长为6米BC ．侧面积为D ．体积为立方米 24．（2022秋ꞏ湖北襄阳ꞏ高二校考阶段练习）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为“鳖臑”.在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，则（ ）A ． 0AB AC ⋅= 可能成立B ． 0BC AC ⋅= 可能成立 C ． 0PA BC ⋅= 一定成立D ． 0BC AB ⋅= 可能成立25．（2022春ꞏ广东广州ꞏ高一广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值可能为( )A B C D 26．（2022ꞏ海南ꞏ统考模拟预测）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112-C ．该“十字贯穿体”的体积是483-D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+27．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立，若椭半球的短轴6AB =，长半轴5CD =，则下列结论正确的是（ ）A ．椭半球体的体积为30πB ．椭半球体的体积为15πC ．如果4C F FD =，以F 为球心的球在该椭半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为863π D ．如果4C F F D = ，以F 为球心的球在该半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为29π三、填空题28．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高二上海市建平中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào ）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______.29．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市建平中学校考阶段练习）我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑，如图，在鳖臑S ABC -中，SC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰直角三角形，且AB SC =，则异面直线BC 与SA 所成角的正切值为______．（写出一个值即可，否则有两个答案）30．（2022春ꞏ浙江宁波ꞏ高二校考学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四棱锥的侧棱长为10m ， 其底面边长与正方体的棱长均为6m ， 则顶端部分的体积为__________.31．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点(不共面)、、、,2,A B C DAB CD AC BD BC AD======__________．32．（2022春ꞏ福建泉州ꞏ高一泉州五中校考期中）“牟合方盖”（图①）是由我国古代数学家刘徽创造的，其构成是由一个正方体从纵横两侧面作内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方体侧面相切）的公共部分组成的（图②），假设正方体的棱长为2，则其中一个内切圆柱的表面积为___________；该正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，所以用任一平行于正方体底面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，根据祖暅原理（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）可得“牟合方盖”的体积为____________．33．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.34．（2022ꞏ高二单元测试）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE ，如图，四边形ABCD ，ABEF 均为等腰梯形，AB CD EF ∥∥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，梯形ABCD ，ABEF 的高分别为3，7，且6AB =，10CD =，8EF =，则AD BF ⋅= ______，DE = ______．35．（2021秋ꞏ四川广安ꞏ高二四川省武胜烈面中学校校考开学考试）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12BB BC AB ===且有鳖臑11C ABB -和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -的一个面1ABC 沿1BC 翻折180︒，使A 点翻折到E 点，求形成的新三棱锥11C AB E -的外接球的表面积是_________.36．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2（如图），P ，Q 分别为棱AB ，AD 的中点，则CP FQ ⋅= ________.37．（2022秋ꞏ辽宁ꞏ高二辽宁实验中学校考期中）阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是BC 的中点，点P 是正方体表面11DCC D 上一动点（包括边界），且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥D PBC -体积的最大值为______．38．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．四、解答题39．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥PO 模型，经测量底面圆O 的直径48cm AB =，母线30cm AP =，若点C 在 AB 上，且π6CAB ∠=，D 为AC 的中点．证明：BC ∥平面POD ；40．（2022秋ꞏ贵州遵义ꞏ高三统考阶段练习）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图，某几何体ABCDEF 有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面ABCD 为矩形，228AB AD EF ===，EF ∥底面ABCD ，且EA ED FB FC ===，M ，N 分别为AD ，BC 的中点.(1)证明：EF AB ∥，且BC ⊥平面EFNM .(2)若EM 与底面ABCD 所成的角为π4，过点E 作EH MN ⊥，垂足为H ，过H 作平面ABFE 的垂线，写出作法，并求H 到平面ABFE 的距离.41．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高二上海师大附中校考期中）《九章算术ꞏ商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”如图，在鳖臑ABCD 中，侧棱AB ⊥底面BCD ；(1)若BC CD ⊥，ADB θ∠=1，2BDC θ∠=，3ADC θ∠=，求证：123cos cos cos θθθ⋅=；(2)若1AB =，2BC =，1CD =，试求异面直线AC 与BD 所成角的余弦.(3)若BD CD ⊥，2AB BD CD ===，点P 在棱AC 上运动.试求PBD △面积的最小值.42．（2022秋ꞏ北京ꞏ高二北京一七一中校考期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼ꞏ闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-(1)①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．(2)已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．参考答案一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B 【详细分析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于x 轴对称的点的性质写出对称点的坐标.【答案详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.2．（2022春ꞏ辽宁大连ꞏ高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192πcmB ．2208πcmC ．2272πcmD ．2336πcm【答案】C 【详细分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【答案详解】圆柱、圆锥的底面半径为8cm ，10cm =，所以陀螺的表面积是22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：C3．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD -中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b = ，AD c = ，则BE = （ ）A ．1122a b c -++ B ．1133a b c -++ C ．2233a b c ++ D ．1133a b c -+- 【答案】B【详细分析】连接AE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，利用向量的加减运算得答案【答案详解】连接AE 并延长交CD 于点F ，因为E 为ACD 的重心，则F 为CD 的中点，且23AE AF = ()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++ . 故选：B ．4．（2022秋ꞏ河南商丘ꞏ高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】B【详细分析】利用排除法结合俯视图的定义和已知条件详细分析判断.【答案详解】法一：榫眼的形状和榫头一致，故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的，排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块，这与榫眼的结构不符，符合条件的只有B．法二：因榫眼的制作部件为长方体，所以，C，D不正确；又榫眼应为通透的，所以A不正确，所以符合条件的只有B．故选B．5．（2021秋ꞏ江西宜春ꞏ高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A ．30B ．2C ．D ．【答案】D【详细分析】由BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，将三棱锥A BCD -放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.【答案详解】如图所示：因为BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，1BC =，2AB CD ==，所以将三棱锥A BCD -放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中，三棱锥A BCD -的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径3AD ===，利用张衡的结论可得2π5168=，则π=所以球O 的表面积为234π9π2⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D.6．（2021春ꞏ陕西榆林ꞏ高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及。
2024年浙江中考数学最后一卷终极押题卷及答案
2024年浙江中考最后一卷数学注意事项：1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中最大的数是（）A．5−B．0 C．1−D2．下面计算正确的是（）A．3a﹣2a＝1 B．2a2+4a2＝6a4C．（x3）2＝x5D．x8÷x2＝x63．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（）A．8×80.16108.01610×B．9C．10×80.1610×D．100.8016104．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．5．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（）A．B．C ．D ．6．随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：得分（分） 75 80 85 90车辆（辆） 5 16 14 10得分的中位数和众数分别是（ ）A ．80，80B ．82.5，80C ．80，85D ．85，807．如图，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，若8AB =，3OE =，则CE 的长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．58．《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则可列方程组为（ ）A ．5210258x y x y += +=B ．2510528x y x y += +=C ．51058x y x y += +=D ．21028x y x y += +=9．二次函数2y =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且120ABO ∠=°，则点C 的坐标为（ ）A ．14 −B ．14 −C ． −D ．(− 10．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F ，折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD 落在FE 上，点D 的对应点为点H ，折痕为FG ，展平后连接HG ．若矩形HECG ∽矩形ABCD ，1AD =，则CD 的长为（ ）．A ．0.5B 1−C D二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）11．因式分解： 34t t −=12．实现中国梦，必须弘扬中国精神．在如图所示除正面图案不同外，其余无差别的四张不透明卡片上分别写有“红船精神”、“长征精神”、“延安精神”、“特区精神”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则所抽取卡片为“特区精神”的概率为 ．13x 的值可以是 ．（写出一个即可） 14．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为2π3米，“弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角θ的度数为 ．15．如图，点A 为反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图象上一点，AB x ⊥轴于点B ，点C 是y 轴正半轴上一点，连接BC ，AD BC ∥交y 轴于点D ，若0.5ABCD S =四边形，则k 的值为 ．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，以AB 边上的动点O 为圆心，OB 为半径作圆，将AOD △沿OD 翻折至A OD ′ ，若O 过A OD ′ 一边上的中点，则O 的半径为 ．三、解答题（本大题共有8小题，共66分）（共66分）17．（本题6分）计算或化简：(1)()201253π− +−−+−； (2)()()()2m n n m m n +−−−．18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,4A ，()3,1B ，()5,3C ．(1)作ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)将ABC 绕原点O 顺时针旋转90°，得到222A B C △，作出222A B C △并求点C 旋转到点2C 所经过的路径长．19．（本题6分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A 、B 、C 、D 、E 五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．等级 周平均读书时间t （单位：小时） 人数A01t ≤< 4 B12t ≤< a C23t ≤< 20 D34t ≤< 15 E 4t ≥5 每个等级人数扇形统计图(1)求统计图表中=a ______，m =______．(2)已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．(3)请写出一条你对读书的建议．20．（本题8分）我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆AB ，向正北方向画一条射线BC ，在BC 上取点D ，测得 1.5m BD =， 2.5m AD =．(1)判断：这个模型中AB 与BC 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．(2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角30°，夏至正午阳光与日影夹角为60°，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．21．（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，沿EF 将矩形折叠，使A 、C 重合，AC 与EF 交于点H ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求△ABE 的面积．22．（本题10分）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．脐橙品种A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000(1)设转运A 种脐橙的车辆数为x ，转运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 的函数表达式；(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．23．（本题10分）定义：平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是(1,2)A −，(1,1)B −−，(3,1)C −，(3,2)D ，在点1(2,2)P −−，2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P 中，是矩形ABCD “梦之点”的是________；(2)如图②，已知A 、B 是抛物线21922y x x =−++上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点： ①求出AC ，AB ，BC 三条线段的长度；②判断ABC 的形状，并说明理由．24．（本题12分）如图，ABC 内接于圆O ，AD 是ABC 的高线，9AD =，12CD =，tan 3ABD ∠=，连接OC ．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)求证：BCO BAD ∠=∠；(3)若点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ．①若OEF 与ABD △相似，求EF 的长；②当OEF 的面积与CEF △的面积差最大时，直接写出此时CF 的长．2024年浙江中考最后一卷数学解析及参考答案一、单选题1．D【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断．【详解】∵510−<−<<故选：D ．2．D【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．【详解】解：∵3a ﹣2a ＝a ，故选项A 错误；∵2a 2+4a 2＝6a 2，故选项B 错误；∵（x 3）2＝x 6，故选项C 错误；∵x 8÷x 2＝x 6，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．3．B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：80.16亿98.01610×，故选：B ．4．B【分析】本题考查立体几何的三视图．根据题意，逐项判断即可．【详解】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意；B.主视图为三角形，此项符合题意；C.主视图为圆，此项不符合题意；D.主视图为长方形，此项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】先解不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来．【详解】解：不等式x ﹣2≤0，得：2x ≤ ，把不等式的解集在数轴上表示出来为：．故选：C【点睛】本题主要考查了解不等式，并在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤，不等式的解集在数轴表示时空心圈不包含该点，实心圈包含该点．6．D【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【详解】有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试，45个分数，按大小顺序排列最中间的数据是第23个数：85，故得分的中位数是85（分），得80分的人数最多，有16人，故众数为80，故选D ．7．A【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出AE 的长是解此题的关键．连接OA ，根据垂径定理求出AE ，再根据勾股定理求出OA ，最后根据线段的和差求解即可．【详解】解：如图，连接OA ，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，∴12AE AB =，8AB =， ∴4AE =，3OE =，∴5OA ，∴5OC OA ==，∴8CE OC OE =+=，故选：A ．8．A【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．【详解】解：设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则可列方程组为5210258x y x y += +=， 故选A ．9．B【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD 的长是解题关键．连接BC 交OA 于D ，如图，根据菱形的性质得BC OA ⊥，60OBD ∠=°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD =，设BD t =，则OD =，()B t ，利用二次函数图象上点的坐标特征得2=，得出14BD =，OD =C 点坐标． 【详解】解：连接BC 交OA 于D ，如图，四边形OBAC 为菱形，BC OA ，120ABO ∠=° ，60OBD ∴∠=°，OD ∴，设BD t =，则OD =，()B t ∴，把()B t 代入2y =,得2=，解得10t =（舍去）， 214t =，14BD ∴=，OD =故C 点坐标为：14 − ．故答案为：B ．10．C【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设CD x =，则()1,1EC x CG x x =-=--，根据两矩形相似求出即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，设CD x =，则ABCD x ==，1AD BC ==， 由翻折得,90AB AF x AFE B BAF ==∠=∠=∠=︒，∴四边形ABEF 是正方形，同理，四边形DFHG 是正方形，,1BE AB x DF DG x ∴====-，()1,121CE x CG x x x ∴=-=--=-，矩形HECG ∽矩形ABCD ，EC CG BC CD∴=，即1211x x x --=，解得：x =，经检验，xCD ∴ 故选：C ．二、填空题11．()()22t t t +−【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题的关键．【详解】解：()()()324422t t t t t t t −=−=+−，故答案为：()()22t t t +−．12．14/0.25 【分析】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．全部情况的总数是四种，符合条件的情况的是一种，二者的比值就是其发生的概率．【详解】由于概率为所求情况数与总情况数之比，而抽取卡片为“特区精神”的情况数只有一种，从暗箱随机抽取一张的情况数为四种，故抽取卡片为“特区精神”的概率为14， 故答案为14． 13．0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．∴10x −>，解得1x <．∴x 的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．14．100°/100度【分析】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．直接利用弧长公式计算即可．【详解】解： 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是n °， 则1.2π2π1803n =， 解得：100n =，故答案为：100°．15．0.5−【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义，熟练掌握k 值的几何意义是解答本题的关键.根据反比例函数k 值的几何意义进行解答即可.【详解】AB x ⊥ 轴于点B ，CD x ⊥轴，∴AB CD ，又 AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，过点作AM y ⊥轴，则四边形ABOM 是矩形， ∴0.5,ABOMABCD S S k ===矩形平行四边形∵反比例函数图象在第二象限，0.5k ∴=−，故答案为：0.5−.16．23、54【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设O 的半径为r ，分别根据勾股定理，即可求解．【详解】设O 的半径为r ，当O 经过A O ′的中点，即经过AO 的中点， ∴1233r AB =，当O 经过OD 的中点，则12r OB OD ==， ∴2OD r =，2AO AB OB r =−=−， 在Rt AOD 中，222AD AO OD +=∴()()222222r r +−=解得：r = 当O 经过A D ′的中点，即经过AD 的中点，设AD 的中点为M ，∴2,1,AO r AM OM r =−== ∴()22221r r −+= 解得：54r =综上所述，半径为23、54故答案为：23、54 三、解答题17．(1)5(2)222m mn −+【分析】此题考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式利用零指数幂、绝对值的代数意义以及负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）根据平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式159=-+5=；（2）原式()22222n m m mn n =−−−+22222n m m mn n =−−+−222m mn =−+18．(1)图见解析(2)【分析】本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，以及求弧长，熟练掌握相关作图方法是解题关键； （1）根据点关于y 轴对称的性质分别找到对应的点1A ，1B ，1C ，然后进一步连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点2A ，2B ，2C ，再顺次连接即可，利用弧长公式求得点C 经过的路径长．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）如图，222A B C △即为所求，由题意可知，OC∴点C 旋转到点2C =． 19．(1)6，40(2)1120(3)全校学生一周内平均读书时间23t ≤<(答案不唯一)【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体等知识．（1）由等级得到学生总数，即可得出a ，再求C 等级的占比即可；（2）用样本估计总体即可得出结果；（3）根据表格可题建议合理即可．【详解】（1）解：由等级D 得到学生总数1530%50÷=人， ∴504201556a −−−−，()%2050100%40%m =÷×=，40m =，故答案为：6，40．（2）1552800112050+×=人， 故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．故答案为：1120．（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间23t ≤<．20．(1)是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．(2)．【分析】本题考查的勾股定理的逆定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意是解本题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）先画图，利用三角函数再计算BE=BF =，从而可得答案． 【详解】（1）解：是， 理由：由测量结果可知得 1.5m BD =， 2.5m AD =，而2m AB =，∴2226.25AB BD AD +==，∴90ABD ，∴AB BC ⊥．故答案是：是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．（2）如图，由题意可得：90ABC ∠=°，2AB =，30AFB ∠=°，60AEB ∠=°，∴tan tan 60AB AEB BE∠=°=，∴BE =， 同理：tan tan 30AB AFBBF ∠=°=，∴BF =，∴FE BF BE =−==． 21．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）依据平行线的性质以及矩形的性质，即可得到∠AFE =∠AEF ，进而得出AE =AF ．（2）设BE =x ，则AE =EC =8-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得方程，即可得到BE 的长，再根据三角形面积计算公式求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFE =∠FEC ，由折叠的性质得：∠AEF =∠FEC ，∴∠AFE =∠AEF ，∴AE =AF ．（2）解：根据折叠的性质可得AE =EC ，设BE =x ，则AE =EC =8-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得：222AB BE AE +=，即()22248x x +=−，解得：x =3，∴BE =3，∴ABE S = 12AB •BE =12×4×3=6． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．22．(1)220y x =−+ (2)5种(3)当转运A 种脐橙的车4辆，转运B 种脐橙的车12辆，转运C 种脐橙的车4辆时，利润最大为140800元【分析】（1）根据题意列式：()20651040x x y y −−=++，整理后即可得到220y x =−+； （2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，4x ≥，2204x −+≥，解不等式组即可；（3）设利润为W 元，则()480016000048W x x =−+≤≤，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）根据题意，装运A 种水果的车辆数为x ，装运B 种水果的车辆数为y ，∴装运C 种水果的车辆数为()20x y −−，∴()20651040x x y y −−=++， 整理得220y x =−+． （2）由（1）知，装运A ，B ，C 三种水果的车辆数分别为x ，220x −+，x ，由题意得2204x −+≥，解得8x ≤，∵4x ≥，∴48x ≤≤．∵x 为整数，∴x 的值为4，5，6，7，8，∴安排方案共有5种．（3）设利润为W 元，∴()612005220160041000W x x x =×+−+×+× 4800160000x =−+，因为48000−<，且x 的值为4，5，6，7，8，∴W 的值随x 的增大而减小，∴当4x =时，销售利润最大．当装运A 种水果4车，B 种水果12车，C 种水果4车，销售获利最大．最大利润48004160000140800W =−×+=（元）．【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．23．(1)2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P(2)①AC =BC =AB =ABC 是直角三角形，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理以及勾股定理逆定理：（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；（2）①根据“梦之点”的定义求出A ，B 的坐标，再求出顶点的坐标，计算出AC ，AB ，BC 的长； ②根据勾股定理逆定理，即可求解．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 的顶点坐标分别是(1,2)A −，(1,1)B −−，(3,1)C −，(3,2)D ，∴矩形ABCD 的“梦之点”(),x y 满足2,131x y −−≤≤≤≤，∴点2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P 是矩形ABCD 的“梦之点”，1(2,2)P −−不是矩形的“梦之点”．故答案为：2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P（2）解：①A 、B 是抛物线21922y x x =−++上的“梦之点”， ∴21922x x x =−++， 解得：123,3x x ==−，当3x =时，3y =，当3x =−时，=3y −，∴()()3,3,3,3A B −−， ∵()2219115222y x x x =−++=−−+， ∴顶点坐标为()1,5C ，∴AC =BC =AB =； ②ABC 是直角三角形，理由如下：∵AC =BC =AB =∴((2222280AB AC BC +=+==，∴ABC 是直角三角形．24．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①EF =253CF =【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）利用勾股和锐角三角函数求得AC BC =即可证明；（2）连接,OA OB ，延长CO 交AD 于点M ，交AB 于点N ，先证明CO 是ACB ∠的角平分线，再证明ANM CDM ∽即可得出结论；（3）①过O 点作OH BC ⊥交BC 于点H ，点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ，先证明CHO CFB ∽，设EF x =3x =即可求解，②要使OEF 的面积与CEF △的面积差最大，必须使EF 和()CE OE −最大，当E 点与O 点重合时，EF 最大，CE OE OC −=最大，先求得EF =即可求出CF ． 【详解】（1）证明：∵AD 是ABC 的高线，∴90ADC ADB ∠=∠=°， ∵9AD =，12CD =，∴15AC ===，∵tan 3ABD ∠=， ∴tan 3AD ABD BD∠==， ∴3BD =，∴31215BC BD CD =+=+=， ∴AC BC =，∴ABC 是等腰三角形．（2）证明：连接,OA OB ，延长CO 交AD 于点M ，交AB 于点N ，如图：∵AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠， ∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠， ∴CAO CBO ∠=∠， ∵OA OC =，∴CAO ACO ∠=∠， ∵OB OC =，∴BCO CBO ∠=∠， ∴ACO BCO ∠=∠， ∴CO 是ACB ∠的角平分线， 又∵ AC BC =，∴CN AB ⊥，∴90ANC BNC ∠=∠=°， ∴90MDC ANE ∠=∠=°， 又∵AMN CMD ∠=∠， ∴ANM CDM ∽，∴DCM NAM ∠=∠， ∴BCO BAD ∠=∠． （3）解：①过O 点作OH BC ⊥交BC 于点H ，点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ，如图：∵,,15OB OC OH BC BC =⊥=， ∴17.52CH BC ==，90CHO CFB ∠=∠=°， ∴CHO CFB ∽，∴COH CBF ∠=∠， ∵tan 3ABD ∠=， ∴tan tan 3CH COH CBF OH∠=∠==， ∴ 2.5OH =，∴OC =， ∵EF AB ∥，90BNC ∠=°， ∴CEF CNB ∽，∴90CEF CNB ∠=∠=°， 设EF x =，∴tan tan 3CE CE CFE CBN EF x∠=∠===， ∴3CE x =，∵OEF ADB ∽，∴OE EF AD BD=， ∵OEOC CE =−， 3x =， 解得：x =∴EF ②∵90CEF ∠=°，即EF OC ⊥， ∴12CEF S CE EF =⋅ ，12OEF S OE EF =⋅ ， ∴()111222CEF OEF S S CE EF OE EF EF CE OE −=⋅−⋅=⋅− ， 由题知，要使OEF 的面积与CEF △的面积差最大，必须使EF 和()CE OE −最大，∴当E 点与O 点重合时，EF 最大，CE OE OC −=最大，如图：∵EF AB ∥，∴CEF CNB ∽，∴CFE CBN ∠=∠，CE OC ==，∴tan tan 3CE CFE CBN EF ∠=∠==，∴EF∴253CF =．。
北京市第二十五中学2025届高考数学押题试卷含解析
北京市第二十五中学2025届高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项2．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+= B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅=3．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（） A．BC ．D 5．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 7．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A．43πB ．4πC ．323πD ．8．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆9．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:10．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,111．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3CD 12．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学(理)押题密卷及参考答案详解
理科数学试题 第1页（共22页） 理科数学试题 第2页（共22页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前2021年高考押题密卷（新课标Ⅲ卷）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2{1,3,5},160A B x x ==-<∣，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．(0,4)2．若复数z 满足()345z i i +=，则z =（ ） A ．15B ．12C ．1D ．53．已知样本数据为12345,,,,x x x x x ，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．24,2x s >> B ．24,2x s =< C ．24,2x s <<D ．24,2x s =>4．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强I （单位：2/W m ）)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为()10lg L aI =，其中a 为正实数.已知13210/I W m =时，10L dB =.若整改后的施工噪音的声强为原声强的210-，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ） A ．50dBB ．40dBC ．30dBD ．20dB5．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e 为（ ）A ．45B ．54C ．35D ．536．若非零向量,a b 满足3a b =，()23a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若角A ､C ､B 成等差数列，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．3B ．72C ．473D ．238．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．302πC ．41πD ．403π9．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω->满足()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A 62- B ．1 C 3D ．210．已知曲线ln y x =在()11,A x y ，()22,B x y ，两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ，()44,D x y ，则1234x x y y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．17411．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PAPF的最大值是（ ）理科数学试题 第3页（共22页） 理科数学试题 第4页（共22页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．2B ．2C ．233D ．3212．已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年北京市中考数学押题预测试卷+答案解析
2024年北京市中考数学押题预测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，三视图都是圆的为()A. B.C. D.2.2024年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps表示每秒传输10000000000位的数据.将10000000000用科学记数法表示应为()A. B. C. D.3.如图，▱的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是()A. B. C. D.4.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()A. B. C. D.5.已知点，是反比例函数图象上的两点，则()A. B. C. D.6.如图，AB为的直径，弦，垂足为点E，若的半径为5，，则AE的长为()A.3B.2C.1D.7.某学校运会在11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是()A. B. C. D.8.如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是()A.B.C.D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.要使得式子有意义，则a的取值范围是__________.10.分解因式：__________.11.方程的解为__________.12.已知有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________.13.某居民小区共有300户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此该部门通过随机抽样，调查了其中20户家庭，统计了这20户家庭的月用水量，如表：月用水量467121415户数246224根据上述数据，估计该小区300户家庭的月总用水量约为______14.如图，若AD是的高线，，，，则______.15.如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则__________.16.如图，在四边形ABCD中，，且，给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④将沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当时，四边形ABCD的内切圆半径为其中正确的是______写出所有正确判断的序号三、计算题：本大题共2小题，共10分。
(期中押题卷)江苏2024年三年级数学上学期期中考试质量调研试卷一(苏教版)(答案解析)
江苏省2024-2025学年三年级数学上学期期中考试质量调研试卷一答案解析一、填空题（满分20分）1．（2分）2盒巧克力和4盒饼干共98元，同样的2盒巧克力盒2盒饼干共74元。
一盒巧克力（）元，一盒饼干（）元。
【分析】已知2盒巧克力和4盒饼干共98元，同样的2盒巧克力盒2盒饼干共74元。
即两盒饼干的价格为98－74，再根据两盒饼干的价格计算出饼干的单价，74－两盒饼干的价格得到两盒巧克力的价格，再计算出巧克力的单价，据此作答即可。
【解答】2盒饼干的价格为：98－74＝24（元）一盒饼干的价格为：24÷2＝12（元）2盒巧克力的价格为：74－24＝50（元）1盒巧克力的价格为：50÷2＝25（元）一盒巧克力25元，一盒饼干12元。
2．（2分）一件上衣的单价是原来的一半，原来购买50件该上衣的钱，现在可以买（）件。
【分析】根据“一件上衣的单价是原来的一半”可知原来买一件的钱，现在可以买两件，也就是现在购买的件数是原来的2倍，因此用原来购买的件数乘2，即可解答。
【解答】据分析可知：50×2＝100（件）现在可以买100件。
3．（2分）如果□45×3的积是三位数，□里最大填（）；如果积是四位数，□里可以填（）。
【分析】依次将1、2、3…代入算式中求出积，再看□里填几时，积是三位数，而□里的数比这个数大1时积是四位数。
要使积是三位数，□里最大填这个数。
要使积是四位数，□里最小填比这个数大1的数，进而明确积是四位数时，□里可以填的数。
【解答】145×3＝435245×3＝735345×3＝1035如果□45×3的积是三位数，□里最大填2；如果积是四位数，□里可以填3、4、5、6、7、8、9。
4．（2分）用0、1、5、8这四个数（数字不重复使用）编成一道三位数乘一位数的乘法算式，积最大是（）。
【分析】先选一个数字作为一位数，剩余3个数字组成最大的三位数与一位数相乘，最后比较结果选出积最大的即可。
广东省揭阳市产业园2025届高考数学押题试卷含解析
广东省揭阳市产业园2025届高考数学押题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><3．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-4．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）.A ．9B ．6C ．38D ．3166．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6B ．3C ．93222- D ．93222+ 7．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>8．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年9．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±10．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12- D ．1211．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考理科数通用版二轮创新专题复习：稳取120分保分练(二)含答案
稳取120分保分练(二）一、选择题1．若集合A＝错误!,B＝｛x|y＝ln(x－1)}，则A∩B＝（)A．［1，＋∞）B．(0，1)C．（1,＋∞) D．（－∞,1)解析：选C 集合A＝错误!＝｛y｜y∈R}＝（－∞，＋∞)，B＝{x|y＝ln（x－1）｝＝{x｜x－1＞0}＝{x|x＞1｝＝(1，＋∞)，∴A∩B ＝（1,＋∞）．2．已知纯虚数z满足（1－2i)z＝1＋a i，则实数a＝( )A。
错误!B．－错误!C．－2 D．2解析：选A (1－2i)z＝1＋a i，∴(1＋2i）(1－2i)z＝（1＋2i）（1＋a i),∴5z＝1－2a＋(2＋a）i，即z＝错误!＋错误!i，∵z为纯虚数，则1－2a5＝0，错误!≠0，解得a＝错误!.3．（2017·山东高考）已知命题p：∀x〉0，ln(x＋1)>0;命题q:若a>b，则a2〉b2。
下列命题为真命题的是（)A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析:选B 当x〉0时，x＋1〉1,因此ln（x＋1）>0，即p为真命题；取a＝1,b＝－2，这时满足a〉b，显然a2〉b2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．4．若等差数列｛a n}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值为（)A．7 B．6C．5 D．4解析：选B 由a5是a2与a6的等比中项，可得a25＝a2a6，由等差数列｛a n｝的公差d为2，得(a1＋8)2＝(a1＋2）·(a1＋10），解得a1＝－11，a n＝a1＋（n－1）d＝－11＋2（n－1)＝2n－13，由a1＜0,a2＜0，…,a6＜0，a7＞0，…，可得该数列的前n项和S n取最小值时，n＝6。
5．已知棱长为2的正方体（上底面无盖)内部有一球，与其各个面均相切，在正方体内壁与球外壁间灌满水,现将球体向上提升,当球恰好与水面相切时，正方体的上底面截球所得圆的面积为（)A.错误!B.错误!解析：选B 设当球恰好与水面相切时水的高度为h。
2024年新高考数学押题密卷(三)(解析版)
2024年新高考数学押题密卷（三）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若B A ⊆，则=a （）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】A【解析】由{}21,3,A a =，得21≠a ，即1a ≠±，此时21,23a a +≠+≠，由B A ⊆，得22a a =+，而1a ≠-，所以2a =.故选：A2．复数z 满足()2i 2z +=（i 为虚数单位），在复平面内z 的共轭复数所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()2i 2z +=，得()()()22i 242i 2i 2i 2i 55z -===-++-，所以42i 55z =+，对应的点为42,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限.故选：A.3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为（）A ．1.5尺B ．3.5尺C ．5.5尺D ．7.5尺【答案】C【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为1a ，2a ，⋅⋅⋅，12a ，前n 项和(12)n S n ≤，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，得2461813931.5878802a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得113.5a =，1d =-，所以谷雨日影长为91813.58 5.5a a d =+=-=（尺）．故选：C4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（）3cm．A ．100π3B ．103π3C ．106π3D ．104π3【答案】D【解析】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2cm ，高为2cm ；圆柱的底面半径为2cm ，高为8cm ，故该模型球舱体积为221104ππ22π2833⨯⨯⨯+⨯⨯=（3cm ），故选：D.5．已知F 为椭圆222:1(0)x C y a a+=>的右焦点，过原点的直线与C 相交于,A B 两点，且AF x ⊥轴，若35BF AF =，则C 的长轴长为（）ABC．D【答案】B【解析】设(),0F c ，如图，记F '为C 的左焦点，连接AF '，则由椭圆的对称性可知AF BF '=，由35BF AF =，设3,5AF m BF m ==，则5AF m '=.又AF x ⊥轴，所以42FF m c ==='，即2c m =，所以2228214AF AF m a a c m ⎧+=-='=⎨=⎩，解得3a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以C 的长轴长为23a =.故选：B6．已知函数()y f x =的图像如图所示，则此函数可能是()A ．2()||2x xe ef x x x --=+-B ．2()||2x xe ef x x x --=+-C ．3||11||()e ex x x xf x --+=-D ．3||11||()e ex x x xf x ---=-【答案】B【解析】对于A ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，0x x e e --<，2||20x x +-<，()0f x >，与所给图象不符；对于B ，2()||2x xe ef x x x --=+-，()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，又由22()()||2||2x x x xe e e ef x f x x x x x -----===-+-+-，()f x 为奇函数，在区间(0,1)上，0x x e e -->，2||20x x +-<，()0f x <，在区间(1,)+∞上，0x x e e -->，2||20x x +->，()0f x >，与所给图象不矛盾；对于C ，3||11||()e ex x x xf x --+=-，有||11||0x x e e ---≠，解得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(3,)+∞上，311()x x x xf x e e --+=-，231111112(31)()()()()()x x x x x x e e e x x e e e x f x ------+-++-'-=，111232312(31)(31)()x x x x x x e e e x x e x x ----+----+++=，而x>3时，3x 2+1<x 3+x ，()0f x '<，f (x )在(3,)+∞上递减，与所给图象不符；对于D ，3||11||()e ex x x xf x ---=-，()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，||11||0x x e e ---<，30x x -<，()0f x >，与所给图象不符.故选：B7．已知函数()()πcos 3π3cos 32f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()x ∈R ，关于()f x 的命题：①()f x 的最小正周期为2π3；②()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π3；③()f x 图像的对称轴方程为()ππ34k x k =+∈Z ；④()f x 图像的对称中心的坐标为()ππ,034k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；⑤()f x 取最大值时()2ππ34k x k =+∈Z .则其中正确命题是（）A ．①②③B ．①③⑤C ．②③⑤D ．①④⑤【答案】B【解析】()()ππcos 3π3cos 3cos3sin 3324f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2π3T =，故①正确；()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π23T =，故②错误；令()ππ3π42x k k -=+∈Z ，则()ππ43kx k =+∈Z ，故③正确；令()π3π4x k k -=∈Z ，则()ππ123k x k =+∈Z ，故④错误；令()ππ32π42x k k -=+∈Z ，则()π2π43k x k =+∈Z ，故⑤正确.故选：B.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．4048【答案】D【解析】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D 正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量a ，b 不共线，向量a b + 平分a 与b的夹角，则下列结论一定正确的是（）A ．0a b ⋅=B ．()()a b a b +⊥- C ．向量a ，b 在a b +上的投影向量相等D ．a b a b+=- 【答案】BC【解析】作向量,OA a OB b == ，在OACB 中，=+ OC a b ，BA a b =-，由向量a b +平分a 与b 的夹角，得OACB 是菱形，即||||a b = ，对于A ，a与b 不一定垂直，A 错误；对于B ，220()()a b a b a b +⋅-=-= ，即()()a b a b +⊥- ，B 正确；对于C ，a 在a b + 上的投影向量222()()()||||a ab a a b a b a b a b a b ⋅++⋅+=+++ ，b 在a b + 上的投影向量22222()()()()||||||b a b b a b a a b a b a b a b a b a b a b ⋅++⋅+⋅+=+=++++，C 正确；对于D ，由选项A 知，a b ⋅不一定为0，则||a b + 与||a b - 不一定相等，D 错误.故选：BC10．A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，下列命题正确的是（）A ．若A ，B 为相互独立事件且()()1P A P B +=，则()()P AB B P A =B ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =C ．()()1P A B P A B +=D ．若()0P A >，()0P B >，则()()1P B A P B A +=【答案】ABC【解析】对于A ，由A ，B 为相互独立事件且()()1P A P B +=，得()()()[1()][1()]()(P AB P A P B P A P B P A P B ==--=，A 正确；对于B ，由()()P A B P A =，得()()()P AB P A P B =，即()()(|)()P AB P B P B A P A ==，B 正确；对于C ，事件,AB AB 互斥，则()()()()()()1()()()()P AB P AB P AB AB P B P A B P A B P B P B P B P B ++=+===，C 正确；对于D ，由选项C 同理得()()1P B A P B A +=，()P B A 与()P B A 不一定相等，因此()()1P B A P B A +=不一定成立，D 错误.故选：ABC11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,,,E F G 分别为棱111,,BB DD CC 的点，且111112,,333BE BB DF DD CG CC ===，若点P 为正方体内部（含边界）点，满足：,AP AE AF λμλμ=+ ，为实数，则下列说法正确的是（）A ．点P 的轨迹为菱形AEGF 及其内部B ．当1λ=时，点P 的轨迹长度为C ．1AP 最小值为10D ．当12μ=时，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为11【答案】ABD【解析】对于A ，因为AP AE AF λμ=+，由空间向量基本定理可知，所以P 在菱形AEFG 内，A 正确；对于B ，取1CC 上一点H ，使得113CH CC =，连接,EH FH ，HB ，易证四边形AFHB 和四边形BHGE 是平行四边形，所以//,AF EG AF EG =，所以四边形AFGE 是平行四边形，所以AE FG =，当1λ=时，AP AE AF AP AE AF λμμ=+⇒=+,所以AP AE EG μ-= ，即EP EG μ= ，P 在线段EG 上，P 的轨迹长度为线段EG，B 正确；对于C ，由AP AE AF λμ=+知，P 在菱形AEFG 内，所以1AP 的最小值即为点1A 到平面AEFG 的距离，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()13,0,0,0,0,1,3,3,1,3,0,3A F E A ，可得()()()13,0,1,0,3,1,0,0,3AF AE AA =-==设平面AFGE 的法向量为()1,,n a b c = ，则113030n AF a c n AE b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取3c =，可得1,1a b ==-，所以()11,1,3n =-，所以1A 到平面AEFG的距离为：11111n AA d n ⋅=== ，故C错误；对于D ，当12μ=时，12AP AE AF AP AE AF λμλ=+⇒=+ ,分别取,AF EG 的中点,M N ，连接MN ，P 在线段MN 上，3133,0,,,3,2222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()01MP MN λλ=≤≤ ，可得31,3,22P λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m = ，31,3,22AP λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设AP 与面ABCD 所成角为θ，所以12sin cos ,AP m AP m AP mλθ+⋅===⋅设121t λ=+，因为[]0,1λ∈，则1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1122t λ=-代入化简可得sin θ当12t =时，直线AP 与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为11，D 正确．故选：ABD ．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。