六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

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六年级奥数(数的整除)

六年级奥数(数的整除)整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a 也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+ 2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是987 65，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14 +a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是987 6504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，3 3，….例9 ○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51= 5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14 将8个数6，24，45，65，77，78，10 5，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝1 2（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，1 2这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2，38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18 求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 96 7，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么5 7+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×2 7＝999被 11除的余数是4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3 -1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被1 2除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被1 2除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，5 6分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100～20 0之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。

六年级奥数.数论.整除问题（abc级）.学生版

六年级奥数.数论.整除问题（abc级）.学⽣版数的整除知识框架⼀、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b 不整除a，记作b a.⼆、常见数字的整除判定⽅法1.⼀个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；⼀个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；⼀个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.⼀个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；⼀个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果⼀个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果⼀个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果⼀个数从数的任何⼀个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果⼀个数能被99整除，这个数从后两位开始两位⼀截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若⼲个有两个数字还有⼀个是⼀位数）的和是99的倍数，这个数⼀定是99的倍数。

7.若⼀个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太⼤或⼼算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍⼤、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为⽌。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；⼜例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8.若⼀个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

小学六年级奥数题-整除

小学六年级奥数题:整除
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求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除.
答案与解析：根据此数的末两位数是56，设所求的数写成1_a+56
由于1_a+56能被56整除，所以1_a是56的倍数
1_是4的倍数，所以a能被_整除，所以a应是_的倍数
此数的数字和等于56，后两位为5+6=_
所以a的数字和等于56-_=45
具有数字和45的最小偶数是_9998，但这个数不能被7整除
数字和为45的偶数还可以是289998和298998
但前者不能被7除尽，后者能被7整除
所以本题的答数就是29899856.
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小学六年级关于整除的奥数题

小学六年级关于整除的奥数题【篇一】1、一家洗衣机销售柜，与1990年某日上午和下午分别以相等的价格售出相同的台数。

已知这天共卖得现金额（元）恰好等于这年的年份数。

问这个柜台上、下午各买出几台洗衣机？每台洗衣机价多少？2、有五对夫妻，他们十人的年龄可以排成十个连续自然数，十人岁数的和为345，每对夫妻丈夫比妻子大的岁数，正好是五个一位连续的奇数。

这十人的岁数各是多少？3、a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993，那么a+b+c=？4、若连乘积975×935×972×（）的最后四个数字都是0，则在括号内最小应填上什么数？5、1512乘以自然数a，得到一个平方数求a的最小值和这个平方数。

6、a、b是两个质数，a的7倍与b的和是111，求a、b各是多少？7、请你把1~9这9个数字填入下列算式的九个方框内，使等式□□□×□□=□□×□□=5568成立。

8、相邻三个奇数的乘积是1□□7，这三个自然数分别是多少？9、如果把一个六位数的个位数移到最前面的十万位上，把其他各位的数字依次向后移一位，得到一个新的如果新数是原数的5倍，那么原来的六位数是几？10、劳技课老师带领一班同学去植树，学生恰好分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，则共种了572棵，那么，这个班有学生多少人？每人种树多少棵？【篇二】1、边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形有多少个？2、11112222个棋子排成一个长方形阵。

每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个。

这一长方形阵每一横行有多少个棋子？3、一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。

4、六个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。

5、某山区农民可拿鸡蛋到商店换热水瓶，商店起初规定45个鸡蛋换一个热水瓶，没有人去换。

后来热水瓶降价，去换的人就多了。

已知商店的全部热水瓶共换到1989个鸡蛋，虽然每个热水瓶成本高于30个鸡蛋的价钱，交换后并不吃亏。

六年级奥数.-数论.质数、合数、约数、倍数-(ABC级).学生版

六年级奥数.-数论.质数、合数、约数、倍数-(ABC级).学生版质数合数、约数倍数知识框架一、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

质数有无限多个。

最小的质数是2。

合数有无限多个。

最小的合数是4。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1. 求最大公约数的方法● 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；● 短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L；6003151285÷=L；315285130÷=L；28530915÷=L；301520÷=L；所以1515和600的最大公约数是15．2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分即为所求．数的分子的最大公约数b；ba4.约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数四、倍数的概念与最小公倍数1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

数论问题题目

【例 3】将自然数 1 ，2 ，3 ， „，依次写下去形成一个多位数 “ 123456789101112 所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除。请问： N 是多少？
” 。当写到某个数 N 时，
【例 4】已知 33 能整除六位数 716 AB2 ，求这个六位数。
学而思内部资料
整除问题学生版【例 5】已知 23! 2585a01b738c849766de000 ，其中 a, b, c, d , e 表示五个互不相同的偶数数字，求
a, b, c, d , e 分别是多少?
【例 6】 55
20 个 5
5 a 99
20 个 9
9 （其中5 、9 各20个， a 表示一个数字）能被7 整除。那么， a 的值是多少？
【例 7】各位数字均不大于 5 ，且能被 99 整除的六位数共有多少个？
【例 8】有（
）个形如 abcdabcd 的数能被 18769 整除。
【例 1】牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ 67□8□ ” ，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？
【例 2】多位数 3232
n个32
321 能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？
整除问题学生版
第三讲
【知识要点】
整除问题
Ⅰ、整除
1、定义 a÷b=c (a,b,c 为整数，且 b≠0)，记为 b|a 2、性质（1）（2）（3）（4）（5）（1）若 c|a, c|b,则 c|(a±b)。若 c|b, b|a,则 c|a。若 bc|a,则 b|a,c|a。若 b|a,则 bm|am（m 为非零整数）。若 b|a，且 d|c，则 bd|ac。看末位：2，5 家族末一位：2，5 末两位：4，25 末三位：8，125 末 n 位：2n，5n PS：除以 2，5 的余数就是末一位除以 2，5 的余数；4，25 就是末两位，以此类推。（2）看数字和 ① 3，9 家族：各位数字和 ② 33，99 家族：从个位开始，两位一截，所得的两位数的和以此类推，333，999 都有类似的性质~ PS：除以 3，9 的余数就是各位数字的和除以 3，9 的余数。（3）奇数位与偶数位数字和的差：11 家族从个位开始算第一位，依次往前，分别求出奇数位数字和与偶数位数字和，然后相减（大减小），差为 11 的倍数，这个数就是 11 的倍数。 PS：除以 11 的余数就是奇数位数字和减去偶数位数字和（不能倒过来！！不够减就补上 11 的若干倍）的差除以 11 的余数。（4）三位截断：7，11，13 家族从个位开始，每三位一截，依次标上号，分别求出奇数号的三位数之和及偶数号的三位数之和，然后两个和相减（大减小），差为 7 的倍数，这个数就是 7 的倍数（11，13 类似）。 PS：类似的，奇数号三位数之和减去偶数号三位数之和（不够就补上 7 或 11 或 13 的若干倍）。

6年级奥数数的整除

教师寄语：人生一经典当,将永不相赎数的整除（一）知识引领数的整除性是研究自然数之间关系的学问。

我们在课本中已经学习了能被2、3、5整除的数的特征，在这里再补充几个整数整除特征：1、能被2和5、4和25、8和125整除的数的特征：分别看这个数的末尾一位、末尾两位、末尾三位能否能被2和5、4和25、8和125整除。

一个整数按能不能被2整除分为奇数和偶数。

数的奇偶性有着很重要的应用。

奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数【典型例题】例1、有两堆糖果，第一堆有432块，第二堆有344块，哪一堆平均分给9位小朋友而无剩余？变式练习一1、判断45728能否被4整除？2、90365能否被125整除？例2、判断18109能不能被7、11或13整除？变式练习二1、判断25102能不能被7、11或13整除？2、判断789646能不能被7、11或13整除？例3、四位数5 1 能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？变式练习三1、四位数6 2 能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？2、在横线上填上合适的数字，使五位数2 10 能同时被8和9整除？例4、1000个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？为什么？变式练习四1、王老师拿来10张卡片，上面写着4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，你能找出上面的三个数的和为37的三张卡片吗？如果能，请写出；如果不能，请说明理由。

2、598个连续自然数的和是奇数还是偶数？为什么？例5、有10只茶杯口朝上，每次其中任意三只同时翻转（杯口朝上的就朝下，杯口朝下的就朝下），至少需要4次这样的翻转，才能使10只茶杯全部变成杯口朝下吗？为什么？变式练习五1、有7只杯口全部朝上的杯子，每次将4只同时翻转，可能经过这样有限的次数使杯口全部向下吗？2、桌子上放着7只杯子，3只口朝下，4只口朝上，每人翻动4只杯子，能否将杯口全部朝上？例6、有一列数：2、3、5、8、13、21..........，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。

小学奥数数论问题第二讲数的整除特性

第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。

【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。

一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

六年级奥数试题-整除和位值原理(学生版)

第九讲整除和位值原理整除问题1.整除的概念2.整除的基本性质3.数的整除特征4.位值原理5.位值原理的表达形式1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。

2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。

3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。

例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。

例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。

求原来的两位数。

例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=321Λ个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。

六年级奥数专题数论综合三(学生版)

学科培优数学“数论综合三”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。

知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】己知五个数依次是13,12, 15, 25,20它们每相邻的两个数相乘得四个数,这四个数每相邻的两个数相乘得三个数,这三个数每相邻的两个数相乘得两个数,这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【试题来源】【题目】有4个不同的自然数,它们当中任意2个数的和是2的倍数,任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小,这4个数分别是多少?【试题来源】【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是．【试题来源】【题目】在小于5000的自然数中,能被11整除,并且数字和为13的数,共有多少个?【试题来源】【题目】从1,2,3,……n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为_______。

【试题来源】【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数,且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3,便得到另外一个完全平方数,求原来的四位数。

【试题来源】【题目】4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数,而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的2个偶数之和尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少?习题演练【试题来源】【题目】A telephone number has the from ABC-DEF-GHIJ,where each letter represents a different digit . The digits in ench part of the number are in decreasing order；that is,ABC,DEF,and GHIJ,Further more,D,E,and F are consecutive even digits；G,H,I,and J are consecutive odd digits ；and A+B+C=9. What is A ?【试题来源】【题目】在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点,在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点,在第3个点上标上数3；……；依此类推,直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点,有的点可能标上多个数,有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?【试题来源】【题目】设1,3,9,27,81,243是6个给定的数,从这6个数中取出若干个数,每个数至多取一次,然后将取出的数相加得到一个和数,这样共可得到63个不同的数．把这些数从小到大排列起来依次是1,3,4,9,10,12,…,那么其中第39个数多少?【试题来源】【题目】证明：形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数．【试题来源】【题目】有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同）,将其中一个或几个放在天平的右边,待称的物品放在天平的左边,能称出1,2,3,…,200的所有整数克的物品来；那么,这10个砝码中第二重的砝码最少是克。

奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）

奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

六年级奥数(数地整除)

整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是 11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，1 05应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下3 63，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝ 8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝ 3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋ 12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。

数论.整除问题-学生版

数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」9.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

小学六年级奥数整除综合之整除判别方法

【例6】(★★★★)
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个。
【例7】 (★★★)
如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。 (a、b都是自然数)。
一、本讲重点知识回顾 1．末尾系：2,5；4,25；8,125
2. 和系：3,9；99
3. 差系：7,11,13
11倍数
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系能否被2或5整除是看末一位；能否被4或25整除是看末两位；能否被8或125整除是看末三位。
3．和系一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
若：1 0 0 1 efg b cd a 则：1 0 0 1 a b cd efg 1

六年级奥数数地整除

实用文档，0b，商是整数且余数为整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数的一个因数a此时，b是a，记作b丨a.我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除. 的倍数是b，（约数）a 整除的性质 1.. ）整除（这里设a>ba+b，a-b也都能被m性质1如果a和b都能被m整除，那么. ）丨（18-1218+12），3丨18，3丨12，那么3丨（例如：3 c整除。

c能被整除，那么a 能被2如果a能被b整除，b性质24.3丨6丨24，那么例如： 3丨6， a也一定m、n整除，那么性质3如果a能同时被.n的最小公倍数整除能被m和36. 18丨的最小公倍数是18，丨36，6和9丨例如：636，9. ，那么它们称为互质的如果两个整数的最大公约数是1.是互质的18与91 例如：7与50是互质的，. 整除×cc与互质，那么a能被b性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b72 互质，与43和4整除，由3 例如：72能分别被.整除的乘积12能被3与4488整除，但不能被乘积.72分别能被6和性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的2. 8的最大公约数是不互质，6与与整除，这就是因为68 互b与c因为性质4可以说是性质3的特殊情形.，我们常常运用如下解题思路：c.事实上，根据性质4 质，它们的最小公倍数是b×. c整除整除与被ba被整除，如果a被b×cb与c互质，就可以分别考虑，a 要使整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征11，9，，，3，4，58能被 2. 来判断许多数的整除问题数的整除特征 2.2整除的数的特征：（ 1）能被. 整除如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被 2 5整除的数的特征：）能被（2.整除，那么它必能被或如果一个整数的个位数字是 055实用文档）整除的数的特征：（或93 （）能被3. ）整除（或93（或9）整除，那么它必能被3 如果一个整数的各位数字之和能被）整除的数的特征：（或25 （4）能被4. ）整除（或25（或25）整除，那么它必能被44 如果一个整数的末两位数能被）整除的数的特征：（或125（5）能被8. ）整除（或125（或125）整除，那么它必能被8 如果一个整数的末三位数能被8 11整除的数的特征：（6）能被那么它11整除，如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被.11整除必能被：例1 b是什么数字？18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和四位数7a4b 能被. 9整除，可以分别考虑被2和9，并且2与9互质，根据前面的性质4解：18=2×8. ，，，46整除，b只能是0，2 要被27+4=11. 整除，已有9整除，四个数字的和就要被9 再考虑被； a=7，此数是 7740 如果 b=0，只有；a=5，此数是7542 如果b=2，只有；，此数是73444，只有a＝3 如果b＝；，此数是 7146，只有 a＝1如果 b＝67848. 8，此数是8，只有a＝＝如果b7146.因此其中最小数是. 1就是一个典型根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这只桶，共□67.92一本老账本上记着：72例.笔账补上，4.按照前面的性质88，9与又互质.72把□解：67.9□写成整数679，它应被72整除＝9×96792能被b＝2.从整除的特征，9整除.从被879要被8整除，因此被只要分别考虑6798和被3. ＝9整除，因此a能被整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24.元这笔帐是367.92六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可6，45，，在例31，23，.，使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小以重复出现）整除，64255解：如果选数字，组成数的最后一位数字就必须是，这样就不能被偶数，，实用文档，1，而选其他五个数字，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5也就是不能选2，4整除，只能再添上36，所用的数字之和要能被16，为了能整除3和2，3，4，6.1+2+3+4+6＝ .整除组成的数是整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4一个2，16+2＝18能被3122364.. 55整除，求出所有这样的四位数7□4□能被例4四位数. 11整除11互质，可以分别考虑被5与＝5×11，5与解：555. 0或要被5整除，个位数只能是.11整除再考虑被7040. 0，所得四位数是）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+0（零能被所有不等于零的整6）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+57645.，所得四位数是数整除）7645.，满足条件的四位数只有两个：7040最大的是哪一这样的数中，并且它能被11整除，例5一个七位数的各位数字互不相同，个？11，要使它被，设这个七位数是98765ab 解：为了使这个数最大，先让前五位是98765 ）（14+a（21+b）-（整除，要满足（9+7+5+b）-8+6+a）=中的两个，4，2，3整除，但是a与b 只能是0，1整除，也就是能被117+b-a要能被119876504. 0，满足条件的最大七位数是，a ＝数，只有b＝4思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？）（答：1023495都整除，那么它的最后三个数98，，6，7，2例6某个七位数1993□□□能被，3，4，5字组成的三位数是多少？.解一：从整除特征考虑0. 这个七位数的最后一位数字显然是.整除8，，7 另外，只要再分别考虑它能被9整除，最后三位组，要被8整除，十位与百位的数字和是5或14，要被＋＋ 19＋93＝229 整除，因此只可能是下面三个数：成的三位数要能被8 1993680，， 19935001993320，320.整除，因此所求的三位数是能被其中只有 1993207实用文档.…101，5，7，，一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2不是质.1501，…12，99，一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，个约数的整3恰好只有两个约数的整数是质数，至少有数，也不是合数.也可以换一种说法，.1只有一个约数，也就是它本身数是合数，，但是奇数不一定是质数，例如，15质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数..33， (209)+△）例9○×（□. 在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立209可以写成两个质数的乘积，即解：19.11× 209＝，偶质数只有2+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，不论○中填11或19，□17. ，而□填不是质数，因此○填，911不妨假定△内填2.当○填19，□要填9 ，2）＝209 这个算式是 11×（17＋209.）＝2＋17 11×（把一个整数分解成若干个整数的乘.的首要一步是把209分解成两个质数的乘积解例9这也是这一节所讲述的主要是解决整数问题的一种常用方法，积，特别是一些质数的乘积，.内容的427，都是一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，.的因数，但不是质因数也是42质因数，6，14 例如如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，任何一个合数，5.3×2×3× 360＝2×2×5.3×＝2×还可以写成360233次方，在的33称为2的指数，读作22表示3个2相乘，32个3相乘.在中，2 这里表示2233.2次方3称为的指数，读作3的中，2，岁，而他们的年龄的乘积是5040 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1例10那么，他们的年龄各是多少？分解质因数解：我们先把5040 7.5××＝23×5040 24再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：10.×××＝××3× 25778924实用文档.岁9岁和10 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、为寻求一般方.（包括1和它本身）利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数. 法，先看一个简单的例子对于较大的数，如果一个一个地24.，12，4，6，82 我们知道24的约数有8个：1，，3，.去找它的约数，将是很麻烦的事）之间的31，，2）与3的约数（，3，所以24的约数是2的约数（12，2 因为24＝2×3323.两两乘积3.×，2，2×13，2×1，2×3× 1×1，1×3，2×1，23322）＋1中的2，有（3＋1）个，即对于24＝2×3（这里有4×2＝8个，即 3＋1）×（133. 1）种选择）×（1＋1）种选择.因此共有（3＋1，对于种选择：1，2，2，23有（1＋32这个方法，可以运用到一般情形，例如，.×3144＝2 24. （个）2+1）＝15144的约数个数是（4＋1）×（因此. 的所有整数150之间，找出约数个数是811在100至例. ）两种情况＋13＋1）×（18解：有＝7＋1； 8＝（，符合要求，＝128（1）2 7. 7次方的数符合要求＞ 3150，所以不再有其他78，2）2＝（3.136，符合要求×17＝8×13＝104， 8；3＝27 3.符合要求5＝135 只有27×136. 135，，个数合要求：128，104，它乘以任何质数都大于 5＝135150，因此共有43先把它们各自进行利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.质因数分解，例如7.××3＝3×5，1682× 720＝2324上面两个整数都含有质因那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，的最大公约数是720与168，类似地都含有2数，较低指数次方是23，因此3 24.＝× 23372请注意在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数 .实用文档 168的最小公倍数是，可以认为较高指数次方是5=5.720与0中有5，而168中无515040. 7＝×5× 2×324另一个数是90，30，已知其中一个数是12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是例多少？，3×5解：180＝2×225.×2×3 30＝而最大公约数是在两数中取最小公倍数是在两数中取次数较高的，对同一质因数来说，，33就知道，一数中含，另一数中含2；从3与次数较低的，从2与2就知道，一数中含22222，从一数是另一数中含35.××3 90＝2 2就知道另一数是60.5＝2×3×2还有一种解法：30的整数倍，也就是在下面这些数中去找另一数一定是最大公约数.，…，， 90 120 30， 60现在碰巧第二30.180，最大公约数是否是这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是.逐一去检验，有时会较费力就是.60个数如果把所有这样的分数从420. 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是例13小到大排列，那么第三个分数是多少？ 420分解质因数解：把7.×5×3×420 ＝2×2，相同质了）分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420 为了保证分子、分子从小到.），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母因数（上面分解中的2 大排列是20.15，，，4，57，12，， 13 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是实用文档. 就称这两个数是互质的两个整数，如果它们的最大公约数是1..分解成两个互质的整数实质上是把420 例13是非常基本又是很有用的方法，把一个整数分解成若干个整数的乘积，利用质因数分解，.再举三个例题个个数，并且每组4，110分成两组，每组47845，65，77，，105例 14将8个数6，24，.数的乘积相等，请写出一种分组个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也要想每组4解：. 8个数分解质因数一样才行.把 3，＝2× 24 6＝2×3，3 13，＝5×45＝3×5， 65 2，3×13 78×11，＝2× 77＝711.×2×55×7， 110＝ 105＝3×，6的因子，必须把为了使第二组里也有三个先放指数最高的质因数，把24放在第一组，21，看质因数777和65放在第一组中.78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把放在第一组中，得到应放在第二组中，450545. 77，，第一组：2465，105.110，6，78，第二组：. --完全平方数在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数都是完全平625144，×25.4，9，＝，3×3 144＝12×12， 62525＝×例如： 4＝22， 9. 方数. 一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数，…×＝25×例如：144＝34， 100 2222，那么甲数和乙280010个约数，甲、乙两数最小公倍数是15 例甲数有9个约数，乙数有数分别是多少？.所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对解：一个整数被它的约数除后，.它的约数的个数才会是奇数只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，.因此，甲数是一个完全平方数7.××2800＝25 24在它含有的约数中是完全平方数，只有实用文档.52×，5，2×5 1，2，2，2222442.（个））＝92＋1）×（2+1 在这6个数中只有2×5＝100，它的约数是（22，因此乙数至少要含52× 2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22112. （个）约数，从而乙数就是）＝10）×（1＋17，而2×7＝112恰好有（4+1有2和44112.100，乙数是综合起来，甲数是.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵支共用了17元.例16小明买红蓝两种笔各1元恰，可是他无论怎么买都不能把35小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种）好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？17-元恰好用完），也不能是7元（否则能把35＝355×7.红、蓝的单价不能是5元或解：. 7元支是5元或17-7＝10（元），否则另一种笔1（元）和5＝12.这四个数10，125 记住：对笔价来说，已排除了，7，元恰好都买成笔，18如果笔价是18的约数，就能把笔价不能是35-17=18（元）的约数.，3，2，.因此笔价不能是18的约数：1再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了9.，6现在笔价又排除8. 17-9＝17-6＝11，，16，17-2＝1517-3＝14，当然也不能是 17-1＝了：16.15，11，14，3，6，8，9， 1，2，元，蓝笔每支17，就知道红笔每支 13＝13未被排除，而4＋134 综合两次排除，只有与.元4 三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例通常的表示是：不能整除就产生了余数.3， 48÷5.÷如 95 3.7…… 38÷5＝21 65÷3＝…… 2，就是余数，写成文字是3上面两个算式中2和.商……余数被除数÷除数=上面两个算式可以写成3.＋5×7＝＋＝ 653×212， 38 也就是.除数×商=+余数被除数出发去考虑问题，这正是某些它使我们容易从“余数”通常把这一算式称为带余除式，实用文档.整数问题所需要的. 特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据. 15.求这个质数175397被一个质数除，所得余数是例解：这个质数能整除5382， 5397-15＝3＝2×而 538223.×13×199723.大，除数又是质数，所以它只能是因为除数要比余数15从而得求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，当被除数较大时，.到余数.的余数645763除以7例18求3余下，再去掉140015763，再去掉14000还余下 1763解：可以先去掉7的倍数630000余这个过程可简单地记成，最后得出余数是6.，再去掉350余13636.13→1763→363→645763 →15763→如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：6.1000→→15000→ 645763 带余除法可以得出下面很有用的结论：. 如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除那么这个整数是多少？，2001得到相同的余数，1的整数，它除967，1000例19有一个大于的两两之差，即，2001解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，100011，＝＝333× 1000-967 ，13×11×2001-1000 ＝1001＝747. ××11＝ 2001-967＝1034211.这个整数是这三个差的公约数因为另一个差总可以由这两请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了..个差得到，与2001-10001000-967 例如，求出差那么差））＋（＝（ 2001-9672001-10001000-967实用文档33 1001＋＝1034.＝从带余除式，还可以得出下面结论：乙两数之和被这个除数除，得到两个余数，那么甲、甲、乙两数，如果被同一除数来除，.它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数除13＝14被13除，余数是5＋9除余13除余5，152被139，那么57+152=209被被例如，571.的余数，从第三个数起，每个数恰40，第二个数是例20有一串数排成一行，其中第一个数是15除的余数是多少？个数被3好是前面两个数的和，问这串数中，第1998除的余数有什么规律，3我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被解：根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数.但这样做太麻烦除的余数，这样就很容易算出前十个，就得到这个数被33被3除所得的余数相加，然后除以 3除的余数，列表如下：数被.3除的余数相同从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数，每八个循环一次，因为因此这一串数被 6，×249＋ 1998＝ 82. 除的余数一样，也就是3除的余数，应与第六个数被3 所以，第1998个数被计算钟点是.我们的计算方法，就是循环制. 一些有规律的数，常常会循环地出现12.11，9，10，74，5，6，，8，31 ，2，，. 这十二个数构成一个循环按照七天一轮计算天数是.日，一，二，三，四，五，六除的余数这也是一个循环，相当于一些连续自然数被76，，， 4 5，， 0 1， 2 3.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象的循环..用数来反映循环现象也是很自然的事个数的循环，71212循环现象，我们还称作具有“周期性”，个数的循环，就说周期是，实用文档. 发现周期性和确定周期，是很有趣的事20中余数的周期是8.研究数的循环，7.就说周期是例在讲述例题之前，再讲一个从带余除式下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子. 得出的结论：那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数..余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数除后被 115＝20＝999被 11除的余数是 4×2737被11除余4，被11除余5，37×27 例如， 9.的余数4. ＝2×21997×1997被7除的余数是2 1997＝7×285＋，就知道除余几？ 19被7例211997我们只要考虑一.7除的余数相同219被7除的余数与被解：从上面的结论知道，19971997. 除的余数的连乘，被7些2 先写出一列数8，＝×2×2 2，2×2＝4，2.16，…2×2＝ 2×2× .列表如下：然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律除的77除，就可以得到后一个数被2 事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以，再被）.（为什么？请想一想.余数就根据上面对余数的计算，都是2.第四个数与第一个数的余数相同，从表中可以看出，循环的周期是.3个数循环一轮知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3.2.665 ＋1997 ＝ 3×4.除的余数相同，这个余数是被 7 2 就知道2被7除的余数，与19971997.再看一个稍复杂的例子每个数的三倍都恰好等于它两边两个数个数排成一行，70除了两头的两个数以外，例22 .这一行最左边的几个数是这样的：的和.55，…，3，821，，， 01 除余几？个数）被问：最右边一个数（第 706实用文档倍减去再前一个3 解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的数：，×3-0 3＝1 ，×3-1 8=3 ，×3-3 21=8 ，×3-8 55=21 ……能否从前面的余数，那就太麻烦了.真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，不过，，从第三个数起，余数的算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？）计算办法如下：. 6除，所得余数即是将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：因为我们求被这在小学数学范围不允许，0×3-1 注意，在算第八个数的余数时，要出现 1. 再来减3加66除的余数，所以我们可以 0×从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就12.知道余数的循环周期是5+10.×＝12 704. 6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是因此，第七十个数被在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：.，求这个数余2，除以2，除以5余37一个数除以 3余它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余这样的问题，也有人称为“韩信点兵” .目，这是由中国人首先提出的.式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”.但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，. 这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法余几？，问这个数除以余，除以余有一个数，除以例 23324112实用文档的数有：余2 解：除以3.…， 23， 17， 20， 2 5， 8， 11，14的余数是：它们除以12.11，…5，8，2，5，8，11，， 2 1的数有：除以4余.29，… 21， 25，， 9， 13， 17， 1， 5 12的余数是：它们除以.9，…， 5，1， 5， 9， 112是共同的，因此这个数除以5的余数是唯一的.上面两行余数中，只有一个数除以125.的余数是然后逐个考的整数，4除余1我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被上面解法中，这样的列举的办法，在考虑的.除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数虑被12.数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的很明显，满足条.12除的余数，而是求这个数的问题改变一下，不求被如果我们把例23 件的数是很多的，它是×整数，＋ 12 5的最43与5后，注意到12是整数可以取 0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出”余1余2，除以4小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先”一个条件.两个条件合并成“除以12余5. .然后再与第三个条件合并，就可找到答案把两个条件合并成一个. ，求符合条件的最小数7余22余，除以5余3，除以例24一个数除以3 的数：3余2 解：先列出除以 26，…， 20，23， 17 5，， 8， 11， 14，， 2 3的数：再列出除以5余.，…， 28，， 13 18， 23， 3 8 15.两个条件合并成一个就是8.3与5的最小公倍数是这两列数中，首先出现的公共数是×整数，＋158列出这一串数是，…，，， 8 23 38实用文档的数7余2 再列出除以，…，， 30 9， 16， 23 2，23.就得出符合题目条件的最小数是23. 除余事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105.最后再看一个例子整整除，中间的能被5至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3例25在100. 7整除，写出这样的三个连续自然数除，最大的能被.1）整除（又是被3除余解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被511.，下一个连续的自然数是和例如，找出91056＝×37的整数倍，使加得的数能被整除.11＋155 3和的最小公倍数是15，考虑11加15.7整除3，5，56能被7整除，那么54，55，这三个连续自然数，依次分别能被所求三105.7的最小公倍数5，56分别加上3，，54100 为了满足“在至200之间”将，55 数是 161.160， 159，5.除余，被5除余47整除，被，它被200100 注意，本题实际上是：求一个数（～之间）3 24解法有哪些相同之处？请考虑，本题解法与例。