概论与数理公式(全)
概率论与数理统计公式整理数学家的宝藏
概率论与数理统计公式整理数学家的宝藏数学作为一门学科，不仅仅是为了丰富我们的数学知识，更重要的是为了解决实际问题。
在现实生活中，人们总是面临着各种各样的不确定性和随机性的情况，比如掷骰子的结果、赌场的胜负、产品的质量、调查数据的准确性等等。
这时候，我们就需要依靠概率论和数理统计来进行分析和判断。
在概率论和数理统计的学习过程中，我们经常会遇到很多复杂的公式，这些公式就如同数学家的宝藏一样，它们帮助我们理解和解决各种概率和统计问题。
本文将整理一些常见的概率论和数理统计公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、概率论基础公式1. 事件的概率公式：在概率论中，我们将事件A发生的可能性表示为P(A)，其计算公式为：P(A) = (A发生的次数) / (总次数)2. 互斥事件概率公式：如果事件A和事件B是互斥的（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率可以通过下面的公式计算：P(A或B) = P(A) + P(B)3. 事件的补事件概率公式：如果事件A的概率为P(A)，则事件A的补事件（即事件A不发生）的概率为：P(A的补事件) = 1 - P(A)二、数理统计基础公式1. 样本均值的计算公式：在统计学中，样本均值是指样本总和除以样本个数。
对于n个样本数据x1, x2, ..., xn，样本均值计算公式为：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 样本方差的计算公式：样本方差是反映一组数据的离散程度的统计指标。
对于n个样本数据x1, x2, ..., xn，样本方差计算公式为：样本方差 = ( (x1-均值)^2 + (x2-均值)^2 + ... + (xn-均值)^2 ) / (n-1)3. 样本标准差的计算公式：样本标准差是样本方差的平方根。
对于n个样本数据x1, x2, ..., xn，样本标准差计算公式为：样本标准差 = sqrt(样本方差)三、概率论与数理统计重要定理1. 大数定律：大数定律是概率论和统计学中的重要定理之一，它表明，随着试验次数的增加，随机事件的实际概率将接近于理论概率。
湖北省考研数学常见数学定理与公式总结
湖北省考研数学常见数学定理与公式总结数学作为一门基础学科，在湖北省考研数学考试中占据了重要地位。
掌握数学的定理与公式是成功备考的关键。
本文将总结湖北省考研数学中常见的数学定理与公式，供考生参考。
以下是具体内容：一、微积分部分1.极限与连续- 函数极限- 无穷小量与无穷大量- 极限运算法则- 连续与间断2.导数与微分- 导数的定义与性质- 高阶导数- 隐函数与参数方程求导- 微分的概念与几何意义- 微分中值定理3.积分与不定积分- 定积分的定义与性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 不定积分的计算方法- 分部积分与换元积分法二、线性代数部分1.向量空间与线性相关- 向量的线性组合与线性相关性- 子空间与线性方程组解空间2.矩阵与行列式- 矩阵的基本运算- 方阵的特征值与特征向量- 行列式的定义与性质3.线性变换与特征值- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示- 特征值与特征向量的计算三、概率论与数理统计部分1.随机事件与概率- 随机事件的定义与性质- 概率的定义与性质- 事件的运算与概率的计算2.随机变量与概率分布- 随机变量的定义与分类- 离散型随机变量的概率分布- 连续型随机变量的概率密度函数- 期望与方差的计算3.常用概率分布- 二项分布、泊松分布、正态分布等概率分布的性质与应用- 大数定律与中心极限定理四、常微分方程部分1.一阶常微分方程- 可分离变量方程的解法- 一阶线性齐次方程的解法- 可化为可分离变量方程的方程- 可化为一阶线性方程的方程2.二阶常微分方程- 齐次线性常微分方程的解法- 非齐次线性常微分方程的解法- 常系数线性方程的解法以上所总结的数学定理与公式是湖北省考研数学中常见的内容，考生在备考过程中应重点掌握，并结合相关习题加深理解。
通过对数学基础知识的掌握与运用，考生可在湖北省考研数学考试中取得优秀的成绩。
希望本文能对考生在备考过程中有所帮助。
2020年考研数学(高数、线代、概率论)最全公式手册
且 lim (x) lim (x) A, 则 lim f (x) A
xx0
x x0
x x0
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
极限存在 的两个准 则：单调 有界准则 和夹逼准 则，两个 重要极 限：
sin x (1) lim 1
x0 x
1
(2) lim(1 x) x e x0
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx
(7) y tan x
y
1 cos2
x
sec2
x
d(tan x) sec2 xdx
(8) y cot x
(9) y sec x (10) y csc x
y
1 sin2
x
csc2
x
d(cot x) csc2 xdx
y sec x tan x
d(sec x) sec x tan xdx
y csc x cot x
d(csc x) csc x cot xdx
(11) y arcsin x (12) y arccos x
y 1 1 x2
重要公式： lim a0 xn a1xn1 an1x an x b0 xm b1xm1 bm1x bm
0ab,00n,
n
m m
, n m
4 几个常用极限特例
lim n n 1,
n
lim arctan x
连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.
Th3: f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 )
概论与数理公式(全)
第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率与数理统计公式
概率与数理统计公式1.组合公式：组合公式用于计算从n个元素中选取k个元素的组合数，表示为C(n,k)。
其计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)2.排列公式：排列公式用于计算从n个元素中选取k个元素的排列数，表示为P(n,k)。
其计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!3.基本概率公式：基本概率公式用于计算一个事件A发生的概率P(A)，表示为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的样本空间中的元素数，n(S)表示样本空间中的元素总数。
4.条件概率公式：条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A，B)，表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
5.乘法公式：乘法公式用于计算同时发生的多个事件的概率，表示为P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
6.加法公式：加法公式用于计算多个事件中至少一个事件发生的概率，表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率。
7.期望公式：期望公式用于计算随机变量的平均值，表示为E(X)=Σ(x*P(X=x))，其中x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量的概率分布。
8.方差公式：方差公式用于描述随机变量取值的离散程度，表示为Var(X) =Σ((x - E(X))^2 * P(X=x))，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机变量的期望。
9.标准差公式：标准差公式是方差的平方根，表示为σ(X) = sqrt(Var(X))，其中Var(X)表示随机变量的方差。
10.正态分布公式：正态分布公式用于描述连续型随机变量的分布，表示为P(X=x) = 1 / (σ * sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ表示期望，σ表示标准差。
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
（2）加法和乘法原理
由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可
由 m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序） 顺序问题
对立事件（至少有一个）
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A B
如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事件的关系与运算
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
（1）排列组合公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
Cmn
m! n!(m
n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质FbF(aba<≤=P-X)(b()()bFX()P=≤)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X n X 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
全概论公式
全概公式是概率论中的一个重要公式，它表示在一定条件下，一个随机事件A的概率等于其对立事件A的概率乘以一个常数加上事件A的概率。
具体地，如果事件A 的概率是P(A)，那么全概公式可以表示为：
P(A)=∑BP(B)P(A∣B)
其中，B是样本空间中与事件A有关的所有可能样本点，P(B)是样本点B发生的概率，P(A∣B)是在样本点B发生的条件下事件A发生的概率。
全概公式在概率论中有着广泛的应用，它可以用于计算复杂事件的概率，解决实际问题的概率分析和决策问题等。
例如，在赌博游戏中，全概公式可以帮助我们计算各种可能的赢率；在可靠性工程中，全概公式可以用于分析系统的可靠性和故障概率等。
需要注意的是，全概公式的前提条件是样本空间中每个样本点的发生概率非零，即P(B)>0。
如果存在样本点的发生概率为零，那么全概公式就不适用。
此外，全概公式的应用也需要根据具体问题进行适当的条件限制和假设检验，以确保结果的准确性和可靠性。
湖北省考研数学专业必备公式速记
湖北省考研数学专业必备公式速记在湖北省考研数学专业的备考中，熟练掌握各类数学公式是非常关键的。
公式的掌握不仅可以帮助我们解题，还可以提高我们的解题速度和准确性。
为了方便大家备考，下面整理了湖北省考研数学专业必备的公式速记，以供参考。
一、高等代数1. 二项式定理：$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^kb^{n-k} + \cdots + C_n^nb^n$2. 多项式定理：$(a+b+c)^n =\sum\limits_{i+j+k=n}^{}\dfrac{n!}{i!j!k!}a^ib^jc^k$3. 求和公式：$\sum\limits_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$4. 等差数列前n项和：$\sum\limits_{k=1}^{n} (a+(k-1)d) =\dfrac{n(a+l)}{2}$，其中$a$为首项，$l$为末项，$d$为公差。
二、数学分析1. 极限公式：- 复合函数极限：$\lim\limits_{x\to x_0} f(g(x)) = f(\lim\limits_{x\to x_0} g(x))$- 加减乘除法求极限：$\lim\limits_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] =\lim\limits_{x\to a} f(x) \pm \lim\limits_{x\to a} g(x)$，$\lim\limits_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a}g(x)$，$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)}$（若分母极限不为0）- 取对数求极限：$\lim\limits_{x\to a} \log_a x = \log_a\lim\limits_{x\to a} x$2. 微分公式：- 导数的四则运算：$(C)' = 0$（C为常数），$(x^n)' = nx^{n-1}$，$(e^x)' = e^x$，$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$，$(\ln x)' =\dfrac{1}{x}$- 链式法则：若$y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，则$y$相对于$x$的导数为$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$3. 积分公式：- 基本积分表：$\int k \mathrm{d}x = kx + C$（常数C），$\int x^n\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + C$（$n\neq -1$），$\int e^x\mathrm{d}x = e^x + C$，$\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C$，$\int\cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$，$\int \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x| + C$- 定积分基本公式：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$（F为f的原函数）三、概率论与数理统计1. 基本概率公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，$P(A') = 1 - P(A)$2. 基本数理统计公式：- 离散型随机变量的期望：$E(X) = \sum\limits_{i}^{}x_iP(x_i)$- 连续型随机变量的期望：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\mathrm{d}x$（$f(x)$为概率密度函数）- 方差：$D(X) = E[(X-E(X))^2]$，$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$四、数学方法1. 线性规划：- 单纯形算法：- 线性规划的解集分析方法：2. 泛函分析：- 完备性：- Dini定理：五、实变函数1. 紧致性：2. 连续映射：3. 压缩映射定理：综上所述，以上是湖北省考研数学专业必备的公式速记。
线性代数和概率论重要公式
线性代数和概率论重要公式一．线性代数必背公式(完全整理版)1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m nn n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mm m m rnr r n n n n nnn n r C C C C C CrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)二．概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni ini iA A 11=== ni in i iA A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-* Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπ* N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x tex xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2) 二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10. 随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(kX E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|kX E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY=ρ简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，希望能与大家多交流。
概论公式
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
第二章随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计第八章假设检验单正态总体均值和方差的假设检验。
大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集1、随机事件及其概率运算律名称互换律联合律分派律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件互相独立相应公式( AP( AB)一、随机事件和概率表达式A B B A AB BAB) C A (B C) A B C( AB)C A(BC) ABCA(B C) AB AC A (BC) (A B)( A C)A B AB AB A B公式表达式P(A) 1 P(A)P( A B) P( A) P( B)P( AB)P(AB)P(B A)P( A)P(AB) P(A)P(B A)P( AB) P(B)P( A B)nP(B)P (A i) P( B A i )i 1P(A j B)P( A j) P( B A j )P( A j )P( B A i )i1P (k ) C k p k(1p) n k , k0,1, nn nP( A) P(B) ；P( B A)P(B) ；P(B A)P(B A) ； P(B A) P(B A)1；P(B A)P(B A)1二、随机变量及其散布1、散布函数性质P( X b) F (b)P(a X b) F (b) F (a)2、失散型随机变量散布名称0–1 散布B(1, p)二项散布 B( n, p)泊松散布 P()几何散布 G( p)超几何散布H (N, M , n)3、连续型随机变量散布名称均匀散布 U (a, b) f ( x)散布律P ( X k )p k (1 p )1 k , k0 ,1P( X k ) C n k p k (1p) n k ,k 0,1, ,nkP( X k )e,k0,1,2,k!P( X k )(1p) k1 p,k0,1,2,k n kP( X k)C M C N M, k l , l1,,min( n, M )C N n密度函数散布函数1a x b0, x a ,xa, a x b b a F (x)0,b ab其余1, x指数散布 E( )e x ,x 00,x0f ( x)其余F ( x)x, x0 0, 1 e正态散布 N( ,2) f ( x)1e2标准正态散布 N (0,1)( x)1e2( x) 222x221x F (x)2x1F (x)2xexe(t) 22 2 d t(t)222d t三、多维随机变量及其散布1、失散型二维随机变量边沿散布p i P( X x i )P( X x i ,Y y j )p ij p j P (Y y j )P (X x i , Y y j )p ij j j i i2、失散型二维随机变量条件散布pi j P( X x i Y y j )P( X x i ,Y y j )p ij,i1,2P(Y y j )P jpj i P(Y y j X x i )P( X x i ,Y y j )pij1,2 P( X x i ), jP i3、连续型二维随机变量 (x yX ,Y )的联合散布函数 F ( x, y) f (u , v )dvdu4、连续型二维随机变量边沿散布函数与边沿密度函数边沿散布函数： F X (x )xf (u, v) dvdu边沿密度函数：yF Y ( y ) f ( u, v) dudv f X ( x ) f ( x , v ) dv f Y ( y) f (u , y )du5、二维随机变量的条件散布f Y X ( y x) f ( x, y) ,y f X Y ( x y) f ( x, y) ,xf X ( x)f Y (y)四、随机变量的数字特点1、数学希望失散型随机变量： E ( X )x k p k连续型随机变量： E ( X )xf ( x) dxk 12、数学希望的性质(1)E(C )C, C为常数E[E(X)]E(X)E(CX)CE(X )(2)E( X Y) E(X )E(Y)E( aX b)aE( X ) b E(C1 X1C n X n ) C1E( X1 )C n E( X n )(3)若 XY互相独立则：E( XY) E( X )E(Y)(4)[E (XY )]2E2(X)E 2(Y)3、方差：D( X )E(X 2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0D[ D(X )] 0 D (aX b) a 2 D (X )D( X ) E ( X C )2(2)D( X Y)D(X)D(Y)2Cov( X, Y)若 XY互相独立则：D( X Y) D( X ) D (Y) 5、协方差：Cov( X ,Y)E( X,Y) E( X )E(Y)若 XY互相独立则：Cov( X ,Y)06、有关系数：XY(X,Y)Cov ( X , Y)若XY 互相独立则：XY即不有关XYD(X ) D(Y )7、协方差和有关系数的性质(1)Cov( X , X ) D( X )Cov( X , Y) Cov(Y, X )(2)Cov( X1 X 2 ,Y ) Cov( X1, Y) Cov(X 2 ,Y)Cov(aX c,bY d) abCov( X ,Y)8、常有数学散布的希望和方差散布0-1 散布二行散布泊松散布数学希望方差B(1, p)p p(1p) B(n, p)np np(1p) P( )几何散布 G( p)11p p p 2超几何散布 H (N , M ,n)M M M N mn n (1)N 1N N N 均匀散布 U (a,b) a b(b a)2212正态散布 N( , 2 )2指数散布 E()112五、大数定律和中心极限制理1、切比雪夫不等式若 E(X),D(X)2, 关于随意0有P{ X E(X)}D(X )或P{X E(X)} 1D(X)222、大数定律：若X1X n互相独立且n(1) 若X1X n互相独立，E (X i )i , D ( X i)(2)若 X1 X n互相独立同散布，且 E(X i )3、中心极限制理时， 1 n Xi D 1n E ( Xi )ni 1ni 1i2且i2M则： 1 n X i P1 n E (X i ), (n)ni 1ni 1i则当 n时：1n Pn i 1X i(1) 独立同散布的中心极限制理：均值为，方差为20 的独立同散布时，当n 充足大时有：nX k nk 1~Y n N (0,1)n(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n 1,2) ~ B(n, p) 则对随意x有：np x t 2lim P{n1(x)x} e 2 dtx np(1p)2nnP( a n X k n(3) 近似计算：P(a X k b)k 1b n )(b n)(a n)k 1n n n n n六、数理统计1、整体和样本整体 X 的散布函数F ( x)样本( X1, X2nX n ) 的联合散布为 F (x1, x2 x n ) F (x k )k1 2、统计量(1)样本均匀值：(3)样本标准差：n n n2 1X i(2)样本方差： S 21(X i X ) 21( X i2X nX ) ni 1n 1 i 1n 1 i 11n(4)1nS( X i X )2样本 k 阶原点距：Akk, k1,2 n1i 1n iX i1(5)样本 k 阶中心距：B k M k 1 n( X i X ) k ,k 2,3ni 1(6)序次统计量：设样本 ( X1, X 2 X n ) 的察看值 (x1, x2x n ) ，将 x1 , x2 x n依据由小到大的次序从头摆列，获得 x(1) x(2 )x(n )，记取值为 x(i )的样本重量为 X ( i)，则称 X (1) X ( 2)X (n)为样本 (X1,X2X n ) 的次序统计量。
2017考研数学：概论统计必考公式与定理
2017考研数学：概论统计必考公式与定理第一章 随机事件和概率随机事件的运算律 结合律()()()(),A B C A B C AB C A BC ⋃⋃=⋃⋃=3、分配律()A B C AC BC +=+4、对偶律,,A B AB AB A B A A ⋃==⋃=5、吸收律A B AB A A B B ⊂⇔=⇔⋃=概率的性质 1、()0P Φ=.2、有限可加性：设,1,2,k A k n = 为互不相容事件，则()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ .3、逆事件的概率：()()1P A P A =-.4、减法公式：()()()()P A B P AB P A P AB -==-5、加法公式：()()()()()P A B P A B P A P B P AB ⋃=+=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃=++---+6、若事件A B ⊂，则()()P A P B ≤. 条件概率 1、定义设,A B 是两个随机事件，且()0P A >，则称()()()|P AB P B A P A =为在随机事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率. 2、性质（1）当()0P A >时，()()|1|P B A P B A =-；（2）当()0P A >，()()()|P AB P B A P A =，该公式也可以推广到多个事件积事件的情况.一般，设12,,...n A A A 为n 个事件，2n ≥，且()1210n P A A A -> ，则有()()()()()121211122211n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A P A ---=随机事件的独立性 1、定义 （1）,A B 独立设,A B 是两个事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立，简称,A B 独立.（2）,,A B C 两两独立设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()()()()()()()(),,,P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C =⎫⎪=⎬⎪=⎭，则称事件,,A B C 两两独立.（3）,,A B C 相互独立设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()()()()()()()()()()()(),,,,P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪=⎭，则称事件,,A B C 相互独立. 2、性质（1）设,A B 是两随机事件，且()0P A >. 若,A B 相互独立，则()()P B A P B =.（2）若随机事件,A B 相互独立，则,;,A B A B 也相互独立. 古典概型如果实验E 的样本空间Ω只有有限个样本点，并且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的实验为古典概型或等可能概型. 对于该试验的事件A ，则有()=A P A Ω中的基本事件个数中基本事件总数几何概型如果试验E 的样本空间Ω为几何空间中的一个有界区域（这个区域可以是一维、二维甚至是n 维的），且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的试验为几何概型. 对于该试验的事件A ，()=A P A Ω的度量（长度、面积或体积）的度量（长度、面积或体积）加法公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-；()()()()()()()()+P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃=+---+减法公式()()()()=P A B P AB P A P AB -=-3、乘法公式()()0,0P A P B >>时，()()()()()P AB P A P B A P B P A B ==全概率公式设,1,2,k A k = 为样本空间的一个完备事件组，则()()()1kkk P B P A P B A ∞==∑.5、贝叶斯公式设,1,2,k A k = 为样本空间的一个完备事件组，则()()()()()1i i i kkk P A P B A P A B P A P B A ∞==∑第二章 随机变量及其分布随机变量的分布函数设X 为一随机变量，令(){},F x P X x x R =≤∈，称此函数为随机变量X 的分布函数. 充要条件（1）()F x 单调不减；（2）()()()01,lim 1,lim 0x x F x F x F x →+∞→-∞≤≤==；（3）()F x 右连续. 性质设X 的分布函数为()F x ，对任意的实数(),a b a b <，有 （1）{}(){}(),0P X b F b P X b F b ≤=<=-. （2）{}()()P a X b F b F a <≤=-. （3）{}()()00P a X b F b F a ≤<=---. （4）{}()()0P X b F b F b ==--.概率密度的充要条件 （1）()0f x ≥； （2）()1f x dx +∞-∞=⎰.其他性质设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则 （1）()F x 是连续函数.（2）对任意的实数c ，{}0P X c ==.（3）对于任意实数()1212,,x x x x ≤，{}{}{}{}12121212P x X x P x X x P x X x P x X x <≤=≤<=<<=≤≤()()()2121x x F x F x f x dx =-=⎰.（4）若()f x 在点x 处连续，则()()F x f x '=. 0-1分布随机变量所有可能的取值只有0或者1，且取1的概率为()01p p <<，取0的概率为1p -，则称该随机变量服从01-分布.二项分布若随机变量X 的概率分布为{}()0,1,2,,kk n kn P X k C p qk n -=== ，其中()1,,0,1p q p q +=∈，则称随机变量X 服从参数为(),n p 的二项分布，并记(),X B n p . 几何分布若随机变量X 的概率分布为{}1,1,2,n P X n qp n -=== ，其中参数01,1p p q <<+=，则称随机变量X 服从参数为p 的几何分布，并记()X G p .泊松分布若随机变量X 的概率分布为{}()0,1,2,!kP X k e k k λλ-=== ，其中参数0λ>，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，并记()X P λ . 均匀分布若随机变量X 的概率密度为()1,,0,.a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他，则称X 服从区间(),a b 内的均匀X分布，并记为(),X U a b . 其分布函数：()()0, ,,,1, .xx a x a F x f t dt a x b b a x b -∞<⎧⎪-⎪==≤<⎨-⎪≥⎪⎩⎰指数分布若随机变量X 的概率密度为(),0,0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩其中参数0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，并记()X E λ .正态分布若随机变量X 的密度函数为()()()222x f x x R μσ--=∈，其中参数,0R μσ∈>，则称X 服从正态分布，并记()2,X N μσ . 特别地，将()0,1N 称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记作与.二维随机变量的分布函数的性质（1）(),F x y 分别关于x 和y 单调不减；（2）()0,1F x y ≤≤，且()()()(),,,0,,1F y F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=； （3）(),F x y 分别关于x 和y 右连续；（4）对任意的()()11221212,,,,,x y x y x x y y <<，有()()()()22211211,,,,0F x y F x y F x y F x y --+≥.(),f x y 称为二维随机变量(),X Y 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度.性质22()x x ϕ-=22()t x x dt -Φ=⎰（1）(),0f x y ≥. （2）(),1f u v dudv +∞+∞-∞-∞=⎰⎰.（3）若(),f x y 在点(),x y 连续，则()()2,,F x y f x y x y∂=∂∂.（4）设G 是xoy 平面上的区域，点(),X Y 落在G 内的概率为(){}(),,GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰.条件分布律设(),X Y 是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0j P Y y =>，则称{}{}{}.,,1,2,i j ij i j jj P X x Y y p P X x Y y i p P Y y ======== 为在j Y y =条件下随机变量X的条件概率密度.条件概率密度设二维随机变量(),X Y 的概率密度(),f x y ，(),X Y 关于Y 的边缘概率密度()Y f y ，若对于固定的y ，()0Y f y >，则称()(),Y f x y f y 为Y y =的条件下X 的条件概率密度，记为()()(),X Y Y f x y f x y f y =.二维连续型随机变量函数的分布已知(),X Y 的联合概率密度为(),f x y ，(),Z g X Y =，则Z 的分布函数为：(){}(){}()(),,,Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰.设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞-∞⎰绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X .即()()E X xf x dx ∞-∞=⎰.设X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x .Y 是随机变量X 的函数：()Y g X =（g 是连续函数）.若()()g x f x dx ∞-∞⎰绝对收敛，则有()()()()E Y E g X g x f x dx∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰二维随机变量函数的数学期望 （1）离散型若(),X Y 为离散型随机变量，其分布律为：{},,,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== ，Z 是随机变量,X Y 的函数(),Z g X Y =（g 是连续函数），且()11,ijijj i g x y p∞∞==∑∑绝对收敛，则()()()11,,i j ij j i E Z E g X Y g x y p ∞∞====⎡⎤⎣⎦∑∑.连续型若(),X Y 是连续型随机变量，其概率密度为(),f x y ，Z 是随机变量,X Y 的函数 (),Z g X Y =（g 是连续函数），且()(),,g x y f x y dxdy ∞∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则()()()(),,,E Z E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞-∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰⎰.运算性质 1、()=E c c ； 2、()()=E cX cE X ；3、()()()=E X Y E X E Y ++；4、当,X Y 独立时，()()()E XY E X E Y =.常见分布的数学期望 1、01-分布：()E X p =2、二项分布：若(),X B n p ，则()E X np =.3、几何分布：若()X G p ，则()1E X p=. 4、泊松分布：若()X P λ ，则()E X λ=. 5、均匀分布：若(),X U a b ，则()2a bE X +=. 6、指数分布：若()X E λ ，则()1E X λ=.7、正态分布：若()2,X N μσ ，则()E X μ=.定义设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X -⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X -⎡⎤⎣⎦为X 的方差，记为()D X ，即()(){}2D XE X E X =-⎡⎤⎣⎦.()(){}()(){}2222D X E X E X E X XE X E X =-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()22222E X E X E X E X E X E X =-+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（4）()()()22E X D X E X =+⎡⎤⎣⎦常见分布的方差1、01-分布：()D X pq =.2、二项分布：若(),X B n p ，则()D X npq =.3、几何分布：若()X G p ，则()21pD X p -=. 4、泊松分布：若()X P λ ，则()D X λ=. 5、均匀分布：若(),X U a b ，则()()212b a D X -=.6、指数分布：若()X E λ ，则()21D X λ=.7、正态分布：若()2,X N μσ ，则()2D X σ=.运算性质 1、()=0D c ； 2、()()2=c D cX D X .定义()(){}E X E X Y E Y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称为随机变量X 与Y 的协方差，记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.运算性质1、(),0Cov X c =；2、()(),,Cov aX bY abCov X Y =；3、()()()()=2,D X Y D X D Y Cov X Y +++，()()()()=2,D X Y D X D Y Cov X Y -+-；4、当,X Y 独立时，()()()(),0,Cov X Y D X Y D X D Y =+=+. 推广到n 个随机变量的情况，设12,,,n X X X 两两独立，则()()()()1212n n D X X X D X D X D X ++=++ ；5、()()(),,,Cov X Y Z Cov X Y Cov X Z +=+；6、()(),,Cov X Y Cov Y X =；7、()(),Cov X X D X =. 定义若()()0,0D X D Y >>，,Cov X Y 为随机变量,X Y 的相关系数，并记为XYρ性质 1、1XY ρ≤.2、1XY ρ=的充要条件是，存在常数,a b 使{}1P Y aX b =+=. 当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-. 3、X 、Y 独立⇒0XY ρ=.切比雪夫不等式设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对于任意正数ε，不等式{}22P X σμεε-≥≤成立.切比雪夫大数定律设12,,,,n X X X 相互独立，且具有相同的数学期望和方差：()()2,k k E X D X μσ==()1,2,k = ，则有11n k k X X n ==∑依概率收敛于μ，即PX μ−−→.三、辛钦大数定律设12,,,,n X X X 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望()()1,2,k E X k μ== ，则有11n k k X X n ==∑依概率收敛于μ，即PX μ−−→.四、伯努利大数定律设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则有An n依概率收敛于p ，即PA n nμ−−→.列维—林德伯格定理设12,,,,n X X X 相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差，()()()2,01,2,k k E X D X k μσ==>= ，则随机变量之和1nk k X =∑的标准变化量nn nk k kn X E X Xn Y μ⎛⎫-- ⎪==∑∑∑()n F x 对任意的x 满足lim ()lim ()n k n n n X n F x P x x μ→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪=≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑.二、棣莫弗—拉普拉斯定理设随机变量()1,2,n n η= 服从参数为,(01)n p p <<的二项分布，则对任意的x有()lim n P x x →∞⎧⎫⎪≤=Φ⎬⎪⎭.常用统计量样本平均值：11ni i X X n ==∑；2、样本方差：()2222111111nn i i i i S X X X nX n n ==⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭∑∑； 3、样本标准差：S ==4、样本k 阶原点矩：11,1,2,n kk i i A X k n ===∑ ；5、样本k 阶中心矩：()11,2,3,nk k i i B X X k n ==-=∑ .二、数字特征()()()()()()2,,D X E X E X D X E S D X n=== 抽样分布一、2χ分布 1、定义设12,,,n X X X 是来自总体()0,1N 的样本，则称统计量222212nX X X χ=+++ 服从自由度为n 的2χ分布，记为()22n χχ .2、性质 （1）设()2211n χχ ，()2222n χχ ，则有()2221212n n χχχ++ .（2）若()22n χχ ，则有()2E n χ=，()22D n χ=.二、t 分布设()0,1X N ，()2Y n χ，且,X Y 相互独立，则称随机变量t =服从自由度为n 的t 分布，记为()t t n .三、F 分布 1、定义 设()21U n χ，()22V n χ ，且,U V 相互独立，则称随机变量12//U n F V n =服从自由度为()12,n n 的F 分布，记为()12,F F n n .2、性质（1）()X t n ，则2~(1,)X F n ； （2）()12,F F n n ，则()211,F n n F.一维正态总体下统计量具有的性质设12,,,n X X X 为来自正态总体()2,X N μσ 的容量为n 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则：1、2,X N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭ ；2、X 与2S 独立；3、()()22211n S n χσ-- ； 4、()4221D S n σ=-；5()1X t n- .。
概率论与数理统计必背公式
概率论与数理统计必背公式在概率论与数理统计中，掌握好一些重要的公式是非常重要的，这些公式可以帮助我们解决问题、推导证明以及计算概率和统计量。
下面将介绍一些必须掌握的概率论与数理统计的重要公式。
一、概率论公式：1.加法定理：如果事件A和B是互不相容的（即A和B不会同时发生），则它们的和事件的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2.条件概率公式：对于两个事件A和B，A在给定B发生的条件下发生的概率定义为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.乘法定理：对于两个事件A和B，其交事件的概率可以通过条件概率公式来计算，即P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
4.全概率公式：如果事件B1，B2，...，Bn是一组互不相容的且其并集为样本空间（即事件B1∪B2∪...∪Bn=S），则对于事件A，它的概率可以通过条件概率公式和全概率公式来计算，即P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)。
5.贝叶斯公式：贝叶斯公式是条件概率公式的推广，对于事件A和B，其交事件的概率可以通过贝叶斯公式来计算，即P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)。
二、数理统计公式：1.期望：对于一组随机变量X，其期望（也称为均值）定义为E(X)=ΣX*P(X)，即随机变量X乘以其概率的和。
2. 方差：对于一组随机变量X，其方差定义为Var(X) = E((X - μ)^2)，其中μ为X的期望。
3. 协方差：对于两组随机变量X和Y，其协方差定义为Cov(X,Y) = E((X - μx)(Y - μy))，其中μx和μy分别为X和Y的期望。
4. 标准差：对于一组随机变量X，其标准差定义为σ = √Var(X)，即方差的平方根。
5. 协方差矩阵：对于多组随机变量X1，X2，...，Xn，其协方差矩阵定义为Cov(X) = [Cov(Xi,Xj)]，其中i和j分别表示第i组和第j组随机变量。
概率论与数理统计公式全完整版
概率论与数理统计公式
全
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第1章随机事件及其概率
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
《概率论与数理统计》1-4全概公式
可能性 P , Ai
i
引起结果B出现的
是各种原因出现的可能性. 全概率公
式表明综合引起结果的各种原因, 反映了结果出现的可 能性的大小；而贝叶斯公式则反映了当结果出现时 , 它 是由原因 引起的可能性的大小, 故常用于可靠性问题 . Ai 如 : 可靠性寿命检验, 可靠性维护, 可靠性设计等.
97 400 2 7 194
71 400
497
例2 已知肝炎发病率为万分之四. 用某法检查肝炎. 患者 阳性率为 95%, 正常人阴性率为90%. 求反应为阳性者
确实得了肝炎的概率. 解 设 A为反应为阳性 , A 为反应为阴性 , B为被诊断 者患肝炎 . 则由已知条件 得 P B =0.0004
365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400
1 2 P B | A , P B | A 7 7
k Cn
p 1 p
k
nk
其中k 表示事件在 n重试验中出现的次数 .
而这恰好是二项展开式
p 1 p C
n k 0
n
k n
p 1 p
k
n k
中的一项 , 故称为二项概率.
例1: 围棋番棋比赛. 见 22页, 例1.23 结论 : 多局赛制对高手有利.
3 C7
0.4 0.6
3
4
0.2903.
概率论核心概念及公式(全)
（2） 连续 设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f ( x) ，对任意实数 x ，有 型随机变 F ( x) x f ( x)dx ， 量的分布 则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率 密度 密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f ( x) 0 。 2°
xk x
x
p
k
； 。
f ( x)dx
P(X=1)=p, P(X=0)=q 在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次 数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。 k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q ， 其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ， 则称随机变量 X 服从参数为 n ，p 的二项分布。 记为 X ~ B(n, p) 。 k 1k 当 n 1 时， P( X k ) p q ， k 0.1 ，这就是（0-1）分布， 所以（0-1）分布是二项分布的特例。 设随机变量 X 的分布律为
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然 事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 （6） 事 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 件的关 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 系与运 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。 算 互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： Ai Ai
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。
A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∞=∞==11iiii AABABA=，BABA=（7）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A，2A，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫⎝⎛11)(iiii APAP常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
（8）古典概型1°{}nωωω21,=Ω，2°nPPPn1)()()(21===ωωω 。
设任一事件A，它是由mωωω21,组成的，则有P(A)={})()()(21mωωω=)()()(21mPPPωωω+++nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A，)()()(Ω=LALAP。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1⇒P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地，对事件A1，A2，…A n，若P(A1A2…A n-1)>0，则有21(AAP…)n A)|()|()(213121AAAPAAPAP= (2)1|(AAAP n…)1-n A。
（14）独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立，且0)(>AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式设事件nBBB,,,21 满足1°nBBB,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(niBP i=>，2°niiBA1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP+++= 。
（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，n B及A满足1°1B，2B，…，n B两两互不相容，)(BiP>0，=i1，2，…，n，2°niiBA1=⊂，)(>AP，则∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
)(iBP，（1=i，2，…，n），通常叫先验概率。
)/(ABPi，（1=i，2，…，n），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足◆每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；◆n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，kn k kn n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出：,,,,,,,,|)(2121k k k p p p x x x x X P X =。
显然分布律应满足下列条件： （1）0≥k p ， ,2,1=k ， （2）∑∞==11k kp。
（2）连续型随机变量的分布密度设)(x F 是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=xdxx f x F )()(，则称X 为连续型随机变量。
)(x f 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。
2°⎰+∞∞-=1)(dx x f 。
（3）离散与连续型随机变量的关系dx x f dx x X x P x X P )()()(≈+≤<≈=积分元dx x f )(在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数)()(x X P x F ≤=称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。
分布函数)(x F 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ；4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P 。
对于离散型随机变量，∑≤=x x kk px F )(；对于连续型随机变量，⎰∞-=xdx x f x F )()( 。
（5）八大分布0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。
事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。
kn k kn n q p C k P k X P -===)()(， 其中n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。
记为),(~p n B X 。
当1=n 时，kkqp k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布设随机变量X 的分布律为λλ-==e k k X P k!)(，0>λ， 2,1,0=k ，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。
超几何分布),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P nNkn MN k M ==•==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布,3,2,1,)(1===-k p q k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。
随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为G(p)。
均匀分布设随机变量X 的值只落在[a ，b]内，其密度函数)(x f 在[a ，b]上为常数ab -1，即⎪⎩⎪⎨⎧-=,0,1)(ab x f 其他， 则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。