青海省海东市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

高三数学试卷（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题 1．已知集合|24A x x ，|2B

x x ，则A B ⋂=（ ） A ．|24x x B ．|2

2x x C ．|24x x

D ．|2

4x x

2．复数2

12i 1i

z

的虚部为（ ）

A ．

12

B ．

12

C ．1i 2

D ．

1i 2

3．函数1

1

f x x 的图像在点11,22

f 处的切线斜率为（ ）

A ．2

B ．－2

C ．4

D ．－4

4．若等差数列n a 满足220a ，5

8a ，则1a （ ）

A ．24

B ．23

C ．17

D ．16

5．5

23

x x

的展开式中4x 的系数是（ ）

A ．90

B ．80

C ．70

D ．60

6．已知一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是5，方差是4，则由121x ，221x ，321x ，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是（ ） A ．16

B ．14

C ．12

D ．8

7．若双曲线2

2:

109

x y C b b

的一条渐近线与x 轴的夹角是

3

π

，则C 的虚轴长是（ ）

A ．

3

B ．

C ．2

D ．8．函数cos x f x

x （2

2

x

π

π

且0x

）的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家、历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建了十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是112

2．如果12音阶中第一个音的频率是F ，那么第二个音的频率就是1

12

2F ，第三个音的频率就是212

2F ，第四个音的频率是

3122F ，……，第十二个音的频率是11122F ，第十三个音的频率是1212

2F ，就是2F ．在该问题中，从第二

个音到第十三个音，这十三个音的频率之和为（ ）

A ．2F

B ．1212

12112

F C ．

112

12

1

F D ．

112

112

22

1

F 10．在矩形ABCD 中，35AB ，22AD

，点E 满足32DE

DC ，则AE BD （ ）

A ．－22

B ．186

C ．

21

D ．

11．椭圆2

22

2

:10x y C a b a b ，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆

上一动点，且1212

0PF PF PA PA 恒成立，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）

A

．

1

2 B

．

3 C

．

2

D ．

2

12．如图，在四面体ABCD 中，3AB CD ，11AC BD ，23AD BC ，ABC △的重心

为O ，则DO

（ ）

A ．2

B ．

43

C ．

83

D ．3

二、填空题 13．已知函数2,0,

3,0

x x

f x

f x x 则6

f ______．

14．已知实数x ，y 满足条件20,

220,230,

x y x

y x y 则22z x y 的最大值为______．

15．如图，在三棱锥D

ABC 中，AC BD ，一平面截三棱锥D ABC 所得截面为平行四边形

EFGH ．已知2EF ，5EH

，则异面直线EG 和AC 所成角的正弦值是______．

16．若将函数sin 06

f x

x

π

ωω的图像向左平移9

π

个单位长度后，所得图像对应的函数为偶

函数，则实数ω的最小值是______． 三、解答题 （一）必考题

17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5

cos cos a B

ac b A π，

cos2cos A A ．

（1）求A 及a ；

（2）若1bc ，求ABC △的周长． 18．已知四棱锥P

ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD 平面ABCD

，且

//AB CD ，

22CD AB AD ，AD

CD ．

（1）证明：平面PBC

平面PBD ．

（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角B PC D 的余弦值．

19．某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次性消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案．

方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．

方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且人小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次．

（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率． （2）若某顾客获得抽奖机会．

①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望； ②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返全券？ 20．已知函数()()1x

f x x e =-．

（1）求()f x 的最值；

（2）若()ln x

f x e x x a +≥++对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．

21．抛物线()2

:20C x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于M ，N 两点，O

为原点，OMN △的面积为2． （1）求抛物线C 的方程．

（2）P 为直线()00:0l y y y =<上的一个动点，过点P 作抛物线的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作

AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说

明理由；若存在，求出0y 的值，并求定点H 的坐标． （二）选考题

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]