青海省海东市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题 1．已知集合|24A x x ，|2Bx x ，则A B ⋂=（ ） A ．|24x x B ．|22x x C ．|24x xD ．|24x x2．复数212i 1iz的虚部为（ ）A ．12B ．12C ．1i 2D ．1i 23．函数11f x x 的图像在点11,22f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－44．若等差数列n a 满足220a ，58a ，则1a （ ）A ．24B ．23C ．17D ．165．523x x的展开式中4x 的系数是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．606．已知一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是5，方差是4，则由121x ，221x ，321x ，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是（ ） A ．16B ．14C ．12D ．87．若双曲线22:109x y C b b的一条渐近线与x 轴的夹角是3π，则C 的虚轴长是（ ）A ．3B ．C ．2D ．8．函数cos x f xx （22xππ且0x）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家、历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建了十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是1122．如果12音阶中第一个音的频率是F ，那么第二个音的频率就是1122F ，第三个音的频率就是2122F ，第四个音的频率是3122F ，……，第十二个音的频率是11122F ，第十三个音的频率是12122F ，就是2F ．在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十三个音的频率之和为（ ）A ．2FB ．121212112F C ．112121F D ．112112221F 10．在矩形ABCD 中，35AB ，22AD，点E 满足32DEDC ，则AE BD （ ）A ．－22B ．186C ．21D ．11．椭圆2222:10x y C a b a b ，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上一动点，且12120PF PF PA PA 恒成立，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A．12 B．3 C．2D ．212．如图，在四面体ABCD 中，3AB CD ，11AC BD ，23AD BC ，ABC △的重心为O ，则DO（ ）A ．2B ．43C ．83D ．3二、填空题 13．已知函数2,0,3,0x xf xf x x 则6f ______．14．已知实数x ，y 满足条件20,220,230,x y xy x y 则22z x y 的最大值为______．15．如图，在三棱锥DABC 中，AC BD ，一平面截三棱锥D ABC 所得截面为平行四边形EFGH ．已知2EF ，5EH，则异面直线EG 和AC 所成角的正弦值是______．16．若将函数sin 06f xxπωω的图像向左平移9π个单位长度后，所得图像对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是______． 三、解答题 （一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5cos cos a Bac b A π，cos2cos A A ．（1）求A 及a ；（2）若1bc ，求ABC △的周长． 18．已知四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD 平面ABCD，且//AB CD ，22CD AB AD ，ADCD ．（1）证明：平面PBC平面PBD ．（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角B PC D 的余弦值．19．某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次性消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案．方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且人小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次．（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率． （2）若某顾客获得抽奖机会．①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望； ②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返全券？ 20．已知函数()()1xf x x e =-．（1）求()f x 的最值；（2）若()ln xf x e x x a +≥++对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．21．抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于M ，N 两点，O为原点，OMN △的面积为2． （1）求抛物线C 的方程．（2）P 为直线()00:0l y y y =<上的一个动点，过点P 作抛物线的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出0y 的值，并求定点H 的坐标． （二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线():1tan 2l y x πααπ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 4ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且16AB =，求α． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()f x x =．（1）求不等式()()3112f x f x --+>的解集；（2）若不等式()()()23f x a f x f x -++≤+的解集包含[]2,1--，求a 的取值范围．高三数学试卷参考答案（理科）1．C{}|24A B x x ⋂=≤<．2．B()212i12i 11i 2i 21i z --===--+，则z 的虚部为12-．3．D因为()11f x x =+，所以()21f x x '=-，142f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭． 4．A根据题意，52452a a d -==--，则()1220424a a d =-=--=． 5．A()521031553C C 3rrrr rr r T xxx --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=，得2r =，则4x 的系数为25C 390r⋅=．6．C由已知得()()()2221231231555512x x x x x x ++=-+-+-=， 则新数据的平均数为()()12312323111212121111144x x x x x x ++++++++++==， 所以方差为()()()()2222123121112111211111114x x x ⎡⎤+-++-++-+-⎣⎦ ()()()22212314545454x x x ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()()22212355512x x x =-+-+-=，所以选C ． 7．D由题意知，直线3b y x =的倾斜角为3π，则tan 33b π==b =故双曲线C 的虚轴长是 8．B因为()()()cos cos x xf x f x x x--==-=--， 所以()f x 为奇函数，故排除选项A ，C ．又()2sin cos x x xf x x-⋅-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<恒成立， 故函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 排除选项D ． 9．D由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为1122F ，2122F ，3122F ，…，12122F ， 显然以上12个数构成了以1122F 为首项， 以1122为公比的等比数列，故其和为1211121211211121221221221F F ⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=--． 10．A分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系（图略），因为AB =AD =32DE DC =，所以(2AE =，(BD =-，故(2522AE BD ⋅=-+=-． 11．B设()00,P x y ，()1,0F c -，()2,0F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--，()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为222212120022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--22222200222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330cx a c a c a=+-≥-≥恒成立， 所以离心率3c e a =≤． 12．C如图，将四面体ABCD 还原到长方体AEBH GCFD -中，易知四面体ABCD 的棱是长方体AEBH GCFD -的面对角线， 则DE ==4==．连接EF 交BC 于M ，连接AM ， 则AM 为边BC 的中线，ABC △的重心O 为AM 靠近M 的三等分点．把长方体的对角面AEFD 单独画出，如图，记P 为AM 和ED 的交点． 因为ADP MEP ∽△△，且2PD AP ADPE MP EM===，所以P 为AM 靠近M 的三等分点 即重心O 与点P 重合， 故2833OD PD ED ===． 13．1()()()6301f f f ===．14．225作出不等式组表示的可行域（图略）， 当直线2z y x =-+过点74,55⎛⎫⎪⎝⎭时， z 取得最大值，最大值为225． 15．7EFGH 是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，//AC EH ，直线EG 和AC 所成角为直线EG 和EH 所成角． 因为AC BD ⊥，所以90EHG ∠=︒． 因为EF =EH =EG =，故sin 7GEH ∠=． 16．3∵()sin sin 9696g x x x πππωπωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦为偶函数， ∵()962k k πωππ+=∈Z ，即()9322k k ω=-∈Z ， 又0ω>，∵当1k =时，ω取得最小值3． 故答案为3．17．解：（1）因为()cos cos a B b A π=-，所以cos cos a B b A +=．由正选定理可得sin cos sin cos sin 5A B B A a C +=，所以sin sin 5C a C =，因为sin 0C >，所以a =． 因为cos2cos A A =，所以22cos 1cos A A -=，解得1cos 2A =-或cos 1A =． 因为()0,A π∈，所以23A π=．（2）因为23A π=，所以()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A ++-=+--．因为a =1bc =，所以()25b c bc =+-，得b c +=，故ABC △18．（1）证明：取CD 得中点E ，连接AE ，BE ． ∵2CD AB =，∵AB DE =． 又∵AB AD =，AD DC ⊥，∵四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∵PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∵AE ⊥平面PBD ． ∵AB EC =，//AB EC ，∵四边形ABCE 为平行四边形，∵//BC AE ， ∵BC ⊥平面PBD ．又BC ⊂平面PBC ， ∵平面PBC ⊥平面PBD ．（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，∵PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，(P ，()1,1,0B ，()0,2,0C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∵平面PDC 的一个法向量为()1,0,0DA =． 设平面PBC 的法向量(),,m x y z =，∵(1,1,PB =，()1,1,0BC =-，∵0,0,PB m x y BC m x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1x =，∵(m =．设二面角B PC D --的平面角为θ， 则1cos 22m DA m DAθ⋅===，由图可知二面角B PC D --为锐角， 故二面角B PC D --的余弦值为12． 19．解：（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率51153P ==．设“每位顾客获得240元返金券”为事件A ，则()33311C 327P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以两位顾客均获得240元返金券的概率()()1729P P A P A =⋅=． （2）①若选择抽奖方案一， 则每一次摸到红球的概率为13，每一次摸到白球的概率为23． 设获得返金券的金额为X 元，则X 可能的取值为60，120，180，240，则()3032860C 327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()1213124120C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()223122180C 339P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()33311240C 327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以若选择抽奖方案一，该顾客获得返金券金额的数学期望为()842160120180240120279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 若选择抽奖方案二，设在三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y ，最终获得返金券的金额为Z 元， 则13,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()1313E Y =⨯=， 所以若选择抽奖方案二，该顾客获得返金券金额的数学期望为()()100100E Z E Y ==（元）． ②因为()()E X E Z >，所以应选择第一种抽奖方案．20．解：（1）()x f x xe '=．令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <．所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()f x 得最小值为()01f =-，无最大值．（2）由题知，ln x a xe x x ≤--在()0,+∞上恒成立，令()ln x g x xe x x =--，则()()11x g x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭， 因为0x >，所以10x +>．设()1x h x e x =-，易知()h x 在()0,+∞上单调递增．因为1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110h e =->， 所以存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0h t =，即1t e t =． 当()0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,t 上单调递减； 当(),x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(),t +∞上单调递增． 所以()()min ln 11tg x g t te t t t t ==--=+-=， 故a 的取值范围为(],1-∞．21．解：（1）由题意得，点M ，N 的纵坐标均为2p ， 由222p x p =⋅，解得x p =±，则2MN p =． 由2111222222OMN p S MN OF p p =⋅⋅=⋅⋅==△， 解得2p =，故抛物线C 的方程为24x y =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线AP 方程为()11y y k x x -=-． 将抛物线方程变形为24x y =，则2x y '=，所以12x k =， 所以AP 的方程为()1112x y y x x -=-． 因为2114x y =，所以直线AP 的方程为112x x y y +=．把()00,P x y 代入AP 的方程得10012x x y y +=． 同理可得20022x x y y +=． 构造直线方程为002x x y y +=，易知A ，B 两点均在该直线上， 所以直线AB 的方程为002x x y y +=． 故AB 恒过点()00,y -．因为PH AB ⊥，所以可设PH 的方程为()0002x x x y y -=--， 化简得()0022x x y y =----， 所以PH 恒过点()00,2y +．当002y y -=+，即01y =-时，AB 与PH 均恒过，故存在这样的0y ，当01y =-时，H 的坐标为（0，1）．22．解：（1）由2sin cos 4ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=．因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以C 的直角坐标方程为24y x =．（2）直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，2παπ<<）， 将它代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，所以1224sin AB t t α=-==． 因为2416sin α=，2παπ<<， 所以1sin 2α=，即56πα=． 23．解：（1）()()3112f x f x --+>即3112x x --+>，所以()1,3112x x x ≤-⎧⎪⎨--++>⎪⎩或()11,3112x x x -<<⎧⎪⎨---->⎪⎩或()1,3112x x x ≥⎧⎪⎨--->⎪⎩解得1x ≤-或10x -<<或3x >，即0x <或3x >，所以原不等式的解集为()(),03,-∞⋃+∞．（2）()()()23f x a f x f x -++≤+即23x a x x -++≤+． 因为不等式()()()23f x a f x f x -++≤+的解集包含[]2,1--， 所以23x a x x -++≤+对于[]2,1x ∈--恒成立．因为[]2,1x ∈--，所以20x +≥，30x +≥, 所以23x a x x -++≤+等价于23x a x x -++≤+， 即1x a -≤恒成立，所以11a x a -≤≤+在[]2,1--上恒成立，所以12,11,a a -≤-⎧⎨-≤+⎩解得21a -≤≤-， 即实数a 的取值范围为[]2,1--．。