分段函数综合应用题
分段函数应用题
分段函数应用题1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？2. （广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？4.某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？5.一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）10. 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
分段函数应用题
/1—/% 1 41355. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图 达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？1-，估计步行不能准时到达，于是42所示（假定总路程为 1）,则他到全部售完.该公司对第一批产品 如图所示，其中图（3）中的折线表 的折线表示的是每件产品 A 的销（1） 试写出第一批产品 A 的市场（2） 第一批产品A 上市后，哪一6.某公司专销产品 A,第一批产品A 上市40天内 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查， 调查结果 示的是市场日销售量与上市时间的关系；图 （4）中 售利润与上市时间的关系.日销售量y 与上市时间t 的关系式；天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳 动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的•若设小强每月 的家务劳动时间为 x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用 为y 元，贝U y （元）和x （小时）之间的函数图像如图5所示.（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖分段函数应用题1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间 x （分钟）与相应话费 y （元）之间的函数图象如图1所示：（1） _____________________________ 月通话为100分钟时，应交话费 元； （2） 当x > 100时，求y 与x 之间的函数关系式；（3） 月通话为280分钟时，应交话费多少元？3.（广东）今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若 某户居民每月应交电费 y （元）与用电量 x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题:（1） 分别写出当0w x < 100和x > 100时，y 与x 的函数关系式； （2） 利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3） 若该用户某月用电 62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？4.某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修 3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成•工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元.（1） 完成此房屋装修共需多少天？（2） 若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？路裡时间（分钟）y 口佶售呈/万件门）励小强家务劳动1 4(2)已知王老师一个月的通话时间是700分钟，那么他选择哪种业务更便宜？便宜多少?15. (2016?永康市模拟)某电信公司提供的移动通讯服务的收费标准有两种套餐如表：A 套餐B 套餐每月基本服务费 a 30 每月免费通话时间100b超出每分钟收费 0.4 0.5设每月通话时间为 x 分种， A , B 两种套餐每月话费分别为 y1, y2元.y1 , y2关于x 的函数图象如图所示(1)表格中的a=b= ； (2)通话时间超过每月免费通话时间后，求y1, y2关于x 的函数关系式，并写出相应的取值范围;(3) 已知甲乙两人分别使用 A , B 两种套餐，他们的通话时间都是 t 分钟(t > 150)，但话费相差5元，求两人的通话 时间.(2)若小强5月份希望有250元费用，则小强 4月份需做家务多少时间?8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图 6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示. (1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过 _ 100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 ____________ 元；(2)李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合月租费通话费2 5元0. L5无/分钟9.如图 7,矩形 ABCD 中, AB= 1, AA 2, M 是 CD 的中 点，点P 在矩形的边上沿 2 B T S M 运动，则厶APM 勺 面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示 大致是下图中的( )Ay10.星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩 3小时后按原路以原速 返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路 线迎接小强，如图 11,是他们离家的路程 y(千米)与时间x(时)的函数图像。
分段函数应用题
分段函数应用题1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？2. （广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？7. 为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）10. 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
初中数学分段函数应用题
1、为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：
（1）若甲用户3月份的用气量为60m³，则应缴费多少元；
（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m³），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m³（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？
2、某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是多少元，小张应得的工资总额是多少元，此时，小李种植水果多少亩，小李应得的报酬是多少元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．
3、为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．
根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；
（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．。
分段函数应用题
分段函数应用题分段函数是指一个函数被分成几个不同的部分，每个部分都有不同的定义域和值域。
在实际应用中，我们经常遇到需要使用分段函数来描述问题的情况。
本文将通过几个实际应用的例子，来说明分段函数的应用。
例一：电费计算一家电力公司的电费计算方式如下：- 当用电量小于等于100度时，每度电费用为0.5元。
- 当用电量大于100度小于等于200度时，前100度每度电费用为0.5元，超过100度的部分每度电费用为0.8元。
- 当用电量大于200度时，前100度每度电费用为0.5元，100到200度的部分每度电费用为0.8元，超过200度的部分每度电费用为1元。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算电费。
设用电量为x度，则电费y（单位：元）可以表示为：```y = 0.5x 0 <= x <= 100y = 0.5 * 100 + 0.8 * (x-100) 100 < x <= 200y = 0.5 * 100 + 0.8 * 100 + 1 * (x-200) x > 200```例二：淘宝购物满减淘宝商城经常会举行满减活动，比如购物满200元减50元。
这个问题可以用分段函数来解决。
设购物金额为x元，满减后支付金额y（单位：元）可以表示为：```y = x 0 <= x < 200y = x - 50 x >= 200```例三：高考成绩转换某城市的高考成绩转换方式如下：- 当总分小于90分时，转换为A等级。
- 当总分大于等于90分且小于95分时，转换为B等级。
- 当总分大于等于95分且小于100分时，转换为C等级。
- 当总分等于100分时，转换为D等级。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算成绩等级。
设总分为x分，成绩等级为y，可以表示为：```y = A x < 90y = B 90 <= x < 95y = C 95 <= x < 100y = D x = 100```结论：通过以上几个实际应用的例子，我们可以看到分段函数在解决问题中的广泛应用。
分段函数(含答案)
22、（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是140元，小张应得的工资总额是2800元，此时，小李种植水果10亩，小李应得的报酬是1500元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图象数据解答即可；（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．解答：解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，小张应得的工资总额是：140×20=2800元，此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，小李应得的报酬是1500元；故答案为：140；2800；10；1500；（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），∴，解得，所以，z=120n+300（10＜n≤30）；（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，∵函数图象经过点（10，160），（30，120），S ∕海里 13 0 5 8 150 t ∕小时343 ∴，解得， ∴y=﹣2m+180，∵m+n=30，∴n=30﹣m ，∴①当10＜m ≤20时，10＜m ≤20，w=m （﹣2m+180）+120n+300，=m （﹣2m+180）+120（30﹣m ）+300，=﹣2m 2+60m+3900，②当20＜m ≤30时，0＜n ≤10，w=m （﹣2m+180）+150n ，=m （﹣2m+180）+150（30﹣m ），=﹣2m 2+30m+4500，所以，w 与m 之间的函数关系式为w=．点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m 、n 的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．19、（2013凤阳县县直义教教研中心）（本小题满分10分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式.（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？解：（1） 当0≤t ≤5时 s=30t ………………………………（1分） 当5＜t ≤8时 s =150 …………………………………………… （2分）当8＜t ≤13时 s =－30t +390 ………………………………………（3分）（2） 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s =kt +b………………………………………………（4分）解得： k =45 b =－360∴s =45t －360 ………………………………………………（5分）解得 t =10 s =90渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分）(3) S 渔=－30t +390S 渔政=45t －360分两种情况：① S 渔－S 渔政=30－30t +390－（45t －360）=30解得t =485（或9.6） -……………………………………………… （8分） ② S 渔政－S 渔=3045t －360－（－30t +390）=30解得 t =525（或10.4） ∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. (10)17、（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量 单价（元/m 3）不超出75m 3的部分2.5 超出75m 3不超出125m 3的部分a 超出125m 3的部分a+0.25 （1）若甲用户3月份的用气量为60m 3，则应缴费 150 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y （元），每月的用气量为x （m 3），y 与x 之间的关系如图所示，求a 的值及y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m 3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？B考点：一次函数的应用．分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．解答：解：（1）由题意，得60×2.5=150（元）；（2）由题意，得a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），a=2.75，∴a+0.25=3，设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1，∴k1=2.5，∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得，解得：，∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得，解得：，∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）（3）设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气（175﹣x ）m3，当x ＞125，175﹣x ≤75时，3x ﹣50+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；当75＜x ≤125，175﹣x ≤75时，2.75x ﹣18.75+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=145，不符合题意，舍去；当75＜x ≤125，75＜175﹣x ≤125时，2.75x ﹣18.75+2.75（175﹣x ）=455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量各是135m 3，40m 3．点评： 本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．（2012湖北黄石，23，8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）⑴请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x （2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． ⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．【答案】（1）①当2≤x ≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x ）×20＝20x ＋2840 (元／平方米)②当9≤x ≤23时，每平方米的售价应为：3000＋（x －8）·40＝40x ＋2680(元／平方米)∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y ， x 为正整数（2）由（1）知：①当2≤x≤8时，小张首付款为（20x ＋2840）·120·30%＝36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）＝108000元＜120000元∴2～8层可任选②当9≤x≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%＝36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y 1＝(40·16＋2680) ·120·92%－60a （元）若按老王的想法则要交房款为：y 2＝(40·16＋2680) ·120·91%（元）∵y1－y2＝3984－60a∴当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66．4，此时老王想法正确；当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66．4，此时老王想法不正确．。
分段函数综合应用题
分段函数及方案优化问题1.武警战士乘一冲锋舟从地逆流而上，前往地营救受困群众，途经地时，由所携带的救生艇将地受困群众运回地，冲锋舟继续前进，到地接到群众后立刻返回地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．（1）请直接写出冲锋舟从地到地所用的时间．（2）求水流的速度．（3）冲锋舟将地群众安全送到地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数关系式为，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离地多远处与救生艇第二次相遇？2.甲乙两人同时登西山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数?（1）甲登山的速度是每分钟______米，乙在A地提速时距地面的高度b为______米．（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？3.某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金m元；（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：表1分段方式处理方法不超过150元（含150元）全部由个人承担超过150元，不超过10000元个人承担n％，剩余部分由公司承担（不含150元，含10000元）的部分超过10000元（不含10000元）的部分全部由公司承担设一职工当年治病花费的医疗费为x元，他个人实际承担的费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的医疗公积金m 元）为y 元．（1）由表1可知，当0150x ≤≤时，y x m ；那么，当15010000x ≤时，y；（用含m n x ，，的方式表示）（3分）（2）该公司职员小陈和大李2007年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：表2职工治病花费的医疗费x （元）个人实际承担的费用y （元）小陈300 280 大李500320请根据表2中的信息，求m n ，的值，并求出当15010000x ≤时，y 关于x 函数解析式；（5分）（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）4. 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y （升）与接水时间x （分）的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．5. 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y （米）与挖掘时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）乙队开挖到30米时，用了( )小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了( )米；（2）请你求出：①甲队在0≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在2≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队．（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？6.某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？7.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？8. 为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？9.汉江市政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的号召，决定资助部分农村地区修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源.红星村共有360户村民,村民得到34万元的政府资助款,准备再从各户筹集一部分资金修建A 型、B 型沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用的户数、修建用地情况见下表：沼气池修建费用（万元/个)可供使用户数(户/个)占地面积(2m /个)A 型 3 20 10B 型2158政府土地部门只批给该村沼气池修建用地1882m .若修建A 型沼气池x 个,修建两种沼气池共需费用y 万元.⑴求y 与x 之间的函数关系式；421 406080x （元）（万件）y O第8题⑵试问有几种满足以上要求的修建方案？⑶平均每户村民筹集500元钱，能否满足所需费用最少的修建方案？10. 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？11. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B 类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？12. 某工厂计划为某山区学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用生产成本运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由。
微专题28 以分段函数为载体的应用题
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
答案：(1)9x6－－2xx2，1≤x≤c， 0，x＞c.
(2)若 3≤c＜6，则当日产量为 3 万件时，可获得最大利润；若 1≤c ＜3，则当日产量为 c 万件时，可获得最大利润．
微专题28 以分段函数为载体的应用题
1．某驾驶员喝了 1 000 mL 某种酒后，血液中的酒精含量 f(x)(mg/mL) 5x－2，0≤x≤1，
随时间 x(h)变化的规律近似满足表达式 f(x)＝35·13x，x＞1. 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中 酒精含量不得超过 0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过
－t2＋70t－550， t∈20，35].
因为 t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150＜650，t∈(10,20]时，smax＝ 30×20－150＝450＜650，所以当 t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得 t1＝30，t2＝40.∵20＜t≤35，∴t＝30.
(2)当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约 为 3 333 辆/小时．
解析：(1)由题意：当 0≤x≤20 时，v(x)＝60； 当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b.
由已知得22000a＋a＋b＝b＝600，，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得a＝－31， b＝2300，
60，0≤x≤20， 故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝2003－x，20＜x≤200.
知函数 T＝9x6－－2xx2在[1,3]上递增， ∴Tmax＝9c6－－2cc2，此时 x＝c. 综上，若 3≤c＜6，则当日产量为 3 万件时，可获得最大利润；若 1≤c＜3，则当日产量为 c 万件时，可获得最大利润．
高中分段函数综合应用汇总
高中数学单元测试-20150428满分:班级：_________姓名：_________考号：_________一、单选题（共19小题）1.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]2.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.已知函数，其中，则的值为（）A．6B．7C．8D．95.已知函数，则（）A．B．C．D．6.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图像与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．（2，4]（5，+）B．（1,2] （4,5]C．（一，1）（4,5]D．[1，2]7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.函数的图像大致是（）A．B．C．D．9.对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)10.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.对于实数和，定义运算“*”：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．13.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．14.已知函数=，若||≥，则的取值范围是（）A．B．D．[-2，0]15.函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（）A．B．C．D．若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一16.对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)17.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．18.已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是（）A．B．C．D．19.已知函数（为常数），则函数的图象恒过点（）A．B．C．D．二、填空题（共13小题）20.已知函数，则函数的零点个数为___________21.函数的值域为．22.设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是_________23.对实数定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是______________.24.设若，则的取值范围为_____________.25.函数的值域为_________.26.已知函数，则满足不等式的的取值范围是.27.已知f(x)是定义域为R的偶函数, 当x≥0时, f(x)=x2-4x. 那么, 不等式f(x+2)<5的解集是.28.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.29.已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式的解集为_____．30.稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）。
分段函数的应用专题训练卷
分段函数的应用专题训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，折线ABCD描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（）A．汽车共行驶了200千米B．汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为60千米/时D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少2．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.203．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b＝，则函数y＝x2∅（2﹣x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．44．《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分（记为x）按阶梯征税，税率如下：级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为（）A．245B．350C．6650D．67555．北京地铁票价计费标准如表所示：x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32乘车距离x（公里）票价（元）3456每增加1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（）A．2.5元B．3元C．4元D．5元6．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a ＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A．0B．2C．3D．47．某城市出租车的起步价为10元（即行驶距离在4千米及以内付10元车费），超过4千米后，每行驶1千米加3元（不足1千米按1千米计）．小张在该市乘出租车是从甲地到乙地，支付车费28元，问从甲地到乙地的路程最多有（）千米？A．11B．10C．9D．88．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→A→B→C→D→P运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．9．为鼓励市民绿色低碳方式出行，县政府开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元计费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：30还车，那么小明应付租车费（）A．1元B．2元C．3元D．6元10．某水果商店规定：如果购买苹果不超过10千克，那么每千克售价3元；如果超过10千克，那么超过的部分每千克降低10%，某单位购买48千克水果，则应付的钱数为（）A．129.6元B．132.6元C．141元D．144元二．填空题（共20小题）11．在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为元．12．我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分收3%的所得税，如某人的月收入为3860元，则他应缴纳个人工资、薪金所得税为：（3860﹣3500）×3%＝10.8元，如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税33元．那么此人本月工资、薪金收入是元．13．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．14．某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为：．15．某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x，单位：公里．乘车距离x x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32票价（元）3456每增加1元可乘20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是元．16．《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分（记为x）按阶梯征税，税率如下：级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为．17．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过10t 时，水价为每吨2.2元；超过10t时，超过部分按每吨2.8元收费，该市每户居民5月份用水x t（x＞10），应交水费y元，则y关于x的关系式．18．一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为．19．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款460元和560元；若合并付款，则她们总共只需付款元．20．规定max{a，b}表示取a、b中的较大者，例如max{0.1，﹣2}＝0.1，max{2，2}＝2，则函数f（x）＝max{|x+1|，|x2﹣5|}的最小值为．21．小李从沂南通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．已知小李给外婆快寄了 2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是元．22．某城市出租车收费按路程计算，3千米之内（包括3千米）收费6元，超过3千米每增加1千米加收 1.6元，则车费y（元）与路程x（千米）之间的函数关系式为．23．某地出租车的收费标准如下：路程在3千米以下收费8元；路程超过3千米的，超过的路程按2.6元/千米收费．例如：行驶10千米则收费为：8+（10﹣3）×2.6小明坐出租车到14千米外的少年宫去，他所付的车费是元．24．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系式为．25．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．26．为合理利用水资源，增强人们的节水意识，某市规定用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水费按每吨3.5元收费；超过6吨时，不超过6吨的部分仍按每吨3.5元收费，超过的部分按每吨a元收费．某户5月份用水8吨，交水费31元，如果6月份用水10吨，需交水费多少元．27．为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．该市一位同学家2015年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．如果该同学家4月份用电410千瓦时，那么电费为元．28．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图．当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．29．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，则该市居民每月水费y（元）与该月用水量x（吨）之间的函数关系式是．月用水量收费标准（元/吨）不超过12吨部分2超过12吨不超过18吨部分 2.5超过18吨部分330．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款．三．解答题（共10小题）31．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y （元）．（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．32．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：x﹣3﹣2﹣10123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线．得到该分段函数的图象．（1）在平面直角坐标系中完成函数图象；（2）此函数图象与y轴的交点坐标为；（3）点在函数图象上，则y1y2；（填“＞”“＝”或“＜”）（4）写出该分段函数的一条性质：；（5）若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围是．33．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税元；（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？34．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．35．如表是苏州市地铁收费标准：分段乘坐里程（公里）单程票票价10＜里程≤62元26＜里程≤113元311＜里程≤164元416＜里程≤235元523＜里程≤306元6里程30公里以上，每9公里分段加1元备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算．（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由．36．在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足图中折线．（1）求注射药物后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间．37．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．38．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．39．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米．超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了8千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了18千米，付了35元”．（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？（2）若某人乘这种出租车行驶了x千米，请写出付费w元与x的函数关系式．40．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨？。
分段函数应用题
专题二：分段函数应用题例1：（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：(1)求y 与x 之间的函数表达式；（2）月通话为280分钟时，应交话费多少元？【同类型练习】 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？例2．旅客乘车按规定可携带一定重量的行李，如果超过规定则需购行李票，设行李费y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示。
（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带多少千克行李？【同类型练习】.某通讯公司每月通话的收费标准如图6所示；(1) 求y 与t 之间的函数表达式；(2) 由图象和函数解析式可知，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；O x/千克y/元60901053.某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头，假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图。
请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟?（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
”你说可能吗？请说明理由。
4. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？5.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？。
分段函数综合应用题答案
1解：（1）24分钟 （1分）（2）设水流速度为千米/分，冲锋舟速度为千米/分，根据题意得解得 答：水流速度是千米/分．（3）如图，因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设线段所在直线的函数解析式为把代入，得 线段所在直线的函数解析式为 由求出这一点的坐标 答：冲锋舟在距离地千米处与救生艇第二次相遇．2. 甲: 从100米高度出发, 均速前进, 20分钟登高300-100=200米,速度是200/20=10米/分钟, 但为了和乙的时间相关, x 要扣除2分钟,高度就是100+2*10=120米 y=10x+120 (0≤x≤18) 乙:从2分钟登高30米( 因为b=15X2=30), 从2分钟到t 分钟登高到300米, 所以 y=30+[270/(t-2)]x (0≤x≤18, 2<t≤20)（1）甲登山的速度是每分钟10米，乙在A 地提速时距地面的高度b 为30米．（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式． 甲: y=10x+120 (0≤x≤18) 乙: y=30+30x (0≤x≤9)（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A 地的高度为多少米？ 就是求当x 为何值时, 10x+120=30+30x 可解得x=4.5分, 登山时间等于x+2=6.5分,即6分30秒.此时乙的高度是 y=30+30*4.5=165米 (甲的高度是y=10*6.5+100=165, 或y=10*4.5+120=165) 距A 地的高度是165-30=135米3解：（1）150(150)y m x n =++-％ ···················· 3分（2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：150(300150)280150(500150)320m n m n ++-=⎧⎨++-=⎩％％ ······················ 5分 解得：10020m n =⎧⎨=⎩ ····························· 6分150100(150)20y x ∴=++-％12205x =+．1220(15010000)5y x x ∴=+<≤． ···················· 8分 （3）个人实际承担的费用最多只需2220元． ················ 10分4. 解：（1）•锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x≤2时，•设函数解析式为y=k1x+b1，把x=0，y=96和x=2，y=80代入得：∴y=-8x+96（0≤x≤2），、当x>2时，设函数解析式为y=k2x+b2，把x=2，y=80和x=4，y=72代入得：∴y=-4x+88（x>2）．•∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5．答：前15•位同学接完水需5.5分钟．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．② 若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水，挡0<t≤2时，则8（2-t ）+4[3-（2-t ）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t ）+[3-（2-t ）]=3（分），符合．•当t>2时，则8×2÷4=4（W 发），即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符．由图可知，函数图象过点（2，30230b 25 250b 解得：2060501012z z （11分）分）(1) 由图3可得，当0≤t ≤30时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：y=kt ，∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60=30k ．∴ k =2．即 y =2t ，当30≤t ≤40时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是一次函数关系，所以设市场的日销售量：y=k 1t+b ，因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 116030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ， 解得 k 1=－6，b =240．∴ y =－6t +240．综上可知，当0≤t ≤30时，市场的日销售量：y =2t ，当30≤t ≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。
分段函数练习题(打印版)
分段函数练习题（打印版）### 分段函数练习题（打印版）#### 一、选择题1. 下列分段函数中，哪一个是奇函数？- A. \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x< 0 \end{cases} \)- B. \( f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0 \\ -x^3, & x< 0 \end{cases} \)- C. \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \geq 0 \\ -x^2 + 1, & x < 0 \end{cases} \)- D. \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 0 \\ -x - 1,& x < 0 \end{cases} \)2. 给定分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 1 \\ 3x- 1, & x \geq 1 \end{cases} \)，求 \( f(-1) \) 和 \( f(2) \)。
3. 判断下列分段函数的连续性：- A. \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 2 \\ 4 - x, & x\geq 2 \end{cases} \)- B. \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases} \)#### 二、填空题1. 若分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases} \)，求 \( f(-2) \) 和 \( f(1) \)。
以分段函数为载体的应用题专题
以分段函数为载体的应用题1.某驾驶员喝了1 000 mL 某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg /mL )随时间x(h )变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg /mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h )2．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km /h )与时间t(h )的函数图象如图，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h )内沙尘暴所经过的路程s(km )．若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，则这场沙尘暴________h 后侵袭到N 城．3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．4．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x(万件)之间满足关系：P ＝⎩⎨⎧16－x ，1≤x ≤c ，23，x ＞c ，(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？5．如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK 是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数y ＝29x⎝⎛⎭⎫13≤x ≤23的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l(宽度不计)，直路l 与曲线段MN 相切(切点记为P)，并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，f(t)表示该地块在直路l 左下部分的面积．(1)求f(t)的解析式；(2)求面积S ＝f(t)的最大值．6．图1所示，某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园(ABCDEF 围成的封闭区域)，其中AB 长12百米，BC 长4百米，CD ＝8.5百米，AF 长0.5百米，DEF 是一段曲线形公路，该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ 所示区域，且MP ＝PQ ，植物园大门位于公路DEF 上的M 处，音乐广场P 位于AB 的中点处，为了能够让游客更好地观赏园中的景观，现决定修建一条观光栈道，起点位于距离音乐广场P 处2百米的O 点所示位置，终点位于美食广场Q 处．图2所示，建立平面直角坐标系，若M(x ，f(x))满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧k x ，－2＜x ≤－12，ax ＋b ，－4≤x ≤－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求观光栈道OQ 的长度的最小值．1．答案：4.解析：当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0.02，得x ≥4. 2．答案：30. 解析：当0≤t ≤10时，S ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10＜t ≤20时，S ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，S ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上，可知S ＝ 错误!因为t ∈[0，10]时，s max＝32×102＝150＜650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650，所以当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20＜t ≤35，∴t ＝30.答：沙尘暴发生30后将侵袭到N 城．3．答案：(1)v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20＜x ≤200. (2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．解析：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20＜x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝错误!当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝10 0003.当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值．综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值f (x )max ＝10 0003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．4．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x ，1≤x ≤c ，0，x ＞c .(2)若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1≤c ＜3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．解析：(1)当x ＞c 时，P ＝23，∴T ＝13x ·2－23x ·1＝0，当1≤x ≤c 时，P ＝16－x，∴T ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－16－x ·x · 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x ·x ·1＝9x －2x26－x，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x ，1≤x ≤c ，0，x ＞c .(2)由(1)知，当x ＞c时，每天的盈利额为0，当1≤x ≤c 时，T ＝9x －2x26－x＝ 15－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－x ）＋96－x ≤15－12＝3，当且仅当x ＝3时取等号，所以(ⅰ)当3≤c ＜6时，T max＝3，此时x ＝3，(ⅱ)当1≤c ＜3时，由T ′＝2x 2－24x ＋54（6－x ）2＝2（x －3）（x －9）（6－x ）2，知函数T ＝9x －2x 26－x 在[1，3]上递增，∴T max ＝9c －2c26－c，此时x ＝c .综上，若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1≤c ＜3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．5．答案：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －94t 2，13≤t ≤49，49，49≤t ≤12，4t －19t 2，12＜t ≤23.(2)S max ＝49.解析：(1)因为y ＝29x，所以y ′＝－29x2，由于点P 到边AD 距离为t ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，29t ，所以过点P 的切线方程为y －29t＝－29t 2(x －t )，即y ＝－29t 2x ＋49t ，令x ＝0，得y ＝49t，令y ＝0，得x ＝2t .所以切线与x 轴交点E (2t ，0)，切线与y 轴交点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，49t . ①当⎩⎪⎨⎪⎧2t ≤1，49t ≤1，13≤t ≤23，即49≤t ≤12时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以f (t )＝12×2t ×49t ＝49.②当⎩⎪⎨⎪⎧2t ＞1，49t ≤1，13≤t ≤23，即12＜t ≤23时，切线左下方的区域为一直角梯形，f (t )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫49t ＋4t －29t 2·1＝4t －19t 2， ③当⎩⎪⎨⎪⎧2t ≤1，49t ＞1，13≤t ≤23，即13≤t ＜49时，切线左下方的区域为一直角梯形，所以f (t )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －9t22＋2t ·1＝2t －94t 2，综上所求函数f (t )的解析式f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －94t 2，13≤t ＜49，49，49≤t ≤12，4t －19t 2，12＜t ≤23.(2)由(1)得，当13≤t ＜49时， f (t )＝2t －94t 2＝－94⎝ ⎛⎭⎪⎫t －492＋49＜49，当12＜t ≤23时，f (t )＝4t －19t 2＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －22＋49＜49， 答：所求面积S 的最大值为49.6．答案：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，－2＜x ≤－12，14x ＋32，－4≤x ≤－2.(2)()2＋22百米． 解析：(1)由题意得，A (－4，0)，P (2，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝k－12＝4，解得k ＝－2，所以E (－2，1)．故f (－2)＝1，又f (－4)＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝1，－4a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝32，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，－2＜x ≤－12，14x ＋32，－4≤x ≤－2.(2)过点M ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足为M ′，Q ′，易证△MPM ′≌△PQQ ′，由P (2，0)，得Q (2＋f (x )，2－x )，若－2＜x ≤－12，设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2x ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x＋2，2－x ，OQ＝x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝错误!＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －22＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2x －2.因为－2＜x ≤－12，所以OQ ＝2－x － 2x ⎝⎛⎭⎪⎫－2＜x ≤－12.所以OQ ＝2－x －2x＝2＋(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2＋2（－x ）⎝⎛⎭⎪⎫－2x＝()2＋22(百米)，当且仅当－x ＝－2x即x ＝－2时等号成立．若－4≤x ≤－2，设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，14x ＋32， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋72，2－x ， OQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋722＋（2－x ）2＝错误!＝1716x 2－94x ＋654，y ＝1716x 2－94x ＋654在[－4， －2]上单调递减，所以OQ ≥错误!＝5，又因为2＋22＜5，所以OQ 的长度的最小值为()2＋22百米．。
八年级数学下册利用分段函数解决实际问题专项练习
八年级数学下册利用分段函数解决实际问题专项练习类型1 判断实际问题中的分段函数图象1.如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A-C-B-A 匀速运动，则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）2.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间变化的函数图象大致为（)类型根据实际闭题确定分段函数的解析式3.某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示，则该市居民每月水费y（元）与该月用水量x（吨）间的函数关系式为__________4.某液化气站有一储存量为40 吨的液化气储存罐，开始一段时间内打开进气管，不开出气管，在随后一段时间内既开进气管又开出气管，直到装满储存罐时关闭进管，储存罐中液化气储存量y（吨）关于时间x（分钟）的函数关系如图所示，则y与x之间函数关系式为__________5.一旅游团到黄冈某旅游景点，看到售票处旁边的告栏如图所示，请根据公告栏内容回答下列问题公告栏（1）若人数为9人，门票费是____元,若人数为30人，门票费是____元；（2）设人数为x人，写出该门票费y（元）与人数x的函数关系式.（直接填写在下面的横线上）__________类型3 (根据分段函数的图象解决实际问题)6.小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）.一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校(上、下车时间忽略不计）.小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t：（单位：分钟）之间的函数关系如图所示.已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟，下列说法：正确的是_________①小明从家出发5分钟时乘上公交车；②公交车的速度400km/分钟；③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟④小明上课没有迟到；7.钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好推点到达.如图是该艇行驶的路程y(海里)与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是_________8.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，己从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象信息，当t=____分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为40米/分钟；（2）求出线段AB所表示的函数表达式.9.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元.（1）直接写出当0≤x≤300 和x> 300 时，y与x的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共12002m，若甲种花卉的z 种植面积不少于2002m，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？10.在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，试回答下列问题：（1）图①中AB=___ ,BC=___ ；（2）图②中a=___ ,b=___ ；（3)求出y与x之间的函数关系式.巧用一次函数的最值问题解决方案设计问题（2）类型1购买方案1.新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/平方米.从第八层起每上升一层每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120平方米若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:方案降价8%,另外每套楼房赠送元装修基金;方案二:降价10%,没有其他赠送(1)请写出售价y(元/平方米)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算2.如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间(单位:天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系.已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( )A 24天的销售量为200件B第10天销售一件产品的利润是15分C第12天与第30天这两天的日销售相等D第30天的日销售利润是750元3.某商店销售A型和B型两种型号电脑,每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元,现该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍(1)设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元,求y与x 的关系式;(2)该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?类型3选择分配方案2018,天津)某游泳馆每年夏李推出两种游泳付费方式,方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费5元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费9元，设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)(1)根据题意,填写下表:(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?(3)当x>20时,小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由5.某工厂现有甲种原料380千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A,B两种产品共50件.已知生产一件A产品需要甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产一件B产品需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.设生产A,B两种产品总利润为y元,其中A种产品的生产件数是x(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)如何安排A、B两种产品的生产件数，是总利润y有最大值，并求出y的最大值。
专题13 分段函数问题(解析版)
专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0，2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0，2]∪[3，＋∞）【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）的值域为[0，2]∪[3，＋∞）.2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）＝因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），则f（x）∈（2，＋∞），若x∈[－1，2]，则f（x）∈[－，0]，∴f（x）的值域为[－，0]∪（2，＋∞）.3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋1【答案】D【解析】f（－2）＝0，f（0）＝π，f（π）＝π＋1.4.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－1【答案】C【解析】5.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵<1，∴f＝3×－b＝－b.若－b<1，即b>，则f＝3－b＝－4b<－≠4.若－b≥1，即b≤，则f＝2＝5－2b＝4，b＝.故选D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝【答案】D【解析】由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0，1）【答案】B【解析】①当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f（x）＝－x－1，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x－2>－1，解得x<－，则－1≤x<－.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时f（x）＝－x＋1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x＋2>－1，解得x<，则0<x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－）∪（0，1].8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3，1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）【答案】B【解析】原不等式可化为或或（不成立，舍去），解得x>1或x<－3. 9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2可得⇒当x≤0时，f（x）＝x⇔x2＋3x＋2＝0⇔x1＝－1，x2＝－2，有两个解，当x>0时，f（x）＝x显然有一个解x＝2，故选C.10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【答案】A【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0，1]D.（－∞，1]【答案】B【解析】由题意知函数g（x）在区间[－2，2]上的值域是函数f（x）在区间[－2，2]上的值域的子集；因为当x∈[0，2]时，－1≤x2－1≤3，当x∈[－2，0）时，－4≤－x2<0，所以函数f（x）的值域是[－1，3]∪[－4，0）＝[－4，3]，所以解得－≤a≤1.12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.【答案】f（x）＝【解析】设x<1，则2－x>1，且f（x）＝f＝f（1－（x－1））＝f（2－x）＝＋1. ∴f（x）＝13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.【答案】（1）因为5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f（f（f（5）））＝f（1）＝12－2×1＝－1.（2）f（x）的图象如下：14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.【答案】（1）∵－∈（－∞，－1），∴f＝－2×＝3.∵∈[－1，1]，∴f＝2.又2∈（1，＋∞），∴f＝f（2）＝2×2＝4.∵4.5∈（1，＋∞），∴f（4.5）＝2×4.5＝9.（2）经观察可知a∉[－1，1]，否则f（a）＝2.若a∈（－∞，－1），令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈（1，＋∞），令2a＝6，得a＝3，符合题意.∴a的值为－3或3.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.【答案】（1）若a＝－3，则f（x）＝所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11.（2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不符合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合.综上可知，a＝－.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.【答案】（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元.（2）当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有解得所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.【答案】（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.（2）f（x）＝等价于①或②解①得x＝±，②解集为∅.∴当f（x）＝时，x＝±.（3）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.【答案】设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以y＝即y＝当1≤t≤24，t∈N时，t＝10，y max＝900；当25≤t≤30，t∈N时，t＝25，y max＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）【答案】（1）由图（1）可得f（t）＝g（t）＝（t－150）2＋100（0≤t≤300）.（2）设从2月1日起的第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）－g（t）＝＝故h（x）在区间[0，200]上的最大值为h（50）＝100，在区间（200，300]上的最大值为h（300）＝87.5，由100>87.5可知，h（t）在[0，300]上的最大值为h（50）＝100，这时t＝50，即从2月1日起的第50天上市，产品的纯收益最大.20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.【答案】（1）∵－3<1，∴f（－3）＝－2×（－3）＋1＝7，∵7>1，∴f（f（－3））＝f（7）＝72－2×7＝35，∵3>1，∴f（3）＝32－2×3＝3，∴f（f（3））＝3，∴f（f（－3））>f（f（3））.（2）函数图象如图所示：（3）由f（x）＝1的函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去）.综上可知x的值为0或1＋.。
专题09 分段函数的综合应用型问题(徐州27题镇江28题无锡25题淮安25题南京25题)(解析版)
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题09 分段函数的综合应用型问题【真题再现】1．（2019年徐州第27题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．（1）求甲、乙两人的速度；（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；（2）设甲、乙之间距离为d ，由勾股定理可得d 2＝（1200﹣240x ）2+（80x ）2 ＝64000（x −92）2+144000，根据二次函数最值即可得出结论．【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为am /min ，bm /min ，则：y 1={1200−ax ax −1200y 2＝bx由图②知：x ＝3.75或7.5时，y 1＝y 2，∴{1200−3.75a =3.75b7.5a −1200=7.5b ，解得：{a =240b =80∴y 1＝1200﹣240x ，令y 1＝0，则x ＝5 ∴y 1={1200−240x(0≤x ≤5)240x −1200(x ＞5)y 2＝80x答：甲的速度为240m /min ，乙的速度为80m /min ． （2）设甲、乙之间距离为d ， 则d 2＝（1200﹣240x ）2+（80x ）2 ＝64000（x −92）2+144000，∴当x =92时，d 2的最小值为144000，即d 的最小值为120√10； 答：当x =92时，甲、乙两人之间的距离最短．点评：本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．2．（2019年镇江第28题）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为120个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝50；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72．（直接写出结果）【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意列不等式即可得到结论．【解析】【观察】①∵相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为150﹣30＝120个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为12030v ＝4v ，∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v，机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30+1504v=45v，而120v＞45v，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，30+150+150﹣m ＝4（m ﹣30）， ∴m ＝90， 故答案为：90；②∵相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为150﹣40＝110个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为11040v =114v ， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为40+150114v =76011v，机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v，而110v＞76011v，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，40+150+150﹣m =114（m ﹣40）， ∴m ＝120， 故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意知，150﹣x ＝2x ， ∴x ＝50， 即：a ＝50， 故答案为：50；②当0＜x ≤50时，点P （50，150）在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为y ＝3x ， 当v ＜150−xxv 时，即当50＜x ＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x x v ，根据题意知，x +y =150−xx（150﹣x +150﹣y ）， ∴y ＝﹣3x +300， 即：y ={3x(0＜x ≤50)−3x +300(50＜x ＜75)，补全图形如图2所示， 【拓展】①如图，由题意知，y150×4+(150−y)=x 150−x，∴y ＝5x ， ∵0＜y ≤60， ∴0＜x ≤12； ②如图，∴(150−y)+150y+150×3=x 150−x，∴y ＝﹣5x +300， ∵0≤y ≤60， ∴48≤x ≤60， ③如图，由题意得，300+y 300+(150−y)=x 150−x，∴y ＝5x ﹣300， ∵0≤y ≤60， ∴60≤x ≤72， ∵0＜x ＜75， ∴48≤x ≤72，综上所述，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是0＜x ≤12或48≤x ≤72， 故答案为0＜x ≤12或48≤x ≤72．点评：本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．3．（2019年无锡第25题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．【分析】（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解；（2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点E纵坐标为小丽这个时间段走的路程，即可求解．【解析】（1）由题意可得：小丽速度=362.25=16（km/h）设小明速度为xkm/h由题意得：1×（16+x）＝36∴x ＝20答：小明的速度为20km /h ，小丽的速度为16km /h ．（2）由图象可得：点E 表示小明到了甲地，此时小丽没到， ∴点E 的横坐标=3620=95， 点E 的纵坐标=95×16=1445 ∴点E （95，1445）点评：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型4．（2019年淮安第25题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x 小时，快车行驶的路程为y 1千米，慢车行驶的路程为y 2千米．如图中折线OAEC 表示y 1与x 之间的函数关系，线段OD 表示y 2与x 之间的函数关系． 请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；（3）线段OD 与线段EC 相交于点F ，直接写出点F 的坐标，并解释点F 的实际意义．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E 和点C 的坐标，从而可以求得y 1与x 之间的函数表达式； （3）根据图象可知，点F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F 的坐标，并写出点F 的实际意义．【解析】（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时； （2）由题意可得，点E 的横坐标为：2+1.5＝3.5， 则点E 的坐标为（3.5，180），快车从点E 到点C 用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时）， 则点C 的坐标为（5.5，360），设线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝kx +b ， {3.5k +b =1805.5k +b =360，得{k =90b =−135， 即线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝90x ﹣135（3.5≤x ≤5.5）； （3）设点F 的横坐标为a ， 则60a ＝90a ﹣135， 解得，a ＝4.5， 则60a ＝270，即点F 的坐标为（4.5，270），点F 代表的实际意义是在4.5小时时，快车与慢车行驶的路程相等． 点评：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．5．（2018年南京第25题）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min 回到家中．设小明出发第tmin 时的速度为vm /min ，离家的距离为sm ，v 与t 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．（1）小明出发第2min 时离家的距离为 200 m ； （2）当2＜t ≤5时，求s 与t 之间的函数表达式； （3）画出s 与t 之间的函数图象．【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出小明出发第2min 时离家的距离即可；（2）当2＜t ≤5时，离家的距离s ＝前面2min 走的路程加上后面（t ﹣2）min 走过的路程列式即可； （3）分类讨论：0≤t ≤2、2＜t ≤5、5＜t ≤6.25和6.25＜t ≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．注意因为小明是往返用了16分钟，往返的路程是一样的，根据往返路程相等，计算出的6.25． 【解析】（1）100×2＝200（m ）．故小明出发第2min 时离家的距离为200m ； 故答案为：200．（2）当2＜t ≤5时，s ＝100×2+160（t ﹣2）＝160t ﹣120． 故s 与t 之间的函数表达式为s ＝160t ﹣120；（3）s 与t 之间的函数关系式为{100t(0≤t ≤2)160t −120(2＜t ≤5)80t +280(5＜t ≤6.25)1280−80t(6.25＜t ≤16)，如图所示：点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．6．（2018年无锡第25题）一水果店是A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg 的这种水果．已知水果店每售出1kg 该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg 将亏损6元，以x （单位：kg ，2000≤x ≤3000）表示A 酒店本月对这种水果的需求量，y （元）表示水果店销售这批水果所获得的利润． （1）求y 关于x 的函数表达式；（2）问：当A 酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分； （2）由（1）y ≥22000即可．【解析】（1）由题意：当2 000≤x≤2 600时，y＝10x﹣6（2600﹣x）＝16x﹣15600；当2 600＜x≤3 000时，y＝2600×10＝26000（2）由题意得：当2 000≤x≤2 600时，16x﹣15600≥22000解得：x≥2350，当2600＜x≤3 000时，利润为26000也满足条件，∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．点评：本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．【专项突破】【题组一】1．（2020•锦江区校级模拟）2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）由图象知，当10＜x ≤14时，y ＝640；当14＜x ≤30时，设y ＝kx +b ，将（14，640），（30，320）代入得{14k +b =64030k +b =320， 解得{k =−20b =920， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣20x +920；综上所述，y ={640(10＜x ≤14)−20x +920(14＜x ≤30)； （2）当10＜x ≤14时W ＝640×（x ﹣10）＝640x ﹣6400，∵k ＝640＞0，∴W 随着x 的增大而增大，∴当x ＝14时，W ＝4×640＝2560元；当14＜x ≤30时，W ＝（x ﹣10）（﹣20x +920）＝﹣20（x ﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x ≤30，∴当x ＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．2．（2019秋•海州区校级期末）如图（1）所示，在A ，B 两地间有一车站C ，甲汽车从A 地出发经C 站匀速驶往B 地，乙汽车从B 地出发经C 站匀速驶往A 地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C 站的路程y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a ＝ 120 km ，b ＝ 2 h ，AB 两地的距离为 420 km ；（2）求线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x 满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小？【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以求得a 、b 的值以及AB 两地之间的距离；（2）根据（1）中的结果和函数图象中的数据，可以求得线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）根据题意，可以写出甲、乙两车距离车站C 的路程之和和s 之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题．【解析】（1）两车的速度为：300÷5＝60km /h ，a ＝60×（7﹣5）＝120，b ＝7﹣5＝2，AB 两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝kx +b ，{b =3005k +b =0，得{k =−60b =300，即线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝﹣60x +300；设线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝mx +n ，{5m +n =07m +n =120，得{m =60n =−300，即线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝60x ﹣300；（3）设DE 对应的函数解析式为y ＝cx +d ，{d =1202c +d =0，得{c =−60d =120，即DE 对应的函数解析式为y ＝﹣60x +120，设EF 对应的函数解析式为y ＝ex +f ，{2e +f =07e +f =300，得{e =60f =−120，即EF 对应的函数解析式为y ＝60x ﹣120，设甲、乙两车距离车站C 的路程之和为skm ，当0≤x ≤2时，s ＝（﹣60x +300）+（﹣60x +120）＝﹣120x +420，则当x ＝2时，s 取得最小值，此时s ＝180，当2＜x ≤5时，s ＝（﹣60x +300）+（60x ﹣120）＝180，当5≤x ≤7时，s ＝（60x ﹣300）+（60x ﹣120）＝120x ﹣420，则当x ＝5时，s 取得最小值，此时s ＝180，由上可得，行驶时间x 满足2≤x ≤5时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小．3．（2019秋•铁锋区期末）小明家饮水机中原有水的温度为20°C ，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20C 时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x ≤8时，求水温y （°C ）与开机时间x （分）的函数关系式；（2）求图中t 的值；（3）若小明上午八点将饮水机在通电开机（此时饮水机中原有水的温度为20°C 后即外出散步，预计上午八点半散步回到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低于30°C 的水吗？请说明你的理由．【分析】（1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x ≤8时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式；（2）由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x ≤t 时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式，再将y ＝20代入该函数关系式中求出x 值即可；（3）将x ＝30代入反比例函数关系式中求出y 值，再与30比较后即可得出结论．【解析】（1）当0≤x ≤8时，设水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将（0，20）、（8，100）代入y ＝kx +b 中，{b =208k +b =100， 解得：{k =10b =20， ∴当0≤x ≤8时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝10x +20．（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=mx（m≠0），将（8，100）代入y=mx中，100=m8，解得：m＝800，∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800 x．当y=800x=20时，x＝40，∴图中t的值为40．（3）当x＝30时，y=800x=80030＜30．答：小明上午八点半散步回到家中时，不能喝到饮水机内不低于30°C的水．4．（2019秋•邗江区校级期末）小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为10或30时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．【分析】（1）根据点O和点B的坐标可以求得线段OB对应的函数解析式，再根据妈妈的速度和路程可以求得点F的坐标，从而可以求得线段AF对应的函数表达式；（2）根据点C 的横坐标为45且点C 在线段AF 上，从而可以求得点C 的坐标，再跟点B 和点C 的坐标即可求得线段BC 的函数表达式；（3）根据线段AF 、线段OB 、线段BC 的函数表达式可以求得当x 为多少时，小明与妈妈相距1500米；（4）根据小明的速度可以求得点E 的坐标，从而可以写出线段DF 的函数表达式，再根据线段AF 的函数表达式，即可求得点D 的坐标，进而写出点D 的实际意义．【解析】（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ，30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）；点F 的横坐标为：3000÷50＝60，则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，{b 1=300060k 1+b 1=0，得{k 1=−50b 1=3000， 即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000；（2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750，即点C 的坐标为（45，750），设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，{30k 2+b 2=300045k 2+b 2=750，得{k 2=−150b 2=7500， 即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米．故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48，∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000，∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000，∴{y =−50x +3000y =250x −12000，得{x =50y =500，∴点D的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里．【题组二】5．（2019秋•秦淮区期末）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．（1）A市和B市之间的路程是360km；（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A 地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题．【解析】（1）由图可知，A市和B市之间的路程是360km，故答案为：360；（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，2（x+2x）＝360，解得，x＝602×60＝120，则a ＝120，点M 的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B 市120 km 处相遇；（3）快车速度为120 km /h ，到达B 市的时间为360÷120＝3（h ），方法一：当0≤x ≤3时，y 1＝﹣120x +360，当3＜x ≤6时，y 1＝120x ﹣360，y 2＝60x ，当0≤x ≤3时，y 2﹣y 1＝20，即60x ﹣（﹣120x +360）＝20，解得，x =199，199−2=19， 当3＜x ≤6时，y 2﹣y 1＝20，即60x ﹣（120x ﹣360）＝20，解得，x =173，173−2=113， 所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过19或113h 两车相距20 km ．方法二： 设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h 两车相距20 km ，当0≤t ≤3时，60t +120t ＝20，解得，t =19；当3＜t ≤6时，60（t +2）﹣20＝120（t +2）﹣360，解得，t =113．所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过19或113h 两车相距20 km ．6．（2019秋•黄冈期末）每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y （元/个）与时间第x 天（x 为整数）的数量关系如图所示，日销量p （个）与时间第x 天（x 为整数）的函数关系式为：P ={20x +180(1≤x ≤9)−60x +900(9≤x ≤15)（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；（2）设日销售额为W （元），求W （元）关于x （天）的函数解析式；在这15天中，哪一天销售额W （元）达到最大，最大销售额是多少元；（3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于1800元，文具盒专柜将亏损直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？【分析】（1）是分段函数，利用待定系数法可得y 与x 的函数关系式；（2）是分段函数，根据日销售额为W （元）＝销售单价y （元/个）×日销量p （个），可得W 与x 的函数关系式，并根据增减性确定最大值；（3）根据（2）中分类讨论的解析式，由每天的营业额低于1800元列不等式或等式可解答．【解析】（1）当1≤x ≤5时，设一次函数的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）把A （1，14）和B （5，10）代入得：{k +b =145k +b =10， 解得：{k =−1b =15， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +15（k ≠0）；综上，y 与x （x 为整数）的函数关系式为：y ={−x +15(1≤x ≤5)10(5＜x ≤15)； （2）①当1≤x ≤5时，W ＝py ＝（﹣x +15）（20x +180）＝﹣20x 2+120x +2700＝﹣20（x ﹣3）2+2880， ∵x 是整数，∴当x ＝3时，W 有最大值为：2880，②当5＜x ≤9时，W ＝py ＝10（20x +180）＝200x +1800，∵x 是整数，200＞0，∴当5＜x ≤9时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝9时，W 有最大值为：200×9+1800＝3600，③当9≤x ≤15时，W ＝10（﹣60x +900）＝﹣600x +9000，∵﹣600＜0，∴W随x的增大而减小，∴x＝9时，W有最大值为：﹣600×9+9000＝﹣5400+9000＝3600，综上，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元；（3）①当1≤x≤5时，W＝﹣20（x﹣3）2+2880＝1800，解得：x＝3±3√6，∵7＜3√6＜8，∴10＜3+3√6＜11，∴当1≤x≤5时，每天的营业额高于1800元；②当5＜x≤9时，W＝200x+1800＜1800，x＜0，③当9≤x≤15时，W＝﹣600x+9000＜1800，x＞12，综上，文具盒专柜处于亏损状态是：第13天，第14天，第15天．7．（2019秋•漳州期末）某养猪场对猪舍进行喷药消毒．在消毒的过程中，先经过5min的药物集中喷洒，再封闭猪舍10min，然后再打开窗户进行通风．已知室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数图象如图所示，其中在打开窗户通风前y与x分别满足两个一次函数，在通风后y与x满足反比例函数．（1）求反比例函数的关系式；（2）当猪舍内空气中含药量不低于5mg/m3且持续时间不少于21min，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？【分析】（1）首先设反比例函数关系式为y=kx，再把（15，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式；（2）首先求出0≤x≤5时的函数解析式，再分别计算出y＝5时的x的值，进而可得答案．【解析】（1）设反比例函数关系式为y=k x．∵反比例函数的图象过点（15，8），∴k＝120．∴y=120 x．（2）设正比例函数关系式为y＝kx．把x＝5，y＝10代入上式，得k＝2．∴y＝2x．当y＝5时，x=5 2．把y＝5代入y=120x，得x＝24．∴24−52=21.5＞21．答：此次消毒能有效杀死该病毒．8．（2019秋•溧阳市期末）某快递公司招聘快递员，快递员的月工资由底薪800元加上快递送单补贴（送一个包裹称为一单）构成，快递包裹补贴的具体方案如表：快递包裹数量补贴（元/单）每月不超过1000单3超过1000单但不超过m单的部分（1500≤m≤2000）4超过m单的部分5（1）若某快递员9月份送包裹800单，则他这个月的工资总额为多少元？（2）若某快递员10月份送包裹1200单，则他这个月的工资总额为多少元？（3）设11月份某快递员送包裹x单（x＞1000），那么他的月工资总额是多少？（请你用含有x、m的代数式表示）（4）若某快递员11月份送包裹1800单，所得工资总额为7200元，求m的值．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得某快递员9月份送包裹800单的工资总额为底薪（800）加补贴（800×3）；（2）根据题意和表格中的数据可以求得某快递员10月份送包裹1200单的工资总额为底薪（800）加补贴（1000×3+200×4）；（3）根据题意和表格中的数据可以写出各段x、m的代数式；（4）将x＝1800，月工资总额＝7200代入两个代数式就可解得m的值．【解析】（1）工资总额＝800+800×3＝3200（元）答：他这个月的工资总额为3200元；（2）∵1000＜1200＜1500，∴工资总额＝800+1000×3+（1200﹣1000）×4＝4600（元），答：他这个月的工资总额为4600元；（3）当1000＜x ≤m 时，月工资总额＝800+1000×3+4（x ﹣1000）＝4x ﹣200，当x ＞m 时，月工资总额＝800+1000×3+4（m ﹣1000）+5（x ﹣m ）＝5x ﹣m ﹣200；（4）当m ≥1800时，月工资总额＝800+1000×3+（1800﹣1000）×4＝7000（元），不合题意舍去，当m ＜1800时，则800+1000×3+（m ﹣1000）×4+5（1800﹣m ）＝7200，解得：m ＝1600，答：m 的值为1600．【题组三】9．（2019秋•建邺区期末）一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲到乙匀速前进，甲、乙间的路程为200km ，他们离甲地的路程y （km ）与慢车出发后的时间x （h ）的函数图象如图所示．（1）慢车的速度是 40 km /h ；（2）求慢车出发后多长时间两车第一次相遇？（3）快车到达乙地后，慢车距乙地多远？【分析】（1）直接利用函数图象得出慢车行驶的总时间进而得出答案；（2）直接利用两车行驶的路程相同得出等式求出答案；（3）利用慢车的速度以及结合快车行驶的时间得出答案．【解析】（1）由题意可得，慢车200km 行驶5小时，故慢车的速度是：2005=40km /h ；故答案为：40；（2）由题意可得，快车200km 行驶2小时，故快车的速度是：100km /h ，设慢车出发a 小时候两车第一次相遇，根据题意可得：40a ＝100（a ﹣2），解得：a =103，答：慢车出发103小时候两车第一次相遇；（3）∵快车到达乙地后，慢车已经行使了4小时，故慢车此时距乙地：200﹣4×40＝40（km ）．10．（2019秋•铜山区期末）如图1所示，在A 、B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A ，B 两地相距 600 千米；货车的速度是 40 千米/时；（2）求三小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数表达式；（3）试求客车与货两车何时相距40千米？【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A ，B 两地的距离；根据货车3小时到达C 站，求得货车的速度；（2）根据函数图象中的数据即可得到三小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；（3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．【解析】（1）由函数图象可得，A ，B 两地相距：480+120＝600（km ），货车的速度是：120÷3＝40（km /h ）．故答案为：600；40；（2）y ＝40（x ﹣3）＝40x ﹣120（x ＞3）；（3）分两种情况：①相遇前：80x +40x ＝600﹣40解之得x =143⋯（8分）②相遇后：80x +40x ＝600+40解之得x =163综上所述：当行驶时间为143小时或163小时，两车相遇40千米．11．（2019秋•镇江期末）甲、乙两人同时从相距90千米的A 地匀速前往B 地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B 地停留半个小时后按原速返回A 地，如图是他们与A 地之间的距离y （千米）与经过的时间x （小时）之间的函数图象．（1）a ＝ 2.5 ，并写出它的实际意义 甲从出发到返回A 地所用的时间 ；（2）求甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）已知乙骑电动车的速度为35千米/小时，求乙出发后多少小时与甲相遇？【分析】（1）由甲返回时的速度不变，可得出a ＝甲从A 地到B 地所用时间+甲在B 地停留时间+甲从B 地返回A 地所用时间（甲从A 地到B 地所用时间），即可求出a 值，再找出它的实际意义即可；（2）观察图形，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式（观察图形可直接写成x 的取值范围）；（3）由乙的速度可得出乙从A 地到B 地的过程中y 与x 之间的函数表达式为y ＝35x ，令﹣90x +225＝35x ，解之即可得出结论．【解析】（1）a ＝1+0.5+1＝2.5，它表示甲从出发到返回A 地所用的时间．故答案为：2.5；甲从出发到返回A 地所用的时间．（2）设甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），。
一元一次方程应用题(分段函数)
一元一次方程分段计费应用题出租、水费、电费1、出租汽车4千米起价10元，行驶4千米以后，每千米收费1.2元（不足1千米按1千米计算）。
李红乘坐出租车下车时付给司机16元（不计等候时间）。
问李红乘坐出租车行驶了多少千米？2、问题：某市居民生活基本价格为0.4元，若每月用电度超过a度，超出部分按基价的70%收费。
某户5月份用电84度，共交电费30.27元，求a.3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度，按每度0.52元计算，每月用电超过100度，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.45元计费，小华家第一季度交纳电费情况如下：一月份：77.2元二月份：66.4元三月份：47.84元合计：191.44元问：小华家第一季度共用了多少度电？4、某市按一下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按照每立方米1.2元收费，已知12月份某用户的煤气费平均每立方米0.96元，那么12月份该用户用煤气多少立方米？5、为了鼓励为了鼓励市民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数一下的收费标准相同；规定炖熟以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家1～4月用水量和交费情况：月份 1 2 3 4用水量（t) 8 10 12 15费用（元） 16 20 26 35根据表格中提供的信息，回答以下问题（1）求出规定吨数和两种收费标准；（2）若小明家5月份用水20t，则应缴多少元？（3）若小明家6月份缴水费29元，则6月份用水多少t？工资个人收入缴税问题1、国家规定个人发表文章、出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：①稿费不高于800元的免税；②稿费高于800元，但不高于4000元的，应缴税超过800元的那一部分的14％；③稿费高于4000元的，应缴税全部稿费的11％。
（1）若秦老师获得的稿费为2000元，他应缴税（）元。
专题09 分段函数的综合应用型问题(解析版)
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题09 分段函数的综合应用型问题【真题再现】1．（2019年徐州第27题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．（1）求甲、乙两人的速度；（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；（2）设甲、乙之间距离为d ，由勾股定理可得d 2＝（1200﹣240x ）2+（80x ）2 ＝64000（x −92）2+144000，根据二次函数最值即可得出结论．【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为am /min ，bm /min ，则：y 1={1200−ax ax −1200y 2＝bx由图②知：x ＝3.75或7.5时，y 1＝y 2，∴{1200−3.75a =3.75b7.5a −1200=7.5b ，解得：{a =240b =80∴y 1＝1200﹣240x ，令y 1＝0，则x ＝5 ∴y 1={1200−240x(0≤x ≤5)240x −1200(x ＞5)y 2＝80x答：甲的速度为240m /min ，乙的速度为80m /min ． （2）设甲、乙之间距离为d ， 则d 2＝（1200﹣240x ）2+（80x ）2 ＝64000（x −92）2+144000，∴当x =92时，d 2的最小值为144000，即d 的最小值为120√10； 答：当x =92时，甲、乙两人之间的距离最短．点评：本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．2．（2019年镇江第28题）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为120个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝50；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72．（直接写出结果）【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意列不等式即可得到结论．【解析】【观察】①∵相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为150﹣30＝120个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为12030v ＝4v ，∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v，机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30+1504v=45v，而120v＞45v，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，30+150+150﹣m ＝4（m ﹣30）， ∴m ＝90， 故答案为：90；②∵相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为150﹣40＝110个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为11040v =114v ， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为40+150114v =76011v，机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v，而110v＞76011v，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，40+150+150﹣m =114（m ﹣40）， ∴m ＝120， 故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x xv ，根据题意知，150﹣x ＝2x ， ∴x ＝50， 即：a ＝50， 故答案为：50；②当0＜x ≤50时，点P （50，150）在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为y ＝3x ， 当v ＜150−xxv 时，即当50＜x ＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150−x x v ，根据题意知，x +y =150−xx（150﹣x +150﹣y ）， ∴y ＝﹣3x +300， 即：y ={3x(0＜x ≤50)−3x +300(50＜x ＜75)，补全图形如图2所示， 【拓展】①如图，由题意知，y150×4+(150−y)=x 150−x，∴y ＝5x ， ∵0＜y ≤60， ∴0＜x ≤12； ②如图，∴(150−y)+150y+150×3=x 150−x，∴y ＝﹣5x +300， ∵0≤y ≤60， ∴48≤x ≤60， ③如图，由题意得，300+y 300+(150−y)=x 150−x，∴y ＝5x ﹣300， ∵0≤y ≤60， ∴60≤x ≤72， ∵0＜x ＜75， ∴48≤x ≤72，综上所述，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是0＜x ≤12或48≤x ≤72， 故答案为0＜x ≤12或48≤x ≤72．点评：本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．3．（2019年无锡第25题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．【分析】（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解；（2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点E纵坐标为小丽这个时间段走的路程，即可求解．【解析】（1）由题意可得：小丽速度=362.25=16（km/h）设小明速度为xkm/h由题意得：1×（16+x）＝36∴x ＝20答：小明的速度为20km /h ，小丽的速度为16km /h ．（2）由图象可得：点E 表示小明到了甲地，此时小丽没到， ∴点E 的横坐标=3620=95， 点E 的纵坐标=95×16=1445 ∴点E （95，1445）点评：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型4．（2019年淮安第25题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x 小时，快车行驶的路程为y 1千米，慢车行驶的路程为y 2千米．如图中折线OAEC 表示y 1与x 之间的函数关系，线段OD 表示y 2与x 之间的函数关系． 请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；（3）线段OD 与线段EC 相交于点F ，直接写出点F 的坐标，并解释点F 的实际意义．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E 和点C 的坐标，从而可以求得y 1与x 之间的函数表达式； （3）根据图象可知，点F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F 的坐标，并写出点F 的实际意义．【解析】（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时； （2）由题意可得，点E 的横坐标为：2+1.5＝3.5， 则点E 的坐标为（3.5，180），快车从点E 到点C 用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时）， 则点C 的坐标为（5.5，360），设线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝kx +b ， {3.5k +b =1805.5k +b =360，得{k =90b =−135， 即线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝90x ﹣135（3.5≤x ≤5.5）； （3）设点F 的横坐标为a ， 则60a ＝90a ﹣135， 解得，a ＝4.5， 则60a ＝270，即点F 的坐标为（4.5，270），点F 代表的实际意义是在4.5小时时，快车与慢车行驶的路程相等． 点评：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．5．（2018年南京第25题）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min 回到家中．设小明出发第tmin 时的速度为vm /min ，离家的距离为sm ，v 与t 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．（1）小明出发第2min 时离家的距离为 200 m ； （2）当2＜t ≤5时，求s 与t 之间的函数表达式； （3）画出s 与t 之间的函数图象．【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出小明出发第2min 时离家的距离即可；（2）当2＜t≤5时，离家的距离s＝前面2min走的路程加上后面（t﹣2）min走过的路程列式即可；（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．注意因为小明是往返用了16分钟，往返的路程是一样的，根据往返路程相等，计算出的6.25．【解析】（1）100×2＝200（m）．故小明出发第2min时离家的距离为200m；故答案为：200．（2）当2＜t≤5时，s＝100×2+160（t﹣2）＝160t﹣120．故s与t之间的函数表达式为s＝160t﹣120；（3）s与t之间的函数关系式为{100t(0≤t≤2)160t−120(2＜t≤5)80t+280(5＜t≤6.25)1280−80t(6.25＜t≤16)，如图所示：点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．6．（2018年无锡第25题）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y （元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分；（2）由（1）y≥22000即可．【解析】（1）由题意：当2 000≤x≤2 600时，y＝10x﹣6（2600﹣x）＝16x﹣15600；当2 600＜x≤3 000时，y＝2600×10＝26000（2）由题意得：当2 000≤x≤2 600时，16x﹣15600≥22000解得：x≥2350，当2600＜x≤3 000时，利润为26000也满足条件，∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．点评：本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．【专项突破】【题组一】1．（2020•锦江区校级模拟）2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）由图象知，当10＜x ≤14时，y ＝640；当14＜x ≤30时，设y ＝kx +b ，将（14，640），（30，320）代入得{14k +b =64030k +b =320， 解得{k =−20b =920， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣20x +920；综上所述，y ={640(10＜x ≤14)−20x +920(14＜x ≤30)； （2）当10＜x ≤14时W ＝640×（x ﹣10）＝640x ﹣6400，∵k ＝640＞0，∴W 随着x 的增大而增大，∴当x ＝14时，W ＝4×640＝2560元；当14＜x ≤30时，W ＝（x ﹣10）（﹣20x +920）＝﹣20（x ﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x ≤30，∴当x ＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．2．（2019秋•海州区校级期末）如图（1）所示，在A ，B 两地间有一车站C ，甲汽车从A 地出发经C 站匀速驶往B 地，乙汽车从B 地出发经C 站匀速驶往A 地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C 站的路程y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a ＝ 120 km ，b ＝ 2 h ，AB 两地的距离为 420 km ；（2）求线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x 满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小？【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以求得a 、b 的值以及AB 两地之间的距离；（2）根据（1）中的结果和函数图象中的数据，可以求得线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）根据题意，可以写出甲、乙两车距离车站C 的路程之和和s 之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题．【解析】（1）两车的速度为：300÷5＝60km /h ，a ＝60×（7﹣5）＝120，b ＝7﹣5＝2，AB 两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝kx +b ，{b =3005k +b =0，得{k =−60b =300， 即线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝﹣60x +300；设线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝mx +n ，{5m +n =07m +n =120，得{m =60n =−300， 即线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝60x ﹣300；（3）设DE 对应的函数解析式为y ＝cx +d ，{d =1202c +d =0，得{c =−60d =120， 即DE 对应的函数解析式为y ＝﹣60x +120，设EF 对应的函数解析式为y ＝ex +f ，{2e +f =07e +f =300，得{e =60f =−120， 即EF 对应的函数解析式为y ＝60x ﹣120，设甲、乙两车距离车站C 的路程之和为skm ，当0≤x ≤2时，s ＝（﹣60x +300）+（﹣60x +120）＝﹣120x +420，则当x ＝2时，s 取得最小值，此时s ＝180，当2＜x ≤5时，s ＝（﹣60x +300）+（60x ﹣120）＝180，当5≤x ≤7时，s ＝（60x ﹣300）+（60x ﹣120）＝120x ﹣420，则当x ＝5时，s 取得最小值，此时s ＝180，由上可得，行驶时间x 满足2≤x ≤5时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小．3．（2019秋•铁锋区期末）小明家饮水机中原有水的温度为20°C ，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20C 时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x ≤8时，求水温y （°C ）与开机时间x （分）的函数关系式；（2）求图中t 的值；（3）若小明上午八点将饮水机在通电开机（此时饮水机中原有水的温度为20°C 后即外出散步，预计上午八点半散步回到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低于30°C 的水吗？请说明你的理由．【分析】（1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x ≤8时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式；（2）由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x ≤t 时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式，再将y ＝20代入该函数关系式中求出x 值即可；（3）将x ＝30代入反比例函数关系式中求出y 值，再与30比较后即可得出结论．【解析】（1）当0≤x ≤8时，设水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将（0，20）、（8，100）代入y ＝kx +b 中，{b =208k +b =100， 解得：{k =10b =20， ∴当0≤x ≤8时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝10x +20．（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=mx（m≠0），将（8，100）代入y=mx中，100=m8，解得：m＝800，∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800 x．当y=800x=20时，x＝40，∴图中t的值为40．（3）当x＝30时，y=800x=80030＜30．答：小明上午八点半散步回到家中时，不能喝到饮水机内不低于30°C的水．4．（2019秋•邗江区校级期末）小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为10或30时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．【分析】（1）根据点O和点B的坐标可以求得线段OB对应的函数解析式，再根据妈妈的速度和路程可以求得点F的坐标，从而可以求得线段AF对应的函数表达式；（2）根据点C 的横坐标为45且点C 在线段AF 上，从而可以求得点C 的坐标，再跟点B 和点C 的坐标即可求得线段BC 的函数表达式；（3）根据线段AF 、线段OB 、线段BC 的函数表达式可以求得当x 为多少时，小明与妈妈相距1500米；（4）根据小明的速度可以求得点E 的坐标，从而可以写出线段DF 的函数表达式，再根据线段AF 的函数表达式，即可求得点D 的坐标，进而写出点D 的实际意义．【解析】（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ，30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）；点F 的横坐标为：3000÷50＝60，则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，{b 1=300060k 1+b 1=0，得{k 1=−50b 1=3000， 即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000；（2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750，即点C 的坐标为（45，750），设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，{30k 2+b 2=300045k 2+b 2=750，得{k 2=−150b 2=7500， 即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米．故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48，∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000，∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000，∴{y =−50x +3000y =250x −12000，得{x =50y =500，∴点D的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里．【题组二】5．（2019秋•秦淮区期末）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．（1）A市和B市之间的路程是360km；（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A 地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题．【解析】（1）由图可知，A市和B市之间的路程是360km，故答案为：360；（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，2（x+2x）＝360，解得，x＝602×60＝120，则a ＝120，点M 的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B 市120 km 处相遇；（3）快车速度为120 km /h ，到达B 市的时间为360÷120＝3（h ），方法一：当0≤x ≤3时，y 1＝﹣120x +360，当3＜x ≤6时，y 1＝120x ﹣360，y 2＝60x ，当0≤x ≤3时，y 2﹣y 1＝20，即60x ﹣（﹣120x +360）＝20，解得，x =199，199−2=19， 当3＜x ≤6时，y 2﹣y 1＝20，即60x ﹣（120x ﹣360）＝20，解得，x =173，173−2=113， 所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过19或113h 两车相距20 km ．方法二： 设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h 两车相距20 km ，当0≤t ≤3时，60t +120t ＝20，解得，t =19；当3＜t ≤6时，60（t +2）﹣20＝120（t +2）﹣360，解得，t =113．所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过19或113h 两车相距20 km ．6．（2019秋•黄冈期末）每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y （元/个）与时间第x 天（x 为整数）的数量关系如图所示，日销量p （个）与时间第x 天（x 为整数）的函数关系式为：P ={20x +180(1≤x ≤9)−60x +900(9≤x ≤15)（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；（2）设日销售额为W （元），求W （元）关于x （天）的函数解析式；在这15天中，哪一天销售额W （元）达到最大，最大销售额是多少元；（3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于1800元，文具盒专柜将亏损直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？【分析】（1）是分段函数，利用待定系数法可得y 与x 的函数关系式；（2）是分段函数，根据日销售额为W （元）＝销售单价y （元/个）×日销量p （个），可得W 与x 的函数关系式，并根据增减性确定最大值；（3）根据（2）中分类讨论的解析式，由每天的营业额低于1800元列不等式或等式可解答．【解析】（1）当1≤x ≤5时，设一次函数的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）把A （1，14）和B （5，10）代入得：{k +b =145k +b =10， 解得：{k =−1b =15， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +15（k ≠0）；综上，y 与x （x 为整数）的函数关系式为：y ={−x +15(1≤x ≤5)10(5＜x ≤15)； （2）①当1≤x ≤5时，W ＝py ＝（﹣x +15）（20x +180）＝﹣20x 2+120x +2700＝﹣20（x ﹣3）2+2880， ∵x 是整数，∴当x ＝3时，W 有最大值为：2880，②当5＜x ≤9时，W ＝py ＝10（20x +180）＝200x +1800，∵x 是整数，200＞0，∴当5＜x ≤9时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝9时，W 有最大值为：200×9+1800＝3600，③当9≤x ≤15时，W ＝10（﹣60x +900）＝﹣600x +9000，∵﹣600＜0，∴W随x的增大而减小，∴x＝9时，W有最大值为：﹣600×9+9000＝﹣5400+9000＝3600，综上，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元；（3）①当1≤x≤5时，W＝﹣20（x﹣3）2+2880＝1800，解得：x＝3±3√6，∵7＜3√6＜8，∴10＜3+3√6＜11，∴当1≤x≤5时，每天的营业额高于1800元；②当5＜x≤9时，W＝200x+1800＜1800，x＜0，③当9≤x≤15时，W＝﹣600x+9000＜1800，x＞12，综上，文具盒专柜处于亏损状态是：第13天，第14天，第15天．7．（2019秋•漳州期末）某养猪场对猪舍进行喷药消毒．在消毒的过程中，先经过5min的药物集中喷洒，再封闭猪舍10min，然后再打开窗户进行通风．已知室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数图象如图所示，其中在打开窗户通风前y与x分别满足两个一次函数，在通风后y与x满足反比例函数．（1）求反比例函数的关系式；（2）当猪舍内空气中含药量不低于5mg/m3且持续时间不少于21min，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？【分析】（1）首先设反比例函数关系式为y=kx，再把（15，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式；（2）首先求出0≤x≤5时的函数解析式，再分别计算出y＝5时的x的值，进而可得答案．【解析】（1）设反比例函数关系式为y=k x．∵反比例函数的图象过点（15，8），∴k＝120．∴y=120 x．（2）设正比例函数关系式为y＝kx．把x＝5，y＝10代入上式，得k＝2．∴y＝2x．当y＝5时，x=5 2．把y＝5代入y=120x，得x＝24．∴24−52=21.5＞21．答：此次消毒能有效杀死该病毒．8．（2019秋•溧阳市期末）某快递公司招聘快递员，快递员的月工资由底薪800元加上快递送单补贴（送一个包裹称为一单）构成，快递包裹补贴的具体方案如表：快递包裹数量补贴（元/单）每月不超过1000单3超过1000单但不超过m单的部分（1500≤m≤2000）4超过m单的部分5（1）若某快递员9月份送包裹800单，则他这个月的工资总额为多少元？（2）若某快递员10月份送包裹1200单，则他这个月的工资总额为多少元？（3）设11月份某快递员送包裹x单（x＞1000），那么他的月工资总额是多少？（请你用含有x、m的代数式表示）（4）若某快递员11月份送包裹1800单，所得工资总额为7200元，求m的值．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得某快递员9月份送包裹800单的工资总额为底薪（800）加补贴（800×3）；（2）根据题意和表格中的数据可以求得某快递员10月份送包裹1200单的工资总额为底薪（800）加补贴（1000×3+200×4）；（3）根据题意和表格中的数据可以写出各段x、m的代数式；（4）将x＝1800，月工资总额＝7200代入两个代数式就可解得m的值．【解析】（1）工资总额＝800+800×3＝3200（元）答：他这个月的工资总额为3200元；（2）∵1000＜1200＜1500，∴工资总额＝800+1000×3+（1200﹣1000）×4＝4600（元），答：他这个月的工资总额为4600元；（3）当1000＜x ≤m 时，月工资总额＝800+1000×3+4（x ﹣1000）＝4x ﹣200，当x ＞m 时，月工资总额＝800+1000×3+4（m ﹣1000）+5（x ﹣m ）＝5x ﹣m ﹣200；（4）当m ≥1800时，月工资总额＝800+1000×3+（1800﹣1000）×4＝7000（元），不合题意舍去，当m ＜1800时，则800+1000×3+（m ﹣1000）×4+5（1800﹣m ）＝7200，解得：m ＝1600，答：m 的值为1600．【题组三】9．（2019秋•建邺区期末）一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲到乙匀速前进，甲、乙间的路程为200km ，他们离甲地的路程y （km ）与慢车出发后的时间x （h ）的函数图象如图所示．（1）慢车的速度是 40 km /h ；（2）求慢车出发后多长时间两车第一次相遇？（3）快车到达乙地后，慢车距乙地多远？【分析】（1）直接利用函数图象得出慢车行驶的总时间进而得出答案；（2）直接利用两车行驶的路程相同得出等式求出答案；（3）利用慢车的速度以及结合快车行驶的时间得出答案．【解析】（1）由题意可得，慢车200km 行驶5小时，故慢车的速度是：2005=40km /h ；故答案为：40；（2）由题意可得，快车200km 行驶2小时，故快车的速度是：100km /h ，设慢车出发a 小时候两车第一次相遇，根据题意可得：40a ＝100（a ﹣2），解得：a =103，答：慢车出发103小时候两车第一次相遇；（3）∵快车到达乙地后，慢车已经行使了4小时，故慢车此时距乙地：200﹣4×40＝40（km ）．10．（2019秋•铜山区期末）如图1所示，在A 、B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A ，B 两地相距 600 千米；货车的速度是 40 千米/时；（2）求三小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数表达式；（3）试求客车与货两车何时相距40千米？【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A ，B 两地的距离；根据货车3小时到达C 站，求得货车的速度；（2）根据函数图象中的数据即可得到三小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；（3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．【解析】（1）由函数图象可得，A ，B 两地相距：480+120＝600（km ），货车的速度是：120÷3＝40（km /h ）．故答案为：600；40；（2）y ＝40（x ﹣3）＝40x ﹣120（x ＞3）；（3）分两种情况： ①相遇前：80x +40x ＝600﹣40解之得x =143⋯（8分）②相遇后：80x +40x ＝600+40解之得x =163综上所述：当行驶时间为143小时或163小时，两车相遇40千米．11．（2019秋•镇江期末）甲、乙两人同时从相距90千米的A 地匀速前往B 地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B 地停留半个小时后按原速返回A 地，如图是他们与A 地之间的距离y （千米）与经过的时间x （小时）之间的函数图象．（1）a ＝ 2.5 ，并写出它的实际意义 甲从出发到返回A 地所用的时间 ；（2）求甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）已知乙骑电动车的速度为35千米/小时，求乙出发后多少小时与甲相遇？【分析】（1）由甲返回时的速度不变，可得出a ＝甲从A 地到B 地所用时间+甲在B 地停留时间+甲从B 地返回A 地所用时间（甲从A 地到B 地所用时间），即可求出a 值，再找出它的实际意义即可；（2）观察图形，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式（观察图形可直接写成x 的取值范围）；（3）由乙的速度可得出乙从A 地到B 地的过程中y 与x 之间的函数表达式为y ＝35x ，令﹣90x +225＝35x ，解之即可得出结论．【解析】（1）a ＝1+0.5+1＝2.5，它表示甲从出发到返回A 地所用的时间．故答案为：2.5；甲从出发到返回A 地所用的时间．（2）设甲从B 地返回A 地的过程中y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），。
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（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金 m 元；
（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表 1 的办法 分段处理：
表1
分段方式
处理方法
不超过 150 元（含 150 元）
全部由个人承担
超过 150 元，不超过 10000 元 （不含 150 元，含 10000 元）的部分
（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）
4. 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2 升，他们先同时打开两个放水笼头，后来 因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量 y（升） 与接水时间 x（分）的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题： （1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）问前 15 位同学接水结束共需要几分钟？ （3）小敏说：“今天我们寝室的 8 位同学去锅炉房连续接完水 恰好用了 3 分钟．”你说可能吗？请说明理由．
资助款,准备再从各户筹集一部分资金修建 A 型、B 型沼气池共 20 个.两种型号沼气池每个修建费用、
可供使用的户数、修建用地情况见下表：
沼气池
修建费用（万元/个)
可供使用户数(户/个)
占地面积( m 2 /个)
A型
3
B型
2
20
10
15
8
政府土地部门只批给该村沼气池修建用地 188 m 2 .若修建 A 型沼气池 x 个,修建两种沼气池共需费用
11. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A 、 B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需 资金 1575 万元．改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万元；改造两所 A 类学校和一所 B
类学校共需资金 205 万元．
（1）改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的 A 类学校不超过 5 所，则 B 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县 A 、B 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若
5. 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队 同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度 y（米）与挖掘时间 x（时）之间关系的部分图象．请解答下 列问题： （1）乙队开挖到 30 米时，用了( )小时．开挖 6 小时时，甲队比乙队多挖了( )米； （2）请你求出： ①甲队在 0≤x≤6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； ②乙队在 2≤x≤6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队． （3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖 6 小时后，施工速度增加到 12 米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的 长度为多少米？
（1）请直接写出冲锋舟从 地到 地所用的时间． （2）求水流的速度． （3）冲锋舟将 地群众安全送到 地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与 地的距离 （千米）
和冲锋舟出发后所用时间 （分）之间的函数关系式为 求冲锋舟在距离 地多远处与救生艇第二次相 遇？
，假设群众上下船的时间不计，
2. 甲乙两人同时登西山,甲、乙两人距地面的高 度 y(米)与登山时间 x(分)之间的函数?
40 元，员工每人每月的工资为 2500 元，公司每月需支付其它费用
15 万元．该产品每月销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的
函数关系如图所示．
y（万件）
（1）求月销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式； 4
（2）当销售单价定为 50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利 润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工 2 多少人？
6. 某公司专销产品 A，第一批产品 A 上市 40 天内全部售完．该公司对第一批产品 A 上市后的市场销售 情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关 系；图(4)中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品 A 的市场日销售量 y 与上 市时间 t 的关系式；
（3）若该公司有 80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息 1
贷款？ O
9. 汉江市政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的
40 60 80
x（元）
号召，决定资助部分农村地区修建一批沼气池，使农民用到经济、 第 8 题
环保的沼气能源.红星村共有 360 户村民,村民得到 34 万元的政府
一套 A 型桌椅（一桌两椅）需木料 0.5m 3 ，一套 B 型桌椅（一桌三椅）需木料 0.7 m 3 ，工厂现有库存
木料 302 m 3 ．
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套 A 型桌椅的生产成本为 100 元，运费 2 元；每
套 B 型桌椅的生产成本为 120 元，运费 4 元，求总费用 y（元）与生产 A 型桌椅 x（套）之间的关系式，
（2）该公司职员小陈和大李 2007 年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表 2： 表2
职工 治病花费的医疗费 x （元） 个人实际承担的费用 y （元）
小陈
300
280
大李
500
320
请根据表 2 中的信息，求 m，n 的值，并求出当150 x ≤10000时， y 关于 x 函数解析式；（5 分）
（1）甲登山的速度是每分钟______米，乙在 A 地提速时距地面的高度 b 为______米．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的 3 倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地 面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距 A 地的高 度为多少米？
买了一部手机，如果她的月通话 时间不超过 100 分钟，她选择哪家通迅公司更 合算？如果她的月通话时间超过 100 分钟，又 将如何选择？
8. 为了扶持大学生自主创业，市政府提供了 80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主
研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件
个人承担 n％，剩余部分由公司承担
超过 10000 元（不含 10000 元）的部分
全部由公司承担
设一职工当年治病花费的医疗费为 x 元，他个人实际承担的费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳
的医疗公积金 m 元）为 y 元．
（1）由表 1 可知，当 0≤ x ≤150 时， y x m ；那么，当150 x ≤10000时， y ；（用含 m，n，x 的方式表示）（3 分）
y 万元.⑴求 y 与 x 之间的函数关系式；
⑵试问有几种满足以上要求的修建方案？ ⑶平均每户村民筹集 500 元钱，能否满足所需费用最少的修建方案？ 10. 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨．现计划租用甲、乙两 种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货 车可装枇杷和桃子各 2 吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农王灿应选择哪 种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用 生产成本 运费）
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号 的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由
今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不少于 70 万元，其中地方
财政投入到 A 、 B 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元．请你通过计算求出有几种改
造方案？
12. 某工厂计划为某山区学校生产 A，B 两种型号的学生桌椅 500 套，以解决 1250 名学生的学习问题，
（2）第一批产品 A 上市后，哪一天这家公司市场 日销售利润最大？最大利润是多少万元？
7. 有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收
费标准如图 6 所示；乙公司每月通话收费标准如表 1 所示．（1）观察图 6，甲公司用户月通话时间不超
过 100 分钟时应付话费金额是
元；
甲公司用户通话 100 分钟以
分段函数及方案优化问题
1.武警战士乘一冲锋舟从 地逆流而上，前往 地营救受困群众，途经 地时，由所携带的救生艇将 地受困群众运回 地，冲锋舟继续前进，到 地接到群众后立刻返回 地，途中曾与救生艇相遇．冲 锋舟和救生艇距 地的距离 （千米）和冲锋舟出发后所用时间 （分）之间的函数图象如图所示．假 设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．