第十章 曲线积分与曲面积分

(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算

⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化

定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为

(),

(),x t y t ϕψ=⎧⎨

=⎩

，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2

'2

()()0t t ϕψ+≠，则

(,)[(),(,()L

f x y ds f t t β

α

ϕψαβ=<⎰

⎰

【例1】 求y

L xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t

=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤

的一段弧. 解

（法一）ds adt ==,

故 原式=

22sin sin 3

3

3

3

cos |0a t

a t

a t e adt ae

πππ

π⋅⋅==⎰.

（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故

0y L

xe ds =⎰

【例2】 求()L

x y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边

界. 解

()()()()L

OA

AB

BO

x y ds x y ds x y ds x y ds

+=+++++⎰⎰

⎰

⎰110

1xdx ydy =++=⎰⎰

⎰【例3

】求

⎰

,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>

解 L 的极坐标方程为

cos (),2

2

r a ds ad π

π

θθθθ=-

≤≤

==

则

222

cos 2a ad a π

πθθ-

=⋅=⎰

⎰

【例4】求

22()L

x y ds +⎰

，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+

(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥

解 ds atdt =，于是

22222220

()[(cos sin )(sin cos )]L

x y ds a t t t a t t t atdt π

+=++-⎰

⎰

232320

(1)2(12)a t t dt a π

ππ=+=+⎰

第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为

(),

(),

x t y t ϕψ=⎧⎨

=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2

'2

()()0t t ϕψ+≠，则

''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}L

P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β

α

ϕψϕϕψψ+=+⎰

⎰

【例1】 求

2L y

dx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.

解 由ln y x =得1,y

dx dy x e x

==，故

原式=

1

1

2100

2()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰

⎰

【例2】求

ABC dx dy x y ++⎰，

其中ABC 如图10.2所示

解（法一）:,:10,,

1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dx

y x =⎧→=-⎨=-⎩

=⎧→-=⎨=+⎩

原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dy dx dx dx dx x y x y x x x x

-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰ 解（法二） 因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故 原式=(1,0)

(1,0)

()2x y -+=-

【例3】 求

2222()()C

x y dx x y dy ++-⎰

，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤

解 当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，则dy dx =； 当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，则dy dx =-；

1

2

2222

2

22220

1

4()()2[(2)(2)]3

C

x y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=

⎰

⎰⎰ B(0,1)

B(0,1) A(1,0)

C(-1,0)

x

y

图10.2