第4章 离散傅里叶变换的计算
离散傅里叶变换的矩阵表示及其运算量
N/2点DFT。这样，一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT。
将分解继续下去，直到分解为2点的DFT为止。当N=8时，
基2频率抽选的FFT算法的整个信号流图如图4.6所示。
将图4.6与图4.4比较，可知频率抽选法的计算量与时间抽选 法相同，而且都能够同址计算。时间抽选法是输入序列按奇 偶分组，故x(n)的顺序要按倒序重排，而输出序列按前后分 半，故X(k) 的顺序不需要重排；频率抽选法则是输出序列按 奇偶分组，故X(k) 的顺序要按倒序重排，而输入序列按前后 分半，故x(n) 不需要重排。
图 4.2 N/2 点的DFT 分解为两个N/4点的DFT (N=8)
综上所述，可以得到：
X (k) G(k) WN k P(k)
X
(k
N 2
)
G(k)
WN k P(k)
k 0,1,, N 1 2
其中G(k)、P(k) 分别是x(n)的偶数点和奇数点的N/2点DFT。
这样，我们就将一个N点的DFT分解成了两个N/2点的DFT， 由于DFT的运算量与其点数的平方成正比，因此使运算量减 少了。但是，还应该将每一个N/2点的DFT再分解为两个N/4 点的DFT，如此下去，直到分解为2点的DFT为止，总共需 要进行log2N-1=log2(N/2)次分解。
4.2.2 算法特点 1. 倒序重排 这种FFT算法的每次分解都是将输入序列按照奇偶分为两组，
故要不断地将每组输入数据按奇偶重排，直到最后分解为2 点的DFT，输入数据才不再改变顺序。这样做的结果，使得 作FFT运算时，输入序列的次序要按其序号的倒序进行重新 排列。
现在将图4.4中输入序号以及重排后的序号按二进制写出如 下（注：下标“2”表示二进制数）。可以看出，将输入序 号的二进制表示（n2n1n0）位置颠倒，得到（n0n1n2），就 是相应的倒序的二进制序号。因此，输入序列按倒序重排， 实际上就是将序号为（n2n1n0）的元素与序号为（n0n1n2） 的元素的位置相互交换。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
第4章离散傅里叶变换
分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步 求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果 乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列 取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先 行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。
谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在 傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到 一两个峰，其余皆不清楚。
由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示 效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号 为D(u,v),
D(u,v) log(1 | F(u,v) | )
2
2
1 j 2
2023/12/30
12
4.1.2 离散傅里叶变换
2.二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此， 数字图像处理主要是二维数据处理。
如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二 维傅里叶变换可用下面二式表示。
M 1 N1
j 2 ( ux vy )
1
1 j 2
j 1 j 1 1 j
2
2
j
1
j
2
W 0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W
7
1
j
1
j
1 j 1
j
W 0
W
W
0
W 0
W2 W3 W4
W4 W6 W0
W6 W1 W4
W0 W4 W0
W2 W7 W4
W4 W2 W0
W6
W W
5 4
1
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
电子教案《数字信号处理》(陈树新) 第4章 离散傅里叶变换
N 1
xn x2mx1n mN RN n x2n x1n x1n x2n m0
计算循环卷积过程也分为以下几步：
x1n, x1m
1
x2 n, x2 m
1
x2 m8 R8m x2 8 m8 R8m
1
0 1 2 3 4 5 6 7 n,m (a)
x2 1 m8 R8 m
1
0 1 2 3 4 5 67 m (d)
X k WNkn
X k X~k RN k
2020/7/1
7
4.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换除了具有线性和周期性这两种基 本特性以外，根据离散傅里叶变换的特点，它还具有 以下特性和定理。
4.2.1 循环移位性质
1、序列的循环移位
设x(n)为有限长序列，其长度为N，则序列x(n) 的循环移位可以定义为
基于上述分析，DFT的变换区间长度N不相同， 表示对X(ejω)在区间[0，2π]上采样间隔和点数不同， 所以DFT得到的变换结果就不同。
X e j
X k N=8
X k N = 16
0 2 (a)
2020/7/1
...
2
0
2
4
6
(b)
...
k
0 4 8 12 16 k
(c)
4
4.1.3 DFT的线性和周期性
的N点离散傅里叶变换（DFT）为
N 1
X k DFT xn xnWNkn , 0 k N 1 n0
与上式相对应，X(k)的离散傅里叶逆变换为
xn
IDFT X k
1 N
N 1
X k WNkn ,
k 0
0 n N 1
式中WN
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
第四章-傅里叶变换
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
离散傅里叶变化如何计算幅值与相位
离散傅里叶变化如何计算幅值与相位下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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《离散傅里叶变换》课件
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
先设序列点数为N=2M，M为整数。如果不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值点，使之达到这一要求。 这种N为2的整数幂的FFT称基-2 FFT。
(一)N/2点DFT
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(3)对X1(k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为
X(0)~X(3),后半部分为 X(4) ~ X(7) 整个过程如图4.2.2 所示:
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
WNk
X2(k)
X(N 2
k)
X1(k) WNk
X 2 (k )
(后一半)
计算X(k)包含N/2个蝶形运算和两个N/2点DFT运算
计算工作量分析
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(1)1个N/2点的DFT运算量:
复乘次数: ( N )2 N 2 复加次数: N ( N 1)
24
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:
例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT, 具体步骤如下:
(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分:
x3(l) x1(r) x(n) x3(0) x1(0) x(0) x3(1) x1(2) x(4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施
离散傅里叶变换
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
离散傅里叶变换及快速算法
序列分解为N个谐波相关的复指数之和。将
j 2N nk
X (k ) x(n)e
, k 0,1,2,
（5-3）
称之为离散傅里叶级数DFS的k次谐波系数。是一个基波周 期为N的周期序列。
X (k ) X ( k N )
§5．离散傅里叶变换及快速算法
在DFS变换中引入复数
k
X ( jk0 )e jk0t
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号
非周期的
离散的
3.离散时间、连续频率的傅立叶变换 – DTFT（离散时间傅立叶 变换） X e 或 X (e ) x(nT) T
j jT
---T 0 T 2T
正 : X (e
WN e
j 2N
将DFS正反变换描述为
nk 正 : X (k ) DFSx (n) X (k ) x (n)WN n 0
N 1
1 N 1 反 : x (n) IDFS X (k ) x (n) X (k )WN nk N k 0
（5-5）
WN
的性质: 1 N 1 ( nm) k 1 n m lN 正交性: WN 0 n m lN N k 0
周期性:
W
k mN N
W
k N
l , m, N / 2, k / 2均为整数
共轭对称性（偶序列）: 可约性：
k N (WN )* WN k
k mk k 2 WN WmN WN // 2
§5．离散傅里叶变换及快速算法
2.离散傅里叶变换（DFT）
但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存 在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频 谱），不便于数字运算和储存。 参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法解决以上问题。可以把有限 长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主值周期，即对有限长非 周期序列进行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即 采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频 率上的频谱分量以表示出这个“主值周期”的频谱信息。 由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时 又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带 有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所 以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样， 此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。
《数字信号处理》 第4章
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
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29
作业
• 109.tif
▫ 4-3
30
• 重叠相加法
26
第十一节 利用FFT计算相关
• 用FFT计算循环相关
• 已知：
27
第十一节 利用FFT计算相关
• 用循环相关计算线性相关
28
第十二节 FFT应用
• FFT是数字信号处理计算的核心 • FFT以卷积运算、相关运算、系统函数等为具体处理依据 • 常见应用 1、计算系统函数
2、测量相关函数
现代数字信号处理
第四章 离散傅里叶变换的计算
福州大学物理与信息工程学院 魏宏安、赵宜升 2017年9月
本章知识点
• • • • • • • • 提高DFT运算速度的主要方法 时间抽选奇偶分解FFT算法 时间抽选法的一般规则 频率抽选奇偶分解FFT算法 频率抽选法的一般规则 快速傅里叶逆变换（IFFT） 利用FFT计算线性卷积 利用FFT计算相关
2
快速傅里叶变换
• 计算离散傅里叶变化的快速算法（简称FFT）使DFT运算 大大简化，运算时间可以缩短一、二个数量级 • 时间抽选奇偶分解FFT算法 • 频率抽选奇偶分解FFT算法
3
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
4
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
（1）降维法 把长为N的DFT，逐次分解成长度较短的DFT来计算
18
例子（续）
19
例子2
• 设有限长序列N=8，将其用频率抽选法展开
20
第六节 频率FFT）
• 比较
22
第九节 快速傅里叶逆变换（IFFT）
•
•
23
例子
• 设有限长序列N=4，
24
第十节 利用FFT计算线性卷积
•
25
第十节 利用FFT计算线性卷积
例子2（续）
12
例子3
• 设有限长序列N=8，将其用时间抽选法展开
13
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
• 算法复杂度
14
第三节 时间抽选法的一般规则
15
第五节 频率抽选奇偶分解FFT算法
• DFT：
16
第五节 频率抽选奇偶分解FFT算法
•
17
例子
• 设有限长序列N=4，将其用频率抽选法展开
5
第一节 提高DFT运算速度的主要方法
（2）利用共轭对称性
6
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
• DFT：
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第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
•
8
第二节 时间抽选奇偶分解FFT算法
•
9
例子
• 设有限长序列N=2，将其用时间抽选法展开
10
例子2
• 设有限长序列N=4，将其用时间抽选法展开
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