数学必修4导学案
【B版】人教课标版高中数学必修四《弧度制和弧度制与角度制的换算》导学案-新版
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
人教B版高一数学(必修4)导学案：1.1.2弧度制和弧度制和角度制的换算(无答案)
2.集合 等于（）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB. C. D.
3.已知扇形AOB的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为（）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
4. 弧度化为角度是，是第象限的角。
B组：
1. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积。
教学反思
落实是成功的保证！
2. 转化为弧度数为（）
A. B. C. D.
3.圆的半径是 ，则 的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是（）
A. B. C. D.
4. 7弧度的角是第象限的角，与7弧度的角的终边相同的最小正角为。
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
课后巩固作业
A组：
1.在面积不等的圆内，1弧度的圆心角所对的（）
A.弧长相等B.弦长相等
引申（1）把 化成弧度，（2）把 化成度。
探究二把下列各角化成0到 的角加上 的形式，并指出它们是哪个现象的角： 。
引申把下列各角的度数化成弧度数，并写成0到 的角加上 的形式
（1） ；（2） ；（3） 。
认真听讲是学习高效的捷径！
探究三 （1）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知一扇形的圆心角是 ，半径等于 ，求扇形的面积；
2.长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作。
3.弧度制与角度制的换算
，
4.特殊角的度数与弧度制的对应关系
度
弧度
5. 分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数。
（1）弧度数公式： ，
（2）弧长公式： ，
（3）扇形面积公式：
教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！
新人教A版必修4高中数学2.5.1平面几何中的向量方法导学案
1高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法导学案新人教A 版必修4 学习目标1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材P109—P111）复习：（1）若O 为ABC 重心,则OA +OB +OC =（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC = 12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?（3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？二、新课导学 ※ 探索新知问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，AC AB AD=-，你能发现平行四边形对角线=+，DB AB AD的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：23结论：问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？⑴⑵⑶※ 典型例题1、在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，判断ABC ∆的形状.42、设ABCD 是四边形，若AC BD ⊥，证明：2222AB CD BC DA +=+三、小结反思1、在梯形ABCD 中，CD // AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝12（AB ＋CD ）.求证：EF// AB// CD.2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
课后作业1. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两5点，且|AB|＝23，则OA→·OB→＝________.2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)，B(2,3)，C(－2,－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．6。
老头数学苏教版必修4导学案3.3几个三角恒等式
(1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[]sin (α＋β)－sin (α－β)； cos αcos β＝12[]cos (α＋β)＋cos (α－β)； sin αsin β＝－12[]cos (α＋β)－cos (α－β). (2)和差化积公式：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2. 预习交流1和差化积公式的适用条件是什么？提示：只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式．若要求系数相同的异名函数的和与差，则要先用诱导公式化成同名三角函数，再运用公式．2．万能公式及半角公式(1)万能代换公式：sin α＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2，tan α＝2tan α21－tan 2α2. (2)半角公式：sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α. 预习交流2 万能代换公式有何优点？提示：万能代换公式是将三种三角函数统一用tan α2(即半角的正切)表示，做到了形式上的统一．因为该公式可以用tan α2的有理式统一表示角α的任何三角函数值，所以称为“万能”公式．一、三角函数式的求值求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.思路分析：首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差．解：原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎡⎦⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316. 1．已知α－β＝π3且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)＝__________. 答案：79 解析：由cos α－cos β＝13，得－2sin α＋β2sin α－β2＝13，－2sin α＋β2sin π6＝－sin α＋β2＝13，∴sin α＋β2＝－13. ∴cos(α＋β)＝1－2sin 2α＋β2＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132＝79. 2．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则sin(α＋β)＝__________. 答案：1213 解析：由sin α＋sin β＝12，得2sin α＋β2cos α－β2＝12. 由cos α＋cos β＝13，得2cos α＋β2cos α－β2＝13. 两式相除，得tan α＋β2＝32. 根据万能公式得sin(α＋β)＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋⎝⎛⎭⎫322＝1213. 1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．2．由已知三角函数值，求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．二、三角函数式的化简 化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 思路分析：本题主要考查半角公式及其变形的应用，从变角入手，将异角化为同角．对根式形式的化简，以化去根号为目标，化简时注意角的范围．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2， ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0，∴原式＝－cos θ. 1．化简：12sin 170°－2sin 70°. 解：原式＝12sin (180°－10°)－2sin 70°＝12sin 10°－2sin 70° ＝1－4sin 70°sin 10°2sin 10°＝1＋2(cos 80°－cos 60°)2sin 10°＝1＋2cos 80°－12sin 10°＝2sin 10°2sin 10°＝1． 2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 解：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α－1cos 2α＝1．1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．三、三角恒等式的证明如果tan α＝m ，求证：sin 2α＋cos 2α＝1＋2m －m 21＋m 2. 思路分析：可考虑利用万能公式将需证明的等式左边转化为含tan α的形式，再利用条件代入进行证明．证明：∵tan α＝m ，∴sin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝2m 1＋m 2＋1－m 21＋m 2＝1＋2m －m 21＋m 2＝右式．等式得证． 1．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos B cos A，则△ABC 的形状是__________． 答案：等腰三角形或直角三角形解析：∵sin A sin B ＝cos B cos A， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒sin 2A －sin 2B ＝2cos(A ＋B )sin(A －B )＝0. 若cos(A ＋B )＝0，则cos(π－C )＝－cos C ＝0.∵0＜C ＜π，∴C ＝π2； 若sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .∴△ABC 是直角三角形或等腰三角形．2．求证：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12. 证明：设t ＝tan α2，则 左边＝2t 1＋t 2＋11＋2t 1＋t 2＋1－t 21＋t 2＝2t ＋1＋t 22＋2t ＝(1＋t )22(1＋t )＝12(t ＋1)＝右边， ∴等式成立．证明三角恒等式的实质：(1)消除等式两边的差异，有目的地化繁为简；(2)化简方向：从左到右、从右到左、左右归一或变更论证等；(3)具体方法：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法及公式法等．1．已知sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为__________．答案：1解析：因为|sin α|≤1，|sin β|≤1，所以|sin αsin β|≤1． 从而⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，sin β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，sin β＝－1. 于是cos(α－β)＝1．2．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是__________．答案：⎣⎡⎦⎤12，32解析：cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B 2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，最小值为12，最大值为32. 3．(1)sin 105°＋sin 15°＝__________；(2)sin 37.5°cos 7.5°＝__________.答案：(1)62 (2)2＋14解析：(1)sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. (2)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14. 4．如果tan α2＝13，那么cos α的值是__________． 答案：45解析：∵tan α2＝13， ∴cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝45. 5．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α. (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 证明：(1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β] ＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)] ＝cos 2β－cos 2α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sin α－β2cos α－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边， ∴原式成立．。
广东省阳江中学高中数学必修4导学案 平面向量基本定理
2.3.1 平面向量基本定理及其正交分解 【课前导学】阅读教材第93-95页，找出疑惑之处，完成知识归纳 1、向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .2、平面向量的基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。
要否加上一句：只有不共线．．．的向量才可以做基底（这样学生做预习自测1时就有方向了） 3、两向量的夹角与垂直： 我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当时，表示a 与b 垂直。
记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
【预习自测】1、设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ） ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB 。
A.①②B.③④C.①③D.①④2、在ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，试用a ，b （是否该用带箭头的向量表示？）表示AB ，BC ．则AB = ，BC = 。
（此题好象有问题？是表示AC 、BD 吧）3、已知向量12e e 与不共线，若向量122e e -与12e e λ+共线，则λ= （学生会不会做？）4、已知向量12e e 与不共线，求作向量122.5e e -.1e 2e【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一: 如图 ABCD 两条对角线交于点M ，且AB a =，AD b =，用a ，b 表示MA ，MB ，A 和变式：如图ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AM a =，AN b =，试用a ，b 表示,AB AD 。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《任意角》(含答案解析)学生版
1.下列说法正确的是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于 90°的角都是锐角
2.与－457°角终边相同的角的集合是(
A.{α|α=k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°＋263°，k∈Z}
命题角度 2 求终边在给定直线上的角的集合 例 4：写出终边在直线 y=－ 3x 上的角的集合.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分 x≥0 和 x<0 两 种情况讨论，最后再进行合并.
3 跟踪训练 4 写出终边在直线 y= x 上的角的集合.
3
类型四 区域角的表示 例 5：如图所示.
课时作业
一、选择题
1.把－1 485°化成 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A.315°－5×360° B.45°－4×360° C.－315°－4×360° D.－45°－10×180°
2.若α是第四象限角，则 180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.{α|α=k·360°－263°，k∈Z}
3.2 017°是第
象限角.
4.与－1 692°终边相同的最大负角是
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合 S.
) .
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理 解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意：(1)α为任意角； (2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为 k·360°＋(－α)； (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍； (4)k∈Z 这一条件不能少.
新人教A版必修4高中数学2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案
高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.教学重点会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.教学难点三角形不等式学习过程一、课前准备（预习教材P85—P87）复习：求作两个向量和的方法有法则和法则.二、新课导学※探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作a .零向量的相反向量仍是 .问题2：任一向量a与其相反向量a-的和是什么？如果a、b是互为相反的向量，那么a=，b=，a b+= .1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即，a b是互为相反的向量，那么a=，b=_________，a b=____________。
+问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b+-的作图方法.※典型例题例1、阅读并讨论P86例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A. AB→＝DC→ B. AD→＋AB→＝AC→C. AB→－AD→＝BD→D. AD→＋CB→＝0例2、在△ABC中，O是重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA-+；⑵OE OA EA-+.变式：化简AB FE DC++.三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差；3、两向量a与b的差ba-起点，终点和指向。
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、化简下列各式：①AB AC DB--；②AB BC AD DB+--.2、在平行四边形ABCD中，BC CD AD+-等于（）A．BA B．BD C．AC D．AB3、下列各式中结果为O的有（）①++AB BC CA②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD④+-+MN NQ MP QPA．①② B．①③C．①③④ D．①②③4、下列四式中可以化简为AB的是（）①+AC CBAC CB②-③+OA OB④-OB OAA．①④ B．①② C．②③ D．③④5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA a OB b OC c则EF=（）,,===A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c课后作业1、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。
高中数学《从力做功到向量的数量积》导学案 北师大版必修4
第6课时从力做功到向量的数量积1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上,如图所示,当小车前进了s 时,你能算出天鹅对小车所做的功吗?问题1:(其中θ=<a,b>,称为向量a、b的夹角)叫作向量a、b的数量积(或),记作a·b,即.把|a|cos θ叫作向量a在b方向上的.如图,=a,=b,过点A作AA1垂直于直线OB,垂足为A1,则OA1=|a|cos θ.投影是一个数量,不是向量;当θ为锐角时,它是值;当θ为钝角时,它是;当θ=90°时,它是;当θ=0°时,它是;当θ=180°时,它是.问题2:向量与物理学中一些矢量的关系向量是既有又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点(即与作用点);力也是既有又有的量,且作用于作用点(即力与作用点).用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.物理学中,速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的也用到向量的;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体的乘积,它的实质是.(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即,功是一个,它可以是、负数或0.(2)在解决问题时要注意数形结合.问题3:向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ,则(1)a·b= (交换律);(2)(λa)·b= = (对实数的结合律);(3)(a+b)·c= (分配律).问题4:向量数量积的性质:(1)如果e是单位向量,则a·e=e·a= ;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔;(3)a·a= 或|a|= ;(4)cos<a,b>= ;(5)|a·b|≤|a||b|.1.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为().A.6B.-6C.3D.-32.已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为().A.-2B.-1C.1D.23.已知向量a、b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是.4.设x、y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|.向量数量积的概念已知a、b、c是非零向量,有下列三个说法:(1)若|b|=|c|,则|a·b|=|a·c|;(2)(a·b)|c|=|a|(b·c);(3)若|a·b|=|a||b|,则a∥b.其中正确的个数为().A.0B.1C.2D.3向量的夹角与模的运算已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为120°,求:(1)(a-b)2;(2)|a+b|.向量数量积在物理学中的运用一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为.已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=.求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(3a+b).一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.1.某人骑自行车的静风速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为().A.|v1-v2|B.|v1+v2|C.|v1|+|v2|D.2.用力F推动一物体水平运动,运动的位移为s,设F与水平面角为θ,则对物体所做的功为().A.|F|·sB.F cos θ·sC.F sin θ·sD.|F||s|cos θ3.作用于原点的两个力F1(1,1),F2(2,3),为使它们平衡,需要加力F3= .4.一个物体在力F的作用下产生的位移是s,F与s的夹角是α.(1)用、、α表示力F所做的功W;(2)用F、s表示W;(3)当α逐渐增大时,F·s的大小怎样变化,为什么?(2013年·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= .考题变式(我来改编):答案第6课时从力做功到向量的数量积知识体系梳理问题1:|a||b|cos θ内积a·b=|a||b|cos θ投影正负值0|a| -|a|问题2:大小无关大小方向同一有关叠加合成位移向量的数量积(1)W=|F||s|·cos<F,s> 实数正数问题3:(1)b·a a·(λb)λ(a·b)a·c+b·c问题4:(1)|a|cos<a,e> (3)|a|2(4)基础学习交流1.A∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,解得k=6.2.B=(2,3),∵⊥a,∴2(2k-1)+3×2=0,∴k=-1.3.由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2.设a与b的夹角为θ,则cosθ==,∴θ=.4.解:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)-2y=0,∴y=-2,∴a=(2,1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1),∴|a+b|=.重点难点探究探究一:【解析】根据数量积的定义知,当a与b,a与c的夹角不同时,|a·b|≠|a·c|,∴(1)不正确;同理,(2)不正确;而|a·b|=|a||b|且a、b为非零向量,∴a∥b,即(3)正确.故选B.【答案】B【小结】(1)两向量的数量积是两个向量之间的乘法,它是一个实数,不是一个向量,其值可以为正,也可以为负,还可以为0.(2)切记两个向量的数量积及一个向量在另一个向量方向上的投影都是实数.探究二:【解析】a·b=|a||b|cos 120°=3×4×(-)=-6.(1)(a-b)2=a2-2a·b+b2=32-2×(-6)+42=37.(2)|a+b|====.【小结】(1)向量的数量积是两个向量之间的运算,求向量的模要合理运用|a|=.(2)向量数量积的运算律类似于代数中的两个多项式的乘积,进行运算时合并“同类项”,要注意a2仅仅是一种记号,并不表示平方,即a2=a·a=|a|2,同理b2=|b|2.探究三:【解析】如图所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=150°,||=||=5 km/h,因为⊥,所以||=||·cos 30°=5×≈4.33 km/h;||=||·sin 30°=5×=2.5 km/h.[问题]此题解答正确吗?[结论]不正确.=+.于是,正确解答如下:如图所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.因为OACB为矩形,所以||=||·=||·=5≈8.66km/h,||===10 km/h.答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.【小结】1.利用向量解决物理问题的步骤:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.向量在物理应用中的基本题型:①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加与减;③动量m·v是数乘向量,冲量Δt·F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.思维拓展应用应用一:cos θ===-,∵0≤θ≤π,∴θ=.应用二:(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=32+2a·b+42=25+2a·b=21,∴a·b=-2.(2)(2a-b)·(3a+b)=6a2-a·b-b2=6×32-(-2)-42=40.应用三:依据物理知识,有三对相对速度,汽车对地的速度为v车地,风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地.风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即v风地=v风车+v车地.如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,表示向量v风地的有向线段是▱ACDB的对角线.∵=4 m/s,∠ACD=30°,=2 m/s,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,=·cos 30°=2(m/s).即风向的实际方向是正南方向,汽车速度的大小为2 m/s.基础智能检测1.B根据题意知v1、v2方向相反,且|v1|>|v2|,逆风行驶的速度为v=v1+v2,故选B.2.D由功的定义知W=|F||s|·cos<F,s>=|F||s|cos θ,故选D.3.(-3,-4)由题意知F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2)=-[(1,1)+(2,3)]=-(3,4)=(-3,-4).4.解:(1)W=cos α;(2)W=F·s;(3)F·s=·cos α,因为余弦函数在[0,π]上是减函数,所以当α逐渐增大时,F·s逐渐减少.全新视角拓展2根据向量的运算法则,b·c=b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)|b|2=0,从而得到,t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=t+1-t=0,解得t=2.思维导图构建|a|cos θ(a·b)(λb)a·c b·c。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《任意角三角函数一》(含答案解析)学生版
思考 1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考 2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变？
思考 3 在思考 1 中，当取|OP|=1 时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域 思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理 三角函数的定义域
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点 P(x，-1)(x≠0)，且 tan θ=-x，则 sin θ＋cos θ=
.
1
1
15.已知
=-
，且 lg(cos α)有意义.
|sin α| sin α
(1)试判断角α所在的象限；
3 ，m
(2)若角α的终边与单位圆相交于点 M 5 ，求 m 的值及 sin α的值.
C.第三象限角
D.第四象限角
2π
2π
sin ，cos
4.已知角α的终边上一点的坐标为
3
3 ，则角α的最小正值为( )
5π A.
6
2π B.
3
4π C.
3
11π D.
6
3 5.已知角α的终边经过点 P(3，4t)，且 sin(2kπ＋α)=- (k∈Z)，则 t 等于( )
5
9 A.-
江西省赣州厚德外国语学校北师大版高中数学必修4导学
必修4第一章三角函数
第9课时正弦函数定义
【考点要求】了解正弦函数的定义
【教学目标】了解正弦函数的定义
1、通读教材P25-P26页内容，对概念、关键词等进行梳理，做好必要的标注和笔记。
2、看洋葱视频，完成金版新学案《自主学习 新知突破》知识点及自主练习部分。
3.知识梳理
(1)正弦函数概念
形如 的函数称为正弦函数．
例1.判断下列函数是否是正弦函数：
（1）)32
1sin(+=x y （2）x y sin -= ]2,0[π∈x （3）)23sin(π
-=x y （4）)2cos(x y -=π
例2．函数()πcos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．是非奇非偶函数
例3．若sin 21x m =+且x ∈R ，则m 的取值范围是________．
例2．令)18sin(π
-=a ，)10sin(π
-=b ，则b a ,的大小关系是_________.
基础知识过关 重难点过关。
人教版--高一数学必修4全套导学案
第二章平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF 共线的向量； （2）确定与EF 相等的向量； （3）OA 与BC 相等吗？【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上； （2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等； （4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当ABCD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3. 四边形ABCD 中，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
数学北师大版必修4导学案：1.7.3 正切函数的诱导公式 精品
7.3 正切函数的诱导公式问题导学1．利用诱导公式求值活动与探究1(1)计算：①tan 945°；②tan ⎝⎛⎭⎫－23π6． (2)若sin(75°－α)＝m ，则cos(15°＋α)的值是__________．迁移与应用已知tan ⎝⎛⎭⎫－α－4π3＝－5，求tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α的值．应用诱导公式求值的方法 (1)利用“负角化正角，大角化小角”的原则，转化为0～π2之间的角，再根据特殊角的三角函数值求解．(2)整体把握角与角之间的相互关系，把未知角转化为已知角进行求解．2．利用诱导公式化简活动与探究2化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·cos (3π－α)·tan (π－α)cos (－α－π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－π2．迁移与应用已知α是第三象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cot (－α－π)·sin (－α－π)． (1)化简f (α)；(2)若sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)； (3)若α＝－1 860°，求f (α)．(1)当三角式中出现形如k π2±α(k ∈Z )的角时，就应想到利用适当的诱导公式进行化简，同时要明确转化方向：负角化正角，大角化小角，异名化同名，复杂化简单．(2)在利用诱导公式处理问题时，注意关键的两点：一定名称，二定符号．3．利用诱导公式证明三角恒等式活动与探究3求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α．迁移与应用已知sin(α＋β)＝0，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0．(1)三角恒等式的证明方式有多种，如“由繁到简”“左、右归一”“证等价式”等，要根据实际而选择，本例中显然适于“由繁到简”，化简左式推出右式．(2)证明过程的本质即为左式的化简，其关键是根据角的特征，准确地选用适当的诱导公式化“多角”为“一角”，从而成为同角三角函数表达式，问题得以解决． 当堂检测1．tan480°的值为( )．A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－332．tan 3π4的值等于( )． A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 3．已知570°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )．A ．3 3B ．－3 3C ． 3D ．－ 34．化简tan (2π－α)tan (3π＋α)tan (－π＋α)tan (3π－α)tan (－α－π)＝__________． 5．求三角函数式sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)tan α (2)－tan α(3)－tan α (4)－tan α (5)tan α2．(1)－cot α (2)cot α 预习交流1 提示：正切函数诱导公式中的角α是任意角，并不一定是锐角．形如k ·π2±α的角，正弦、余弦、正切函数的诱导公式可归纳为“奇变偶不变，符号看象限”，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．预习交流2 (1)－33(2)－ 3课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (1)解：①tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. ②tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝－tan 23π6＝－⎣⎡⎦⎤tan ⎝⎛⎭⎫4π－π6 ＝tan π6＝33. (2)m 解析：由15°＋α＋75°－α＝90°，可知cos(15°＋α)＝sin[90°－(15°＋α)]＝sin(75°－α)＝m .迁移与应用 5活动与探究2 解：原式＝ sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α·cos (π－α)·(－tan α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·(－cos α)·(－tan α)－cos α·sin α＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 迁移与应用 (1)－cos α(2)－15 (3)－12活动与探究3 证明：左边＝tan (－α)sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝(－tan α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边．∴被证式得证．迁移与应用 略【当堂检测】1．B 2．A 3．B 4．－1tan α5．2。
2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)
1．1.1 任意角[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛] 对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．( )(2)钝角是第二象限的角．( )(3)终边相同的角一定相等．( )2．与45°角终边相同的角是( )A．－45° B．225° C．395° D．－315°3．下列说法正确的是( )A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．任意角的概念[典例]A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．终边相同角的表示[典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．象限角的判断[典例]作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角αn，nα(n∈N *)所在象限的确定 [典例] 已知α是第二象限角，求角2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．下面各组角中，终边相同的是( )A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M＝N5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．参考答案[小试身手]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．答案：D 3．答案：A4．答案：－25° 395°[典例][解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误． [答案] C [活学活用]解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° [典例][解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k<21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角． [活学活用]解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k·180°，k ∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k ∈Z}. [典例][解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [活学活用]解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例][解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n(n ∈Z)，得n·360°＋45°<α2<n·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n·360°＋225°<α2<n·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一 学业水平达标1．解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．4．解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 5．解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③7．解析：5α＝α＋k·360°，k ∈Z ，∴α＝k·90°，k ∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144° 9．解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
高中数学人教A版必修4导学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的图象
1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象①〖学习目标〗掌握“五点法”画正、余弦函数图象；理解正弦函数与余弦函数图像关系，并能利用正、余弦函数图象解决一些简单问题。
②〖重点难点〗五点作图法；正、余弦函数图像应用。
③〖使用说明及学法指导〗（1）结合教材及导学资料做好学案；（2）通过合作探究，进一步体会数形结合思想；（3）动手动脑，以认真的态度，体验学习的成功。
一、自主学习导学资料：画出sin y x =的图象 列表：x0 2π π 32π 2π y11-描点连线（如图1）因为角的终边函数值相等，所以其函数图象有“周而复始”的特点，故将图（1）延拓为x R ∈上的图像：（图2）1、 画出cos y x =的图象2、在函数sin y x =，[]02x π∈，的图象上，起关键作用的点有以下五个： 在函数cos y x =，[]02x π∈，的图象上，起关键作用的点有以下五个：3、 由于sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故余弦函数cos y x =的图象可以通过将正弦函数sin y x =的图象向平移 个单位长度得到。
一、 合作探究展示例1 用“五点法”画出下列函数图象。
（1）[]1sin 022y x x π=+∈， （2）[]2sin 02y x x π=-∈，方法规律总结：例2 根据正、余弦函数图象，写出使不等式成立的x 的集合。
（1）sin 2x ≥（32cos 0x ≥方法规律总结：二、 能力拓展 例3 函数sin 10xy x =-的零点个数为方法规律总结：三、 跟踪训练 1、 画出[]()1sin 02y xx π=-∈，； []()3c o s 102y x x π=+∈，2、 根据cos y x =的图象解不等式：1cos 22x -≤≤ 3、方程lg sin x x =的解的个数为 个。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《正切函数的图象与性质》(含答案解析)
1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y=tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y=tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x)=tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x)=－tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？梳理 函数y=tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z 的图象与性质见下表：解析式y=tan x图象定义域 {x|x∈R 且x≠kπ＋π2，k∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性 奇单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z )内都是增函数 知识点二思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案为：根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－π2，π2)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y=tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ(k∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x=π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y=tan x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？类型一 正切函数的定义域 例1 求下列函数的定义域.(1)y=11＋tan x ； (2)y=lg(3－tan x).反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y=tan x ＋1＋lg(1－tan x)的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟y=tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体， 解－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ，k∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 跟踪训练2 求函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小例3.(1)比较大小：①tan 32°________tan 215°； ②tan18π5________tan(－28π9). (2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系. 跟踪训练3.比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.类型三 正切函数的图象及应用例4.画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟(1)作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y=f(x)图象在x 轴上方的部分；②将函数y=f(x)图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练4 设函数f(x)=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f(x)的周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.1.函数y=tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f(x)=tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈ZB.(kπ，(k ＋1)π)，k∈ZC.(kπ－3π4，kπ＋π4)，k∈ZD.(kπ－π4，kπ＋3π4)，k∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A.y=tan xB.y=cos xC.y=tan x2D.y=－tan x4.方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3=3在区间[0，2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x=kπ＋π2，k∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y=tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是R . (2)正切函数y=tan x 的最小正周期是π，函数y=Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T=π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间. 课时作业一、选择题1.函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x∈R 且x≠310π＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D.(π，0) 2.函数f(x)=lg(tan x ＋1＋tan 2x)为( ) A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数3.满足tan A>－1的三角形的内角A 的取值范围是( ) A.(0，34π) B.(0，π2)∪(π2，34π)C.(34π，π)D.(0，π2)∪(34π，π)4.下列各点中，不是函数y=tan(π4－2x)的图象的对称中心的是( )A.(π8，0)B.(－π8，0)C.(π4，0)D.(－38π，0)5.函数f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.0B.1C.－1D.π46.函数y=tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )7.下列关于函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D.图象关于直线x=π6成轴对称二、填空题8.函数y=3tan(3x ＋π4)的对称中心的坐标是________.9.函数y=－tan 2x ＋4tan x ＋1，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为____________.10.函数y=3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6的最小正周期是π2，则ω=________.11.函数y=1－tan x 的定义域是________.三、解答题12.判断函数f(x)=lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性.13.求函数y=tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心.四、探究与拓展14.若tan x>tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________.15.设函数f(x)=tan(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π2)，已知函数y=f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M(－π8，0)对称.(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式－1≤f(x)≤3的解集.答案解析知识点一 正切函数的性质思考1答案为：{x|x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z }.思考2答案为： 周期性. 思考3答案为： 奇偶性. 思考4答案为：是. 知识点二 正切函数的图象 思考2答案为：能，三个关键点：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，两条平行线：x=π2，x=－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x=π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.例1解：(1)要使函数y=11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x≠0，x≠kπ＋π2(k∈Z )，所以函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z }.(2)因为3－tan x>0，所以tan x< 3. 又因为当tan x=3时，x=π3＋kπ(k∈Z )，根据正切函数图象，得kπ－π2＜x ＜kπ＋π3 (k∈Z )，所以函数的定义域是{x|kπ－π2＜x ＜kπ＋π3，k∈Z }.跟踪训练1解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x>0，即－1≤tan x<1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4，又y=tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z ).例2解：y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由kπ－π2<12x －π4<kπ＋π2(k∈Z )，得2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z )，所以函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－π2，2kπ＋32π，k∈Z ，周期T=2π.跟踪训练2解:∵y=tan x 在x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z )上是增函数，∴－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z ，即－π12＋kπ2<x<5π12＋kπ2，k∈Z .∴函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋kπ2，5π12＋kπ2 (k∈Z ).例3.答案为：(1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1解析:(1)①tan 215°=tan(180°＋35°)=tan 35°， ∵y=tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°=tan 215°. ②tan 18π5=tan(4π－2π5)=tan(－2π5)，tan(－28π9)=tan(－3π－π9)=tan(－π9)，∵y=tan x 在(－π2，π2)上单调递增，且－2π5<－π9，∴tan(－2π5)<tan(－π9)，即tan 18π5<tan(－28π9).(2)tan 2=tan(2－π)，tan 3=tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y=tan x 在(－π2，π2)上单调递增，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. 跟踪训练3.答案为：>;解析:∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4=tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π5=tan π5.又0＜π5＜π4＜π2，y=tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.例4.解:由y=|tan x|，得y=⎩⎪⎨⎪⎧ tan x，kπ≤x<kπ＋π2(k∈Z )，－tan x ，－π2＋kπ<x<kπ(k∈Z )，其图象如图所示. 由图象可知，函数y=|tan x|是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ，kπ＋π2(k∈Z )， 单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋kπ，kπ(k∈Z )，周期为π. 跟踪训练4解:(1)∵ω=12，∴周期T=πω=π12=2π. 令x 2－π3=kπ2(k∈Z )，得x=kπ＋2π3(k∈Z )， ∴f(x)的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋2π3，0(k∈Z ). (2)令x 2－π3=0，则x=2π3；令x 2－π3=π2，则x=5π3； 令x 2－π3=－π2，则x=－π3.∴函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0， 在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=－π3，x=5π3， 从而得到函数y=f(x)在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).1.答案为：C;解析 最小正周期为T=π|ω|=π2. 2.答案为：C ；3.答案为：C ；4.答案为：B ；解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3=3，解得2x ＋π3=π3＋kπ(k∈Z )，∴x=kπ2(k∈Z )， 又∵x∈[0，2π)，∴x=0，π2，π，3π2.故选B. 5.答案为：＞；解析：由正切函数的图象易知tan 1＞0，tan 4=tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜π2， 函数y=tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，所以tan 1＞tan(4－π)=tan 4. 课时作业1.答案为：C ；2.答案为：A ； 解析：∵1＋tan 2x >|tan x|≥－tan x ，∴其定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z }，关于原点对称. 又f(－x)＋f(x)=lg(－tan x ＋1＋tan 2x)＋lg(tan x ＋1＋tan 2x)=lg 1=0，∴f(x)为奇函数，故选A.3.答案为：D ；解析：因为A 为三角形的内角，所以0<A<π.又tan A>－1，结合正切曲线得A∈(0，π2)∪(3π4，π). 4.答案为：C ；解析：令π4－2x=kπ2，k∈Z ，得x=π8－kπ4.令k=0，得x=π8； 令k=1，得x=－π8；令k=2，得x=－3π8.故选C. 5.答案为：A ；解析：由题意，得T=πω=π4，∴ω=4.∴f(x)=tan 4x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=tan π=0. 6.答案为：D ；解析：当π2<x<π时，tan x<sin x ，y=2tan x<0； 当x=π时，y=0；当π<x<3π2时，tan x>sin x ，y=2sin x<0.故选D. 7.答案为：B ；解析：令kπ－π2<x ＋π3<kπ＋π2，解得kπ－5π6<x<kπ＋π6，k∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确； 令x ＋π3=kπ2，解得x=kπ2－π3，k∈Z ，任取k 值不能得到x=π4，故C 错误； 正切函数曲线没有对称轴，因此函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B. 8.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ6－π12，0(k∈Z )； 解析：由3x ＋π4=kπ2(k∈Z )，得x=kπ6－π12(k∈Z )，所以对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ6－π12，0(k∈Z ). 9.答案为：[－4，4]；解析：∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tan x≤1.令tan x=t ，则t∈[－1，1]， ∴y=－t 2＋4t ＋1=－(t －2)2＋5.∴当t=－1，即x=－π4时，y min =－4， 当t=1，即x=π4时，y max =4.故所求函数的值域为[－4，4]. 10.答案为：±2；解析：T=π|ω|=π2，∴ω=±2. 11.答案为：(kπ－π2，kπ＋π4](k∈Z )； 12.解：由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x>1或tan x<－1. ∴函数定义域为(kπ－π2，kπ－π4)∪(kπ＋π4，kπ＋π2)(k∈Z )，关于原点对称. f(－x)＋f(x)=lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1=lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)=lg 1=0. ∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)是奇函数.13.解：①由x 2－π3≠kπ＋π2，k∈Z ，得x≠2kπ＋53π，k∈Z .∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠2kπ＋53π，k∈Z }. ②∵T=π12=2π.∴函数的周期为2π. ③由kπ－π2<x 2－π3<kπ＋π2，k∈Z ，解得2kπ－π3<x<2kπ＋53π，k∈Z . ∴函数的单调增区间为(2kπ－π3，2kπ＋53π)，k∈Z . ④由x 2－π3=kπ2，k∈Z ，得x=kπ＋23π，k∈Z . ∴函数的对称中心是(kπ＋23π，0)，k∈Z . 14.答案为：(kπ＋6π5，kπ＋3π2)(k∈Z )； 15.解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T=π2，即π|ω|=π2. 因为ω>0，所以ω=2，从而f(x)=tan(2x ＋φ).因为函数y=f(x)的图象关于点M(－π8，0)对称， 所以2×(－π8)＋φ=kπ2，k∈Z ，即φ=kπ2＋π4，k∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ=π4，故f(x)=tan(2x ＋π4). (2)令－π2＋kπ<2x＋π4<π2＋kπ，k∈Z ，得－3π4＋kπ<2x<kπ＋π4，k∈Z ， 即－3π8＋kπ2<x<π8＋kπ2，k∈Z . 所以函数的单调递增区间为(－3π8＋kπ2，π8＋kπ2)，k∈Z ，无单调递减区间. (3)由(1)知，f(x)=tan(2x ＋π4). 由－1≤tan(2x＋π4)≤3，得－π4＋kπ≤2x＋π4≤π3＋kπ，k∈Z ， 即－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z . 所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为{x|－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z }.。
新人教A版必修4高中数学2.3.3平面向量的坐标运算导学案
1高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A 版必修4【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 。
（二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？1、已知：==1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数+a b =__________________________ _。
-a b =___________。
这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
λa =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向2量AB 呢？2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________ 即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。
问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？二、合作探究1、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求：（1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.3三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A .1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ） A.()2,1x y -+ B.()2,1x y +- C.()2 1x y ---， D.()2,1x y ++3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1-4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB 3BC -，求D 点的坐标。
高中数学半角公式教学导学案设计新人教B版必修4学案
高中数学半角公式教学导学案设计新人教B版必修4学案导学案设计：高中数学半角公式教学教学目标：1.理解半角公式的基本概念和定义；2.掌握半角公式的求解方法；3.能够运用半角公式解决实际问题。
教学重点和难点：教学重点：半角公式的定义和求解方法；教学难点：运用半角公式解决实际问题。
教学准备：教师准备：黑板、彩色粉笔、实物或图片等辅助教具；学生准备：教材、笔记本等学习用具。
教学步骤：Step 1：导入新课（10分钟）教师通过引入一道相关的问题或实际案例，引起学生的兴趣，激发学生的思考，为正式学习半角公式做好铺垫。
如：画出一个船浮在水面上的图形，问学生如何用半角公式求出船只占整个图形的面积。
Step 2：概念讲解（15分钟）教师通过指向黑板上的定义，解答学生对半角公式的概念、性质的疑问。
同时，通过两个具体的例子，引导学生理解半角公式的含义。
Step 3：公式推导（15分钟）教师通过引导学生观察和分析船浮在水面上的图形，从而推导出半角公式的一般形式。
同时，结合具体的实例，让学生体会半角公式的求解方法。
Step 4：练习与讨论（20分钟）教师将准备好的练习题以小组竞赛的形式进行布置，学生在小组内讨论解题思路，并提出疑问。
教师在小组之间进行巡视，及时解答学生的疑问，引导学生正确理解半角公式的求解过程。
Step 5：归纳总结（15分钟）学生一起来汇总归纳半角公式的定义、性质和求解方法，教师进行点评和总结，在学生的帮助下完善归纳总结。
Step 6：拓展应用（15分钟）教师提供一些与半角公式相关的应用题，引导学生将半角公式运用到实际问题中解决，培养学生的应用能力。
Step 7：课堂小结（10分钟）教师对本节课的主要知识点进行总结，并布置相应的作业。
同时，鼓励学生在课后继续进行探究和应用，拓宽自己的数学思维。
Step 8：课后作业布置相关的课后作业，要求学生独立完成，并在第二天上课前检查、讲解。
这样设计的导学案能够通过导入新课引起学生的思考，激发学习兴趣；通过概念讲解和公式推导，让学生理解半角公式的定义、性质和求解方法；通过练习与讨论、归纳总结和拓展应用，培养学生的应用能力和创新思维；最后进行课堂小结、布置课后作业，使学生对本节课的内容有一个清晰的概念，并巩固所学知识。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)
反思与感悟 利用向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线⇔b=λa，既可以证明点共线或线共线问题， 也可以根据共线求参数的值.
跟踪训练 3.已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若O→P=xO→A＋yO→B，则 x＋y=________.
类型三 用已知向量表示其他向量
例 4.在△ABC 中，若点 D 满足B→D=2D→C，则A→D等于( )
跟踪训练 4.如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三等分点，C→A=3a，C→B=2b，求C→D，C→E.
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1.已知 a=5e，b=－3e，c=4e，则 2a－3b＋c 等于(
A.5e
B.－5e
C.23e
) D.－23e
2.在△ABC 中，M 是 BC 的中点，则A→B＋A→C等于( )
A.1A→C＋2A→B 33
B.5A→B－2A→C 33
C.2A→C－1A→B 33
D.2A→C＋1A→B 33
反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的 等量关系，然后解关于所求向量的方程.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
知识点一 向量数乘的定义 思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案为：向量. 思考 2 向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案为： 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同. －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反. 思考 3 λa 的几何意义是什么？ 答案为：λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1 时，表示 a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍.
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第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角学习目标：（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；学习重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.学习过程思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30︒角、210︒-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.不难发现,在教材图 1.1-5中,如果32︒-的终边是OB ,那么328,392︒︒- 角的终边都是OB ,而328321360︒︒︒=-+⨯,39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒-角都是S 的元素,32︒-角也是S 的元素.因此,所有与32︒-角终边相同的角,连同32︒-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32︒-角终边相同.一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 {|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6.例题讲评例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例 3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.7.练习教材6P 第3、4、5题.注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、y 轴、直线y x =上的角的集合.作业：1．习题1.1 A 组第1,2,3题．2．多举出一些日常生活中的“大于360︒的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．随堂练习1、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题：①C B A == ②C A ⊆ ③A C ⊆ ④B C A =⊆其中正确命题的个数为 （ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 42、与120°角终边相同的角是 （ ）A. －600°＋k ·360°，ｋ∈ＺB. －120°＋k ·360°，ｋ∈ＺC. 120°＋(2k ＋1)·180°，ｋ∈ＺD. 660°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ3、若α是第四象限角，则1800-α是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、下列命题中正确的是 （ ）A. 终边在y 轴正半轴上的角是直角B. 第二象限角一定是钝角C. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同D. 第四象限角一定是负角6、若角α与β终边相同，则一定有 （ ）A. α＋β＝180°B. α＋β＝0°C. α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD. α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z7、若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列正确的是（ ）A. Ａ＝Ｂ＝ＣB. Ａ＝Ｂ ＣC. Ａ Ｂ＝ＣD. ＡＢＣ8、若α与β的终边互为反向延长线，则有 （ ）A. α＝β＋180°B. α＝β－180°C. α＝－βD. α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ9、在－720º到720º之间与－1050º终边相同的角是 .10、终边在第二象限的角的集合是11、今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .12、钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).【课后札记】1.1.2弧度制学习目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.学习重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.学习过程有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题. 2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.y x A αO B我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径.5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.7例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．随堂练习1、下列各对角中终边相同的角是 （ ） A. πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B. －3π和322π C. －97π和911π D. 9122320ππ和 2、若α＝－3，则角α的终边在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、若α是第四象限角，则απ-一定在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、下列与π613-的终边相同的角（Z ∈k ）是 （ ） A. ππk 26+ B. ππk 2610+ C. ππk 2611+ D. ππk 267+- 5、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为 （ ） A. 2sin1 B. 1sin 12 C. 2cos 11- D. 1sin1 6、把01125-化成()πααπ20,2<≤∈+Z k k 2sin1的形式是 （ ） A ． 46ππ-- B ．476ππ+- C ．48ππ-- D ．478ππ+-7、集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+==Z k k x x A k ,21|ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==z k k x x B ,22|ππ,则A 、B 的关系为 （ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．B A =D ．=⋂B A ∅8、已知()Z k k ∈+=323ππα，则2α在 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． x 轴上 D ． y 轴上9、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .10、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .11、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .12、在（－4π，4π）上与角316π终边相同的所有角为 .【课后札记】1.2.1任意角的三角函数(一)学习目标：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；学习重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.学习过程初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.第一课时提问：锐角O借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。