第三讲-刚体转动

1 R 2 L0 MR 0 m 0 2 2
2
1 L MR 2 mR 2 2
13、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量
为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度β = (

mgr J mr 2
D
m
A P1
1
2
r2
1 r
O
不一定为零；一定守恒；只对圆心角动量守恒。
练习题
3. 若把电子视为经典粒子，电子绕核 作圆周运动时，电子的动量是否守恒？ 对圆心的角动量是否守恒？
动量不守恒；对圆心的角动量守恒。
4. 小球摆动的过程中，小球的 动量、动能、机械能以及对细 绳悬点的角动量是否守恒？

质量m, 力F 牛顿定理 力的功

转动惯量 J r 2dm , 力矩M 转动定律 力矩的功

F ma


A
b
a
F dr

A M d
a
b
知识点回顾

质点的运动

刚体的定轴转动
•

动量

d (mv ) 动量定理：F dt 动量守恒： mi vi C
× × × ×
练习题
6、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个 力的矢量和为零，则此刚体 [
D
]
A）必然不会转动
C）转速必然改变
B）转速必然不变
D）转速可能改变，也可能不变。
7、如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上， 有一绳其上一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔， 该物体原以角速度 在距孔为R的圆周上转动，今将绳从小孔 缓慢往下拉，则物体 [E] A）动能不变，动量改变 v B）动量不变，动能改变 r f C）相对小孔角动量不变，动量不变 D）相对小孔角动量改变，动量改变 f E）相对小孔角动量不变，动能、动量都改变
分析 圆盘各部分所受的摩擦力的力臂不同，总的摩擦力矩 应是各部分摩擦力矩的积分. 为此，可考虑将圆盘分割成许多同心圆环，圆环的摩擦力矩 dM ＝r ×dFf ，其方向沿转动轴，则圆盘所受的总摩擦力矩 M ＝∫ dM. 则由角动量定理MΔt ＝Δ(Jω)，可求得圆盘停止前所经历的 时间Δt.
练习题
解： (1) 由分析可知，圆盘上半径为r、宽度为dr 的同心圆 环所受的摩擦力矩为 式中k 为轴向的单位矢量. 圆盘所受的总摩擦力矩大小为
(2) 根据角动量定理，
Mdt J
2
2
J11
由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量
2 M dt J mR 2
练习题
2. 如图所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0 绕其轴转动 ，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量.若 转动部分对其轴的转动惯量为J，问： (1) 经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？ (2) 在此时间内共转过多少转？
r0 0 v0
O
r
F
小球沿绳方向有速度分量，拉力F 做功，动能改变了。
练习题
8、已知圆环滑道半径R，一圆柱体半径r，质心位于h 高度， 由静止下滚，下滚时作纯滚动， 试问若能完成圆周运动，h至少应为多少？ 分析：纯滚ຫໍສະໝຸດ Baidu： vc r
能完成圆周运动： 圆环最高点处 N 0 解：设圆柱体质量为m，在圆环上的某 位置θ处，法线方向由质心运动定理
R sin m0v0 (m m0 ) R2
m0v0 sin (m m0 ) R
(2)
1 2 m0 v0 sin m m0 R (m m ) R 2 2 Ek m sin 0 0 1 E k0 m m0 m0v0 2 2
10 、均匀细棒 OA 可绕通过其一端 O 而与棒垂直的水平固定 光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒 摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小． B）角速度从小到大，角加速度从小到大． C）角速度从大到小，角加速度从大到小． D）角速度从大到小，角加速度从小到大． [ A ］
1 2 Ek mv 动能 2 b 动能定理： F dr Ek
a
•

角动量

i
d( Jω) 角动量原理： Mz dt 角动量守恒： J C
1 2 转动动能 Ek J 2
动能定理：





b
a
M d Ek

机械能守恒：

机械能守恒：
8、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 [ C ] 9 、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平 地二哑铃．在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒． B）机械能守恒，角动量不守恒． C）机械能不守恒，角动量守恒． D）机械能不守恒，角动量也不守恒．［ C ］
分析 由于空气的阻力矩与角速度成正 比，由转动定律可知，在变力矩作用 下，通风机叶片的转动是变角加速转 动，因此，在讨论转动的运动学关系 时，必须从角加速度和角速度的定 义出发，通过积分的方法去解.
练习题
解： (1) 通风机叶片所受的阻力矩 为M ＝－Cω，由转动定律M ＝Jα， 可得叶片的角加速度为 (2) 根据初始条件对式(2) 积分，有
Ek E p const .
Ek E pC const .
练习题
1、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能 三个量中一定守恒的量是 ． 1）不一定 2）动量
2. 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？ P2 作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒？ B
F合外 0
o
动量不守恒；
动能不守恒；
W外 W内非保 0
M外 0
机械能守恒； 对圆心的角动量不守恒
练习题
5. 下列说法正确的是： [ B]
1. 作用于质点系的外力的矢量和为零，则外力矩之和 也为零。 力偶矩 2. 质点的角动量不为零，作用于该质点上的力一定不 为零。 依赖于原点的选择 3. 质点系的动量为零，则质点系的角动量为零，质点 系的角动量为零，则质点系的动量也为零。 4. 不受外力作用的系统，它的动量和机械能必然同时 守恒。 A) B) C) D) 1正确 都不正确 都正确 2和4正确
M J
l M mg cos 2
θ
mg
11、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． C）它受热或遇冷时，角速度均变大． D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．［
D］
12、一半径为R、质量为M的圆盘可绕中心轴旋转。圆盘上距离 转轴为R/2处站有一质量为m的人。设开始时圆盘与人相对于地 面以角速度ω0匀速转动，则此人走道圆盘边缘时，人和圆盘一 2M m 起转动的角速度为（ 0） 2 M 4m
普通物理专题
第三讲：刚体转动
深圳大学 物理科学与技术学院 王 斌
知识点回顾
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)

质点的运动
速度 加速度

dr v dt dv a dt

刚体的定轴转动
角速度 角加速度

d dt d dt
M r F J
求：将小球拉至离中心r0/2处时，拉力作的功 解：有心力→角动量守恒 mω0 r02 mr 2
v 0 0 r0
v r v
0 r02
r
2 1 1 r 1 2 2 2 2 0 W mv mv 0 m0 r0 2 1 2 2 2 r r0 3 2 2 r 当 时，拉力所作的功为 W m0 r0 2 2
练习题
,
解: 设 a1, a 2, 分别为m1和m2的加速度和角加速度
,
T2 m2 g m2 a2 m1 g T1 m1a1 T1 R T2 r J a1 R a2 r 1 1 2 2 J MR mr 2 2
练习题
4. 如图所示，一绕有细绳的大木轴放置在水平面上，木轴 质量为m，外轮半径为R1 ，内柱半径为R2 ，木轴对中心 轴O 的转动惯量为JC .现用一恒定外力F 拉细绳一端，设细 绳与水平面夹角θ 保持不变，木轴滚动时与地面无相对滑 动.求木轴滚动时的质心加速度aC 和木轴绕中心轴O 的角 加速度α. 分析 刚体平面平行运动可以被看成： 刚体质心的平动和绕质心轴转动的 叠加，因此对本题可运用质心运动 定律和转动定律进行求解.由于木轴 滚动时与水平面间无相对滑动(又叫 纯滚动)，故两者之间的摩擦力应为 静摩擦力，并有 aC = R1α 这一关系 式成立.
o
o
o

'
v
v
m
动量不守恒； 角动量守恒；
动量守恒； 角动量守恒；
动量不守恒； 角动量守恒；
机械能不守恒 .
12
机械能不守恒． 机械能守恒
练习题
1. 一半径为R、质量为m 的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心 轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因 数为μ. (1) 求圆盘所受的摩擦力矩. (2) 问经多少时间后，圆盘转动才能停止？
)
T r J mg T ma mr
14、一轻绳绕于半径 r = 0.2m 的飞轮边缘，并施以 F = 98N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于 39.2rad/s2，此飞轮的转动惯量为（

0.5kgm2
0.5kgm2
）
F
Fr J
J
Fr

15、对下图几种情形，动量、角动量和机械能分别满足：
vc2 N m mg sin Rr vc2 最高点处， θ=π/2，此时N 最小 N min m mg 0 Rr 2 由此可得最高点处 vc g ( R r ) 问h至少应为多少？
练习题
解： 设木轴所受静摩擦力Ff 如图所示，则有
由(1)、(2)、(3)式可得
练习题
5. 质量为m,半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上， 可绕轴自由转动．另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如 题2-31图所示方向)．求： (1) 开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? (2) 用m ,m0和 表示系统最后动能和初始动能之比． 解: (1)射入的过程对 轴的角动量守恒
根据初始条件对式(1)积分，有 在时间t 内所转过的圈数为 由于C 和J 均为常量，得 当角速度由ω0 → 1/2 ω0 时，转动 所需的时间为
练习题
3. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称 轴OO’转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r ，质量分 别为M和m. 绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连 ，m1和m2挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设 R ＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg， m1＝m2 ＝2 kg，且开始时m1 ，m2 离地均为h ＝2m．求 1)柱体转动时的角加速度； 2)两侧细绳的张力．
2
练习题
6、质量为m的子弹穿过如图所示的摆锤后，速度由v减少到v/2， 已知摆锤的质量为M，均匀细杆的长度为l，质量也为M，问： 若摆锤能完成一个圆周运动，子弹速度v最小应为多少？ 分析：碰撞时，轴对杆有水平方向冲力， 动量不再守恒，而对轴角动量守恒。
解：取子弹、杆及摆锤为系统，由角动量守恒
v 1 ( Ml 2 Ml 2 )0 2 3 上摆过程，杆及摆锤系统机械能守恒 lmv lm
完成圆周运动的条件：最高点速度ωl ≥0
1 1 2 2 l 3l 2 ( Ml Ml )0 Mg Mg 2l Mg 2 3 2 2 4M 联立可得，要使最高点速度为0， v m
l M
m, v M
2 gl
v/2
练习题
7、质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球 限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度0绕管心作半径 为r0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐渐减小， 最后小球运动轨迹成为半径为r的圆。