第三讲-刚体转动

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第三章 刚体的转动

第三章   刚体的转动

M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量,M 的方向垂直于r和 F所决定的平面,其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2)力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3)力矩的计算:
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F

※在直角坐标系中,其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m,半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动,求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m,半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示,在环上任取一质元,其质量为dm,该质元到转轴的距 离为R,则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R, 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出,同一均匀细棒,转轴位置不同,转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动,刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向(或者说,在运动 的各个时刻始终保持彼此平行)。 特点:其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹,也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂,我们只研究定轴转动。

理论力学第三章 刚体力学-3

理论力学第三章 刚体力学-3

I
zx
I zy
I zz
**
(2)惯量椭球-用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量
Q点的坐标为:
x R
y
R
z
l
Q
R x
R y
z R 代入**得
y
o
x
椭球面方程
R z
Ixx x2 Iyy y2 Izz z2 2Iyz yz 2Izxzx 2Ixy xy 1
中心惯量椭球:刚体的质心(或重心)在O点
刚体绕基点A的“定点”转动,则刚体上任一点P的速度为
A
r
加速度为
a
aA
d
dt
r
(
r)
r是P点相对于基点A的位矢
3、刚体绕两相交轴转动的合成
刚体绕某点O作定点转动,相当于刚体绕某轴作“定轴”
转动,而该轴又绕另一固定轴转动,这两个轴相交于O点。
z
2

1
x
o
y
结论:当刚体绕两个相交轴转动时,刚体的瞬时角速 度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。
Izx
I xy I yy I zy
I I
xz yz
x y
Izz z
三、转动惯量
转动惯量:描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述, 其定义为:
I midi2 或 I d 2dm
即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之 和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。
i 1
ri
xii
xi
yi j
y
zik
j zk
J J
x y
I xx I yx
I xy I yy

第三讲_质心运动定理与刚体转动定律(教师版)

第三讲_质心运动定理与刚体转动定律(教师版)

第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16多个质点构成的系统,假设系统的质量可以集中于一点,这个点即为质量中心,简称质心。

质心是质点系质量分布的平均位置,与重心不同的是,质心不一定要在有重力场的系统中。

值得注意的是,除非重力场是均匀的,否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。

一、质心运动定理设系统由n 个质点组成,各质点的质量分别为n m m m ⋅⋅⋅21、,位矢分别是n r r r ⋅⋅⋅21、,则此质点系质心的位置矢量C r 为n n n C m m m r m r m r m r +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 因此,质心的加速度 nn n C m m m a m a m a m a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ,第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠,则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++22232122a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++••••••将n 个式子相加,并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=,得n n n a m a m a m F F F +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121令F 21=+⋅⋅⋅++n F F F ,称为质点系所受到的合外力,m m m m n =+⋅⋅⋅++21,称为质点系的总质量,则C ma =F这表明,质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积,这就是质心运动定理。

二、质心运动守恒定理如果作用于质点系的合外力恒等于零,则质心将处于静止或匀速直线运动状态。

如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零,则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。

三、刚体的转动定律刚体是指在运动中和受力作用后,形状和大小不变,而且内部各点的相对位置不变的物体,是一种理想模型。

第三讲 刚体的转动

第三讲 刚体的转动

A 机 能 角 量 守 . 械 、 动 都 恒 B机 能 恒 角 量 守 . 械 守 , 动 不 恒 C机 能 守 , 动 守 . 械 不 恒 角 量 恒 D机 能 角 量 不 恒 . 械 、 动 都 守
o
o'
ω
A
一长为L的轻质细杆, 一长为 的轻质细杆,两端分别固定质量 的轻质细杆 的小球, 为 m和 2m的小球,此系统在竖直平面内可绕中 且与杆垂直的水平光滑固定轴( 轴 转动。 点O且与杆垂直的水平光滑固定轴(O轴)转动。 且与杆垂直的水平光滑固定轴 开始时该刚体系统与水平成 角,处于静止状 60 无初速释放以后,刚体系统绕O 轴转动。 态。无初速释放以后,刚体系统绕 轴转动。系 统绕O轴的转动惯量 统绕 轴的转动惯量 J = 。当杆转到水平位 置时, 置时,刚体受到的合外力矩 M = ;角加速 度 β =。 2m
的圆轮, 练1 质量为 M1 =24kg的圆轮,可绕水平光滑固定轴转
M ,R 1
M2 , r
一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举, 一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举, π 的角速度旋转, 整个系统以 2 rad s的角速度旋转,转动惯量 为 6.0kg⋅ m2 。如果将双臂收回则系统的转动惯量 变为 2.0kg⋅ m2 。此时系统的转动动能与原来的转 动动能之比 Ek Ek0 为 ( )
例5
m
O
m
M
C
例6. 下列三种情况动量、角动量、机械能 是否守恒?
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
θ
'
m
p
o
v
R
v v
(对OO’轴) 轴

高中物理竞赛讲座:第三章刚体的转动1

高中物理竞赛讲座:第三章刚体的转动1
l O轴与 A轴间距 d ,且二轴平行 2 1 2 1 l 2 2 J A J O ml ml m( ) md 2 3 12 2
A
o x dm=dx
d
x
平行轴定理: J O J O md
2
其中: JO:刚体对过质心轴的转动惯量 JO’:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量 d:两平行轴间的距离
定轴转动中的动能定理
1 2 : A Ek 2 Ek1


1 1 2 2 J 2 J1 2 2
2
1


1
J d
d J d dt
2
1

2
1
J d

2
1
M d
微分形式
dA M d
积分形式 A

2
1 1 2 2 M d J2 J1 2 2

1 对M: TR ( MR 2 ) 2
对m : mg T ma
a m
运动学关系: a R

81.7(rad / s 2 )
T 9.15( N )
mg
1 2 2 解2:将M,m视为整体 J MR mR 2 M mg R
M J
§3-3 刚体转动中的功能关系
o
x x dm=dx
解: dJ0= x2dm = x2dx
1 J O dJ0 x dx x 3 1 l 3 1 ml 2 l / 2 3 12 l / 2 12
l/2 2
l /2
(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量 l l 1 x 3 1 3 1 2 2 J A x dx l ml 0 3 3 0 3

刚体的转动

刚体的转动

第三章 刚体的转动出发点:牛顿质点运动定律刚体的运动分为:平动,定轴转动,定点转动,平面平行运动,一般运动。

§3-1 刚体的平动,转动和定轴转动一 刚体的定义:在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。

(理想模型)二 平动:在运动过程中,若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行,则这种运动叫做平动。

特征:1 平动时刚体中各质点的位移,速度,加速度相等。

2 动力学特征:将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。

受力:内力和外力对每一个质元:满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言:∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故:∑F ==M a即:刚体做平动时,其运动规律和一质点相当,该质点的质量与刚体的质量相等,所受的力等于刚体所受外力的矢量和。

三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征:用角位移、角速度、角加速度加以描述,且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。

ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系:v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式:角速度矢量的定义:=ωγ⨯ , =dtd 显然,定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。

例:一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。

求它的角加速度。

解: 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数,即得飞轮角速度的表达式为ω=(dtdt b at 3+-c t 4)=a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数,因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见,飞轮作的是变加速转动。

§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩:设在转动平面内,=⨯是矢量,对绕固定轴转动,只有两种可能的方向,用正负即可表示,按代数求和(对多个力)。

–刚体的定轴转动定律刚体力学

–刚体的定轴转动定律刚体力学

平行轴定理
质量为 m 的刚体,如果对
其质心轴的转动惯量为JC ,则
对任一与该轴平行,相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP

1 mR2 mR2 2
R Om
3 – 1 刚体的定轴转动定律
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘?
第三章 刚体力学
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ?
的圆环
圆环质量 dm 2 π rdr
圆环对轴的转动惯量
O r dr
R
dJ r2dm 2 πr3dr
J

R
0
2
π
r
3dr


2
π R4
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质
量的分布及转轴的位置 .
取圆环为质量元 dm ,则
圆环质量 dm 2 π rdr
O r dr
圆环受到的摩擦力矩为
R
dM r dFf grdm
M 0R 2 π gr2dr
2 π gR3 2 mgR
3
3
由角动量定理得:
M

t

0

1 2
mR
2
0
t

3R
4g
0
3 – 1 刚体的定轴转动定律
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.

大学物理.第三章.刚体的转动PPT课件

大学物理.第三章.刚体的转动PPT课件

M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
第33页/共66页
例3-4 如图所示, 均匀细杆, 长为L,在平面内以角
速度ω绕端点转动,摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
第34页/共66页
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω转动,求 摩擦力产生的力矩(μ、m、R)。
ω
解:
dm ds rdrd
dF gdm grdrd
dM1
rdF
r2gdrd 第35页/共66页
要揭示转动惯量的物理意义,实际上是要找到一 个类似于牛顿定律的规律——转动定律。
二、转动定律 刚体可看成是由许多小质元组 成,在p点取一质元,
O
受力:外力 ,与 成 角
P
合内力 ,与 成 角
第36页/共66页
如图可将力分解为两个
力,只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。 第39页/共66页
3)转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。 因为:
即I越大的物体,保持原来转动状态的性质就 越强,转动惯性就越大;反之,I越小,越容 易改变状态,保持原有状态的能力越弱。或者 说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆 柱与空心圆筒,若 受力和力矩一 样,谁转动得快些呢?
当杆到达铅直位置时重力矩所作的功.
FN ZL
以杆为研究对象
受力: mg,FN
φ mg
重力矩: M
A mg 1
L
mg
1 2
L
cos

3-1 刚体的转动

3-1 刚体的转动

或者说刚体内任意两点间的
连线总是平行于它们的初始
位置间的连线。
3 – 1 刚体的运动
பைடு நூலகம்
第三章 刚体的定轴转动
刚体在平动时,在任意一段
时间内,刚体中所质点的位
移都是相同的。而且在任何
时刻,各个质点的速度和加
速度也都是相同的。所以刚
体内任何一个质点的运动,
都可代表整个刚体的运动。
刚体平动
质点运动
3 – 1 刚体的运动
第三章
刚体的定轴转动
刚体的运动 刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的动能定理 角动量守恒定律
§3-1
刚体的运动
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
1
刚体及刚体的运动
刚体: 在外力作用下,形状和大小都不发生变化的 物体。(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组) 刚体的运动形式: (1)平动:若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同,
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
c 2 t 2 (π 75) rad s 3
1 2 π ct rad s 3t 2 转子的角速度 2 150 d π rad s 3t 2 由角速度的定义 dt 150 t π 3 2 得 0 d 150 rad s 0 t dt π 3 3 有 rad s t 450
第三章 刚体的定轴转动
(3) 刚体的平面运动 刚体上各点的运动都平行于某一固定平面的运动。
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
(4) 一般运动: 刚体不受任何限制的的任意运动。 刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
3 – 1 刚体的运动 2 角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 θ> 0 r

第03章 刚体定轴转动01-转动定律

第03章 刚体定轴转动01-转动定律

作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零,即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义:刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有:
2 m r ii i
M J
即:
M J
刚体定轴转动的转动定律:刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ,与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义:刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
(3)如图所示,不计绳子的质量,滑轮的质量与半径分别为M
和R,滑轮与绳间只滚不滑,不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后,物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M

大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒

大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒

第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律在前几章质点运动中,我们忽略了物体自身大小和形状,将物体视为质点,用质点的运动代替了整个物体的运动。

但是在实际物体运动中,不仅物体在大小和形状千差,而且运动又有平动和转动之别。

这时我们需要另一个突出主要特征,忽视其次要因素,既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。

在受力的作用时,其形状和体积都不发生任何变化的物体,称做刚体。

本章将介绍刚体所遵从的力学规律,重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。

由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似,因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。

§3-1 刚体定轴转动1. 刚体运动的形式刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。

平动的定义为,在刚体在运动过程中,刚体中任意两点的连线始终平行。

如图5-1所示。

由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的,因此描述刚体平动只需要描写刚体内一点的运动,也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就可以代表它整体的运动。

转动的定义为,刚体运动时,刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动,这条直线称为转轴。

转轴可以是固定的,也可以是变化的。

若转轴固定,称为刚体定轴转动。

若转轴不固定,运动比较复杂。

刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。

平动在前几章已经研究过,本章我们主要研究定轴转动。

2. 刚体的定轴转动研究刚体绕定轴转动时,选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动平面。

由于描述各质元运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的,因此描述刚体运动时用角量较为方便。

因为刚体上各质元的半径不同,所以各质元的速度和加速度不相等。

角速度和角加速度一般情况下是矢量,由于刚体定轴转动时角速度和角加速度的方向沿转轴方向,因此可用带有“+、-”的标量表示角速度和角加速度。

这种方法我们并不陌生,质点作直线运动时我们也是用带有“+、-”的标量表示速度和加速度。

角速度的大小为 dtd θω= (3-1) 它的方向规定为沿转轴的方向,其指向由右手螺旋法则确定。

1-3 刚体的转动

1-3 刚体的转动

第三章 刚体的转动§3-1刚体运动一、刚体定义:物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。

说明:⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的。

二、刚体运动刚体运动:(1)平动:刚体内任一直线方位不变。

特点:各点运动状态一样,如:a 、v 等都相同,故可用一个点来代表刚体运动。

(2)转动:1)绕点转动2)绕轴转动:刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明:刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。

(如:乒乓球飞行等) 三、定轴转动(本章仅讨论此情况)定义:转轴固定时称为定轴转动。

转动特点:⑴刚体上各点的角位移θ∆相同(如:皮带轮),各点的ω、α相同。

⑵刚体上各点的)(ωr v =、)(2ωr a n =、()αr a t=一般情况下不同。

说明:⑴ω是矢量,方向可由右手螺旋法则确定。

⑵r v ⨯=ω§3-2 力矩 转动定律 转动惯量一、力矩1、外力F在垂直于轴的平面内定义:⑴力矩: F r M⨯= (3-1)⑵力矩 :大小:θsin Fr Fd M ==(θsin r d =,称为力臂);方向:沿(F r⨯)方向,它垂直于r 、F构成的平面即M 与轴平行。

注意:θ是r、F 间夹角。

2、外力F不在垂直于轴的平面内(垂直轴)平行轴)⊥+=F F F(// ∵ //F对转动无贡献∴ 对转动有贡献的仅是⊥F。

F 产生的力矩即⊥F的力矩,故上面的结果仍适用。

说明:F平行轴或经过轴时 0=M 。

二、转动定律0≠M 时,转动状态改变,即0≠α ,那么α与M的关系如何?这就是转动定律的内容。

推导:把刚体看成由许多质点组成的系统,这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。

考虑第i 个质点: 质量:i m ∆到轴的距离:i r受力:外力:i F;内力:i f(设i F、i f 在垂直于转轴的平面内)在切线方向上由牛顿定律有:αi i t i it it r m a m f F ∆=∆=+ (3-2)即 αθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin (3-3) (3-3)×i r : αθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F ∆=+⇒ (3-4) 每一个质点都有一个这样方程,所有质点对应方程求和之后,有αθϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=+∑∑∑i i i i i i i i i i i r m r f r F 2sin sin (3-5)可证明0sin =∑iii i r F θ合内力矩。

刚体的定轴转动及转动定律ppt课件

刚体的定轴转动及转动定律ppt课件
对任一与该轴平行,相距为 d
的转轴的转动惯量为:
第三章 刚体的转动
d
C mO
JO JCmd2
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1mR2 mR2 2
P
ROm
完整编辑ppt
27
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘?
完整编辑ppt
第三章 刚体的转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 容 易 控 制 ?
11
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
例2 在高速旋转的微型电机里,有一圆柱形转子可绕垂直其横截
面通过中心的轴转动 . 开始时,它的角速度 0 0,经300s 后,
其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问 在这段时间内,转子转过多少转?
解 由题意,令ct,即 d ct ,积分
dt
dc
t
tdt

1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时 18r0 m 0 1 i6 0 nπ 0 r0 a s 1 d
所以
c22 6π 0r0 a s d 3πra s d 3
t2 32 00 75
完整编辑ppt
12
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
c 2t2 (π7)r5a s 3 d
28
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29
1、速度与角速度
v ret
第三章 刚体的转动
a
an
r
e t at
v
2、加速度与角加速度
aretr2en
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(2) 根据角动量定理,
Mdt J
2
2
J11
由于摩擦力矩是一恒力矩,圆盘的转动惯量
2 M dt J mR 2
练习题
2. 如图所示,一通风机的转动部分以初角速度ω0 绕其轴转动 ,空气的阻力矩与角速度成正比,比例系数C 为一常量.若 转动部分对其轴的转动惯量为J,问: (1) 经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半? (2) 在此时间内共转过多少转?
r0 0 v0
O
r
F
小球沿绳方向有速度分量,拉力F 做功,动能改变了。
练习题
8、已知圆环滑道半径R,一圆柱体半径r,质心位于h 高度, 由静止下滚,下滚时作纯滚动, 试问若能完成圆周运动,h至少应为多少? 分析:纯滚动: vc r
能完成圆周运动: 圆环最高点处 N 0 解:设圆柱体质量为m,在圆环上的某 位置θ处,法线方向由质心运动定理
1 2 Ek mv 动能 2 b 动能定理: F dr Ek
a


角动量

i
d( Jω) 角动量原理: Mz dt 角动量守恒: J C
1 2 转动动能 Ek J 2
动能定理:





b
a
M d Ek

机械能守恒:

机械能守恒:
10 、均匀细棒 OA 可绕通过其一端 O 而与棒垂直的水平固定 光滑轴转动,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒 摆动到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的? A)角速度从小到大,角加速度从大到小. B)角速度从小到大,角加速度从小到大. C)角速度从大到小,角加速度从大到小. D)角速度从大到小,角加速度从小到大. [ A ]
Ek E p const .
Ek E pC const .
练习题
1、若作用于一力学系统上外力的合力为零,则外力的合力矩 为零;这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能 三个量中一定守恒的量是 . 1)不一定 2)动量
2. 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零?一定守恒? P2 作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒? B
求:将小球拉至离中心r0/2处时,拉力作的功 解:有心力→角动量守恒 mω0 r02 mr 2
v 0 0 r0
v r v
0 r02
r
2 1 1 r 1 2 2 2 2 0 W mv mv 0 m0 r0 2 1 2 2 2 r r0 3 2 2 r 当 时,拉力所作的功为 W m0 r0 2 2
普通物理专题
第三讲:刚体转动
深圳大学 物理科学与技术学院 王 斌
知识点回顾
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)

质点的运动
速度 加速度

dr v dt dv a dt

刚体的定轴转动
角速度 角加速度

d dt d dt
M r F J
M J
l M mg cos 2
θ
mg
11、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动, A)它受热膨胀或遇冷收缩时,角速度不变. B)它受热时角速度变大,遇冷时角速度变小. C)它受热或遇冷时,角速度均变大. D)它受热时角速度变小,遇冷时角速度变大.[
D]
12、一半径为R、质量为M的圆盘可绕中心轴旋转。圆盘上距离 转轴为R/2处站有一质量为m的人。设开始时圆盘与人相对于地 面以角速度ω0匀速转动,则此人走道圆盘边缘时,人和圆盘一 2M m 起转动的角速度为( 0) 2 M 4m
分析 圆盘各部分所受的摩擦力的力臂不同,总的摩擦力矩 应是各部分摩擦力矩的积分. 为此,可考虑将圆盘分割成许多同心圆环,圆环的摩擦力矩 dM =r ×dFf ,其方向沿转动轴,则圆盘所受的总摩擦力矩 M =∫ dM. 则由角动量定理MΔt =Δ(Jω),可求得圆盘停止前所经历的 时间Δt.
练习题
解: (1) 由分析可知,圆盘上半径为r、宽度为dr 的同心圆 环所受的摩擦力矩为 式中k 为轴向的单位矢量. 圆盘所受的总摩擦力矩大小为
根据初始条件对式(1)积分,有 在时间t 内所转过的圈数为 由于C 和J 均为常量,得 当角速度由ω0 → 1/2 ω0 时,转动 所需的时间为
练习题
3. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称 轴OO’转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r ,质量分 别为M和m. 绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连 ,m1和m2挂在圆柱体的两侧,如题2-26图所示.设 R =0.20m, r=0.10m,m=4 kg,M=10 kg, m1=m2 =2 kg,且开始时m1 ,m2 离地均为h =2m.求 1)柱体转动时的角加速度; 2)两侧细绳的张力.
D
m
A P1
1
2
r2
1 r
O
不一定为零;一定守恒;只对圆心角动量守恒。
练习题
3. 若把电子视为经典粒子,电子绕核 作圆周运动时,电子的动量是否守恒? 对圆心的角动量是否守恒?
动量不守恒;对圆心的角动量守恒。
4. 小球摆动的过程中,小球的 动量、动能、机械能以及对细 绳悬点的角动量是否守恒?
R sin m0v0 (m m0 ) R2
m0v0 sin (m m0 ) R
(2)
1 2 m0 v0 sin m m0 R (m m ) R 2 2 Ek m sin 0 0 1 E k0 m m0 m0v0 2 2
1 R 2 L0 MR 0 m 0 2 2
2
1 L MR 2 mR 2 2
13、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘,并以质量为m的物体挂在 绳端,飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量
为J,若不计算摩擦,飞轮的角加速度β = (

mgr J mr 2
练习题
解: 设木轴所受静摩擦力Ff 如图所示,则有
由(1)、(2)、(3)式可得
练习题
5. 质量为m,半径为R的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上, 可绕轴自由转动.另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如 题2-31图所示方向).求: (1) 开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值? (2) 用m ,m0和 表示系统最后动能和初始动能之比. 解: (1)射入的过程对 轴的角动量守恒
× × × ×
练习题
6、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上,如果这几个 力的矢量和为零,则此刚体 [
D
]
A)必然不会转动
C)转速必然改变
B)转速必然不变
D)转速可能改变,也可能不变。
7、如图所示,有一个小块物体,置于一个光滑的水平桌面上, 有一绳其上一端连结此物体,另一端穿过桌面中心的小孔, 该物体原以角速度 在距孔为R的圆周上转动,今将绳从小孔 缓慢往下拉,则物体 [E] A)动能不变,动量改变 v B)动量不变,动能改变 r f C)相对小孔角动量不变,动量不变 D)相对小孔角动量改变,动量改变 f E)相对小孔角动量不变,动能、动量都改变
完成圆周运动的条件:最高点速度ωl ≥0
1 1 2 2 l 3l 2 ( Ml Ml )0 Mg Mg 2l Mg 2 3 2 2 4M 联立可得,要使最高点速度为0, v m
l M
m, v M
2 gl
2
练习题
7、质量为m的小球系在绳子的一端,绳穿过铅直套管,使小球 限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度0绕管心作半径 为r0的圆周运动,然后向下拉绳子,使小球运动半径逐渐减小, 最后小球运动轨迹成为半径为r的圆。
o
o
o

'
v
v
m
动量不守恒; 角动量守恒;
动量守恒; 角动量守恒;
动量不守恒; 角动量守恒;
机械能不守恒 .
12
机械能不守恒. 机械能守恒
练习题
1. 一半径为R、质量为m 的匀质圆盘,以角速度ω绕其中心 轴转动,现将它平放在一水平板上,盘与板表面的摩擦因 数为μ. (1) 求圆盘所受的摩擦力矩. (2) 问经多少时间后,圆盘转动才能停止?
分析 由于空气的阻力矩与角速度成正 比,由转动定律可知,在变力矩作用 下,通风机叶片的转动是变角加速转 动,因此,在讨论转动的运动学关系 时,必须从角加速度和角速度的定 义出发,通过积分的方法去解.
练习题
解: (1) 通风机叶片所受的阻力矩 为M =-Cω,由转动定律M =Jα, 可得叶片的角加速度为 (2) 根据初始条件对式(2) 积分,有
2
练习题
6、质量为m的子弹穿过如图所示的摆锤后,速度由v减少到v/2, 已知摆锤的质量为M,均匀细杆的长度为l,质量也为M,问: 若摆锤能完成一个圆周运动,子弹速度v最小应为多少? 分析:碰撞时,轴对杆有水平方向冲力, 动量不再守恒,而对轴角动量守恒。
解:取子弹、杆及摆锤为系统,由角动量守恒
v 1 ( Ml 2 Ml 2 )0 2 3 上摆过程,杆及摆锤系统机械能守恒 lmv lm
练习题
,
解: 设 a1, a 2, 分别为m1和m2的加速度和角加速度
,
T2 m2 g m2 a2 m1 g T1 m1a1 T1 R T2 r J a1 R a2 r 1 1 2 2 J MR mr 2 2
练习题
4. 如图所示,一绕有细绳的大木轴放置在水平面上,木轴 质量为m,外轮半径为R1 ,内柱半径为R2 ,木轴对中心 轴O 的转动惯量为JC .现用一恒定外力F 拉细绳一端,设细 绳与水平面夹角θ 保持不变,木轴滚动时与地面无相对滑 动.求木轴滚动时的质心加速度aC 和木轴绕中心轴O 的角 加速度α. 分析 刚体平面平行运动可以被看成: 刚体质心的平动和绕质心轴转动的 叠加,因此对本题可运用质心运动 定律和转动定律进行求解.由于木轴 滚动时与水平面间无相对滑动(又叫 纯滚动),故两者之间的摩擦力应为 静摩擦力,并有 aC = R1α 这一关系 式成立.
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