用按列选主元消元法求矩阵A的秩

矩阵求秩方法(一)

矩阵求秩方法(一)矩阵求秩方法什么是矩阵求秩？矩阵求秩是一种数学运算，用于确定一个矩阵的秩（rank）。

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。

矩阵求秩在线性代数、计算机科学和工程学等领域中都有广泛的应用。

列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种常用的矩阵求秩方法。

它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 选取第一个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第一列交换位置。

2. 用第一列的主元将后面各行第一元素消为零。

3. 选取第二个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第二列交换位置。

4. 用第二列的主元将后面各行第二元素消为零。

5. 重复上述步骤，直到矩阵变为阶梯形矩阵。

基本行变换法基本行变换法是另一种常见的矩阵求秩方法。

它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即确保每一行的主元（第一个非零元素）为1，且每一主元所在列的其余元素都为0。

2. 将行简化阶梯形矩阵中所有主元所在行上方的元素都消为零。

奇异值分解法奇异值分解法是一种较为复杂但有效的矩阵求秩方法。

它的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后利用特殊的奇异值矩阵来确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 计算矩阵的奇异值分解，得到三个矩阵：左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。

2. 统计奇异值矩阵中非零奇异值的个数，作为矩阵的秩。

其他方法除了上述提到的方法，还有其他一些矩阵求秩的方法： - 基于行列式的方法：计算矩阵的行列式，非零的子式的阶数即为矩阵的秩。

- 基于特征值的方法：计算矩阵的特征值，非零特征值的个数即为矩阵的秩。

总结矩阵求秩是一项重要的数学运算，常用于线性代数和计算机科学等领域。

列主元高斯消元法、基本行变换法和奇异值分解法是常见的矩阵求秩方法，而基于行列式和特征值的方法也有其独特的优势。

线性代数求解方法和技巧

线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。

首先，我们讨论线性方程组的求解方法。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。

对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。

它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。

在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。

2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。

3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。

除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。

我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。

2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。

对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。

我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。

另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。

用列主元消去法解线性方程组

用列主元消去法解线性方程组
列主元消去法是一种解决线性方程组的有效方法，它可以有效地解决多元一次
方程组的求解问题。

列主元消去法是一种基于矩阵分解的算法，它将线性方程组转换为一系列的三
角形矩阵，从而解决线性方程组的求解问题。

它的基本思想是，首先将矩阵A分解为两个矩阵，即列主元矩阵P和三角矩阵U，然后将原方程组PA=LU转换为LUx=Pb，其中Pb是P矩阵乘以b向量的结果，最后求解LUx=Pb即可得到x向量，从而解决线性方程组的求解问题。

列主元消去法的优点在于它可以有效地解决多元一次方程组的求解问题，而且
它的计算量较小，可以在较短的时间内完成求解。

此外，它还可以有效地处理矩阵的奇异性，即当矩阵A的行列式为零时，它仍然可以有效地求解线性方程组。

列主元消去法在互联网领域的应用也很广泛，它可以用于解决复杂的数据挖掘
问题，如推荐系统、搜索引擎等，这些问题都可以用列主元消去法来解决。

此外，它还可以用于解决机器学习中的优化问题，如支持向量机、神经网络等，这些问题也可以用列主元消去法来解决。

总之，列主元消去法是一种有效的解决线性方程组的方法，它可以有效地解决
多元一次方程组的求解问题，而且它的计算量较小，可以在较短的时间内完成求解。

此外，它在互联网领域的应用也很广泛，可以用于解决复杂的数据挖掘问题和机器学习中的优化问题。

线性代数规范型求解题技巧

线性代数规范型求解题技巧线性代数中，规范型求解题是一类非常常见和重要的问题。

规范型表示方程组具有特定形式的线性方程组。

下面将介绍一些求解规范型问题的基本技巧。

1. 基础技巧首先，我们需要将规范型方程组写成矩阵形式Ax=b 的形式。

A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b 是一个m维列向量。

2. 求逆矩阵法如果矩阵A可逆，那么可以直接通过求逆矩阵的方法求解方程组。

具体地，我们可以通过x=A^(-1)b来求解x。

然而，这种方法只适用于方程的个数小于变量的个数的情况。

3. 列主元消元法如果矩阵A不可逆，我们可以通过列主元消元法来求解方程组。

这种方法首先将矩阵A转化为上三角矩阵，然后再通过回代的方式求解方程组。

具体步骤如下：1) 选择矩阵A的第一列的主元素，如果该主元素不为0，则进行下一步；否则，选择下一列为主元素。

2) 将主元行与第一行进行交换，使主元素移到第一行。

3) 通过消元操作，将第一列的其他元素消为0。

4) 将第一行移到第一列的位置，继续处理下一列。

5) 重复步骤1-4，直到矩阵A变成上三角矩阵。

6) 通过回代的方式求解方程组。

4. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是另一种求解规范型方程组的方法，它将矩阵A转化为简化行阶梯型形式。

具体步骤如下：1) 对矩阵A进行行初等变换，将其转化为上三角矩阵。

2) 对上三角矩阵进行回代，得到方程组的解。

5. LU分解法如果矩阵A可以进行LU分解，那么可以通过LU分解的方法求解方程组。

这里L是一个m×m的下三角矩阵，U是一个m×n的上三角矩阵。

具体步骤如下：1) 将矩阵A进行LU分解，得到LU=A。

2) 令y=Ux，将原方程组转化为Ly=b。

3) 通过回代的方式，求解Ly=b得到y。

4) 再通过回代的方式，求解Ux=y得到x。

6. 奇异值分解法如果矩阵A奇异值分解为A=UDV^T，那么可以通过奇异值分解的方法求解方程组。

其中，U是一个m×m的正交矩阵，D是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n 的正交矩阵。

求矩阵逆矩阵的常用方法

求矩阵逆矩阵的常用方法求矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要问题。

在实际应用中，常常需要对矩阵进行逆矩阵的计算，以便进行某些后续操作。

以下是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法:1. 伴随矩阵法：如果矩阵 A 可逆，则其伴随矩阵 A^(-1) 也是存在的。

实际上，A^(-1) = A^(-T),其中 A^(-T) 表示 A 的逆矩阵的转置矩阵。

伴随矩阵法简单易行，但是要求矩阵 A 必须可逆。

2. 初等行变换法：对于任意矩阵 A，可以通过初等行变换将其化为行简化梯矩阵的形式。

如果左边子块是单位矩阵 E，则矩阵 A 可逆，且其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[E - (A^T)A]。

这里，(A^(-T))[E - (A^T)A] 表示将 A 的逆矩阵插入到单位矩阵 E 和 A 的伴随矩阵A 之间的矩阵。

初等行变换法适用于大多数矩阵，但是需要对矩阵进行多次行变换，因此计算效率较低。

3. 列主元消元法：对于矩阵 A，可以通过列主元消元法将其化为行阶梯形式。

如果矩阵 A 的行主元不为 0，则其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[(A^T)A - EE^T]。

这里，EE^T 表示矩阵 A 的列主元部分，(A^(-T))[(A^T)A - EE^T] 表示将矩阵 A 的逆矩阵插入到行阶梯形式的矩阵 A 的列主元和主元部分之间的矩阵。

列主元消元法适用于矩阵 A 为非方阵的情况，但是要求矩阵 A 的行主元不为 0。

以上是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法。

不同的矩阵可以通过不同的方法来求其逆矩阵，选择适合该矩阵的方法可以有效地提高计算效率。

此外，对于一些特殊的矩阵，可能存在更高效的算法。

数值计算方法期末考试题精选版

数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

矩阵中秩的计算

矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。

在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。

矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。

计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。

在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。

我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。

高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。

其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。

2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。

3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。

通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。

但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。

另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。

矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。

矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。

这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。

通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。

矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。

当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。

矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。

一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。

奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。

通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。

矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。

求矩阵的秩的三种方法

求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。

矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。

在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。

本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。

方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。

对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。

我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。

2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。

对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。

矩阵的秩等于它的列空间的维度。

我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。

具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。

3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。

阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。

可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。

矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。

总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。

对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。

但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。

还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。

矩阵的秩及其求法求秩的技巧

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ阶子式定义1 设在A 中任取k 行ｋ列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。

显然, 矩阵 A 共有个 k 阶子式。

２. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。

规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ，０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵Ａ可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。

例1 设为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。

解由于存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

数值分析-高斯消元法

数值分析-牛顿迭代法实验报告一、实验内容和要求用列主元高斯消去法解线性方程组Ax=b方程1：=;方程2：=;二、算法说明设Ax=b。

本算法用A的具有行交换的列祖元素消去法，校园结果冲掉A，乘数冲掉，计算解x冲掉常数项b，行列式存放在det中。

1.det←12.对于k=1,2,…,n-1(1)按列选主元=，(2)如果，=0，则计算停止(det(A)=0)(3)如果，=k，则转(4)(j=k,k+1,……,n)换行：，←-det(4)消元计算对于i=k+1,……,ni.←/ii.对于i=k+1,……,n←*iii.←-(5)det←*det3.如果，则计算停止(det(A)=0)4.回带求解(1)/(2)对于i=n-1,…,2,1←()/5.det←*det三、源程序#include <stdio.h>#include<conio.h>#include <math.h>#define max_dimension 20 //定义最大阶数为20 int n;static float a[max_dimension][max_dimension]; static float b[max_dimension];static float x[max_dimension];void main() {int I,j,d,row;float temp;float known_items;float l[max_dimension][max_dimension];printf("请输入方程的阶数:"); //输入矩阵阶数scanf("%d",&n);printf("\n");for (i=0; i<n; i++){printf("请输入第%d 的系数:",i+1); //矩阵输入for (j=0; j<n; j++){scanf("%f",&a[i][j]);}printf("\n");}printf("请输入常数项: "); //常数输入for (i=0; i<n; i++)scanf("%f",&b[i]);for (i=0; i<n; i++) //计算增广矩阵{for (j=0; j<n; j++);} for (d=0; d<n-1; d++){ row=d;for (i=d+1; i<n; i++) //查找最大元素所在行{if (fabs(a[i][d])>fabs(a[row][d]))row=i;}if (row!=d){for (j=d; j<n; j++){temp=a[row][j];a[row][j]=a[d][j];a[d][j]=temp;}temp=b[row];b[row]=b[d];b[d]=temp;}for (i=d+1; i<n; i++){l[i][d]=-a[i][d]/a[d][d];for (j=d; j<n; j++){a[i][j]=a[i][j]+a[d][j]*l[i][d];}b[i]=b[i]+b[d]*l[i][d];}}for (i=0; i<n; i++) //计算上三角矩阵{for (j=0; j<n; j++);}printf("\n");for (i=n-1; i>-1; i--){known_items=0;for (j=1; j<n-i; j++){known_items=known_items+a[i][i+j]*x[i+j]; }x[i]=(b[i]-known_items)/a[i][i];} printf("X的值分别为:\n");for (i=0; i<n; i++)printf("%.5f ",x[i]);//输出x的值printf("\n");getch();}四、实验结果方程1：=1592.22119=-631.76123=-493.50037方程2：=119.52600=-47.14207=-36.83984五、说明与分析在高斯消去法运算的过程中，如果出现(A(i,i))的绝对值等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以需先对矩阵进行变换在计算。

数值计算方法期末考试题

数值计算方法期末考试题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =????? ???????????????3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C =???????????? 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式????????????????????? .填空题答案1.?????? 9和292.??????()()0101f x f x x x --?3.?????? 18 4.??????()()120f f <5.?????? ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1.?????? 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---??????????[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）?????? 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩?(0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得得1113A A h -==，043hA =。

列主元消去法

实验二列主元消去法一．实验目的：1. 了解列主元消去法的算法2. 可以正确地从给出的矩阵中选取列主元3. 会使用列主元消去法求线性代数方程组二．算法介绍：列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法,在Gauss 消去法的消元过程中,若出现a kk k ）（=0,则消元无法进行,即使其不为0,但很小,把它作为除数,就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散,最后使计算结果不可靠.使用列主元素消去法计算,基本上能控制舍入误差的影响,并且选主元素比较方便.1. 输入系数矩阵A,右端项b,阶n.2. 对k=1,2,…n-1,循环.a.按列选主元 a:=max ni k ≤≤︳a ik ︴,保留主元所在行的指标i k 。

b.若a=0，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。

c.若i k =k ，则转向（d ），否则执行ai j k ，与a k j 互换，b i k与b k 互换。

d.计算算子m ik =a ik /a kk e ．消元：b m b b a m a a kik i kjik ij ij i -==-：： i ，j=k+1，……，n 3．回代：a b a b b ii j ni j ij i i /)(:1∑+=-=，i=n.n-1, (1)三.程序代码:#include <iostream>#include <iomanip> #include<cmath>using namespace std;double a[100][100];//存储矩阵的二维数组int n; //阶数全局变量double result[100]; //存放解的数组double b[100]; //存放常数的数组double sum;void tip() //选择操作函数{cout<<"1、输入矩阵"<<endl;cout<<"2、退出运行"<<endl;}double input() //输入矩阵{ int i,k,j,x;cout<<"请输入矩阵阶数:"<<endl;cin>>n;cout<<"请输入增广矩阵:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n+1;j++){cin>>a[i][j];}}}double output(int k){int i,j,r;int f;double max,t;double result[50];max=a[n][k];for(i=n;i>=k;i--){if(fabs(max)<=fabs(a[i][k])) //选择列主元{r=i;max=a[r][k];}}cout<<"主元为"<<max<<endl;cout<<"所在坐标位置为("<<r<<","<<k<<")"<<endl;if(fabs(max)<0.01){cout<<"主元接近于零,方法失效!"<<endl;return 0;}else{if(max!=a[k][k]){for(j=k;j<=n+1;j++){t=a[k][j];a[k][j]=a[r][j];a[r][j]=t;}}}double m=0;for(i=k+1;i<=n;i++){m=a[i][k]/a[k][k]; //每一次两个方程间变量的值for(j=k+1;j<=n+1;j++){a[i][j]=a[i][j]-m*a[k][j];}}for(j=1;j<=k;j++){for(i=k+1;i<=n;i++){a[i][j]=0;}}for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n+1;j++){cout<<setw(12)<<a[i][j];}cout<<endl;}cout<<resetiosflags(ios::left)<<endl; //输出格式为左对齐}double huidai(int n){int i,j;result[n]=a[n][n+1]/a[n][n];for(i=n-1;i>=1;i--){ sum=0;for(j=i+1;j<=n;j++){sum=a[i][j]*result[j]+sum;}result[i]=(a[i][n+1]-sum)/a[i][i];}}double root(int n){int i;cout<<"该方程组的解为"<<endl; //输出for(i=1; i<=n-1; i++){cout<<"X("<<i<<")="<<result[i]<<", ";}cout<<"X("<<n<<")="<<result[n]<<"."<<endl;}void sj(){int t=0;while(cin>>t&&(t==1)){input(); //调用输入函数int i;for(i=1;i<n;i++) //控制每完成一大步消元后得到的结果{cout<<"消元第"<<i<<"大步后矩阵变为："<<'\n';output(i); //调用输出函数cout<<endl;}}}int main(){ tip();int t=0,i;while(cin>>t&&(t==1)){input(); // 调用输入函数for(i=1;i<n;i++){cout<<"消元第"<<i<<"大步后矩阵变为："<<endl;output(i); // 调用输出函数}huidai(n); // 调用回代函数root(n); // 调用输出根函数tip();}system("pause");}四．运算结果（截屏）五．算法分析：。

求向量组的秩的三种方法

求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。

秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。

本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。

二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。

在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。

三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。

矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。

对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。

由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。

列主元高斯消元法

列主元高斯消元法《列主元高斯消元法》被认为是一种十分有效的非负定线性方程组求解方法，在研究过程中曾被用于解决多项式的根的问题，例如求解二次方程及其高次多项式的根。

在数学分析理论及应用中，高斯消元法曾大量的被使用，因此需要对其进行深入的研究。

高斯消元法，又称列主元消元法，其核心思想是通过行变换，将线性方程组变化为上三角矩阵，从而求解问题。

推广到一般情况，假设给定一个下三角矩阵A，它的行列式为D，其定义为D=det(A)。

现在，对矩阵A做行变换，可得到新的矩阵A，其满足det(A=det(A)。

如果变换的主要元素来自第一列的元素，则称之为列主元变换。

一般来说，列主元变换可以将矩阵变为上三角形，高斯消元法就是以此为基础，通过连续重复列主元变换，使得矩阵变为上三角形，从而解决非负定线性方程组求解问题。

首先，对非负定方程组进行矩阵化，可以得到一个系数矩阵A和一个常数项向量b，把它们组合进一个矩阵X，则可以表示成AX=b。

即用AE=b来表示，其中E可以代表某一个线性空间的基，比如n维空间的基Ai=(1,0,….,0)，i=1,2…,n。

接下来，再以矩阵X进行转变，以第一列的元素A1、A2、A3、…、An作为主元，对A、b作列主元变换，从而使得A矩阵变为上三角矩阵。

由于变换的主元是第一列的元素，所以整个消元过程将按此进行，使得矩阵A变为三角形，如：A11 A12 A13 A14 An10 A22 A23 A24 An20 0 A33 A34 An30 0 0 A44 An4最后，只需将A阵最后一行转变为单位向量，所有的行变换就完成了，即得到上三角形：A11 A12 A13 A14 An10 A22 A23 A24 An20 0 A33 A34 An30 0 0 1 An4解这种上三角矩阵就会变得十分容易，例如，若A=（A11，A22，A33，… An-1,An），要求解每个矩阵对应的未知数向量x，只需进行下面的步骤：1. 令xn=An/An2.知xn,令xn-1=（A（n-1）-（A（n-1）,A）xn）/ A（n-1）3.续令xn-2=(A（n-2）-(A（n-2）,A）xn)/A（n-2）4. 一直重复上述步骤，直到x1=(A1-（A1,A）x2）/A1由此，就可以得到所求的向量X，最后，将方程组AX=b转换为可求解的上三角矩阵，即可用列主元高斯消元法得出求解的结果。

矩阵的秩的求法

矩阵的秩的求法
矩阵秩是用来衡量矩阵行（列）列向量空间的维数，它也是描述矩阵线性变换能力的量，是矩阵分解的重要指标，它的求法有多种，主要有下面几种：
一、基本定义法：
秩（Rank）是一个矩阵中非零的最大线性无关列数，也就是说矩阵有n列向量，如果它们的线性组合能够得到任意的列向量，就称这n列向量线性无关，它们之间构成一种基，n就是该矩阵的秩。

二、行列式法
用行列式法求解矩阵秩，是把矩阵的秩定义为矩阵的行列式值的非零因子的个数，例如矩阵的行列式值是 = 31 + 42 + 53，那么矩阵的秩便是三个非零因子的个数。

三、矩阵初等行变换法
采用该法求解矩阵秩的目的是要把原矩阵变换为一个列向量极
简行阶梯形矩阵，然后该矩阵的秩就等于非零行的数量。

求矩阵的秩的步骤

求矩阵的秩的步骤矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵的行空间或者列空间中的极大线性无关组的个数，是矩阵运算和解线性方程组的基础之一、在本文中，我们将逐步介绍求解矩阵秩的步骤和方法。

一、矩阵的秩定义矩阵的秩是指矩阵的行或列空间所能张成的子空间的维度，记作r(A)。

对于m×n的矩阵A，其秩满足以下条件：1. r(A) ≤ min(m, n)，即秩不会超过矩阵的行数和列数的较小值。

2.r(A)≤r(At)，其中At是A的转置矩阵，即矩阵的列秩不会超过行秩。

二、求解秩的方法求解矩阵的秩可以使用多种方法，包括初等变换、高斯消元法、奇异值分解等。

下面我们将逐一介绍这些方法。

1.初等变换法初等变换是指通过矩阵的行变换或列变换将矩阵转化为简化形式的操作。

通过连续的初等变换操作，可以将矩阵转化为行阶梯形或最简形的矩阵。

这时，矩阵的秩等于其非零行或列的个数。

具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行行变换，使得矩阵的一些行变为零行或形成行阶梯形。

Step 2: 记录矩阵中非零行的个数，即为秩。

例如，对于一个3×3的矩阵A，通过初等变换操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，即矩阵A的秩为32.高斯消元法高斯消元法是一种基于初等变换的方法，通过逐步将矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行或列的个数。

具体步骤如下：Step 1: 将矩阵A转化为行阶梯形矩阵B。

Step 2: 记录矩阵中非零行或列的个数，即为秩。

例如，对于一个3×3的矩阵A，通过高斯消元法操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，与使用初等变换法求得的秩相同。

3.奇异值分解法具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

矩阵的秩和消元法

线性代数与解析几何
第二章矩阵与消元法
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算阶方阵的行列式 §3 n阶方阵的行列式 §4 可逆矩阵与逆矩阵 §5 矩阵的分块 §6 矩阵的初等变换 §7 矩阵的秩 §8 消元法
§7 矩阵的秩 1 k阶子式阶子式矩阵A中任取k行与行与k列 ≤ × 矩阵定义: 定义在m×n矩阵中，任取行与列(k≤m, 2 k≤n),位于这些行列交叉处的 k 个元素 ≤ 位于这些行列交叉处的个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的不改变它们在中所处的位置次序而得的 k阶行列式称为矩阵的一个阶子式阶行列式称为矩阵A的一个阶子式. 阶行列式称为矩阵的一个k阶子式这样的子式共有 C C 个.
r( A) = r(B) = r( A) = 3
例
求解线性方程组
x1 3 x2 + x3 = 1 x1 2 x2 x3 = 3 4 x 9 x 2 x = 10 2 3 1
(2)
用矩阵的初等行变换解方程组（用矩阵的初等行变换解方程组（2）
1 B = 1 4 1 1 = A r2 r1 1 3 r3 4r1 2 10 1 3 1 1 r3 3r2 r1 + 3r3 0 1 2 2 0 0 0 0 3 2 9
定理 n阶方阵A可逆 R( A) = n
例3：：
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 设 A= , 求矩阵 A 的秩. 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
解对 A作初等行变换，变成阶梯形矩阵：
r1 r4 1 6 4 4 1 r2 r4 0 4 3 1 1 A 7 11 r3 2r1 0 12 9 0 16 12 8 12 r4 3r1

列主元消去法与全主元消去法

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计算方法
x1
x2
x3 b
x3
x2
x1 b 5 0 消元 1 1 3 2 x1 x2 b
2 3 1 4 1 10 交换 1 , 2 行 4 10 0 3 2 5 3 0.1 1 2 交换1,3列 1 0.1 x3 x2 x1 b x3
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计算方法
x3
x1
x2
b
x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
b 1.4 消元 1.2 2
4 10 5 0 2.5 0.5 0 0 0.7
0 1 回代 2 0 0 1.4
因此，原方程组的计算解为x1 1.2，x2 2，x3 1.4. 把这些数值代入原方程组可以验证这是准确解。

k
b
k
.然后
进行该步的消元运算，消去xk .同样地，这时消去xk 系数
这个方法通常称为按列选主元的高斯消去法，简称为列主元消去法。
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计算方法
例4.3 用列主元消去法求解线性方程组:
0.50 x1 1.1x2 3.1x3 6.0 2.0 x1 4.5 x2 0.36 x3 0.020 5.0 x 0.96 x 6.5 x 0.96 1 2 3
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计算方法
上面两种主元消去法一般地都能保证算法的稳定性以及计算解有较好的精度，因而它们都是求解线性方程组的有效地方法，但由于全主元消去法在第k步消元之前，需要在（n-k+1）2个元素中找出绝对值较大的元素，因而比起列主元消去法来要花费更多的机器运算的时间，所以实用上一般更多的倾向于采用列主元消去法。

将矩阵化为行最简形矩阵的技巧

将矩阵化为行最简形矩阵的技巧将矩阵化为行最简形矩阵是线性代数中很重要的技巧之一，常用于矩阵方程求解、线性方程组求解和求解矩阵的秩等问题。

这种技巧可以通过高斯-约旦消元法和高斯消元法实现。

下面将分别介绍这两种方法。

一、高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法又称作列主消元法，其原理是通过循环消元过程，将矩阵化为其行最简形矩阵。

1. 首先将矩阵的第一行化为一个主元，即将第一行除以第一个非零元素。

接着，用主元将矩阵中该列下面的所有元素变为零。

2. 将第二行第二个元素设为主元，并将第二行除以第二个非零元素。

然后，用第二行主元将矩阵中该列下面的所有元素变为零。

3. 以上过程继续进行，直到矩阵变为行最简形矩阵。

当矩阵的某一行中所有非零元素的最左端为1时，则称该行为主行。

需要注意的是，高斯-约旦消元法要求矩阵的系数矩阵可逆，否则无法得到行最简形矩阵。

二、高斯消元法高斯消元法，又称作行主消元法，其原理是通过消元过程，将矩阵化为上三角矩阵。

1. 首先，将矩阵的第一行作为主行，并将矩阵中该列下面的所有元素变为零。

2. 接下来，将第二行第一个非零元素设为主元，并将矩阵中该列下面的所有元素变为零。

3. 上述过程继续进行，直到矩阵变为上三角矩阵。

需要注意的是，高斯消元法不能处理所有矩阵。

当矩阵中出现0的情况时，将会出现除以0的情况，此时无法继续使用高斯消元法进行计算。

三、其他技巧1. 如果要快速判断一个矩阵是否为行最简形矩阵，可以查看矩阵中是否存在有非零元素上方还有其他非零元素的行。

如果矩阵中存在这样的行，则该矩阵不是行最简形矩阵。

2. 对于一个系数矩阵，可以通过增广矩阵得到齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解，从而进一步计算矩阵的秩和行最简形矩阵。

总的来说，将矩阵化为行最简形矩阵是线性代数中非常重要的技巧，对于求解线性方程组和求解矩阵秩等问题都有很好的应用。

需要注意的是，不同的矩阵可能需要使用不同的方法来化为行最简形矩阵，需要根据具体情况进行选择。