高中数学必修4平面向量课件 向量的加法
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高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
高中数学必修4平面向量课件--向量的加法
复习回顾：
1、向量的概念
2、相等向量
3.向量的共线或平行
背景 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航， 乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北， 这两次位移合成的结果是什么？
A上海
上海
C
台北
香港
B香港
一：从位移求和可得出向量的加法法则：
如图：已知向量 a , b
a
a a
关键在于两 向量首尾相连
问题：向量加法运算能否像整数、分数的加法运算那样 具有交换律和结合律呢？
已知向量 a , b
D
a a+b
b
a
C
a
b
A b 如图： AC b a
B
所以 AC a b
结论：1.向量的加法满足交换律:a b b a
2.四边形ABCD为平行四边形， AB AD AC
问题：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则 C
a+b b
D
b a+baΒιβλιοθήκη a bCA
a
B
A
B
特点：（任意向量） 首尾相接
特点：（不共线向量） 起点相同
不同法则，效果相同
五：求2个以上向量的和向量
b A B
a
c
O
C
向量的多边形法则:多个向量相加,通过向量的平 移将它们顺序“首尾相接 ",则以第一个向量的起 OC OA+AB+BC=_______ 点为起点,以最后一个向量的终点为终点的向量, 即为这多个向量的和向量. 一般的
A
C
C
A
B
1、向量的概念
2、相等向量
3.向量的共线或平行
背景 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航， 乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北， 这两次位移合成的结果是什么？
A上海
上海
C
台北
香港
B香港
一：从位移求和可得出向量的加法法则：
如图：已知向量 a , b
a
a a
关键在于两 向量首尾相连
问题：向量加法运算能否像整数、分数的加法运算那样 具有交换律和结合律呢？
已知向量 a , b
D
a a+b
b
a
C
a
b
A b 如图： AC b a
B
所以 AC a b
结论：1.向量的加法满足交换律:a b b a
2.四边形ABCD为平行四边形， AB AD AC
问题：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则 C
a+b b
D
b a+baΒιβλιοθήκη a bCA
a
B
A
B
特点：（任意向量） 首尾相接
特点：（不共线向量） 起点相同
不同法则，效果相同
五：求2个以上向量的和向量
b A B
a
c
O
C
向量的多边形法则:多个向量相加,通过向量的平 移将它们顺序“首尾相接 ",则以第一个向量的起 OC OA+AB+BC=_______ 点为起点,以最后一个向量的终点为终点的向量, 即为这多个向量的和向量. 一般的
A
C
C
A
B
《向量的加法》ppt课件
因为
uuur uuur | AC | 2 | AD |,
北 C
所以CAD 60.
B
答: 轮船此时位于A港东偏北
30
60°，且距A港40 3n mile 的 A
D
东
C处.
探究点3 向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量ar ,
uuur uuur 解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
uuur 则AC表示轮船的合位移, uuur uuur uuur AC AB BC.
北C
B
30
A
D东
uuur 在Rt△ADB中,ADB 90,DAB 30,| AB | 40 n mile，
uuur
uuur
所以| DB | 20 n mile,| AD |u2uu0r 3 n mile
在Rt△ADC中, ADC 90,| DC | 60 n mile，
uuur uuur uuur 所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 (n mile).
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
面两次位移的合位移.
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
水平运动的分位移AC
D
uuur uuur | AC | 2 | AD |,
北 C
所以CAD 60.
B
答: 轮船此时位于A港东偏北
30
60°，且距A港40 3n mile 的 A
D
东
C处.
探究点3 向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量ar ,
uuur uuur 解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
uuur 则AC表示轮船的合位移, uuur uuur uuur AC AB BC.
北C
B
30
A
D东
uuur 在Rt△ADB中,ADB 90,DAB 30,| AB | 40 n mile，
uuur
uuur
所以| DB | 20 n mile,| AD |u2uu0r 3 n mile
在Rt△ADC中, ADC 90,| DC | 60 n mile，
uuur uuur uuur 所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 (n mile).
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
面两次位移的合位移.
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
水平运动的分位移AC
D
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。
1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。
2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。
3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。
4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。
补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。
2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。
4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。
通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。
在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。
总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
平面向量的加法运算课件
平面向量的加法运算件
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
人教A版高中数学必修4 2.向量的加法运算PPT全文课件
[解] 如图所示，―B→C ＝―BA→＋―A→C ，∠BAC
＝90°，|
―→ AB
|＝|
―→ AC
|＝300
km，所以|
―→ BC
|＝
300 2 km. 又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可
知C地在B地的东偏南15°的方向处． 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的
6 ．2 平面向量的运算
6 ．2 .1 向量的加法运算
新课程标准 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加 法运算，理解其几何意义. 新学法解读 向量的加法运算可类比实数的加法运算，以位移合 成、力的合成两个物理模型为背景引入来理解.
[思考发现]
1．在△ABC 中，―A→B ＝a ，―B→C ＝b ，则 a ＋b 等于 ( )
4.―A→ B ＋―B→ C ＋―CD→＝________. 解析：―A→B ＋―BC→＋―CD→＝―AC→＋―CD→＝―AD→. 答案：―AD→
人 教 A 版 高中 数学必 修4 2 . 向量的 加法运 算PPT 全文课 件【完 美课件 】
5．在矩形 ABCD 中，―AB→＋―AD→＝________. 解析：根据向量加法的平行四边形法则知，―A→B ＋―AD→＝―A→C . 答案：―AC→
＝a ＋b ；再作―BC→＝c，则―O→C ＝a ＋b ＋c.
法二(平行四边形法则)：如图(2)，在平面内作―O→A ＝a ，―O→B ＝b ，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OADB，则―O→ D ＝a ＋b ；再作―O→C ＝c，以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC，则―O→E ＝a ＋b ＋c.
求作向量的和 [例 1] (1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出 a ＋b ； (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出 a ＋b .
推荐高中数学必修4平面向量优质课件：向量加法运算及其几何意义 精品
[类题通法] 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[对点训练] 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速 度是 4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以433 m/s 的速度水平向东 移动，求雨滴着地时的速度和方向．
解：如图，用 OA 表示雨滴下落的速度， OB 表示风使雨滴水平向东
的速度．以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB，OC 就是雨滴下落
的实际速度．
在Rt△OAC中，|OA|＝4，| AC |＝433，
∴|OC |＝ |OA|2＋| AC |2＝
42＋4Βιβλιοθήκη 332＝83
3，
43
∴tan∠AOC＝| AC |＝ |OA|
3 4
＝ 33，∴∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是833 m/s，方向与 垂直方向成30°角向东．
4．如果| AB |＝8，| AC |＝5，那么| BC |的取值范围为 ________．
解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算． 答案：[3,13]
5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC 上两点，且BP＝QC.求证： AB＋ AC ＝ AP＋ AQ.
证明： AB＝ AP＋ PB， AC ＝ AQ＋QC ，∴ AB＋ AC ＝ AP ＋ PB＋ AQ ＋QC . ∵ PB与QC 大小相等，方向相反， ∴ PB＋QC ＝0， 故 AB＋ AC ＝ AP＋ AQ＋0＝ AP ＋AQ.
[例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B 处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船 与A港的相对位置．
[解] 如图所示，设 AB 、 BC 分别是 轮船的两次位移，则 AC 表示最终位移， 且 AC ＝ AB＋BC .
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A上海
上海
C
台北
香港
B香港
5
一：从位移求和可得出向量的加法法则： 金太阳教育网
如图：已知向量 a , b
a
a a
关键在于两 向量首尾相连
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A
a a a a b b b
B
b b
a+b
2作OA a AB b , 法叫做三角形法则 3则向量a b OA AB OB
A 0 A 1 A 1 A 2 A n 2 A n1 A n1 A n A 0 A n
15
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练习：化简下列各式： 1.PB OP OB 2. AB MB BO OM
10
四：向量的加法的平行四边形法则
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D
a a a a a a
a+b
b
C
a
作法:(1)在平面取一点A
b
b
b
b
A
B
b
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b （3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b 这种作法叫做平行四边形法则
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作业：课本:B 1
《成才之路》P69 9
21
三角行法则同样适用
7
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练习：根据图示填空
E
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e
f
D
Hale Waihona Puke (1)a b d
c
f
g
A
( 2)c d
c
a
B
( 3)a b d f C b (4)c d e g
8
金太阳教育网 三：向量加法的运算律
其中所有正确命题的序号为________
③④
3
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4
品质来自专业 金太阳教育网 背景 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航， 信赖源于诚信 乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北， 这两次位移合成的结果是什么？
如：向量 a 平行于 b ，记作:a / / b
2
4.下列命题正确的是：
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D
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A.向量 a 与 b 共线，向量 b 与 c 共线，则向量 a 与 c 共线 B.向量 a 与 b 不共线，向量 b 与 c 不共线，则向量 a 与 c 不共线 C.向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D.向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量
11
问题：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则 C
a+b b
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D
b a+b
a b
C
A
B
a
A
B
a
特点：（任意向量） 首尾相接
特点：（不共线向量） 起点相同
12
不同法则，效果相同
练习1.如图,已知 a, b 用向量加法的三角形法
则作出
（1）
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ab B
ab
b a
错啦
b
（2）
C
ab ab
B
O
A
O
a
A
OB＝a+b即为所求
CA＝a+b即为所求
13
练习2.如图,已知 a, b用向量加法的平行四边
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形法则作出 （1）
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问题：向量加法运算能否像整数、分数的加法运算那样 具有交换律和结合律呢？
已知向量 a , b
D
a a a+b
b
a
C
b
A b 如图： b a AC
B
所以 AC a b
结论：1.向量的加法满足交换律:a b b a
在Rt△ABC中| AB| 2，BC| 2 3 | AC| | AB| 2 | BC| 2 4 |
船 速
D
C
∵ tan CAB 3 CAB 60
答：船实际航行的速度为大小为4km／h，方 A 向与流速间的夹角为600
水速
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B
知识巩固： 金太阳教育网
ABCD为平行四边形
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小结
a
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1 向量加法法则：
ab
三角形法则
b
b
ab a
b
多边形法则
a
平行四边形法则
2 运算性质: a b b a
(a b) c a (b c) a0 0a a
20
18
知识反馈 : 试用向量方法证明： 金太阳教育网
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对角线互相平分的四边形是平行四边形。 已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于O， AO=OC，DO=OB。 求证 四边形ABCD是平行四边形 证 如图，由向量加法法则， D C 有 AB AO OB O DC DO OC 又已知AO OC ， OB DO B A AB DC 即AB与DC平行且相等
2.四边形ABCD为平行四边形， AD AC AB
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b A
B
a
c O C
(a+b)+c=a+(b+c) ？
BC OB (a+b)+c=_____+____=______ OC a+(b+c)=OA+_____=______ AC OC
b
ab
b b b
A
ab
b
a
a
aO
a
a
OA＝a+b即为所求
O
b a b b b
（2）
b
a
a
a
ab
a
A
OA＝a+b即为所求
14
五：求2个以上向量的和向量
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b A
B
a
c O C
向量的多边形法则:多个向量相加,通过向量的平 移将它们顺序“首尾相接",则以第一个向量的起 OC OA+AB+BC=_______ 点为起点,以最后一个向量的终点为终点的向量, 即为这多个向量的和向量. 一般的
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品质来自专业 应金太阳教育网 信赖源于诚信 如图，一艘船从 点出发以2 3 km 的速度向垂直于对岸的 A h 用 方向行驶，同时河水的 流速为2 km ，求船实际航行速度 举 h 流速间的夹角表示） 例 的大小和方向。（用与
解：如图，设 表示船向垂直于对岸行 AD 驶的速度 AB表示水流的速度，以 、AB为邻边作平行四边形 AD ABCD，则AC就是船实际航行的速度 。
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1
复习回顾： 金太阳教育网
1、向量的概念、表示方法。 既有大小又有方向的量叫向量。 表示：几何表示、字母表示
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2、相等向量、向量的模
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 3.向量的共线或平行 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些 向量共线或平行。规定：零向量与任意向量 平行
5.给出下列命题： ①两个向量，当且仅当它们的起点相同、终点相同时才相等 ②若 AB = CD ，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点 ③在平行四边形ABCD中，一定有 AB = DC ④若 a b , b c , 则 a c
作法 1在平面内任取一点 O
b
b
b
b O
这种求两个向量和的作
当向量a, b为共线向量时, a b又如何作出来? 6
二：两向量共线时： 金太阳教育网
a b a b B
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A
C
C
A
B
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
注:a 0 0 a a
试证：对于任意给定向量 a , b , 均有 a b a b a b
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练习：若 AB 8, BC 5, 则 AC 的取值范围是___ C A. 3,8 B. 3,8 C. 3,13 D. 3,13