高三数学周末练习(二)试题2020

北京十三中高三数学周末练习（二）

第一部分（选择题 共40分）

一.选择题 共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

（1） 已知全集为实数集R ，集合{}230A x x x =−<，{}2log 0B x x =>，则

()A B =R （ ） A ．(]()01,−∞+∞， B ．(]01， C ．[)3+∞，

D ．∅ （2）设复数121i z i

+=−，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

（3） 已知向量()()3,4,6,3OA OB =−=−，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为（ ）

A ．3−

B ．17−

C ．35−

D ．35

（4） 若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ）

A. 2ab >

B.2a b +<

C. 11a b <

D. 2b a a b

+> （5）在261()x x

−的展开式中，常数项是（ ） A. 20− B. 15− C. 15 D. 30

（6） 已知F 为抛物线C ：24y x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB ，则

线段AB 的中点M 到直线10x 的距离为（ ）

A ．2 B. 4 C ．8 D ．16

（7） 如图，一个简单空间几何体的主视图与左视图都是边长为2的正三角形,

其俯视图的轮廓为正方形，该几何体的侧面积是（ ） A.43 43（8）已知圆22:20(0)+−=>M x y ay a 截直线0+=x y 所得线段的长度是2，则圆M 与22:(1)(1)1−+−=N x y 的位置关系是（ ）

A ．内切 B.相交 C.外切 D.相离

（9）若“1x >”是“不等式2x a x >−成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）

A.3a >

B.3a <

C.4a >

D.4a <

（10）当[]0,1x ∈时，若函数()()21f x mx =−的图象与()2

m g x x =+的图象有且只有一个交点，则 正实数m 的取值范围是（ ）

A.[)2+∞，

B.(]50,2+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，

C.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

D.(][)0,1+∞2，

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

（11） 设n S 为公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和,且13a ，22a ，3a 成等差数列，则q = , 42S S =

. （12） 若函数()2,01,0

x e x f x x x ⎧≤=⎨−>⎩，则函数()1y f x =−的零点是___________. （13） 在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π

=，则b =_________.

（14）能够使得命题“曲线22

1(0)4x y a a

−=≠上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 .

（15）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，

其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整

方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．

给出下列四种说法：

① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；

② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；

③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；

④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．

其中，正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）

三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（16）（本小题14分）

在△ABC 中，3B π∠=

，b =，_____________________ 求BC 边上的高．

从①sin 7A =

， ②sin 3sin A C =， ③2a c −=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）

如图，在四棱柱C ABEF −中，平面⊥ABEF 平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，EF AB //，90ABE ∠=，1==EF BE ，点M 为BC 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；

（Ⅱ）求证：CE AM ⊥；

（Ⅲ）求二面角F BC E −−的余弦值．

（18）（本小题14分）

一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出 现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．

（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列；

（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；

（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了． 请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．

A

（19）（本小题15分）

已知函数x ax x x f ln )(2

−+=， .a R ∈

（Ⅰ）若0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）令2)()(x x f x g −=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值 是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

（20）（本小题14分） 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值.

（21）（本小题14分）

若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ，且1241,3,1,a a a ===67819a a a ++=，求3a ；

（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是等比数列，141b c ==，4164b c ==，n n n a b c =+.判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.