主成分分析法的原理应用及计算步骤
主成分分析法及其应用
主成分分析法及其应用一、本文概述主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种广泛应用于数据降维和特征提取的统计方法。
它通过正交变换将原始数据集中的多个变量转换为少数几个互不相关的主成分，这些主成分能够最大程度地保留原始数据集中的信息。
本文旨在全面介绍主成分分析法的基本原理、实现步骤以及在各个领域中的应用案例。
我们将详细阐述主成分分析法的数学基础和算法流程，包括协方差矩阵、特征值、特征向量等关键概念的计算方法。
然后，我们将通过实例演示如何使用主成分分析法进行数据降维和特征提取，以及如何通过可视化工具展示降维后的数据效果。
我们将探讨主成分分析法在机器学习、图像处理、生物信息学、社会科学等多个领域中的实际应用，展示其在数据分析和处理中的重要价值和潜力。
二、主成分分析法的基本原理主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种在多个变量中找出主要影响因素，并通过降维技术把多个变量转化为少数几个互不相关的综合变量的统计方法。
这种方法在保持数据信息损失最小的原则下，通过正交变换将原始数据转化为一个新的坐标系统，使得在这个新的坐标系统中，任何数据的最大方差都投影在第一主成分上，第二大的方差都投影在第二主成分上，以此类推。
变量降维：在多数情况下，原始数据集中可能存在多个变量，这些变量之间可能存在相关性。
主成分分析通过构造新的变量（即主成分），这些新变量是原始变量的线性组合，并且新变量之间互不相关，从而将原始的高维数据空间降维到低维空间，实现数据的简化。
方差最大化：主成分分析的另一个重要原理是方差最大化。
这意味着，第一个主成分将捕获数据中的最大方差，第二个主成分捕获第二大方差，以此类推。
通过这种方式，主成分分析能够识别出数据中的主要变化方向和模式。
数据解释性：主成分分析生成的主成分是对原始数据的线性变换，因此，每个主成分都可以被解释为原始变量的某种组合。
主成分分析的原理与方法
主成分分析的原理与方法主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的降维技术，用于数据的降维和特征提取。
它通过线性变换将原始数据映射到新的特征空间，使映射后的数据在新的特征空间中具有最大的方差。
一、主成分分析的原理主成分分析的核心思想是将高维数据映射到低维空间，同时保留最重要的信息。
具体而言，将原始数据映射到新的特征空间后，希望得到的新特征具有以下特性：1. 最大化方差：在新的特征空间中，希望找到使数据方差最大化的方向。
这样做的目的是将数据的主要变化方向保留下来，有利于更好地区分不同的样本。
2. 无相关性：希望得到的新特征之间是相互独立的，即它们之间没有任何相关性。
这样可以减少数据中的冗余信息，提取出更具代表性的特征。
二、主成分分析的方法主成分分析通常分为以下几个步骤：1. 标准化数据：由于主成分分析是基于数据的协方差矩阵进行计算的，所以首先需要将数据进行标准化处理，使各个维度的数据具有相同的尺度。
2. 计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，可以得到各个维度之间的相关性。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量，其中特征值表示对应特征向量方向上的方差。
4. 选择主成分：根据特征值的大小，选择方差解释最大的前k个特征向量作为主成分。
5. 数据映射：将原始数据映射到选择的主成分上，得到降维后的数据。
三、主成分分析的应用主成分分析在数据分析和特征工程中有广泛的应用，可以用于数据降维、数据可视化和去除数据冗余等方面。
1. 数据降维：主成分分析可以将高维数据映射到低维空间，减少数据的维度，降低计算复杂度，并且保留了大部分的数据信息。
2. 数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间，可以将高维数据可视化，更好地观察数据的分布和结构。
3. 特征提取：主成分分析可以提取出数据中最具代表性的特征，对于后续的模型建立和训练有重要的意义。
主成分分析的实施步骤与应用领域
主成分分析的实施步骤与应用领域主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维和特征提取方法，广泛应用于多个领域，如数据分析、图像处理、生物医学等。
本文将介绍主成分分析的实施步骤以及常见的应用领域。
一、主成分分析的实施步骤主成分分析通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而找到最能代表原数据特征的主成分。
其实施步骤一般包括以下几个步骤：1. 数据预处理：对原始数据进行标准化处理，使得不同尺度的特征具有相同的权重。
常用的标准化方法有均值移除和方差缩放。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据，计算协方差矩阵。
协方差矩阵反映了不同特征之间的相关性。
如果两个特征之间相关性较高，它们的协方差值会比较大。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征向量表示了数据的主要方向，而特征值表示了数据在特征向量方向上的方差大小。
4. 选择主成分：根据特征值的大小，选择最具代表性的前k个特征向量作为主成分。
特征值越大，表示数据在该主成分上的方差越大，对数据的贡献也越大。
5. 数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到新的低维表示。
通过这种方式，可以将高维数据降维到较低的维度，同时保留了原始数据的主要信息。
二、主成分分析的应用领域主成分分析在许多领域都有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用领域：1. 数据分析与可视化：主成分分析可以用于探索数据之间的关系和内在模式。
通过降维，可以将数据可视化在二维或三维空间中，便于我们理解数据的分布和结构。
2. 图像处理与压缩：在图像处理中，图像可以表示为像素矩阵。
通过主成分分析，可以将图像表示为较低维度的特征向量，从而实现图像的压缩和还原。
3. 特征提取与识别：在模式识别和机器学习中，主成分分析可以用于提取对分类有重要影响的特征，并进行维度约简。
通过降维可以提高模型的训练效率，并防止维度灾难的发生。
主成分分析法的原理应用及计算步骤57270
一、概述在处理信息时,当两个变量之间有一定相关关系时,可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠,例如,高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠与高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题,最简单与最直接的解决方案就是削减变量的个数,但这必然又会导致信息丢失与信息不完整等问题的产生。
为此,人们希望探索一种更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成较少几个综合指标,通常综合指标(主成分)有以下几个特点:↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建模,这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不就是原有变量的简单取舍,而就是原有变量重组后的结果,因此不会造成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标(主成分)之间互不相关,因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之,主成分分析法就是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子,如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析就是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1,X2,…,XP(比如p 个指标),重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取,使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息,又能保证新指标之间保持相互无关(信息不重叠)。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
主成分分析法的原理应用及计算步骤1.计算协方差矩阵：首先，我们需要将原始数据进行标准化处理，即使每个特征都有零均值和单位方差。
假设我们有m个n维样本，数据集为X，标准化后的数据集为Z。
那么，计算协方差矩阵的公式如下：Cov(Z) = (1/m) * Z^T * Z其中，Z^T为Z的转置。
2.计算特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。
特征值表示了新坐标系中每个特征的重要性程度，特征向量则表示了数据在新坐标系中的方向。
将协方差矩阵记为C，特征值记为λ1, λ2, ..., λn，特征向量记为v1, v2, ..., vn，那么特征值分解的公式如下：C*v=λ*v计算得到的特征向量按特征值的大小进行排序，从大到小排列。
3.选择主成分：从特征向量中选择与前k个最大特征值对应的特征向量作为主成分，即新坐标系的基向量。
这些主成分可以解释原始数据中大部分的方差。
我们可以通过设定一个阈值或者看特征值与总特征值之和的比例来确定保留的主成分个数。
4.映射数据：对于一个n维的原始数据样本x，通过将其投影到前k个主成分上，可以得到一个k维的新样本，使得新样本的方差最大化。
新样本的计算公式如下：y=W*x其中，y为新样本，W为特征向量矩阵，x为原始数据样本。
PCA的应用：1.数据降维：PCA可以通过主成分的选择，将高维数据降低到低维空间中，减少数据的复杂性和冗余性，提高计算效率。
2.特征提取：PCA可以通过寻找数据中的最相关的特征，提取出主要的信息，从而减小噪声的影响。
3.数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间中，PCA可以帮助我们更好地理解和解释数据。
总结：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它通过投影数据到一个新的坐标系中，使得投影后的数据具有最大的方差。
通过计算协方差矩阵和特征向量，我们可以得到主成分，并将原始数据映射到新的坐标系中。
PCA 在数据降维、特征提取和数据可视化等方面有着广泛的应用。
主成分分析简介及其应用场景
主成分分析简介及其应用场景主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，PCA）是一种常用的数据分析和降维技术，它可以将高维数据转换为低维空间，并保留原始数据的最重要信息。
本文将介绍主成分分析的原理及其在各个领域的应用场景。
1.主成分分析的原理主成分分析的目标是找到一个新的坐标系，将原始数据映射到这个新的坐标系中。
在这个新的坐标系中，数据的方差最大化，这样可以保留原始数据的最重要信息。
具体而言，主成分分析通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，确定新的坐标系。
2.主成分分析的应用场景2.1数据降维主成分分析最常见的应用之一是数据降维。
在现实生活中，我们经常面临高维数据的问题，如图片、文本、音频等。
高维数据不仅难以可视化和分析，还会增加计算复杂度。
通过主成分分析，我们可以将高维数据转换为低维空间，减少特征数量，同时保留数据的重要信息。
这对于机器学习和数据挖掘任务非常有用，可以提高算法的性能和效率。
2.2数据可视化主成分分析还可以用于数据可视化。
通过将数据映射到二维或三维空间中，我们可以更直观地观察数据的分布和结构。
例如，对于一个包含多个特征的数据集，我们可以通过主成分分析将其转换为二维平面，然后使用散点图或者等高线图显示数据的分布情况。
这样可以帮助我们更好地理解数据，发现其中的规律和趋势。
2.3特征提取主成分分析还可以用于特征提取。
在某些任务中，我们可能只关注数据中的一部分特征，而不需要所有的特征。
通过主成分分析，我们可以选择保留最重要的特征，从而简化数据分析过程，提高任务的效果。
例如，在人脸识别任务中，我们可以通过主成分分析选择最能代表人脸特征的主成分，从而实现更高效的人脸识别算法。
2.4数据预处理主成分分析还可以用于数据预处理。
在数据分析和机器学习任务中，数据的预处理非常重要。
主成分分析可以帮助我们去除数据中的噪声和冗余信息，同时保留数据的重要特征。
这样可以提高算法的鲁棒性和性能。
主成分分析法
四、主成份分析法旳环节
1）数据归一化处理：数据原则化（Z） 2）Βιβλιοθήκη 算有关系数矩阵R： 3）计算特征值；
特征值越大阐明主要程度越大。
4）计算主成份贡献率及方差旳合计贡献率； 5）计算主成份载荷与特征向量：
主成份旳负荷值大小反应了主成份因子对可测变量旳影响程 度；载荷值越大阐明此变量对主成份旳解释越多，及贡献越大。
• 因子分析 优点：第一它不是对原有变量旳取舍，而是根据原始变 量旳信息进行重新组合，找出影响变量旳共同因子，化简 数据；第二，它经过旋转使得因子变量更具有可解释性， 命名清楚性高。 缺陷 ：在计算因子得分时，采用旳是最小二乘法，此法 有时可能会失效。
总之，主成份分析是因子分析旳一种特例。
谢 谢 观 看！
旋转后旳主成份因子载荷矩阵
景区满意度旋转前后成份矩阵图对比
5、碎石图分析
选用主成份旳个数，急转处是拟定主成份旳个数处。
景区满意度碎石图
八、与因子分析法旳区别
1、基本概念
➢ 主成份分析就是将多项指标转化为少数几项综合 指标,用综合指标来解释多变量旳方差- 协方差构 造。综合指标即为主成份。所得出旳少数几种主 成份，要尽量多地保存原始变量旳信息，且彼此 不有关。
注意：进行主成份旳变量之间必须要有有关性， 经过分析后变量之间独立。
二、主成份分析法基本原理
主成份分析就是设法将原来众多具有一定有关性 旳变量(如p个变量)，重新组合成一组新旳相互无 关旳综合变量来替代原来变量。怎么处理？
一般数学上旳处理就是将原来p个变量作线性组合 作为新旳综合变量。怎样选择？
假如将选用旳第一种线性组合即第一种综合变量 记为F1，自然希望F1尽量多旳反应原来变量旳信 息。怎样反应?
大数据分析中的主成分分析技术使用教程
大数据分析中的主成分分析技术使用教程主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的统计分析方法，用于降低数据维度、提取数据的主要特征和结构，从而帮助我们更好地理解和解释数据。
在大数据时代，主成分分析技术被广泛应用于各个领域，为数据分析师提供了重要的工具和方法。
一、主成分分析的基本原理1.1. 什么是主成分分析？主成分分析是一种多变量统计分析方法，通过对原始数据进行线性变换，将原始数据转化为新的一组综合指标（理论上是无关的），这些综合指标被称为主成分。
主成分是原始变量的线性组合，其具有不相关性和方差最大化的特点。
1.2. 如何进行主成分分析？主成分分析的步骤可以概括为以下几步：1）标准化原始数据：将原始数据标准化，使其均值为0，方差为1。
2）计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
3）求解特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4）选择主成分：按照特征值从大到小的顺序选择主成分，通常保留累计贡献率较高的主成分。
5）计算主成分得分：通过将原始数据乘以特征向量得到主成分得分。
二、主成分分析的应用场景2.1. 特征提取与数据降维主成分分析广泛应用于特征提取和数据降维领域。
在大数据时代，我们往往面临高维数据集，而高维数据分析复杂且困难。
主成分分析可将原始数据映射到低维度空间，保留大部分原始数据的信息，从而减少数据的复杂性，简化数据分析过程。
2.2. 数据可视化主成分分析还可用于数据可视化。
通过将高维数据降维至二维或三维，我们可以将数据在二维或三维空间中进行可视化展示，更好地理解数据的结构和内在关系。
数据可视化有助于发现异常值、聚类分析、分类和回归分析等任务。
2.3. 特征选择和变量相关分析主成分分析还可用于特征选择和变量相关分析。
通过计算各个主成分的贡献率和相关系数，我们可以判断原始变量对每个主成分的贡献程度，从而选择对结果影响较大的主成分。
主成分分析的数学原理和实际应用案例
主成分分析的数学原理和实际应用案例主成分分析是一种常见的数据降维方法，它能够将多维数据转化为少数几个主成分，并保留大部分原数据的信息。
这种方法在数据处理、统计分析、机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将对主成分分析的数学原理和实际应用案例进行探讨。
一、数学原理1.1 协方差和相关系数主成分分析的核心在于协方差矩阵和相关系数矩阵。
协方差矩阵描述了多个随机变量之间的线性关系，它的元素为各个变量的协方差。
相关系数矩阵是协方差矩阵标准化后的结果，能够消除变量之间的量纲差异。
两个变量的相关系数越大，它们之间的线性关系就越强。
1.2 特征值和特征向量对于一个协方差矩阵或相关系数矩阵，它的特征值和特征向量是非常重要的，它们能够帮助我们找到主成分。
特征值是一个标量，它描述了矩阵的特殊性质。
特征向量是一个非零向量，是满足线性方程组Av=λv的向量v。
其中，A是矩阵，λ是特征值。
特征向量的方向与其所对应的特征值有关，特征值越大，特征向量的重要性就越大。
1.3 主成分分析步骤主成分分析的步骤如下：（1）求出协方差矩阵或相关系数矩阵。
（2）求出矩阵的特征值和特征向量。
（3）按照特征值大小排序，选取前k个主成分。
一般来说，特征值越大，对应的特征向量就越重要。
主成分的个数取决于对数据降维的需求。
（4）将原始变量线性组合得到主成分。
主成分的特点是互相独立，同时能够代表原始变量的主要信息。
二、实际应用案例2.1 股票数据分析人们在研究股票市场时，经常需要处理大量的股票数据。
主成分分析可以帮助我们找到一些重要的指标，从而更好地预测股票的走势。
例如，我们可以选取股票的收盘价、成交量、市盈率等指标，分析它们之间的关系，并将它们转化为若干个主成分。
2.2 图像压缩在数字图像处理中，主成分分析常常用于图像压缩。
我们可以将一张高分辨率的图片转化为若干个主成分，每个主成分包含了原始图像的大部分信息。
在存储和传输图片时，仅需要保留少数几个主成分即可，从而大大节省了存储空间和传输带宽。
统计学中的主成分分析方法简介
统计学中的主成分分析方法简介统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是统计学中一种常用的数据降维技术。
它能够将高维度的数据转化为低维度的数据，从而帮助我们更好地理解和解释数据的结构和模式。
本文将对主成分分析方法进行简要介绍。
一、主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始数据转换为一组新的互相无关的变量，这些新变量被称为主成分。
主成分是原始变量的线性组合，其中第一个主成分解释了原始数据中最大的方差，第二个主成分解释了剩余方差中的最大部分，以此类推。
通过选择前几个主成分，我们可以保留原始数据中的大部分信息，并且减少数据的维度。
二、主成分分析的步骤主成分分析的步骤可以概括为以下几个步骤：1. 数据标准化：为了保证不同变量之间的可比性，我们需要对原始数据进行标准化处理，通常是将每个变量减去其均值并除以标准差。
2. 计算协方差矩阵：协方差矩阵反映了不同变量之间的相关性。
通过计算原始数据的协方差矩阵，我们可以得到变量之间的相关性信息。
3. 计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示了主成分的方差，而特征向量表示了主成分的方向。
4. 选择主成分：根据特征值的大小，我们可以选择前几个特征值对应的特征向量作为主成分。
一般来说，我们选择特征值较大的前几个主成分，以保留较多的原始数据信息。
5. 计算主成分得分：通过将原始数据与选定的主成分进行线性组合，我们可以得到每个样本在主成分上的得分。
这些得分可以用来解释样本在主成分上的位置和相对重要性。
三、主成分分析的应用主成分分析在许多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 数据压缩：通过选择较少的主成分，我们可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而减少存储和计算的成本。
2. 数据可视化：通过将数据投影到前几个主成分上，我们可以将高维度的数据可视化为二维或三维的图形，更好地理解数据的结构和模式。
主成分分析方法及其应用
主成分分析方法及其应用在数据分析和模式识别领域，主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的降维技术和数据预处理方法。
该方法通过线性变换将高维数据映射为低维空间，同时保留尽可能多的数据信息。
本文将介绍主成分分析的基本原理和应用，并分析其在实际问题中的实用价值。
一、主成分分析的基本原理主成分分析的目标是通过线性变换将原始数据投影到一个新的坐标系上，使得新坐标系的第一主成分方差最大，第二主成分方差次之，依此类推。
这样做的好处是降低数据的维度，去除冗余信息，同时保留数据的主要特征。
下面是主成分分析的基本步骤：1. 数据标准化在进行主成分分析之前，首先需要对数据进行标准化处理，确保各个特征具有相同的尺度。
通常使用零均值标准化方法，即对每个特征进行减去均值，再除以标准差。
2. 计算协方差矩阵协方差矩阵是描述各个特征之间相关性的一种方式。
通过计算标准化后数据的协方差矩阵，可以获取各个特征之间的相关性信息。
3. 特征值分解对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征向量表示了新坐标系的方向，特征值表示了数据在该方向上的方差大小。
4. 选择主成分根据特征值的大小选择主成分。
通常选择特征值较大的前几个主成分，它们包含了数据中大部分的信息。
5. 数据投影使用选取的主成分将数据投影到新的低维空间中。
投影后，数据的维度被降低，但保留了主要的结构信息。
二、主成分分析的应用主成分分析在实际问题中有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用领域：1. 特征提取主成分分析可以用于提取数据的主要特征，去除冗余信息。
在图像处理、语音识别等领域，主成分分析可以用于特征提取，从而减少特征的维度，简化后续分类或识别任务。
2. 数据压缩由于主成分分析可以降低数据的维度，因此可以用于数据的压缩。
通过保留较多的主成分，可以在一定程度上减小数据的存储空间和计算负担，提高数据处理的效率。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
主成分分析法的原理应用及计算步骤主成分分析的目标是通过线性变换找到一组新的变量，使得原始数据在这组新变量上的投影具有最大方差。
假设有m个观测样本和n个变量，我们的目标是找到n个线性无关的主成分变量Z1,Z2,...,Zn。
首先，我们选择第一个主成分变量Z1，使得数据在Z1上的投影具有最大的方差。
然后，我们选择第二个主成分Z2，使得Z1和Z2的协方差尽可能小，即Z2与Z1无关。
依此类推，我们依次选择第三、第四...第n个主成分变量，一直到第n个主成分Zn，使得Z1、Z2...Zn两两不相关。
通过这种方式，我们实现了对数据的降维，将原始的高维数据使用较低维的主成分表示。
1.标准化数据：将原始数据按列进行标准化处理，即将每一列的数据减去该列的均值，然后再除以该列的标准差。
这样做的目的是使得相对较大方差的变量与相对较小方差的变量处于同一个尺度上。
2.计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，来描述各个变量之间的线性关系。
协方差矩阵的元素C[i][j]表示第i个变量与第j个变量的协方差。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
特征值表示数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量表示数据在对应特征向量方向上的投影。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为前k个主成分。
通常选择的主成分数目k是根据方差解释率来确定的。
5.数据降维：将原始数据通过选取的主成分线性变换到低维空间中。
只选择部分主成分（前k个），可以减小数据的维度。
6.可视化与解释：通过可视化的方式展示主成分之间的关系，解释主成分所代表的意义，从而达到对数据的理解和分析。
总结：主成分分析方法通过线性变换将高维数据转化为低维数据，保留了原始数据中最大方差的性质。
它的计算步骤包括数据标准化、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、选择主成分、数据降维和可视化与解释。
主成分分析方法在数据分析和特征提取中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和处理高维数据。
主成分分析方法及其应用策略优化
主成分分析方法及其应用策略优化主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降低数据复杂度和提取主要特征。
本文将介绍PCA的基本原理和应用策略，并提出一些优化方法。
一、PCA的基本原理主成分分析是一种无监督学习方法，旨在通过将原始数据集投影到一个新的坐标系上，找到数据中的主要分量。
具体步骤如下：1. 数据标准化：首先对原始数据进行标准化处理，使各个特征具有相同的尺度。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于衡量不同特征之间的相关性。
3. 求解特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：按照特征值的大小降序排列，选择前k个特征向量作为主成分，其中k为希望保留的维度。
5. 数据转换：将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据集。
二、PCA的应用策略PCA广泛应用于数据降维、特征提取和数据可视化等领域。
下面介绍一些常见的PCA应用策略：1. 数据降维：通过PCA可以降低数据的维度，减少存储空间和计算负载，同时保持数据的主要特征。
2. 特征提取：通过PCA提取数据中的主要特征，去除冗余信息，提高后续任务的效果，如图像识别、人脸识别等。
3. 数据压缩：利用PCA可以将高维数据集压缩成低维表示，减少存储和传输的开销，同时保留数据的主要结构和特征。
4. 数据可视化：通过PCA将高维数据映射到二维或三维空间中，方便进行数据可视化，发现隐藏在数据中的结构和规律。
三、PCA方法的优化尽管PCA在许多领域被广泛应用，但仍存在一些问题，例如对于大规模数据集，计算协方差矩阵的时间和空间复杂度较高。
以下是一些常用的PCA方法优化策略：1. 近似方法：使用近似方法来计算特征值和特征向量，如随机采样法、迭代法等，可以减少计算复杂度，加快计算速度。
2. 分布式计算：对于大规模数据集，在集群或分布式系统上进行PCA计算，实现并行化处理，提高计算效率。
（完整版）主成分分析法的原理应用及计算步骤..
（完整版）主成分分析法的原理应⽤及计算步骤..⼀、概述在处理信息时，当两个变量之间有⼀定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有⼀定的重叠，例如，⾼校科研状况评价中的⽴项课题数与项⽬经费、经费⽀出等之间会存在较⾼的相关性；学⽣综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学⾦次数等之间也会存在较⾼的相关性。
⽽变量之间信息的⾼度重叠和⾼度相关会给统计⽅法的应⽤带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决⽅案是削减变量的个数，但这必然⼜会导致信息丢失和信息不完整等问题的产⽣。
为此，⼈们希望探索⼀种更为有效的解决⽅法，它既能⼤⼤减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的⼤量丢失。
主成分分析正式这样⼀种能够有效降低变量维数，并已得到⼴泛应⽤的分析⽅法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少⼏个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下⼏个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数⼏个因⼦之后，因⼦将可以替代原有变量参与数据建模，这将⼤⼤减少分析过程中的计算⼯作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝⼤部分信息因⼦并不是原有变量的简单取舍，⽽是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的⼤量丢失，并能够代表原有变量的绝⼤部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因⼦参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应⽤带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数⼏个因⼦，如何使因⼦具有⼀定的命名解释性的多元统计分析⽅法。
⼆、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的⼀种⽅法。
其基本思想是设法将原来众多的具有⼀定相关性的指标X1，X2，…，XP （⽐如p 个指标），重新组合成⼀组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最⼤程度的反映原变量Xp 所代表的信息，⼜能保证新指标之间保持相互⽆关（信息不重叠）。
主成分分析方法PPT课件
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xn 2
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❖ 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。 为了克服这一困难，就需要进行降维处理. 要求：较少的几个综合指标尽量多地反映原来较 多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼 此独立的
例，成绩数据
❖ 100个学生的数学、物理、化学、语文、历 史、英语的成绩如下表（部分）。
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lk2j 1, (k 1,2,, m)
j 1
Rlk lk (R E)lk 0
计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
k
p
i
(k 1,2,, p)
i 1
▲累计贡献率:
k
p
j1 j / i1 i
一般取累计贡献率达85—95%的特征值 1, 2 ,, m 所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分
6
6
样方
1
物种X1 1
物种X2 5
2 3 4 5 6 总和 2 0 2 -4 -1 0 2 1 0 -4 -4 0
种X2
X2
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
种X1
6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5
X1
中心化后的原始数据矩阵
X
1 5
2 2
0 1
2 0
4 4
1 4
❖ 把坐标轴X1、 X2刚性地旋转 一个角度，得
到图中新坐标
轴Y1和Y2
X2
6
浅析主成分分析法及案例分析
浅析主成分分析法及案例分析主成分分析的原理：主成分分析的目标是找到一组线性变量，它们能够最大程度地解释原始数据中的变化。
第一个主成分与数据具有最大的差异，而随后的主成分则与第一个主成分正交（即无相关性），并且在特征解释方面具有最大的差异。
主成分是对原始数据的线性组合，其中具有最大方差的成分被称为第一个主成分，次大方差的成分被称为第二个主成分，依此类推。
主成分分析的步骤：1.标准化数据：如果原始数据的变量具有不同的单位和尺度，我们需要对数据进行标准化，以确保每个变量对主成分的贡献是公平的。
2.计算协方差矩阵：协方差矩阵显示了原始数据中变量之间的相关性。
它可以通过计算每个变量之间的协方差来得到。
3.计算特征向量和特征值：通过对协方差矩阵进行特征分解，我们可以得到一组特征向量和特征值。
特征向量表示主成分的方向，而特征值表示每个主成分的解释方差。
4.选择主成分：根据特征值的大小，我们可以选择前k个主成分作为降维后的新变量，其中k是我们希望保留的维度。
这样就可以将原始数据投影到所选的主成分上。
主成分分析的案例分析：假设我们有一份包含多个变量的数据集，例如身高、体重、年龄和收入。
我们希望通过主成分分析来降低数据的维度，以便更好地理解数据集。
首先，我们需要标准化数据，以确保每个变量具有相同的权重。
接下来，我们计算协方差矩阵，得到变量之间的相关性。
然后，我们进行特征值分解，得到一组特征向量和特征值。
通过观察特征值的大小，我们可以选择前几个主成分，例如前两个主成分。
最后，我们将原始数据集投影到选定的主成分上，得到降维后的数据集。
这样，我们可以用两个主成分来表示原始数据集的大部分变异，并且可以更容易地分析数据集中的模式和关系。
总结：通过主成分分析，我们可以将高维度的数据转换为更低维度的数据，从而更好地理解和分析数据集。
它可以帮助我们发现数据中的隐藏模式和关系，提取出对数据变异具有最大贡献的特征。
在实际应用中，主成分分析常用于数据降维、数据可视化、特征选择等领域。
主成分分析法
1.759
0.858 2.096 … -0.337 …
2
3 1 … 23 …
Bartlett 值= 313.417， P<0.0001，即相关矩阵 不是一个单位矩阵，故 考虑进行因子分析。
特征值、贡献率及累积贡献率
Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % 61.638 61.638 4.315 61.638 61.638 27.917 89.554 1.954 27.917 89.554 5.138 94.692 2.644 97.335 1.978 99.313 .473 99.786 .214 100.000
r1 p r2 p ... r pp
2、计算特征值和特征向量 解特征方程
|λE-R|=0
求出特征值 λi(i=1，2，…，p) 将这P个特征值按大小顺序排列，即 λ1≥λ2≥…≥λp≥0 然后按公式
| λi E-R|ei=0
分别求出对应于λi的特征向量ei(i=1，2，…，p)
3、计算主成分贡献率及累计贡献率
从上表知：前三个主成分累计贡献率达92.273%，因此，这三个主成 分Z1、Z2、Z3能够充分反映31个区域第三产业发展的综合水平 。
4、计算主成分载荷
主成分载荷lij
原变量xi
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
第一主成分l1i 0.946 0.971 0.220 0.795 0.930 -0.0763 0.899
5 计算各省区在一二三主成分上的综合得分
主成分分析的基本思想和应用
主成分分析的基本思想和应用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维方法，通过保留数据集中的主要特征分量，将高维数据映射到低维空间中，从而实现对数据集的简化。
本文将详细介绍主成分分析的基本思想和应用。
一、基本思想主成分分析的基本思想是将数据集中的多个变量通过线性变换转换为几个线性不相关的变量，这几个变量称为主成分。
在转换过程中，主成分能够最大化数据的方差，从而保留数据集中的主要信息。
通过这种方式，我们可以将高维数据降到较低维度，实现对数据集的简化。
二、数学原理主成分分析的数学原理可以概括为以下几个步骤：1.数据标准化：对数据集进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，标准差为1。
2.计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，表示数据集中各个变量之间的相关性。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征分解，得到一组特征值和对应的特征向量。
4.选择主成分：根据特征值的大小，降序排列特征值，并选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分。
5.形成新的数据集：将原始数据集投影到新的空间中，使得新空间中的数据线性无关，从而实现数据降维。
三、应用主成分分析在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个典型的例子：1. 图像处理在图像处理领域，主成分分析可以用于图像降维和图像压缩。
通过保留图像中的主要特征分量，可以将高维的图像数据降到较低维度，从而减少数据量，提高计算效率。
此外，主成分分析还可以用于图像去噪和图像增强等任务。
2. 机器学习在机器学习领域，主成分分析常用于特征提取和特征选择。
通过降维，可以减少模型训练过程中的计算复杂度，提高模型的预测性能。
此外，主成分分析还可以用于数据可视化，将高维数据映射到二维或三维空间中，便于观察数据之间的关系。
3. 金融领域在金融领域，主成分分析可以用于风险管理和资产定价。
通过分析金融市场中的多个变量，提取主要的风险因素，可以帮助投资者更好地理解和预测市场走势。
主成分分析法的步骤和原理
主成分分析(Principal ComponentAnalysis )是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量(即主成分)，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。
⑵采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。
(二)主成分分析法代数模型假设用p个变量来描述研究对象，分别用X i，X2…X P来表示，这p个变量构成的p维随机向量为X=(X i, X2-X p)t。
设随机向量X的均值为卩，协方差矩阵为艺。
假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，并且卩k是其第k个元素的期望值，即，卩k= E(xk)，协方差矩阵然后被定义为：工=E{(X -E[X])(X-E[X])}=( 如图对X进行线性变化，考虑原始变量的线性组合:2 =卩11X +卩12X2+…卩1p X pZ2=卩21X1+ 卩22X2+…卩2p X p乙=卩P1X1+ [1 P2X2+…卩PP X P主成分是不相关的线性组合乙，Z2……乙，并且乙是X，X2…X p的线性组合中方差最大者，乙是与乙不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p是与Z1,Z2…… Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。
(三)主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n,选取的财务指标数为P,则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(X ij)mXp，其中X ij表示第i家上市公司的第j项财务指标数据。
第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵(系统自动生成)。
第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R,是反映标准化后的数据之(X kj X x X kjX j ) R jX i )2：X kj X j )2 第四步：根据协方差矩阵 R 求出特确定主成分个数。
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一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p pF a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm 为原变量指标X1、X2……XP 第一、第二、……、第m 个主成分。
11111221221122221122...............p p p pm m m mp p F a X a X a X F a X a X a X F a X a X a X =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 根据以上分析得知：(1) Fi 与Fj 互不相关，即Cov(Fi ，Fj) = 0,并有Var(Fi)=ai ’Σai ，其中Σ为X 的协方差阵(2)F1是X1，X2，…，Xp 的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的,……,即Fm 是与F1，F2，……，Fm －1都不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大者。
F1，F2，…，Fm （m ≤p ）为构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、……、第m 个主成分。
由以上分析可见，主成分分析法的主要任务有两点：（1）确定各主成分Fi （i=1，2，…，m ）关于原变量Xj （j=1，2 ，…， p ）的表达式，即系数ij a （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。
从数学上可以证明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m 个较大特征根就代表前m 个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m 个较大的特征值i λ（这样选取才能保证主成分的方差依次最大）所对应的特征向量就是相应主成分Fi 表达式的系数i a ，为了加以限制，系数i a 启用的是i λ对应的单位化的特征向量，即有'ai ai = 1。
（2）计算主成分载荷，主成分载荷是反映主成分Fi 与原变量Xj 之间的相互关联程度：(,)(,1,2,,;1,2,,)k i ki P Z x i p k m ===三、主成分分析法的计算步骤主成分分析的具体步骤如下： （1）计算协方差矩阵计算样品数据的协方差矩阵：Σ=(s ij )p ⨯p ，其中11()()1nij ki i kj j k s x x x x n ==---∑ i ，j=1，2，…，p （2）求出Σ的特征值i λ及相应的正交化单位特征向量i aΣ的前m 个较大的特征值λ1≥λ2≥…λm>0,就是前m 个主成分对应的方差，i λ对应的单位特征向量i a 就是主成分Fi 的关于原变量的系数，则原变量的第i 个主成分Fi 为：Fi ='i a X主成分的方差（信息）贡献率用来反映信息量的大小，i α为：1/mi i i i αλλ==∑（3）选择主成分最终要选择几个主成分，即F1,F2,……,Fm 中m 的确定是通过方差（信息）累计贡献率G(m)来确定11()/pmi k i k G m λλ===∑∑当累积贡献率大于85%时，就认为能足够反映原来变量的信息了，对应的m 就是抽取的前m 个主成分。
（4）计算主成分载荷主成分载荷是反映主成分Fi 与原变量Xj 之间的相互关联程度，原来变量Xj （j=1，2 ，…， p ）在诸主成分Fi （i=1，2，…，m ）上的荷载 lij （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。
：(,)(1,2,,;1,2,,)i j ij l Z X i m j p ===在SPSS 软件中主成分分析后的分析结果中，“成分矩阵”反应的就是主成分载荷矩阵。
（5）计算主成分得分计算样品在m 个主成分上的得分：1122...i i i pi p F a X a X a X =+++ i = 1，2，…，m实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。
消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做如下数据变换：*1,2,...,;1,2,...,ij jijjx x x i n j p s -===其中：11n j ij i x x n ==∑，2211()1n j ij j i s x x n ==--∑ 根据数学公式知道，①任何随机变量对其作标准化变换后，其协方差与其相关系数是一回事，即标准化后的变量协方差矩阵就是其相关系数矩阵。
②另一方面，根据协方差的公式可以推得标准化后的协方差就是原变量的相关系数，亦即，标准化后的变量的协方差矩阵就是原变量的相关系数矩阵。
也就是说，在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述，为消除量纲的影响，将变量标准化后再计算其协方差矩阵，就是直接计算原变量的相关系数矩阵，所以主成分分析的实际常用计算步骤是： ☆计算相关系数矩阵☆求出相关系数矩阵的特征值i λ及相应的正交化单位特征向量i a☆选择主成分 ☆计算主成分得分总结：原指标相关系数矩阵相应的特征值λi 为主成分方差的贡献，方差的贡献率为 1/pi i i i αλλ==∑，i α越大，说明相应的主成分反映综合信息的能力越强，可根据λi 的大小来提取主成分。
每一个主成分的组合系数（原变量在该主成分上的载荷）i a 就是相应特征值λi 所对应的单位特征向量。
主成分分析法的计算步骤1、原始指标数据的标准化采集p 维随机向量x = (x 1,X 2,...,X p )T )n 个样品x i = (x i 1,x i 2,...,x ip )T ，i=1,2,…,n ， n ＞p ，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：其中，得标准化阵Z 。
2、对标准化阵Z 求相关系数矩阵其中, 。
3、解样本相关矩阵R 的特征方程得p 个特征根,确定主成分按确定m 值，使信息的利用率达85%以上，对每个λj , j=1,2,...,m, 解方程组Rb = λj b 得单位特征向量。
4、将标准化后的指标变量转换为主成分U 1称为第一主成分,U 2 称为第二主成分,…,U p 称为第p 主成分。
5 、对m 个主成分进行综合评价对m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。
一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。
从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。
变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。
原理：假定有n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211记原变量指标为x 1，x 2，…，x p ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z 1，z 2，z 3，… ，z m (m ≤p)，则系数l ij 的确定原则：①z i 与z j （i ≠j ；i ，j=1，2，…，m ）相互无关；②z 1是x 1，x 2，…，x P 的一切线性组合中方差最大者，z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x P 的所有线性组合中方差最大者； z m 是与z 1，z 2，……，z m －1都不相关的x 1，x 2，…x P ， 的所有线性组合中方差最大者。
新变量指标z 1，z 2，…，z m 分别称为原变量指标x 1，x 2，…，x P 的第1，第2，…，第m 主成分。
从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量x j （j=1，2 ，…， p ）在诸主成分z i （i=1，2，…，m ）上的荷载 l ij （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。
从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m 个较大的特征值所对应的特征向量。
二、主成分分析的计算步骤 1、计算相关系数矩阵r ij （i ，j =1，2，…，p ）为原变量x i 与x j 的相关系数， r ij =r ji ，其计算公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=p mp m m m p p pp x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111............⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211∑∑∑===----=nk nk jkj i kink j kj i kiij x xx xx x x xr 11221)()())((2、计算特征值与特征向量解特征方程，常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值，并使其按大小顺序排列； 分别求出对应于特征值 的特征向量 ，要求 =1，即 其中表示向量 的第j 个分量。