巧妙设元解一元一次方程

巧妙设元解一元一次方程

人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。

在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，也是关于方程的最初级内容。进入初中后，要逐步引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，设未知数成为列方程解应用题的关键步骤，在一元一次方程中涉及大量的实际问题、丰富多彩的问题情境，只有设得巧，才能解得妙，从而更加激起学生对数学的兴趣。本文从学生身边的问题研究起，结合实例介绍几种常用的设元方法，供大家参考。

一、直接设未知数

当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未知数，即求什么设什么，这是设未知数常用的方法。

例1.学校组织学生去春游，从学校出发去风景点a参观游览，在a景点停留1小时后，又绕道去风景点b，再停留半小时后返回学校。去时的速度是5千米∕时，回来的速度是4千米∕时，来回（包括停留时间在内）共用去6小时30分钟，如果回来时因为绕道关系，路程比去时多2千米，求去时的路程。

分析：此题看起来比较麻烦，分析后发现，要求的只有一个未知量，就是去时的路程。题目的等量关系是：去时的时间+回来的

时间+停留的时间=共用的时间。以上量都可以用去时的路程表示。

解：设去时的路程为x千米，那么回来的路程为（x+2）千米，去时路上所用时间为小时，回来时路上所用时间为小时。

根据题意，得

解得 x=10

答：去时的路程为10千米。

二、间接设未知数

当直接设未知数，分析条件、列方程感到困难时，可采用间接设未知数的方法，即选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，待求出这个量后，再计算所求的量。其优点是：列方程和解方程的过程都比较容易。

例2.从甲地到乙地的路由一段平路与一段上坡路。如果骑自行车保持平路每小时行15千米，上坡路每小时行10千米，下坡路每小时行18千米，那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地的路程是多少？

分析：由于此题所求的路程分为平路和坡路，并且每段路程的比例不知道，所以本题不能直接设未知数，故考虑采用间接设法。

由于往返路程中，走平路所用的时间和走的路程这两个量同时相等，所以我们可以设走平路时间为x分钟，那么从甲地到乙地所用时间是（29-x）分钟，上坡路程为千米；返回时（从乙地到甲地）所用时间是（25-x）分钟，下坡路程为千米，再根据上坡路程等于下坡路程，解出未知量 x，进而再求从甲地到乙地的路程。

解：设走平路时间为x分钟。

根据题意列方程，得：

，

去分母，得，

解得：x=20，

所以从甲地到乙地的总路程为（千米）。

答：从甲地到乙地的路程是6.5千米。

三、设辅助未知数

在一些较复杂的实际问题中，当出现的未知量较多，并且有时看起来似乎缺少条件时，要考虑设辅助未知数，为已知条件和所求解得问题“牵线搭桥”，从而顺利找出等量关系。一般来说，辅助未知数并不真正参与计算，对问题的结果也不会产生影响。

例3.一种服装提价10%后，遭受金融危机的影响，发现不好卖，就想恢复到原来的价格，那么要在现价的基础上降低百分之几？

分析：题中没有出现服装的原价，而原价恰恰又是本题的一个关键量，与其他的数量关系密切。不妨设这种服装的原价为a元，则现价为a（1+10%）元，这样现价和原价就比较形象直观，根据题中的数量关系不难列出方程。

解：设这种服装的原价为a元，需要在现价的基础上降低x%。

根据题意，得a（1+10%）（1-x%）=a，

解得：。

答：要在现价的基础上约降低9.1%。

通过以上3个例题，可以发现题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地找准设未知量是关键的一步，从而顺利地找出有关数量关系，突破难点，体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程和解决实际问题的能力。

我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习“一元一次方程”提供了大量的现实素材。在本章教科书中，实际问题情境对方程解法的讨论具有引入作用，同时也体现了解方程的实际应用价值。设未知数、列方程又是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的基础。在本章的教学和学习中，师生可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找相等关系，体验方程的合理性。教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们。

教学中除关注上述问题之外，教师还应关注数学科学中蕴涵的数学文化，使学生在学习过程中得到相关的文化营养，从而更全面地得到发展。在人教版的一元一次方程章节，选用了《算学启蒙》中的“马匹行走”问题、古代“行程追及”问题和“丢番图寿命”问题等，可以看出人类对认识客观世界中数量关系的不断探究和进展的一些片段，从中可以看出数学文化的源泉和人类追求真知的长期努力，折射出了科学文明的光辉和人类认识上的伟大创造力。