极坐标与参数方程习题
极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答汇编
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标与参数方程习题
极坐标与参数方程习题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
极坐标与参数方程经典练习题带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.以原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点.求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P .倾斜角α＝6π.圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程.并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B.求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==.圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线.求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合.极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合.且两坐标系有相同的长度单位.圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）.点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M.N 两点.求当弦MN 的长度为最小时.直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中.点M 坐标是)2,3(π.曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点.极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B .并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中.曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x .(α为参数) M 是曲线1C 上的动点.点P 满足OM 2=.（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点.X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中.射线3πθ=与曲线1C .2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中.以O 为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭.M.N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程.并求M.N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中.曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴.并取与直角坐标系相同的长度单位.建立极坐标系.曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P.Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点.求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）.点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭.设直线l 与圆C 交于点P 、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P .Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上.对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π）.M 为PQ 的中点。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程练习题
1极坐标与参数方程一、选择题：1.已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是 （ ） A.53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B.543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 （ ） A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3.曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是 （ ） A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线4.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为 （ ） A.27 B.4 C.29 D.5 5.在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ）A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ二、填空题：6.点()22-，的极坐标为7.极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是8.极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是9.直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 10.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是11.已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是12.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是213.若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2 + 2y 的最大值为 三、解答题： 14.上截得的弦长。
为参数）被双曲线（求直线13222=-⎩⎨⎧=+=y x t ty t x15.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
极坐标与参数方程题型及答案
极坐标与参数方程题型及答案数学选择题：1. 下列哪个极坐标表示点(3, 5)？A. (5, 53.13°)B. (3, 53.13°)C. (5, 37.12°)D. (3, 37.12°)答案：A2. 唯一表示点(-4, 60°)的极坐标是A. (4, 60°)B. (4, 120°)C. (-4, 60°)D. (-4, 240°)答案：C3. 参数方程x = 2cosθ、y = 3sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 表示的图形是A. 长方形B. 正方形C. 长椭圆D. 圆答案：C4. 必要条件方程x = 1 + cosθ、y = 2 + sinθ （0 ≤ θ ≤ 2π）表示的图形是A. 点B. 圆C. 椭圆D. 双曲线答案：B填空题：1. 将极坐标(4, 240°)转化为直角坐标形式，其对应的坐标为(______, ______)。
答案：(-2, -3.46)2. 给出参数方程x = 2cosθ、y = 5sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 所表示直线的斜率，其斜率为 _______。
答案：2.5判断题：1. 下列哪些图形可以由参数方程表示？I. 点 II. 圆 III. 双曲线 IV. 三角形A. I、II、IIIB. I、II、IVC. II、III、IVD. I、II、III、IV答案：B2. 唯一表示点(4, 30°)的极坐标是(4, π/6) 。
答案：正确简答题：1. 极坐标系表示的是平面直角坐标系的哪些信息不同？答案：极坐标系表示的是点与极点之间的距离和点与极轴的夹角，而直角坐标系则表示的是点在x、y轴之间的坐标。
2. 怎样将一个极坐标转换为另一个等价的极坐标？答案：若(r, θ)为一个点在极坐标系中的坐标，则其等效于(r, θ + 2kπ) (k 为整数)。
3. 参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的图形是什么？有何特点？答案：参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的是单位圆，其特点是对于任意θ值，点到原点的距离都是1。
极坐标与参数方程练习(含答案)
极坐标与参数方程练习1.把点P 的直角坐标(—6，2)化为极坐标为________．5)6π 2．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，则它的直角坐标是________．(－1，3) 3．极坐标为⎝⎛⎭⎫32，π的点M 的直角坐标是________．⎝⎛⎭⎫－32，0 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为________．x 2＋(y －2)2＝45．极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝4化为直角坐标系方程是________80y +-= 6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则||AB ＝_____________.2 37．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是______，(1,0)8．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心的直角坐标是_____；半径长为________．(1,0) 19．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝____________.－3 10．在极坐标系中，点()1，0到直线ρ()cos θ＋sin θ＝2的距离为________．2211．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．42＋212．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线距离为__________．85513．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫1，π4到直线ρsin θ＝－2的距离是________．．2＋2214．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为______． 15．参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φy ＝2sin φ (φ为参数)化为 普通方程为________ 22194x y +=16．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________，x 2＋(y －2)2＝417．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋1y ＝sin θ，(θ为参数)，则点P ()4，4与圆C 上的点的最远距离是_________．618．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为________．.82 19．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.-1 20．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________________ (－∞，0)∪(10，＋∞)。
极坐标与参数方程最有效训练题
极坐标与参数方程最有效训练题(限时45分钟)1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π 3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ） A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π 4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ） A. 40 B. 50 C. 140 D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）C.D. 26.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积.11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=. （1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
极坐标参数方程15道典型题(有答案)
联立方程解得交点坐标为 ………5分
（2）由（1）知： ， 所以直线 ： ，
化参数方程为普通方程： ，
对比系数得： ， ………10分
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 是参数， 是常数）
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（ ， ）．由于M点在C1上，
所以 即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ，
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)将极坐标方程ρcos ＝1化为：
ρcosθ＋ ρsinθ＝1.
则其直角坐标方程为： x＋ y＝1，M(2,0)，N(0， )，其极坐标为M(2,0)，N .
(2)由(1)知MN的中点P .
直线OP的直角坐标方程为y＝ x，化为极方程为：ρsinθ＝ ·ρcosθ.
（Ⅱ）设P(2cosθ， sinθ),则|AP|＝ ＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝ ＝ ．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ ， cosθ＝－ ．
故P(－ ， )．…10分
4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．
极坐标与参数方程专项训练及详细答案
一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（ ）． B C二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）在直线所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．）即==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（|OP|=﹣．∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即x+y=圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．d=|CQ||PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标方程为（）==故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 ．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为中点的距离为×…故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．2|x 则由•，|x |x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=，即把曲线联立得：，消去，﹣．213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线曲线∴，﹣22，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|． 的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ），即由于所以15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．（其中×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．）=2化简为：ρ，即===﹣17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。
极坐标与参数方程精选习题
极坐标与参数方程【重要知识】一、极坐标：（极坐标与直角坐标系的互相转化）1、极坐标→直角坐标系：（1）222y x +=ρ；（2）θρsin =y ；（3）θρcos =x2、直角坐标系→极坐标：（1）222y x +=ρ；（2）θ可以利用直角坐标系观察得出 二、参数方程：1、利用平方关系1cos sin 22=+θθ进行消参 2、利用t 相等进行消参【重要题型】1、已知曲线C 1与C 2的极坐标方向分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=（ρ≥0，0≤θ<2π），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________.2、在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(cos sin )1ρθθ+=与(sin cos )1ρθθ-=的交点的极坐标为 ．3、在极坐标系中，点)3,2(πM 到直线22)4sin(:=+πθρl 的距离为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 33（参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2cos 2θθy x （参数]2,0[πθ∈），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 5、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .6、已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．7、已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 412（t 为参数），圆C 的极坐标方程为θρsin 22=，则直线l 与圆C 的位置关系为8、直线0743=-+y x 截曲线⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数）的弦长为9、已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 上点到直线:l cos 2sin 40ρθρθ-+=的最短距离为10、在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．【参考答案】1、【答案】)6,32(π【解析】由cos 3ρθ=得，3=x ；由4cos ρθ=得，θρρc o s 42=，即x y x 422=+，即4)2(22=+-y x0≤θ<2π，0,0>≥∴y x 由⎩⎨⎧=+-=4)2(322y x x 解得，⎩⎨⎧±==33y x ，即⎩⎨⎧==33y x 利用直角坐标系可以看出，交点的极坐标为)6,32(π2、【答案】(1,)2π【解析】由(cos sin )1ρθθ+=得，1sin cos =+θρθρ，即1x y +=由(sin cos )1ρθθ-=得，1cos sin =-θρθρ，即1y x -=由⎩⎨⎧=+-=+11y x y x 解得，⎩⎨⎧==10y x由直角坐标系可以看出，点(0,1)对应的极坐标(1,)2π. 3、【答案】26【解析】点)3,2(πM 在直角坐标系中为点)3,1(直线l 方程化为22)4sin cos 4cos(sin =+πθπθρ，即01=-+y x 因此，距离26232131==-+=d 4、【答案】22);2,0( 【解析】由⎩⎨⎧-=+=t y t x 33得，⎩⎨⎧-=-=y t x t 33，即直线l 的方程化为y x -=-33，即06=-+y x由⎩⎨⎧+==2sin 2cos 2θθy x 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==22sin 2cos y x θθ，即圆C 的方程化为14)2(422=-+y x ， 即4)2(22=-+y x ，因此圆心坐标为)2,0(， 圆心到直线l 的距离22242620==-+=d 5、【答案】6-【解析】将1223x t y t=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-,当0k ≠时,直线41x ky +=的斜率24k k =-,由123412k k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6k =-; 6、【答案】．【解析】sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤， 254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =由22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为πθ<≤0，所以它们的交点坐标为(1,57、【答案】相交【解析】直线l 的方程化为012=+-y x圆C 的方程化为2)2(22=-+y x ，所以圆心为)2,0(，半径为2圆心到直线的距离r d =<-=+-⨯=251251202，∴直线l 与圆C 相交 8、【答案】58 【解析】曲线方程化为1)1(22=-+y x ，所以圆心为1),1,0(=r圆心到直线的距离53571403=-⨯+⨯=d 因此，弦长为582516225912222==-=-dr 9、1【解析】由题意圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，直线:l 240x y -+=所以圆C 上点到直线:l1 10、【解析】直线02:=-+y x l ，曲线2)2(:-=x y C ，联立方程组消y ，得0232=+-x x ，2,32121==+x x x x ，21212=-+=x x k AB（注：也可直接解出2,121==x x ，得到21212=-+=x x k AB ）。
极坐标与参数方程综合练习(三套带答案)
极坐标与参数方程综合练习（一）1、圆5cos ρθθ=-的圆心是( )A.45,3π⎛⎫--⎪⎝⎭ B.5,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.5,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.55,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：A解析：5 cos ρθθ=-两边同乘以,ρ得25 5 ,cos sin ρρθρθ=-即2250x y x +-+=,故圆心的直角坐标为5(,2,半径为5,结合该点的位置知该点的一个极坐标是4(5,)3π-. 2、已知曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴,直线l的参数方程为1{2x y t=-= (t 为参数),则直线l 与曲线C x 相交所得弦长为( )A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D解析：曲线C 的直角坐标方程为2260x y y +-=,即()2239,x y +-=直线1{2x y t=-=的直角坐标方程为210,x y -+=∵圆心C 到直线l的距离d ==∴直线l 与圆C相交所得弦长为 4.== 3、极坐标方程) 2cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线答案：A解析：由 2cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.4过点且斜率为的直线的参数方程为( )A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)答案： A解析： 因为倾斜角满足所以所以所求参数方程为(为参数).5、在极坐标系中,点关于直线1cos ρθ=(2,)2π的对称点的极坐标为________.答案：)4π解析：结合图形不难知道点(2,)2π关于直线1cos ρθ=的对称点的极坐标为)4π.6、直线2{1x t y t =+=-- (t 为参数)与曲线3cos {3sin x y αα== (α为参数)的交点个数为__________. 答案：2解析：直线方程可化为10x y +-=, 曲线方程可化为229x y +=,故圆心(0,0),半径3r =,∵圆心到直线10x y +-=的距离3d ==<, ∴直线与圆有2个交点.7、在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆()222:24C x y -+=.1.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);2.求圆1C 与2C 的公共弦的参数方程.答案：1.由222cos ,{sin ,x y x y ρθρθρ==+=圆1C 的极坐标方程为2ρ=, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.解2,{4cos ρρθ==得2ρ=,3πθ=±,故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一. 2.方法一:由cos ,{sin x y ρθρθ==得圆1C 与圆2C交点的直角坐标分别为(,(1,.故圆1C 与圆2C的公共弦的参数方程为(1,{x t y t=≤≤= . (或参数方程写成1,{,x y y y =≤≤=方法二:将1x =代入cos ,{sin ,x y ρθρθ==得cos 1ρθ=,从而1cos ρθ=. 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1,{tan 33x y ππθθ=⎛⎫-≤≤ ⎪=⎝⎭. 解析：8、在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos {3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的右焦点,且与直线42{3x ty t=-=- (t 为参数)平行的直线的普通方程.答案：由题设知,椭圆的长半轴长5a =,短半轴长3b =,从而4c ==, 所以右焦点为()4,0?.将已知直线的参数方程化为普通方程220x y -+=. 故所求直线的斜率为12, 因此其方程为()14?2y x =-, 即240x y --=.极坐标与参数方程综合练习（二）1、在极坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是( ) A.cos ρθ= B.sin ρθ= C.cos 1ρθ= D.sin 1ρθ= 答案：C解析：在直角坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是1x =, 其极坐标方程为cos 1ρθ= , 故选 C.点评:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键.2、参数方程()()cossin,22{0211sin 2x y θθθπθ=+<<=+表示()A.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线C.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线答案：B解析：因为cossin 22x θθ=+,所以21sin x θ=+,因为()11sin 2y θ=+,所以212y x =,即22x y =,是抛物线.当1x =时,12y =,故抛物线过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.3、已知圆A :221x y +=在伸缩变换'2,{'3x x y y==的作用下变成曲线C ,则曲线C 的方程为( )A.22149x y += B.22194x y += C.22123x y += D.22132x y += 答案：A解析：由题意得1',2{1',3x x y y ==代入圆的方程得22''149x y +=,即双曲线C 的方程为22149x y +=. 4、在平面直线坐标系xOy 中,点P的直角坐标为(1,,若以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标可以是( )A.1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：C解析：∵在直角坐标系xOy 中,点P 位于第四项限,2ρ==,tan θ=P 的极坐标可以是2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.5、圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(-2,0) 答案：A解析：本题考查参数方程与普通方程的互化.消去参数θ,得圆的方程为()2224x y +-=,所以圆心坐标为()0,2.6、极坐标方程) cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线 答案：A解析：由 cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.7、已知直线l 的参数方程为2{4x a ty t=-=- (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.答案：⎡-⎣解析：易知直线l 的普通方程为220x y a --=,圆C 的普通方程为2224x y +=,由题意知圆C 的圆心到直线l 的距离4d =≤,解得a -≤≤.8、在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,?A B 两点,则AB =__________。
极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)
( Ⅱ ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ．若点 P 的坐标为 (3 ， 5 ) ，求 PA PB 与
PA PB ．
32．已知 A,B 两点是椭圆 x 2 y 2 1 与坐标轴正半轴的两个交点 . 94
(1) 设 y 2sin , 为参数，求椭圆的参数方程；
(2) 在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB的面积最大，并求此最大值 .
标；
（Ⅱ） 点 M （ x0 ，y0 ）在 e O1 上运动， 点 P (x, y) 是线段 AM 的中点， 求点 P 运
动轨迹的直角坐标方程．
x 3cos
15．已知曲线 C :
，直线 l : (cos
y 2sin
2sin ) 12 ．
（ 1）将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ， ）（ 为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍， 分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值
极坐标与参数方程综合测试题(含答案)
极坐标与参数方程1. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{y =t −3x=t+1（t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A. √14 B. 2√14 C. √2 D. 2√22. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=-2，曲线C 2的参数方程为{x =t 2y =2√2t （t 为参数），则C 1与C 2交点的直角坐标为______．3. 已知直线l ：{x =5+√32ty =√3+12t（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为（5，√3），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |•|MB |的值．4. 已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =√3t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C 的直角坐标方程.（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{y =−2+3sint x=1+3cost（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ-π4）=m ，（m ∈R ） （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ。
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！极坐标与参数方程习题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ).A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫⎝⎛34,5π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).】7.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） B.16-D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. ）A.(1,3,1-)B.(1,3,1-)C.(1,,1,3-)D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线1221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
/A 、 相交过圆心B 、相交C 、相切D 、相离二、填空题13.在极坐标()θρ, ()πθ20<≤中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为____________.3333（A ） （B ） （C ）（D ）14.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15. 圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l：x =3t y =13t⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 .16. A ：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为0,3πθθ==，曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），则曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 . ·三、解答题17.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正 半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程。
&（Ⅱ）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。
19.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合．直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：θρcos 4=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于Q P ,两点，求PQ 的值．20.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是()21x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=（I ）求圆C 的直角坐标方程； （II ）求圆心C 到直线l 的距离。
21.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1,,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．。
（1）求直线OM 的直角坐标方程；（2）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知点P 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 过点P ，且倾斜角为23π，方程2213616x y +=所对应的切线经过伸缩变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后的图形为曲线C（Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程 （Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB ⋅的值。
23.在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222， 直线l 与曲线C 分别交于N M ,．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程； ~（Ⅱ）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．试卷答案⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2π16.23π 17.解：（I ）把极坐标系下的点(4,)2P π化为直角坐标，得P （0，4）。
因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，。
所以点P 在直线l 上，（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q的坐标为,sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++，由此得，当cos()16πα+=-时，d18.（1）由已知得椭圆的右焦点为()4,0，已知直线的参数方程可化为普通方程：220x y -+=，所以12k =,于是所求直线方程为240x y -+=。
（2）460sin cos 30sin S xy ϕϕ===2ϕ， 当22πϕ=时，面积最大为3019.^（2）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231代入x y x 422=+，整理得05332=+-t t ，---6分 设其两根分别为,,21t t 则5,332121==+t t t t ，---8分 所以721=-=t t PQ ．----10分20.（1）圆C 的直角坐标方程是22+-2=0x y x ；（2）圆心C 到直线35l d 的距离。
21.解：（Ⅰ）由点M 的极坐标为π42,4⎛⎫⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为(4，4)， 所以直线OM 的直角坐标方程为x y =．%（Ⅱ）由曲线C 的参数方程12,2x y αα⎧=+⎪⎨⎪⎩(α为参数)，化成普通方程为：2)1(22=+-y x ， 圆心为A (1，0)，半径为2=r ．由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25||-=-r MA ．22.23.（Ⅰ）22,2y ax y x ==-.（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222（t 为参数）,代入22y ax =, 得到222)8(4)0t a t a -+++=， 则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅. 解得 1a =.。