等腰直角三角形中考题详解
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
2022中考专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法(解析版)
专题07 一次函数中地构造等腰直角三角形法1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ地最小值为4．2、已如,在平面直角坐标系中,点A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点B关于直线AC地对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．（1）写出点B′地坐标,并求出直线AC对应地函数表达式；（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；（3）如图2,在（2）地条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度地速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP地垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,∴OA＝6,OB＝8,∵∠AOB＝90°,∴AB＝10,∵B与B'关于直线AC对称,∴AC垂直平分BB',∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,∴B'（﹣4,0）,设点C（0,m）,∴OC＝m,∴CB'＝CB＝8﹣m,∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,∴m2+16＝（8﹣m）2,∴m＝3,∴C（0,3）,设直线AC地解析式为y＝kx+b（k≠0）,把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB',∴DB＝DB',∵△BDB'是等腰直角三角形,∴∠BDB'＝90°,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,∴∠EDF＝∠BDB',∴∠BDF＝∠EDB',∴△FDB≌△EDB'（AAS）,∴DF＝DE,设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,∴D（2,2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,∴△PDF≌△QDE（AAS）,∴PF＝QE,①当DQ＝DA时,∵DE⊥x轴,∴QE＝AE＝4,∴PF＝QE＝4,∴BP＝BF﹣PF＝2,∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时,∵A（6,0）、D（2,2）,∴AD＝2,∴AQ＝2,∴PF＝QE＝2﹣4,∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,∴点P地运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时,设QE＝n,则QD＝QA＝4﹣n,在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°,∴4+n2＝（4﹣n）2,∴n＝1.5,∴PF＝QE＝1.5,∴BP＝BF+PF＝7.5,∴点P地运动时间为3.75秒,∵0≤t≤4,∴t＝3.75,综上所述：点P地运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,则称点M是点P,Q地“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q地“美妙点”．（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点地“美妙点”；（2）如图,已知点D是直线y＝+2上地一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E地“美妙点”．①求y与x地函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F,当①MEF为直角三角形时,求点D地坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,①点B是A、C地“美妙点”；（2）设点D（m,m+2）,①①M是点D、E地“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m,y＝3（0+m+2）＝m+6,故m＝x﹣3,①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得,点M（9+3m,m+6）,如图1,当①MEF为直角时,则点M（3,4）,①9+3m＝3,解得：m＝﹣2；①点D（﹣2,）；当①MFE是直角时,如图2,则9+3m＝m,解得：m＝﹣,①点D（﹣,）；当①EMF是直角时,不存在,综上,点D（﹣2,）或（﹣,）．4、如图,过点A（1,3）地一次函数y＝kx+6（k≠0）地图象分别与x轴,y轴相交于B,C两点．（1）求k地值；（2）直线l与y轴相交于点D（0,2）,与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,求直线l地函数表达式；（①）连接AD,若①ADE是以AE为腰地等腰三角形,求满足条件地点E地坐标．解：（1）将点A地坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴,y轴相交于B,C两点,则点B、C地坐标分别为：（2,0）、（0,6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6,直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,则S①CDE＝2或4,而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4,则x E＝1或2,故点E（1,3）或（2,0）,将点E地坐标代入直线l表达式并解得：直线l地表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m,﹣3m+6）,而点A、D地坐标分别为：（1,3）、（0,2）,则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2,AD2＝2,ED2＝m2+（4﹣3m）2,当AE＝AD时,（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2,解得：m＝或；当AE＝ED时,同理可得：m＝；综上,点E地坐标为：（,）或（,）或（,）．5、建立模型：如图1,等腰Rt①ABC中,①ABC＝90°,CB＝BA,直线ED经过点B,过A作AD①ED于D,过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜地线段AB和直角①ABC转化为横平竖直地线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2,点A（0,4）,点B（3,0）,①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°,且点C在第一象限,求点C地坐标；①若AB为直角边,求点C地坐标；（2）如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F地坐标为（8,6）,M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN＝n,已知点G在第一象限,且是直线y＝2x一6上地一点,若①MPG是以G为直角顶点地等腰直角三角形,请直接写出点G地坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D,①①BDC＝90°＝①AOB,①①BCD+①DCB＝90°,①①ABC＝90°,①①ABO+①DBC＝90°,①①ABO＝BCD,①AB＝BC,①①AOB①①BDC（AAS）,DC＝OB＝3,BD＝OA＝4,故点C（7,3）；①若AB为直角边,则除了①地情况以外,另外一个点C（C′）与①中地C关于点B对称,故点C′（﹣1,﹣3）；故点C地坐标为：（7,3）或（﹣1,﹣3）；（2）如图2,当①MGP＝90°时,MG＝PG,过点P作PE①OM于E,过点G作GH①PE于H,①点E与点M重合,①GF＝AB＝4设G点坐标为（x,2x﹣6）,6﹣（2x﹣6）＝4,得x＝4,易得G点坐标（4,2）；如图3,当①MGP＝90°时,MG＝PG时,同理得G点坐标（,）,综上可知,满足条件地点G地坐标分别为（4,2）或（,）．6、如图1,直线l：y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B．已知点C（﹣2,0）．（1）求出点A,点B地坐标．（2）P是直线AB上一动点,且①BOP和①COP地面积相等,求点P坐标．（3）如图2,平移直线l,分别交x轴,y轴于交于点A1B1,过点C作平行于y轴地直线m,在直线m上是否存在点Q,使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在,请直接写出所有符合条件地点Q地坐标．解：（1）设y＝0,则x+2＝0,解得：x＝﹣4,设x＝0,则y＝2,①点A地坐标为（﹣4,0）,点B地坐标地坐标为（0,2）；（2）①点C（﹣2,0）,点B（0,2）,①OC＝2,OB＝2,①P是直线AB上一动点,①设P（m,m+2）,①①BOP和①COP地面积相等,①×2|m|＝2×（|m|+2）,解得：m＝±4,当m＝﹣4时,点P与点A重合,①点P坐标为（4,4）；（3）存在；理由：如图1,①当点B1是直角顶点时,①B1Q＝B1A1,①①A1B1O+①QB1H＝90°,①A1B1O+①OA1B1＝90°,①①OA1B1＝①QB1H,在①A1OB1和①B1HQ中,,①①A1OB1①①B1HQ（AAS）,①B1H＝A1O,OB1＝HQ＝2,①B1（0,﹣2）或（0,2）,当点B1（0,﹣2）时,Q（﹣2,2）,当点B1（0,2）时,①B（0,2）,①点B1（0,2）（不合题意舍去）,①直线AB向下平移4个单位,①点Q也向上平移4个单位,①Q（﹣2,2）,①当点A1是直角顶点时,A1B1＝A1Q,①直线AB地解析式为y＝x+2,由平移知,直线A1B1地解析式为y＝x+b,①A1（﹣2b,0）,B1（0,b）,①A1B12＝4b2+b2＝5b2,①A1B1①A1Q,①直线A1Q地解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2,4﹣4b）,①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20,①20b2﹣40b+20＝5b2,①b＝2或b＝,①Q（﹣2,﹣4）或（﹣2,）；①当Q是直角顶点时,过Q作QH①y轴于H,①A1Q＝B1Q,①①QA1C1+①A1QC＝90°,①A1QC+①CQB1＝90°,①①QA1C＝①CQB1,①m①y轴,①①CQB1＝①QB1H,①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中,,①①A1QC①①B1QH（AAS）,①CQ＝QH＝2,B1H＝A1C,①Q（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）,即：满足条件地点Q为（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）或（﹣2,12）或（﹣2,）．7、如图1,等腰直角三角形ABC中,①ACB＝90°,CB＝CA,直线DE经过点C,过A作AD①DE于点D,过B作BE①DE于点E,则①BEC①①CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）地图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2,当k＝﹣1时,若点B到经过原点地直线l地距离BE地长为3,求点A到直线l地距离AD地长；（2）如图3,当k＝﹣时,点M在第一象限内,若①ABM是等腰直角三角形,求点M地坐标；（3）当k地取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长地最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等）,①OE＝AD,①k＝﹣1,①y＝﹣x+4,①B（0,4）,①OB＝4,①BE＝3,①OE＝,①AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,①A（3,0）,①当BM①AB,且BM＝AB时,过点M作MN①y轴,①①BMN①①ABO（AAS）,①MN＝OB,BN＝OA,①MN＝4,BN＝3,①M（4,7）；①当AB①AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,①①ABO①①AMK（AAS）,①OB＝AK,OA＝MK,①AK＝4,MK＝3,①M（7,3）；①当AM①BM,且AM＝BM时,过点M作MH①x轴,MG①y轴,①①BMG①①AHM（AAS）,①BG＝AH,GM＝MH,①GM＝MH,①4﹣MH＝MH﹣3,①MH＝,①M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS①y轴,①①ABO①①BQS（AAS）,①BS＝OA,SQ＝OB,①Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,①OQ地最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CA＝CB,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2,直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,求直线l2地函数表达式．【模型迁移】如图3,直线l经过坐标原点O,且与x轴正半轴地夹角为30°,点A在直线l上,点P为x轴上一动点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,过点B地直线BC交x轴于点C,∠OCB＝30°,点B到x轴地距离为2,求点P地坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE,且CA＝BC,∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2,在l2上取D点,使AD＝AB,过D点作DE⊥OA,垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B,∴A（﹣3,0）,B（0,4）,∴OA＝3,OB＝4,由（1）得△BOA≌△AED,∴DE＝OA＝3,AE＝OB＝4,∴OE＝7,∴D（﹣7,3）设l2地解析式为y＝kx+b,得解得∴直线l2地函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴,如图3,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC,∴∠OAP＝∠BPC,且∠OAC＝∠PCB＝30°,AP＝BP, ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（4,0）若点P在x轴负半轴,如图4,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APE+∠BPE＝30°,∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC, ∴∠APE＝∠PBC,∵∠AOE＝∠BCO＝30°,∴∠AOP＝∠BCP＝150°,且∠APE＝∠PBC,PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（﹣4,0）综上所述：点P坐标为（4,0）或（﹣4,0）9、如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C（m,0）在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求m和b地数量关系；（2）当m＝1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′地坐标及△BCD平移地距离；（3）在（2）地条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形？若存在,写出满足条件地P点坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点,∴B（0,b）∴OB＝b,∵点C（m,0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°,∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中,∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b,DE＝OC＝m,∴点D（b+m,m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1,∴b＝3,点C（1,0）,点D（4,1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3,且过（1,0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC地解析式为y＝﹣3x+3,设直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+c,把D（4,1）代入得到c＝13, ∴直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+13,当y＝3时,x＝当y＝0时,x＝∴B′（,3）,C'（,0）∴CC′＝,∴△BCD平移地距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°,PC＝CD时,点P与点B重合,∴点P（0,3）如图,当∠CPD＝90°,PC＝PD时,∵BC＝CD,∠BCD＝90°,∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD地中点,且点B（0,3）,点D（4,1）∴点P（2,2）综上所述,点P为（0,3）或（2,2）时,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形．10、如图,已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．（1）求△AOB地面积：（2）在y轴上找一点C,使AC+BC最小,求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒地速度运动,点Q从B点出发向A点以同样地速度运动,两个点同时停止,当△BPQ为等腰三角形时,求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．∴点B（7,0）,﹣x+7＝x∴x＝3,∴点A（3,4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1,作点B关于y轴地对称点H（﹣7,0）,连接AH,交y轴于点C,∴此时AC+BC最小值为AH,∵点A（3,4）,点H（﹣7,0）,∴AH＝＝2,∴AC+BC最小值为2,设直线AH解析式为：y＝kx+b,且过点A（3,4）,点H（﹣7,0）, ∴,解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2,过点Q作QE⊥OB,∵以同样地速度运动,∴BQ＝OP,∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D,∴点D（0,7）,∴OD＝OB＝7,且∠DOB＝90°,∴∠DBO＝45°,且QE⊥OB,∴∠QBE＝∠EQB＝45°,∴QE＝BE,∴QB＝QE＝EB,若PB＝QB,且OP＝BQ,∴OP＝PB＝＝BQ,∴BE＝EQ＝,∴OE＝7﹣,∴点Q（7﹣,）,若QP＝QB,且QE⊥OB,∴PE＝BE,∵OB＝7＝OP+PE+BE,∴7＝BE+2BE,∴BE＝＝QE,∴OE＝∴点Q（,）,如图3,若BP＝PQ,过点P作PF⊥BQ,∴BF＝FQ＝BQ,∵∠ABO＝45°,PF⊥AB,∴∠FPB＝∠ABO＝45°,∴PF＝BF,∴PB＝BF,∴7﹣BQ＝∴BQ＝,∴BE＝QE＝,∴点Q坐标为（7﹣,）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,其中O为原点,点A、B分别在x轴、y轴上,D为射线OB上任意一点．（1）如图1,若点D坐标为（0,2）,连接AD交OC于点E,则△AOE地面积为；（2）如图2,将△AOD沿AD翻折得△AED,若点E在直线y＝x图象上,求出E点坐标；（3）如图3,将△AOD沿AD翻折得△AED,DE和射线BC交于点F,连接AF,若∠DAO＝75°,平面内是否存在点Q,使得△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,若存在,请求出所有点Q坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,∴点A坐标（4,0）,点C（4,4）,∴直线OC解析式为：y＝x,∵点D坐标为（0,2）,点A坐标（4,0）,∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2,∴解得：∴点E坐标（,）∴△AOE地面积＝×4×＝,故答案为：；（2）如图2,过点E作EH⊥OA,∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴AO＝AE＝4,设点E（a,a）,∴OH＝a,EH＝a,∴AH＝4﹣a,∵AE2＝EH2+AH2,∴16＝a2+（4﹣a）2,∴a＝0（舍去）,a＝,∴点E（,）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴∠DAO＝∠DAE＝75°,OA＝AE,∠DOA＝∠DEA＝90°, ∴∠OAE＝150°,AE＝AC,∠ACF＝∠AED＝90°,∴∠CAE＝60°,∵AE＝AC,AF＝AF,∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°,且AC＝4,∴CF＝,∵△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,∴若∠AFQ＝90°,AF＝FQ,如图3,过点Q作QN⊥BF,∴∠NQF+∠QFN＝90°,且∠QFN+∠AFC＝90°,∴∠NQF＝∠AFC,且∠ACF＝∠QNF＝90°,QF＝AF, ∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝,AC＝NF＝4,∴点Q（,4+）同理可求：Q'（8+,4﹣）,若∠FAQ＝90°,AF＝AQ时,同样方法可求,Q''（0,）,Q'''（8,﹣）。
中考数学压轴题分析：等腰直角三角形与动点轨迹问题
中考数学压轴题分析：等腰直⾓三⾓形与动点轨迹问题本⽂内容选⾃2021年郴州中考数学⼏何压轴题。
题⽬以等腰直⾓三⾓形的旋转为背景，涉及动点轨迹问题，以及等腰三⾓形的存在性问题。
题⽬难度⼀般，不过问法⽐较典型，值得研究。
【中考真题】（2021·郴州）如图1，在等腰直⾓三⾓形中，，点，分别为，的中点，为线段上⼀动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针⽅向旋转得到，连接，．（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时为等腰三⾓形？【分析】（1）由旋转的性质得到边⾓等量关系，再根据SAS证明全等即可。
（2）①由图2可以发现△AEH≌△AFG，由于∠HAG=90°，若要证明∠HFG=90°，只需得到四边形AHFG对⾓互补即可。
由于全等可以得到∠AHE=∠AGF，结论易得。
②当△AGQ为等腰三⾓形时，需要进⾏分类讨论。
需要分3种情况，但是由于点H在线段EF上运动，且不与点E、F重合，那么只需分为两种情况讨论即可。
即类型⼀：当AQ=GQ时，∠AQG=90°。
还有类型⼆：当AG=GQ时，∠GAQ=∠GQA=75°。
【答案】（1）证明：如图1，由旋转得：，，，，，；（2）①证明：如图2，在等腰直⾓三⾓形中，，，点，分别为，的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，；②分两种情况：如图3，时，，，，，，，，，，，四边形是正⽅形，，，，当的长度为时，为等腰三⾓形；如图4，当时，，，，，，当的长度为2时，为等腰三⾓形；综上，当的长度为或2时，为等腰三⾓形．。
各地2018年中考数学试卷等腰三角形(word,含解析)
等腰三角形一、选择题1．（2018•ft东枣庄•3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键． 2 （2018•ft东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD 于点E，交CB 于点F．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠C FA=90°，∠FAD+∠AE D=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CE F=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE 的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠C EF=∠CF E．3.（2018•ft东淄博•4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A． B．D．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．【分析】将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长 BP，作AF⊥BP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF AP=，PF=AP=．∴在直角△ABF）2+（）2=25+12 ．则△ABC •AB2=•（25+12 ．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018•江苏扬州•3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD 与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2 转化为A C2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A 四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知BD 是△A BC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠A BD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC 的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于P 点，则P 即为所求；（乙）作过 B 点且与AB 垂直的直线l，作过C 点且与 AC 垂直的直线，交l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲错误；乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018•湖北荆门•3 分）如图，等腰Rt△ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ⊥OP交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接 OC，作PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到AP=CQ，QF=BQ，所以BC=1，然后证明MH 为梯形PEFQ 的中位线得到，即可判定点M 到AB 的距离为，从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB 的中点，∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ 的中点，∴MH为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB ，而 CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018•河北•3分）已知：如图 4，点P在线段AB外，且PA =PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC ⊥AB于点C且AC =BCC.取AB中点C，连接PCD．过点P作PC ⊥AB，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作C H⊥DE，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠C AB=45°,即∠A CD+∠DCB=∠A CD+∠A CE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA=,∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∴AB= =2 ，在Rt△ABC中，∴2AC2=AB2=8，∴AC=BC=2，在Rt△ECD中，∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE=+1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴：= = =4-2 ，又∵= CE = DE·CH，∴CH== ，∴= AD·CH=×× = ，∴=（4-2 ）×=3- .即两个三角形重叠部分的面积为3- .故答案为：D.【分析】解：连接 BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由 SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知 DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.二.填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△A BC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边BC上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 18 ．【分析】如图作A H⊥BC 于H，连接AD．由EG 垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段AF 的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF 周长的最小值为 13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018•广西桂林•3 分）如图，在Δ ABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】3详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD 平分∠ABC交AC 于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合 OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．， ，故答案为：2．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5. （2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 中，，分别为的中点 于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接 DE ，根据题意可得 Δ DEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解 DG 的长. 详解：连接 DE ，∵D、E 分别是 AB 、BC 的中点， ∴DE∥AC，DE=AC∵Δ ABC 是等边三角形，且 BC=4 ∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2 ∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF 的中点，∴EG=.在RtΔ DEG 中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△A BC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC的周长，则DE 的长是．【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作CN⊥AM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可．【解答】解：延长BC 至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=A C•s in∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018•北京•2 分） 右图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE ．（填“ >”，“ =”或“ <”） 【答案】>【解析】如下图所示，△AFG 是等腰直角三角形，∴ ∠FAG = ∠BAC = 45︒，∴ ∠BAC >∠DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018•江苏盐城•3 分）如图，在直角 中，，，，、分别为边 、上的两个动点，若要使 是等腰三角形且是直角三角形，则．16.【答案】 或G EBD FCAEBDCA【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△BPQ 是直角三角形时，有两种情况：∠B PQ=90 度，∠BQP=90 度。
2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题05 等腰三角形、等边三角形压轴题真题(含详解)
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（原卷版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1．（湘一芙蓉）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（中雅）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3．（青竹湖）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．4．（广益）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．5．（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A 出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．6．（师梅）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．（郡维）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC 交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y 轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．8．（长郡）如图，在△ABC中．AB ＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC 于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．9．（广益）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（雅境）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．11．（郡维）如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．12．（北雅）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC 上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC 的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．13．（中雅）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE 为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．14．（雅实）如图1，△ABC 为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．15．（师梅）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．16．（博才）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．17．（青竹湖）如图，四边形OABC 的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP ＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP 和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a ﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x 轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON ＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD 于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO （对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF 中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a ﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO ＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB ＝∠ABO＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP则OP的最小值为．最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B 分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO ＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO （AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC ＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO ＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB ＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF ＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD 交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD ＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF ＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB 为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠P AD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠P AD，∵△P AQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，∴＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO ＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△P AQ是等腰直角三角形，∴P A＝QA，∠P AQ＝∠CAB＝90°，∴∠P AQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠P AC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△P AC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠P AK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI ＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI ＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C 作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB ＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS），则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）∵﹣+b2+4b+8＝0，∴﹣+（b﹣4）2＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴AB ＝BC＝OC＝OA＝4，∴四边形OABC是菱形，∵∠AOC＝90°，∴菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，∴∠PNQ＝90°，∴∠QPN+∠PQN＝90°，∵BP⊥BQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPC+∠QPN＝90°，∴∠PQN＝∠BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴BC＝4，BC⊥x，∴∠BCP＝∠PNQ＝90°，在△BCP和△PNQ中，，∴△BCP≌△PNQ（AAS），∴CP＝QN，BC＝PN，∴OC＝PN＝4，①当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，②当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
等腰三角形试题含解析-中考数学真题分类汇编第一辑
等腰三角形一、选择题1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 （2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点 F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=9°0，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF 平分∠ CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠ CAB，∠ ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△ BAC，∴= ，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴= ，∵FC=FG，∴= ，解得：FC= ，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3.（2018?山东淄博?4 分）如图，P 为等边三角形ABC内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）2A ．B ．C ．D ．【考点】 R2：旋转的性质； KK ：等边三角形的性质； KS ：勾股定理的逆定理．【分析】 将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，根据旋转的性质得 BE=BP=4， AE=PC=5， ∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 FAP=3， PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠ APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直角△ APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】 解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴BA=BC ，可将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，连 EP ，且延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 F ．如图，∴BE=BP=4， AE=PC=5，∠ PBE=60°， ∴△ BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，AP=3， PE=4，2 2 2∴AE =PE+PA ，∴△ APE 为直角三角形，且∠ APE=90°， ∴∠ APB=90° +60°=150°． ∴∠ APF=30°，∴在直角△ APF 中， AF= AP= ， PF=AP=．22222∴在直角△ ABF 中， AB =BF +AF =（ 4+） +（ ） =25+12 ．则△ ABC 的面积是 ?AB = ?（ 25+12 ）=． 故选： A ．22【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、 勾股定理的逆定理以及旋转的性质： 旋转前后的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018?江苏扬州? 3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ， CD 与 B E 、AE 分别交于点 P ， M ．对于下列结论： ①△ BAE ∽△ CAD ；② MP?MD=MA?；M ③E 2CB=CP?C ．M 其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【分析】（ 1）由等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE 三边份数关系可证；（2） 通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△ EMD 即可；（3）2CB 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．【解答】 解：由已知： AC=AB ， AD=AE∴∵∠ BAC=∠EAD ∴∠ BAE=∠CAD ∴△ BAE ∽△ CAD 所以①正确 ∵△ BAE ∽△ CAD ∴∠ BEA=∠CDA ∵∠ PME=∠AMD ∴△ PME ∽△ AMD∴∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠ BEA=∠CDA ∠PME=∠ AMD∴P 、E 、D 、 A 四点共圆 ∴∠ APD=∠EAD=90°22 ∵∠ CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠ EAD=90°∴△ CAP ∽△ CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=AB∴2CB=CP?CM 所以③正确故选： A ．【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判断． 在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（ 2018 ·湖南省常德 ·3 分） 如图， 已知 BD 是△ ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°， AD=3，则 CE 的长为（）A ． 6B ． 5C ． 4D ． 3【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】 解：∵ ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC ， ∴∠ C=∠ DBC ，∵BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ ABD=∠DBC ，∴∠ C=∠ DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD × cos ∠ C=3 ，故选： D ．【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、 直角三角形的性质， 掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6.（ 2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC 中， BC ＞ AB ＞ AC ，甲、乙两人想找一点P ，使得∠ BPC 与∠ A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心， AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l ，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0∴∠BPC+∠ACP=18°0，∴甲错误；乙：如图2，∵ AB⊥ PB，AC⊥ PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018?湖北荆门?3 分）如图，等腰Rt △ABC中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB 于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=，1∠OCB=4°5 ，再证明Rt△AOP ≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE= AP= CQ，QF= BQ，所以PE+QF= BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH= ，即可判定点M到AB 的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ ACB，OC=OA=OB=，1∴∠OCB=4°5 ，∵∠POQ=9°0 ，∠COA=9°0 ，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △ AOP和△ COQ中，∴Rt △AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△ APE和△ BFQ都为等腰直角三角形，∴PE= AP= C Q，QF= BQ，∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= ×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH= （PE+QF）= ，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018?河北?3 分）已知：如图4，点P 在线段AB 外，且PA PB . 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A.作APB 的平分线PC 交AB 于点CB.过点P 作PC AB 于点C 且AC BCC.取AB 中点C ，连接PCD.过点P 作PC AB ，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】 D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°,即∠ ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△ DCB和△ ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ ABC中，2 2∴2AC=AB=8，∴AC=BC=，2在Rt △ ECD中，2 2∴2CD=DE= ，∴CD=CE= +1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴又∵：== CE = DE·=CH，=4-2 ，∴CH= = ，∴∴= AD·CH= ×=（4-2 ）××=3-=.，即两个三角形重叠部分的面积为3- . 故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC= ∠CAB=45°, 再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°, 从而得∠ADB=90°，在Rt △ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=，2 CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二. 填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点 F 在边BC 上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+D，F∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF= = =13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018?广西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】 3详解：∵ AB=AC，∴△ ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=3°6，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△ BDC是等腰三角形．∴共有 3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团· 5 分）如图，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠ AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的面积是= π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM= ，∴AB= ，∴S=6S△ABO=6×××1=2 ．故答案为： 2 ．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5.（2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E 分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE= AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠F EC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60 °-30 °=90°∵G是EF的中点，∴EG= .在Rt ΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉·3 分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=C，A 连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=6°0，AN=M，N∴AN=AC?sin∠ACN= ，∴AM= ，∴DE= ，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018?北京?2 分）右图所示的网格是正方形网格，BACDAE ．（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下图所示，EBG E DBD C AFC A△ AFG 是等腰直角三角形，∴FAG BAC 45 ，∴BAC DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018?江苏盐城? 3 分）如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则．16. 【答案】或【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠BQP=90度。
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
专题04 等腰三角形的证明(解析版)
专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥∥AB AC =．证明步骤正确的顺序是（ ） A ．∥→∥→∥→∥→∥ B ．∥→∥→∥→∥→∥ C ．∥→∥→∥→∥→∥ D ．∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明． 【详解】 具体步骤为： ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AB AC =． 故选：B ． 【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．2．（2021·江西）如图，在∥ABC 中，∥A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是∥ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】试题分析：在∥ABC 中，∥A=36°，AB=AC ，求得∥ABC=∥C=72°，且∥ABC 是等腰三角形；因为CD 是∥ABC 的角平分线，所以∥ACD=∥DCB=36°，所以∥ACD 是等腰三角形；在∥BDC中，由三角形的内角和求出∥BDC=72°，所以∥BDC 是等腰三角形；所以BD=BC=BE ，所以∥BDE 是等腰三角形；所以∥BDE=72°，∥ADE=36°，所以∥ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D考点：角平分线，三角形的内角和、外角和，平角3．（2021·河北）已知：如图，ABC 中，B C ∠=∠，求证：AB AC =，在证明该结论时，只添加一条辅助线：∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，∥取BC 中点D ，连接AD ，∥作BC 的垂直平分线AD ，其中作法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解． 【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥取BC 中点D ，连接AD ， 无法证明∥ABD ∥∥ACD ， ∥∥作法不正确；∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上，∥∥作法不正确；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2021·云南文山·）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30B．60︒C．30或60︒D．15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，∥CD=12AC，∥∥A=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=；如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，AC，∥CD=12∥∥CAD=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°，∥∥B=∥ACB=15°．∥这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5．（2021·广东九年级二模）已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根，则k的值等于（）x x kA．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D【分析】当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k ＋2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∥当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，2680-+=的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；x x当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，2690-+=的两个根为：x1=x2=3，符合题意；x x综上所述，k的值等于6或7，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．6．（2021·甘肃兰州·九年级）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∥A＝46°，CD∥AB于点D，则∥DCB＝（）A ．46°B ．67°C ．44°D ．23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∥等腰三角形ABC 中，AB =AC ， ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°，∥∥ABC =12×（180°-46°）=12×134°=67°， ∥CD ∥AB 于D ，∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°， 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案． 7．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ，再根据三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：由已知可得：∥B=∥C=k∥A=（36k ）°， 由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∥k=2， 故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．8．（2021·四川成都·九年级一模）在螳螂的示意图中，AB∥DE ，∥ABC 是等腰三角形，∥ABC ＝124°，∥CDE ＝72°，则∥ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°【答案】C 【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A，【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28AACB， //AB DE ，28CFD A，72CDE CFD ACD，722844ACD，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021·全国九年级专题练习）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长． 【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5． 故选：B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．10．（2021·河北九年级专题练习）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( ) A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∥方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6；当m=n 时，2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =，6b =-，2c k =+，∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿， 解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 二、填空题11．（2021·江苏九年级）若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm ． 【答案】12 【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可． 【详解】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm ）， 而8+8=16，无法构成三角形， ∥此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32-8）÷2=12（cm ）， 此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∥∥ABC＝∥BAE＝∥AED＝∥BCD＝∥CDE＝108°，∥AB＝BC＝AE＝ED，∥∥BAC＝∥BCA＝36°，∥EAD＝∥ADE＝36°，∥∥CAD＝36°，∥ACD＝∥ADC＝72°，∥AC＝AD，∥∥ACD是黄金三角形，同理可求：∥BAN＝∥ANB＝∥AME＝∥EAM＝72°，∥CBM＝∥BMC＝∥DNE＝∥DEN＝72°，∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB，∥ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．13．（2021·浙江九年级期末）ABC中，∥A=36°，∥B是锐角．当∥B=72°时，我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∥B的角度还可以取到的有____________．【答案】54°，36°，18°，12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案．【详解】∠=解：这条直线从A、B、C出发皆可，设B x()I假设从A出发，如下图：∥当BD=AD，AD=DC时，B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在；∥当BD=AD，AC=DC时∠=∠，ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒；解得：12∥当BD=AD，AD=AC时∠=∠∠=∠，ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=，180361442x x∴=︒-2144解得：48x=︒︒>︒，此种情况不存在；此时4836∥当AB=AD，AD=DC时，∠=∠∠=∠，ADC CB ADBC x∠=︒-，18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒（不符合题意）解得：96()II假设从B出发，如下图：∥当AD =BD ，BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立；∥AD =BD ，BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒， 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得：90x =︒，此时不成立；()III 假设从C 出发，如下图：∥BD =DC ，AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得：18x =︒，此时成立； ∥BD =DC ，AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得：54x =︒，此时成立； ∥BD =BC ，AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=，36A ACD ∠=∠=︒，BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒；解得：36综上所述，∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒．故答案为：54°，36°，18°，12°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情况讨论，注意不要漏掉．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∥如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∥A=x°，则∥ACD=∥A=x°，∥B=∥A=x°，∥∥BCD=∥B=x°，∥∥A+∥ACB+∥B=180°，∥x+x+x+x=180，解得x=45，∥原等腰三角形的底角是45°；∥如图2，∥ABC 中，AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥∥B =∥C =∥BAD ，∥CDA =∥CAD ， ∥∥CDA =2∥B ， ∥∥CAB =3∥B ， ∥∥BAC +∥B +∥C =180°， ∥5∥B =180°， ∥∥B =36°，∥原等腰三角形的底角为36°； 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 15．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 上一点，EF AE ⊥，将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得∥ABE ∥∥AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到14=33BE BC =．【详解】解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-， ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△，∥=4EC EC x '=-，在Rt∥ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+， 解得：7=8x ； 当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，∥AH ∥EC '，=AE AC '， ∥EH C H '=， ∥EF AE ⊥，∥=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△， ∥=C EF FEC '∠∠， ∥BEA AEH =∠∠，在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥AHE （AAS ）， ∥BE HE =， ∥=BE HE HC '=， ∥12BE EC '=∥EC EC '=， ∥12BE EC =， ∥14=33BE BC =，综上所述，7483BE =或，故答案为：7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题16．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =． （1）求证：AEF ∆是等腰三角形； （2）求线段FD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠，FEC AEF ∠=∠，即可得证；（2）设FD x =用含x 的代数式表示AF ，由折叠，AG DC =，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠，则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形（2）四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =，则8AF AD x x =-=-因为折叠，则FG x =，4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得：3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．17．（2021·湖南郴州市·）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ． ∥证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；∥若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）∥见详解；∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形 【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∥HAG =90°，从而得∥BAH =∥CAG ，进而即可得到结论； （2）∥由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；∥AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，（b ）当∥GAQ =∥GQA =67.5°时，（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】解：（1）∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ， ∥AH =AG ，∥HAG =90°，∥在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ， ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG ， ∥AHB AGC ≌；（2）∥∥在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形， ∥AH =AG ，∥BAH =∥CAG ， ∥AEH AFG ≌， ∥∥AEH =∥AFG =45°，∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒； ∥∥4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF =2，∥∥AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，如图，则∥HAF =90°-45°=45°， ∥AH 平分∥EAF ， ∥点H 是EF 的中点，∥EH 12=（b ）当∥GAQ =∥GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∥EAH =∥GAQ =67.5°， ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°， ∥∥EHA =∥EAH ， ∥EH =EA =2；（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．18．（2021·江苏九年级二模）如图（1），已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，点E 为对角线AC 上的动点．连接BE ，过E 作EB 的垂线交CD 于点F ．（1）探索BE 与EF 的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F 作AC 垂线交AC 于点G ，交EB 于点H ，连接CH ．若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动，设E 的运动时间为s t ． ∥是否存在t ，使得H 与B 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ∥t 为何值时，CFH △是等腰三角形； ∥当CG GH =时，求CGH 的面积．【答案】（1）BE =；（2）∥t=1，∥t =； 【分析】(1)连接BF ，易证B. C. F. E 四点共圆，,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ；(2)∥存在，当H 、B 重合时，如图所示，结合(1)知可得BG =3，CG =，同理可知CF =2，FG =1,EG CG ==CE =，由此可得t=1，∥先得出60CFH ∠=︒ ，再由△FHC 为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ，△ABE =15°，△EBC =75°，根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ，根据题意列等式64t -=求出t =，∥过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，求证出 ~FEM EBN ∆∆ ，根据相似的性质结合4DF t =，64CF t =- ，32FG t =- 得出EG =-=，再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ，代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可； 【详解】解：(1)连接BF ，如图：已知矩形ABCD 中，BE EF ⊥ ， ∥∥BEF =∥BCF =90°，∥点B ， C ，F ， E 四点共圆，∥∥EBF =∥ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在，当H 、B 重合时，如图所示：由(1)知，∥EBF =30°， ∥∥ACD =∥EBF =30°， 则∥ACB =60°，∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°，BC =∥BG =3，CG =，同理可得CF=2，FG=1，EG CG ==∥CE =， ∥AE AC CE =- ，又∥已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，∥AC =，∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动， ∥t=1； ∥∥∥CFH 为等腰三角形， 又∥∥ACD =30°， ∥60CFH ∠=︒ ， ∥∥CFH 为等边三角形， ∥FG =GH ，又由（1）知90BEF ∠=︒， ∥FG =GH =EG ， ∥45CEB ∠=︒ ， ∥∥ABE =15°， ∥∥EBC =75°， ∥∥BCH =30°，∥∥CHB 为等腰三角形， ∥CH =CB =CF ，∥3CE CG EG =+=，∥3AE CE == ，即3= ，解得：t =， ∥由题意知：过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，则由（1）得EN =，3t AN =，∥∥FME =∥ENB ，∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°， ∥∥FEM =∥EBN ， ∥FEM EBN ∆~∆ ， ∥ME MFBN EN= ，，∥MF =t ，∥4DF DM MF AN MF t =+=+=，则64CF t =- ， ∥32FG t =- ，∥CG = ，EG AC AE CG =--=-=，在t R EFH ∆中，EG FH ⊥ ，,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ，∥()()232t =⨯-，∥()232t -∥CG GH =，∥()()221122CGH S CG ∆===； 【点睛】此题属于四边形综合试题，考查动点问题，涉及到圆周角，三角形相似，特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明，有一定难度．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 边于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作O 的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，且DF AC ⊥，连接DE ．（1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）求证：2DE EF AC =⋅；（3）若6BG =，2CF =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）DF 是△O 的切线，得到∥ODF =90°，再求出∥C +∥FDC =90° ，∥C =∥BDO ，由OB =OD ，得∥BDO =∥ABC ．∥C =∥ABC ，即可求解．（2）因为AB 是直径，得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出，ABD DEF ∽，得到AC DEDE EF=即可求解； （3）求出∥ODG∥∥AFG ，得出比例式，即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明： ∥DF 是△O 的切线， ∥OD ∥DF ． ∥∥ODF =90°．又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°， ∥∥BDO +∥FDC =90°． ∥DF ∥AC ， ∥∥DFC =90°， ∥∥C +∥FDC =90°． ∥∥C =∥BDO ． ∥OB =OD ， ∥∥BDO =∥ABC ． ∥∥C =∥ABC ． ∥AB =AC ．∥∥ABC 是等腰三角形； （2）连接AD ，∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ （3）解：∥AB =AC ， ∥∥ABC =∥C ， ∥OB =OD ， ∥∥ABC =∥ODB ， ∥∥ODB =∥C ， ∥OD ∥AC ， ∥∥GOD ∥∥GAF ， ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ，则AB =AC =2r ， ∥AF =2r -2， 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3，经检验：3r =是原方程的根，且符合题意， 即△O 的半径是3．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（2021·广东中山·）如图，已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点D ；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，证明：BDC ∆是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，然后以点M 、N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，交于点O ，连接BO ，交AC 于点D ，则问题可求解； （2）由题意易得72ABC C ∠=∠=︒，然后可得72C CDB ∠=∠=︒，则问题可求证． 【详解】.解：（1）如图所示：BD 即为所求；（2）∥36A ∠=︒，∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∥BD 平分ABC ∠，∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒， ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒， ∥72C CDB ∠=∠=︒， ∥BD BC =，∥BDC都是等腰三角形．【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把ABE△沿着AE折叠得到AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．（1）求证：AGE是等腰三角形（2）试写出线段FG，GD，EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【分析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．【详解】解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．22．（2021·安徽）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC ＝CD，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．（1）求证：∥AEF是等腰三角形；（2）填空：∥若AE BE＝5，则BF的长为；∥当∥E的度数为时，四边形OACD为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∥3；∥60°【分析】（1）由AB为半圆O的直径，AE是切线，可得∥EAC=∥ABC，结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD，从而得ACE≌ACF，，进而即可得到结论；（2）∥由等腰三角形的性质得EF=2CE，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用面积法求出AC的值，进而即可求解；∥利用菱形的性质和圆的性质，可得ACO是等边三角形，结合圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）证明：∥AB为半圆O的直径，AE是切线，∥∥ACB=90°，∥EAB=90°，∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°，∥∥EAC=∥ABC，∥AC＝CD，∥∥ABC =∥CAD，∥∥EAC=∥CAD，又∥∥ACE=∥ACF=90°，AC=AC，∥ACE≌ACF，∥AE=AF，∥∥AEF是等腰三角形；（2）∥∥∥AEF是等腰三角形，AE=AF，AC∥BE，∥点C是EF的中点，即:EF=2CE，∥AE ∥AB ，∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅，∥2AE AB AC BE ⋅===，∥1CE =， ∥EF =2CE =2， ∥BF =BE -EF =5-2=3， 故答案是：3； ∥连接OC ，∥四边形OACD 为菱形， ∥OA =OD =CD =AC =OC ， ∥ACO 是等边三角形， ∥∥AOC =60°， ∥∥ABE =30°， ∥∥E =90°-30°=60°． 故答案是：60°．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键．23．（2021·广东）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角∥A ＝108°．（1）在BC 上作一点D ，使AD ＝CD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）求证：∥ABD 是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；（2）由题意易得∥B＝∥C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∥AB＝AC，∥A＝108°，∥∥B＝∥C＝36°，由（1）得：AD＝CD，∥∥DAC＝∥C＝36°，∥∥ADB＝∥DAC+∥C＝72°，∥BAD＝∥BAC﹣∥DAC＝108°﹣36°＝72°，∥∥BAD＝∥BDA，∥AB＝BD，∥∥ABD是等腰三角形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．。
中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)
等腰三角形与直角三角形一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm.则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当3cm是腰长时.3.3.5能组成三角形.当5cm是腰长时.5.5.3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键．2．（2022•泰安）如图.l1∥l2.点A在直线l1上.点B在直线l2上.AB＝BC.∠C＝25°.∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°.利用平行线的性质得到∠BEA＝95°.再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】如图.∵AB＝BC.∠C＝25°.∴∠C＝∠BAC＝25°.∵l1∥l2.∠1＝60°.∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°.∵∠BEA＝∠C+∠2.∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.平行线的性质以及三角形外角的性质.解决问题的关键是注意运用两直线平行.同旁内角互补．3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°.则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据三角形内角和是180°列出方程.解方程即可得出答案．【解析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据题意得：x+x+2x+20＝180.解得：x＝40.故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.考查了方程思想.掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．4．（2022•天津）如图.△OAB的顶点O（0.0）.顶点A.B分别在第一、四象限.且AB⊥x轴.若AB＝6.OA＝OB＝5.则点A的坐标是（）A．（5.4）B．（3.4）C．（5.3）D．（4.3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC.根据勾股定理求出OC.根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解析】设AB与x轴交于点C.∵OA＝OB.OC⊥AB.AB＝6.∴AC＝AB＝3.由勾股定理得：OC＝＝＝4.∴点A的坐标为（4.3）.故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022•台湾）如图.△ABC中.D点在AB上.E点在BC上.DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C.且∠EAC＞90°.则根据图中标示的角.判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2.∠1＜∠3B．∠1＝∠2.∠1＞∠3C．∠1≠∠2.∠1＜∠3D．∠1≠∠2.∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质.等腰三角形的性质解答即可．【解析】∵DE为AB的中垂线.∴∠BDE＝∠ADE.BE＝AE.∴∠B＝∠BAE.∴∠1＝∠2.∵∠EAC＞90°.∴∠3+∠C＜90°.∵∠B+∠1＝90°.∠B＝∠C.∴∠1＞∠3.∴∠1＝∠2.∠1＞∠3.故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．6．（2022•广元）如图.在△ABC中.BC＝6.AC＝8.∠C＝90°.以点B为圆心.BC长为半径画弧.与AB交于点D.再分别以A、D为圆心.大于AD的长为半径画弧.两弧交于点M、N.作直线MN.分别交AC、AB于点E、F.则AE的长度为（）A．B．3C．2D．【分析】利用勾股定理求出AB.再利用相似三角形的性质求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中.BC＝6.AC＝8.∴AB＝＝＝10.∵BD＝CB＝6.∴AD＝AB＝BC＝4.由作图可知EF垂直平分线段AD.∴AF＝DF＝2.∵∠A＝∠A.∠AFE＝∠ACB＝90°.∴△AFE∽△ACB.∴＝.∴＝.∴AE＝.故选：A．【点评】本题考查勾股定理.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.属于中考常考题型．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图.建立平面直角坐标系后.学校和体育场的坐标分别是（3.1）.（4.﹣2）.下列各地点中.离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系.然后根据勾股定理.可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离.再比较大小即可．【解析】如右图所示.点O到超市的距离为：＝.点O到学校的距离为：＝.点O到体育场的距离为：＝.点O到医院的距离为：＝.∵＜＝＜.∴点O到超市的距离最近.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系.解答本题的关键是明确题意.作出合适平面直角坐标系．8．（2022•温州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.以其三边为边向外作正方形.连结CF.作GM⊥CF于点M.BJ⊥GM于点J.AK⊥BJ于点K.交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.CE＝+.则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.设正方形JKLM边长为m.根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.得AF＝AB＝m.证明△AFL ≌△FGM（AAS）.可得AL＝FM.设AL＝FM＝x.在Rt△AFL中.x2+（x+m）2＝（m）2.可解得x＝m.有AL＝FM＝m.FL＝2m.从而可得AP＝.FP＝m.BP＝.即知P为AB中点.CP＝AP＝BP＝.由△CPN∽△FP A.得CN ＝m.PN＝m.即得AN＝m.而tan∠BAC＝＝＝.又△AEC∽△BCH.得＝.即＝.故CH＝2．【解析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.如图：设正方形JKLM边长为m.∴正方形JKLM面积为m2.∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.∴正方形ABGF的面积为5m2.∴AF＝AB＝m.由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF.∠ALF＝90°＝∠FMG.AF＝GF.∴△AFL≌△FGM（AAS）.∴AL＝FM.设AL＝FM＝x.则FL＝FM+ML＝x+m.在Rt△AFL中.AL2+FL2＝AF2.∴x2+（x+m）2＝（m）2.解得x＝m或x＝﹣2m（舍去）.∴AL＝FM＝m.FL＝2m.∵tan∠AFL＝＝＝＝.∴＝.∴AP＝.∴FP＝＝＝m.BP＝AB﹣AP＝m﹣＝.∴AP＝BP.即P为AB中点.∵∠ACB＝90°.∴CP＝AP＝BP＝.∵∠CPN＝∠APF.∠CNP＝90°＝∠F AP.∴△CPN∽△FP A.∴＝＝.即＝＝.∴CN＝m.PN＝m.∴AN＝AP+PN＝m.∴tan∠BAC＝＝＝＝.∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形.∴△AEC∽△BCH.∴＝.∵CE＝+.∴＝.∴CH＝2.故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用.涉及全等三角形判定与性质.相似三角形判定与性质.勾股定理等知识.解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心.点P在△ABC外.△ABC.△P AB.△PBC.△PCA的面积分别记为S0.S1.S2.S3．若S1+S2+S3＝2S0.则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【分析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.证明△P AB的面积是定值.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．因为△P AB的面积是定值.推出点P的运动轨迹是直线PM.求出OT的值.可得结论．【解析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.∵S△P AB+S△ABC＝S△PBC+S△P AC.∴S1+S0＝S2+S3.∵S1+S2+S3＝2S0.∴S1+S1+S0＝2.∴S1＝S0.∵△ABC是等边三角形.边长为6.∴S0＝×62＝9.∴S1＝.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．∵△P AB的面积是定值.∴点P的运动轨迹是直线PM.∵O是△ABC的中心.∴CT⊥AB.CT⊥PM.∴•AB•RT＝.CR＝3.OR＝.∴RT＝.∴OT＝OR+TR＝.∵OP≥OT.∴OP的最小值为.当点P在②区域时.同法可得OD的最小值为.如图.当点P在①③⑤区域时.OP的最小值为.当点P在②④⑥区域时.最小值为.∵＜.故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质.解直角三角形.三角形的面积等知识.解题的关键是证明△P AB的面积是定值．10．（2022•南充）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.∠BAC的平分线交BC于点D.DE∥AB.交AC于点E.DF⊥AB于点F.DE＝5.DF＝3.则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理.可以求得CD和CE的长.再根据平行线的性质.即可得到AE的长.从而可以判断B和C.然后即可得到AC的长.即可判断D.再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长.从而可以判断A．【解析】∵AD平分∠BAC.∠C＝90°.DF⊥AB.∴∠1＝∠2.DC＝FD.∠C＝∠DFB＝90°.∵DE∥AB.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.∵DE＝5.DF＝3.∴AE＝5.CD＝3.故选项B、C正确.∴CE＝＝4.∴AC＝AE+EC＝5+4＝9.故选项D正确.∵DE∥AB.∠DFB＝90°.∴∠EDF＝∠DFB＝90°.∴∠CDF+∠FDB＝90°.∵∠CDF+∠DEC＝90°.∴∠DEC＝∠FDB.∵tan∠DEC＝.tan∠FDB＝.∴.解得BF＝.故选项A错误.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．11．（2022•宜昌）如图.在△ABC中.分别以点B和点C为圆心.大于BC长为半径画弧.两弧相交于点M.N．作直线MN.交AC于点D.交BC于点E.连接BD．若AB＝7.AC＝12.BC＝6.则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC.即可得到DB＝DC.然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.从而可以求得△ABD的周长．【解析】由题意可得.MN垂直平分BC.∴DB＝DC.∵△ABD的周长是AB+BD+AD.∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.∵AB＝7.AC＝12.∴AB+AC＝19.∴∵△ABD的周长是19.故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质.三角形的周长.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．12．（2022•河北）题目：“如图.∠B＝45°.BC＝2.在射线BM上取一点A.设AC ＝d.若对于d的一个数值.只能作出唯一一个△ABC.求d的取值范围．”对于其答案.甲答：d≥2.乙答：d＝1.6.丙答：d＝.则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整【分析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.分这两种情况求解即可．【解析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴AC＝BC•sin45°＝2×＝.即此时d＝.②当CA＝BC时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴此时AC＝2.即d＞2.综上.当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC.故选：B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识.熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•宜宾）如图.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.∠BAC＝∠DAE＝90°.点D是BC边上的动点（不与点B、C重合）.DE与AC交于点F.连结CE．下列结论：①BD＝CE.②∠DAC＝∠CED.③若BD＝2CD.则＝.④在△ABC内存在唯一一点P.使得P A+PB+PC的值最小.若点D在AP的延长线上.且AP的长为2.则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS）.可得结论.②正确．证明A.D.C.E四点共圆.利用圆周角定理证明.③正确．设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.求出AO.CJ.可得结论.④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB ＝PC.AD⊥BC.设PD＝t.则BD＝AD＝t.构建方程求出t.可得结论．【解析】如图1中.∵∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC.AD＝AE.∴△BAD≌△DAE（SAS）.∴BD＝EC.∠ADB＝∠AEC.故①正确.∵∠ADB+∠ADC＝180°.∴∠AEC+∠ADC＝180°.∴∠DAE+∠DCE＝180°.∴∠DAE＝∠DCE＝90°.取DE的中点O.连接OA.OA.OC.则OA＝OD＝OE＝OC.∴A.D.C.E四点共圆.∴∠DAC＝∠CED.故②正确.设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.∵tan∠CDF＝＝＝2.∴CJ＝m.∵AO⊥DE.CJ⊥DE.∴AO∥CJ.∴＝＝＝.故③正确．如图2中.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.∴BP＝BN.PC＝NM.∠PBN＝60°.∴△BPN是等边三角形.∴BP＝PN.∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN.∴当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB＝PC.AD⊥BC.∴∠BPD＝∠CPD＝60°.设PD＝t.则BD＝AD＝t.∴2+t＝t.∴t＝+1.∴CE＝BD＝t＝3+.故④错误．故选：B．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定和性质.四点共圆.圆周角定理.解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造特殊三角形解决问题.属于中考选择题中的压轴题．14．（2022•眉山）在△ABC中.AB＝4.BC＝6.AC＝8.点D.E.F分别为边AB.AC.BC 的中点.则△DEF的周长为（）A．9B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边.并且等于第三边的一半.可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．【解析】如图.点E.F分别为各边的中点.∴DE、EF、DF是△ABC的中位线.∴DE＝BC＝3.EF＝AB＝2.DF＝AC＝4.∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时.用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图）.并用它证明了勾股定理.这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1.α为直角三角形中的一个锐角.则tanα＝（）A．2B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据.可以先求出大正方形的面积.然后设出小直角三角形的两条直角边.再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长.然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得.大正方形的面积为1×4+1＝5.设直角三角形的长直角边为a.短直角边为b.则a2+b2＝5.a﹣b＝1.解得a＝2.b＝1或a＝1.b＝﹣2（不合题意.舍去）.∴tanα＝＝＝2.故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形.解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．16．（2022•苏州）如图.点A的坐标为（0.2）.点B是x轴正半轴上的一点.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m.3）.则m的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.可得△ABC是等边三角形.又A（0.2）.C（m.3）.即得AC＝＝BC＝AB.可得BD＝＝.OB＝＝.从而+＝m.即可解得m＝．【解析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.如图：∵CD⊥x轴.CE⊥y轴.∠DOE＝90°.∴四边形EODC是矩形.∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.∴AB＝AC.∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC.∵A（0.2）.C（m.3）.∴CE＝m＝OD.CD＝3.OA＝2.∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1.∴AC＝＝＝BC＝AB.在Rt△BCD中.BD＝＝.在Rt△AOB中.OB＝＝.∵OB+BD＝OD＝m.∴+＝m.化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0.解得m＝或m＝﹣（舍去）.∴m＝.故选：C．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换.解题的关键是熟练应用勾股定理.用含m的代数式表示相关线段的长度．17．（2022•扬州）如图.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了.需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据.为了方便表述.将该三角形记为△ABC.提供下列各组元素的数据.配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB.BC.CA B．AB.BC.∠B C．AB.AC.∠B D．∠A.∠B.BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.B．利用三角形两边、且夹角对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.C．AB.AC.∠B.无法确定三角形的形状.故此选项符合题意.D．根据∠A.∠B.BC.三角形形状确定.故此选项不合题意.故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用.正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．（2022•湖州）如图.已知在锐角△ABC中.AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.E 是AD上一点.连结EB.EC．若∠EBC＝45°.BC＝6.则△EBC的面积是（）A．12B．9C．6D．3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3.AD⊥BC.根据等腰直角三角形的性质求出ED.根据三角形的面积公式计算.得到答案．【解析】∵AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.∴BD＝CD＝BC＝3.AD⊥BC.在Rt△EBD中.∠EBC＝45°.∴ED＝BD＝3.∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9.故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．19．（2022•宁波）如图.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.E为BD上一点.F为CE中点．若AE＝AD.DF＝2.则BD的长为（）A．2B．3C．2D．4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长.再根据AE＝AD.可以得到AD的长.然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.可以求得BD的长．【解析】∵D为斜边AC的中点.F为CE中点.DF＝2.∴AE＝2DF＝4.∵AE＝AD.∴AD＝4.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.∴BD＝AC＝AD＝4.故选：D．【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线.解答本题的关键是求出AD的长．20．（2022•云南）如图.OB平分∠AOC.D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点.D、E、F与O点都不重合.连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个.就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC.得∠DOE＝∠FOE.由OE＝OE.可知∠ODE＝∠OFE.即可根据AAS得△DOE≌△FOE.可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC.∴∠DOE＝∠FOE.又OE＝OE.若∠ODE＝∠OFE.则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE.故选项A不符合题意.增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意.增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意.故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定.解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．21．（2022•达州）如图.AB∥CD.直线EF分别交AB.CD于点M.N.将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB＝80°.则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°.由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°.即可得到结论．【解析】∵AB∥CD.∴∠DNM＝∠BME＝80°.∵∠PND＝45°.∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°.故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质.等腰直角三角形的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2022•金华）如图.圆柱的底面直径为AB.高为AC.一只蚂蚁在C处.沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”.在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线.正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形.而点B是展开图的一边的中点.再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”.侧面展开图为矩形.∵圆柱的底面直径为AB.∴点B是展开图的一边的中点.∵蚂蚁爬行的最近路线为线段.∴C选项符合题意.故选：C．【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图.最短路径问题.掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2022•舟山）如图.在Rt△ABC和Rt△BDE中.∠ABC＝∠BDE＝90°.点A 在边DE的中点上.若AB＝BC.DB＝DE＝2.连结CE.则CE的长为（）A．B．C．4D．【分析】根据题意先作出合适的辅助线.然后根据勾股定理可以得到AB和BC 的长.根据等面积法可以求得EG的长.再根据勾股定理求得EF的长.最后计算出CE的长即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F.作EG⊥BA交BA的延长线于点G.∵DB＝DE＝2.∠BDE＝90°.点A是DE的中点.∴BE＝＝＝2.DA＝EA＝1.∴AB＝＝＝.∵AB＝BC.∴BC＝.∵＝.∴.解得EG＝.∵EG⊥BG.EF⊥BF.∠ABF＝90°.∴四边形EFBG是矩形.∴EG＝BF＝.∵BE＝2.BF＝.∴EF＝＝＝.CF＝BF+BC＝+＝.∵∠EFC＝90°.∴EC＝＝＝.故选：D．【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形.解答本题的关键是明确题意.求出EF和CF的长．24．（2022•遂宁）如图.D、E、F分别是△ABC三边上的点.其中BC＝8.BC边上的高为6.且DE∥BC.则△DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.根据DE ∥BC.证出△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值即可．【解析】如图.过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.∵DE∥BC.∴∠ADE＝∠B.∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.∴DE＝a.∴△DEF面积S＝×DE×MN＝×a•（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6.∴当a＝3时.S有最大值.最大值为6．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积.平行线的性质.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值是解题的关键．二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.若BC＝6.则CD＝3．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点.即可求出CD的长．【解析】∵AB＝AC.AD⊥BC.∴CD＝BD.∵BC＝6.∴CD＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍.这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”.底边BC的长为3.则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”.可知AB＝2BC或BC＝2AB.若AB ＝2BC＝6.可得AB的长为6.若BC＝3＝2AB.因1.5+1.5＝3.故此时不能构成三角形.这种情况不存在.即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”.∴AB＝2BC或BC＝2AB.若AB＝2BC＝6.则△ABC三边分别是6.6.3.符合题意.∴腰AB的长为6.若BC＝3＝2AB.则AB＝1.5.△ABC三边分别是1.5.1.5.3.∵1.5+1.5＝3.∴此时不能构成三角形.这种情况不存在.综上所述.腰AB的长是6.故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系.涉及新定义.解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°.则△ABC的顶角度数是40°或100°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论.即可解答．【解析】当∠A是顶角时.△ABC的顶角度数是40°.当∠A是底角时.则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°.综上.△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.此类题目.难点在于要分情况讨论．28．（2022•滨州）如图.屋顶钢架外框是等腰三角形.其中AB＝AC.立柱AD⊥BC.且顶角∠BAC＝120°.则∠C的大小为30°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣.3）.则A点的坐标是（.﹣3）．【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称.进而可以解决问题．【解析】因为点A和点B关于原点对称.B点的坐标是（﹣.3）.所以A点的坐标是（.﹣3）.故答案为：（.﹣3）．【点评】本题考查了正六边形的性质.中心对称图形.解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．30．（2022•金华）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.连结CC'.则四边形AB'C'C的周长为（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．【解析】∵在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm.∴AB＝2BC＝4.∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.∴B′C′＝BC＝2.AA′＝CC′＝1.A′B′＝AB＝4.∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案为：（8+2）．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.熟练掌握平移的性质是解题的关键．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂.余半之.自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之.为实．一为从隅.开平方得积．”若把以上这段文字写成公式.即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c ＝4：3：2.则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为3．【分析】根据题意先求出a、b、c.再代入公式进行计算即可．【解析】根据a：b：c＝4：3：2.设a＝4k.b＝3k.c＝2k.则4k+3k+2k＝18.解得：k＝2.∴a＝4k＝4×2＝8.b＝3k＝3×2＝6.c＝2k＝2×2＝4.∴S＝＝＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的运算.要注意运算顺序.解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①.四边形ABCD中.AB＝AD.∠B+∠D＝180°.点E.F分别在BC.CD上.若∠BAD＝2∠EAF.则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②.在某公园的同一水平面上.四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m.∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.道路AD.AB上分别有景点M.N.且DM＝100m.BN＝50（﹣1）m.若在M.N之间修一条直路.则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m（结果取整数.参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图.作辅助线.构建直角三角形.先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°.分别计算AD.CG.AG.BG的长.由线段的和与差可得AM和AN 的长.最后由勾股定理可得MN的长.计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形.根据结论可得MN的长.从而得结论．【解析】解法一：如图.延长DC.AB交于点G.∵∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°.∴∠G＝90°.∴AD＝2DG.Rt△CGB中.∠BCG＝180°﹣150°＝30°.∴BG＝BC＝50.CG＝50.∴DG＝CD+CG＝100+50.∴AD＝2DG＝200+100.AG＝DG＝150+100.∵DM＝100.∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100.∵BG＝50.BN＝50（﹣1）.∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50.Rt△ANH中.∵∠A＝30°.∴NH＝AN＝75+25.AH＝NH＝75+75.由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1）.∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图.延长DC.AB交于点G.连接CN.CM.则∠G＝90°.∵CD＝DM.∠D＝60°.∴△BCM是等边三角形.∴∠DCM＝60°.由解法一可知：CG＝50.GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50.∴△CGN是等腰直角三角形.∴∠GCN＝45°.∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°.∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD.由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50.∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质.勾股定理.二次根式的混合运算等知识与方法.解题的关键是作出所需要的辅助线.构造含30°的直角三角形.再利用线段的和与差进行计算即可．33．（2022•山西）如图.在正方形ABCD中.点E是边BC上的一点.点F在边CD 的延长线上.且BE＝DF.连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF.垂足为点M.交边CD于点N．若BE＝＝8.则线段AN的长为4．【分析】连接AE.AF.EN.由正方形的性质可得AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.可证得△ABE≌△ADF（SAS）.可得∠BAE＝∠DAF.AE ＝AF.从而可得∠EAF＝90°.根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点.由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.可得EN ＝FN.设DN＝x.则EN＝FN＝x+5.CE＝x+3.由勾股定理解得x＝12.可得AB＝CD＝20.由勾股定理可得AE＝5.从而可得AM＝EM＝FM＝.由勾股定理可得MN＝.即可求解．【解析】如图.连接AE.AF.EN.∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.∵BE＝DF.∴△ABE≌△ADF（SAS）.∴∠BAE＝∠DAF.AE＝AF.∴∠EAF＝90°.∴△EAF为等腰直角三角形.∵AN⊥EF.∴EM＝FM.∠EAM＝∠F AM＝45°.∴△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.∴EN＝FN.设DN＝x.∵BE＝DF＝＝8.∴CD＝CN+DN＝x+8.∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5.CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3.在Rt△ECN中.由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2.即82+（x+3）2＝（x+5）2.解得：x＝12.∴AB＝CD＝x+8＝20.EN＝x+5＝17.在Rt△ABE中.由勾股定理可得：AE＝＝＝5.∴AM＝EM＝FM＝＝.在Rt△EMN中.由勾股定理可得：MN＝＝＝.∴AN＝AM+MN＝+＝4.故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.等腰三角形的性质.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.构建全等三角形解决问题．34．（2022•武汉）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＞BC.分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL.ACDE.BCFG.连接DF．过点C作AB的垂线CJ.垂足为J.分别交DF.LH于点I.K．若CI＝5.CJ＝4.则四边形AJKL的面积是80．【分析】过点D作DM⊥CI于点M.过点F作FN⊥CI于点N.由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM.△BCJ≌△CFN.可得DM＝CJ.FN＝CJ.可证得△DMI ≌△FNI.由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI.由勾股定理可得MI.NI.从而可得CN.可得BJ与AJ.即可求解．【解析】过点D作DM⊥CI.交CI的延长线于点M.过点F作FN⊥CI于点N.∵△ABC为直角三角形.四边形ACDE.BCFG为正方形.过点C作AB的垂线CJ.CJ＝4.∴AC＝CD.∠ACD＝90°.∠AJC＝∠CMD＝90°.∠CAJ+∠ACJ＝90°.BC＝CF.∠BCF＝90°.∠CNF＝∠BJC＝90°.∠FCN+∠CFN＝90°.∴∠ACJ+∠DCM＝90°.∠FCN+∠BCJ＝90°.∴∠CAJ＝∠DCM.∠BCJ＝∠CFN.∴△ACJ≌△CDM（AAS）.△BCJ≌△CFN（AAS）.∴AJ＝CM.DM＝CJ＝4.BJ＝CN.NF＝CJ＝4.∴DM＝NF.∴△DMI≌△FNI（AAS）.∴DI＝FI.MI＝NI.∵∠DCF＝90°.∴DI＝FI＝CI＝5.在Rt△DMI中.由勾股定理可得：MI＝＝＝3.∴NI＝MI＝3.∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8.BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2.∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10.∵四边形ABHL为正方形.∴AL＝AB＝10.∵四边形AJKL为矩形.∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80.故答案为：80．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.利用全等三角形的性质进行求解．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三.股修四.经隅五”．观察下列勾股数：3.4.5.5.12.13.7.24.25.….这类勾股数的特点是：勾为奇数.弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数.弦与股相差为2的一类勾股数.如：6.8.10.8.15.17.….若此类勾股数的勾为2m（m≥3.m为正整数）.则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】∵m为正整数.∴2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理得.（2m）2+a2＝（a+2）2.解得a＝m2+1.综上所述.其弦是m2+1.故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数.勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键．36．（2022•台州）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.D.E.F分别为AB.BC.CA的中点．若EF的长为10.则CD的长为10．【分析】根据三角形中位线定理求出AB.根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解析】∵E.F分别为BC.CA的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF＝AB.∴AB＝2EF＝20.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D为AB中点.AB＝20.。
2022年第讲等腰三角形与直角三角形 中考典例精析
等腰三角形与直角三角形
考点一 等腰三角形的性质 例 1 (2013· 绵阳 ) 如图， AC， BD 相交于点 O ， AB∥ DC， AB＝ BC， ∠ D＝ 40° ， ∠ ACB＝ 35° ， 则∠ AOD ＝ _______.
【点拨】 ∵ AB＝ BC， ∠ ACB＝ 35° ， ∴∠ A＝ ∠ ACB ＝ 35° .∵ AB∥ DC， ∴∠ OCD＝ ∠ A＝ 35° .∵∠ D＝ 40° ， ∠ AOD 是 △ OCD 的外角， ∴∠ AOD＝ ∠ OCD＋ ∠ D＝ 35° ＋ 40° ＝ 75° . 【答案】 75°
考点二 等腰三角形的判定 例 2 (2013· 厦门 )如图，已知 A，B，C，D 是⊙ O 上 的四点，延长 DC， AB 相交于点 E.若 BC＝ BE. 求证：△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】 本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角 形的判定． 证明：∵ A， B， C， D 四点共圆， ∴∠ A＝∠ BCE. ∵ BC＝ BE， ∴∠ BCE＝∠ E，∴∠ A＝∠ E. ∴ AD＝ DE，即△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】由题意等边△ABC 的高为 4，点 P 到 AB 的距离是 1， 点 P 到 AC 的距离是 2， ①若点 P 在等 边△ABC 的内部， 则可得到点 P 到 BC 边的距离 PD 为 1；②若点 P′在等边△ABC 的外部，则由对称性可以 得到点 P′到 B′C′边的距离 P′E 为 1；这时点 P′ 到 BC 的距离 P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1 和 7. 【答案】 1 和 7
方法总结 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于 60° ， 中线、 高线、 角平分线为同一条线段， 三线合一 .根据以上性质可以进行相关的计算与证明 .
【数学中考一轮复习】6.2 等腰三角形和直角三角形(含答案)
第六章 三角形6.2 等腰三角形和直角三角形考点突破考点一 等腰三角形的性质和判定典例1 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D. 求证:AD ＝BC.思路导引根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠C ＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠BDC ＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论. 规律总结本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用. 跟踪训练 11.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC.在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP ＝AQ.再分别以点P ，Q 为圆心，以大于21PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D.若BC ＝6，则BD 的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5第1题图 第2题图2.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A.120°B.130°C.145°D.150°3.如图所示，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）A.2ba+B.2ba-C.a-bD.b-a考点二等腰三角形的分类讨论典例2 Rt△ABC中，∠ABC＝90°AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________.思路导引在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可.名师点拨本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.跟踪训练 21.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是___________.2.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________.3.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝_________.考点三等边三角形的性质和判定典例3如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A.63B.9C.6D.33思路导引连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AC＝3，于是得到结论.规律总结本题考查了含30°角的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.跟踪训练 31.已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为（）A.2B.3C.4D.432.如图所示，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_________.第3题图第4题图3.如图所示，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为_________.考点四直角三角形的性质和判定典例4对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝_________.思路导引根据垂直的定义和勾股定理解答即可.规律总结本题考查的是垂直的定义勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.跟踪训练 41.如图所示，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A.131310 B.13139 C.13138 D.131372.如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，43.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB-AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是_________.中考真题1.（2020·青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A.55°，55° B.70°，40°或70°，55° C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°2.（2020·毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A.13 B.17 C.13或17 D.13或103.（2020·益阳）如图所示，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，DC 平分∠ACB ，若∠A ＝50°，则∠B 的度数为（ ）A.25°B.30°C.35°D.40°第3题图 第4题图4.（2020·怀化）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，若BD ＝3，则DE 的长为（ ） A.3 B.23C.2D.65.（2020·荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝23，D 为BC 的中点，AE ＝41AB ，则△EBD 的面积为（ ） A.433 B.833 C.43 D.83第5题图 第6题图6.（2020·自贡）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是（ ） A.50° B.40° C.30° D.20°7.（2020·包头）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.若AC ＝2，BC ＝22，则BE 的长为（ ） A.362 B.26 C.3 D.2第7题图 第8题图8.（2020·宁波）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，F 为DE 中点，连接BF.若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（ ） A.2 B.2.5 C.3 D.49.（2020·广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，中记载:今有开门去阃（读k ǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是:如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是（ ）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸10.（2020·徐州）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，若BF＝5，则DE＝__________.第10题图第11题图11.（2020·黔西南州）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为__________.12.（2020·青海）已知a，b，c为△ABC的三边长.b，c满足（b-2）2＋|c-3|＝0，且a 为方程|x-4|＝2的解，则△ABC的形状为_________三角形.13.（2020·襄阳）如图所示，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝_______.14.（2020·通辽）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是_____________.15.（2020·扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是:一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答:折断处离地面___________尺高.16.（2020·安顺）如图所示，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D ，BD ＝8，AC ＝11，则边BC 的长为__________.17.（2020·贵阳）如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.参考答案考点突破典例1 证明:∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°. ∴∠A ＝∠ABD.∴AD ＝BD.∴∠BDC ＝72°.∵∠C ＝72°，∴∠C ＝∠BDC.∴BC ＝BD.∴AD ＝BC. 跟踪训练11.B2.B3.C 典例 2 3.6或4.32或4.8 跟踪训练 21.10或112.6或25或453.58或41典例 3 D 跟踪训练 31.C2.63.33 典例 4 20跟踪训练 41.D2.B3.17 中考真题1.D2.B3.B4.A5.B6.D7.A8.B9.C 10.5 11.23 12.等腰 13.40° 14.PA 2＋PB 2＝2PC 2 15.209116.45 17.解:（答案不唯一）（1） （2） （3）。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
1．(2022·湖州)如图，已知在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△
EBC的面积是
（ B）
A．12
B．9
C.6
ห้องสมุดไป่ตู้
D．3 2
重难点2：与直角三角形有关的证明与计算 如图①，图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上
分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海
里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北北偏东偏5东0 °方向
航行．
50°
重难点 1：与等腰三角形有关的证明与计算 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点．
(1)如图①，若∠BAC＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B 的度数为
第三节 等腰三角形与直 角三角形
【考情分析】等腰三角形、直角三角形在选择题、填空题中主要考查： ①利用性质求角度；②求线段长度或取值范围；③在坐标系中求点的坐 标；④利用勾股定理及直角三角形的性质进行相关计算．在解答题中大 多结合二次函数或圆，探究等腰三角形的形状或利用等腰三角形的性质 解决存在性探究问题、直角三角形的探究问题．
是
（A ）
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
5．(2022·贺州第6题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56
°，则∠A的度数为
（ A）
A．34°
B.44°
C．124°
D．134°
6．(2022·梧州第16题3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分 别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m，那么CD ＋DE的长是44 m.
数学中考考点专题复习训练及答案解析15：等腰三角形与直角三角形
考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是 A ．35°B ．20°C ．35°或20°D ．无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C ．典例2 如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，在底边BC 上截取BD =AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.1．等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的腰长为A．3 cm B．6 cm C．3 cm或6 cm D．3 cm或9 cm考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．学_科网【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，∠PAB的度数是A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于A．20°B．30°C．35°D．40°考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】①∵62+82=100=102，∴6、8、10是勾股数；②∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；③∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；④∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D．【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析．6．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于A．30°B．40°C．45°D．36°3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是A．3，4，5B．6，7，8C．12，25，27 D．23，25，424．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为A．8 B．4 C．12 D．65．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是A．a2+b2=c2 B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶56．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17 C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5 C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．32C．42D．6211．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．12．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．学科_网13．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD=4，则线段BE 的长为__________．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．如图，在等腰三角形ABC 中，AC =BC ，分别以BC 和AC 为直角边向上作等腰直角三角形△BCD 和△ACE ，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ．求证：CG 垂直平分AB ．19．如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若BD=12CE，AB=9，求线段DF的长．21．已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=62米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．1．（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A ．3，4，5 B ．2，3，4 C ．4，6，7D ．5，11，122．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 A ．5 B ．6 C ．7D ．83．（2018·湖州）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB =AC ，∠CAD =20°，则 ∠ACE 的度数是A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°4．（2018·宿迁）若实数m 、n 满足|2|40m n -+-=，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 A ．12 B ．10 C ．8D ．65．（2018·绥化）已知等腰三角形的一个外角为130︒，则它的顶角的度数为__________．6．（2018·青海）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到DEC △，连接AD ，若∠BAC =25°，则∠BAD =__________．7．（2018·甘孜州）直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD =7，AB =2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__________．8．（2018·桂林）如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________．9．（2018·襄阳）已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若CD =3，AD =1，AB =2AC ，则BC 的长为__________． 10．（2018·嘉兴）已知，在ABC △中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为点E F ，，且DE DF =．求证：ABC △是等边三角形．11．（2018·广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形． （2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．1．【答案】B【解析】当3 cm 是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm ），此时能够组成三角形；当3 cm 是腰时，则底是15-3×2=9（cm ），此时3+3<9，不能组成三角形，应舍去，故选B ． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形， ∴9060150BAP BAD PAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵PA =AD ，AB =AD ，∴PA =AB ， ∴180150152ABP ︒-︒∠==︒，∴901575PBC ABC ABP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，同理：75PCB ∠=︒，∴180757530BPC ∠=︒-︒-︒=︒．故选B ． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5． 6．【答案】B【解析】如图，底面圆周长为2πr ，底面半圆弧长为πr ，即半圆弧长为：12×2π×6π=6（cm ），展开得：变式拓展∵BC=8 cm，AC=6 cm，根据勾股定理得：AB=2268+=10（cm），故选B．1．【答案】C【解析】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故选C．2．【答案】D【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．4．【答案】C【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=8+4=12，故选C．5．【答案】D【解析】A．a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B．∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C．52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形．故选D．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD22AB BD-=4．故选C．考点冲关8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，AB22226662AC BC+=+=D．11．【答案】203cm或12 cm【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，根据题意得162122xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或122162xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得323203xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或812xy=⎧⎨=⎩，经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是203cm或12 cm．故答案为：203cm或12 cm．12．【答案】60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−60°−150°−90°=60°，故答案为：60°．13．【答案】4【解析】∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°．∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，解得∠C=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=30°，∵∠AED=90°-∠DEB=30°，∴∠A=∠AED，∴DE=AD=4，∴BE=DE=4，故答案为：4．14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形；②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10．16．【答案】15【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．17．【答案】32或42【解析】如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴设CM=A1M=x，则BM=7-x．又由折叠的性质知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1A1M，∴CA118．【解析】∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，∴∠FAB=∠FBA，∴AF=BF，在三角形ACF和△BCF中，AF BF AC BC CF CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF，∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），即CG垂直平分AB．19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，则AO，∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′为斜边，∴OB′=1.5 m，∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．答：梯足向外移动了0.8 m．20．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AE=BD，∴AC-AE=BC-BD，∴CE=CD，且∠ACB=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ECD=∠DEC=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠CEF=30°，∵∠DCE=∠CEF+∠CFE=60°，∴∠CEF=∠CFE=30°，∴CE=CF．（2）∵BD=12 CE，CE=CD，∴BD=12CD，∵AB=9，∴BC=9，∴BD=3，CD=6，∵CE=CF=CD，∴CF=6，∴DF=DC+CF=12．21．【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=62m，∠CAD=90°，可得AD=22CD AC-=6（m），故△ACD是等腰直角三角形．（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，∴AB=22BC AC-=8（m），则BD=AB-AD=8-6=2（m）．答：船体移动距离BD的长度为2 m．1．【答案】A【解析】A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．直通中考4．【答案】B【解析】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去；②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B．5．【答案】50︒或80︒【解析】∵等腰三角形的一个外角为130︒，∴与130°相邻的内角为50°，当50︒为顶角时，其他两角都为65︒，65︒；当50︒为底角时，其他两角为50︒，80︒，所以等腰三角形的顶角为50︒或80︒，故答案为：50︒或80︒．6．【答案】70°【解析】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°．7．【答案】2或2.5【解析】如图，∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，∴BC=AB 或BC=CD，∴BC=2或BC=2.5，故答案为：2或2.5．8．【答案】3【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．9．【答案】2327△是锐角三角形，如图1，【解析】分两种情况：①当ABC∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=3，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4-1=3，∴BC2222CD BD+=+=；3(3)23②当ABC△是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=2222CD BD+=+=．综上所述，BC的长为23或27，(3)527故答案为：23或27．10．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF（HL），∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形．11．【解析】如图所示：。
中考数学专题特训 等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。
中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(带答案)
中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（25道）一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12 B 5C ．23 D 32．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A ．23B ．232C ．2D ．233．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC =，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．1或26．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．537．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC = 2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.29．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD的长是（ ）A B C D11．ABC 的三边长a b c 满足2()|0a b c --=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．参考答案一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12BC ．23 D【答案】D 【详解】解：①点O 是①ABC 的重心 ①OC =23CE ①①ABC 是直角三角形 ①CE =BE =AE ①①B =30° ①①F AE =①B =30° ①BAC =60° ①①F AE =①CAF =30° ①ACE 是等边三角形 ①CM =12CE ①OM =23CE ﹣12CE =16CE 即OM =16AE ①BE =AE ①EF①EF ①AB ①①AFE =60° ①①FEM =30° ①MF =12EF ①MF①MO MF1AE故选D ．2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A．2B．2 C ．2 D．【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得2cm AD CD == 由含30度角直角三角形的性质可得24cm BC CD == 由勾股定理可得BD 的长 即可得到结论．【详解】解：如图，在Rt ACD △中 45ACD ∠=︒①45CAD ACD ∠=︒=∠①2cm AD CD ==在Rt BCD 中 60BCD ∠=︒①30CBD ∠=︒①24cm BC CD == ①)22224223cm BD BC CD --= ①()233cm AB BD AD =-=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理 等腰直角三角形的性质 含30︒角直角三角形的性质 熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与36A ∠=︒ 得到72ABC C ∠=∠=︒ 根据角平分线定义得到36ABD CBD ∠=∠=︒ 根据线段垂直平分线性质得到EB ED = 得到EBD EDB ∠=∠ 推出EDB CBD ∠=∠ 得到DE BC ∥ 推出AED ABC ∠=∠ ①正确 根据等角对等边得到AD AE = AD BD = 根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠ 得到BC BD = 推出BC AE = ①正确 根据AED ABC △∽△ 得到ED AD AD BC AC AD DC ==+ 推出ED = ①错误 根据2AC =时CD AD = 2AD AD =-,推出1AD = ①正确． 【详解】①ABC 中 AB AC = 36A ∠=︒ ①()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒ 由作图知 BD 平分ABC ∠ MN 垂直平分BD ①1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒EB ED = ①EBD EDB ∠=∠①EDB CBD ∠=∠①DE BC ∥①AED ABC ∠=∠ ①正确 ADE C ∠=∠①AED ADE ∠=∠①AD AE =①A ABD ∠=∠①AD BD =①72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒ ①BDC C ∠=∠①BC BD =①BC AE = ①正确设ED x = BC a =则AD a = BE x =①CD BE x ==①AED ABC △∽△ ①EDADADBC AC AD DC ==+ ①x aa a x =+①220x ax a +-=①0x >①51x -= 即51ED -=①错误 当2AC =时 2CD AD =- ①51CD AD -=512AD AD -=-, ①51AD = ①正确①正确的有①①① 共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形 相似三角形 解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质 相似三角形的判定和性质 角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．4．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为27 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为23 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == BC AE == 6BD ==∴8DE =∴AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = BC = OE = 1CE =①CD = GE DF ==32CF =①52EF DG == OG①OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D 【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．53【答案】D 【分析】过点D 作DM AB ⊥于M 由勾股定理可求得4AC = 由题意可证明ADC ADM △≌△，则可得4AM AC == 从而有1BM = 在Rt DMB 中 由勾股定理建立方程即可求得结果．【详解】解：过点D 作DM AB ⊥于M 如图由勾股定理可求得4AC =由题中作图知 AD 平分BAC ∠①DM AB AC BC ⊥⊥，①DC DM =①AD AD =①Rt Rt ADC ADM △≌△①4AM AC ==①1BM AB AM =-=设BD x =，则3MD CD BC BD x ==-=-在Rt DMB 中 由勾股定理得：2221(3)x x +-= 解得：53x = 即BD 的长为为53故选：D ．【点睛】本题考查了作图：作角平分线 角平分线的性质定理 全等三角形的判定与性质 勾股定理 利用全等的性质 利用勾股定理建立方程是解题的关键．7．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【答案】B 【分析】作AD BC ⊥于点D 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒ 再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点DABC 中,120BAC ∠=︒ AB AC =∴()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒AD BC ⊥∴11126m 22AD AB ==⨯=故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 三角形内角和定理 含30度角的直角三角形的性质等解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC =2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2【答案】C【分析】证明ADC DEB ∽△△ 根据题意得出45BD BC = 进而即可求解．【详解】解：①ABC 为等边三角形①60B C ∠=∠=︒①ADB ADE BDE C DAC ∠=∠+∠=∠+∠ 60ADE ∠=︒①BDE DAC ∠=∠①ADC DEB ∽△△ ①AD ACDE BD =①4BD DC = ①45BD BC =①AD AC DE BD =5445BC BC == ① 2.4DE = ①534AD DE =⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 等边三角形的性质 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图 1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【详解】解：作直线PQ （两点确定一条直线）连接PA PB QA QB OC ，，，，①由作图 PA PB QA QB ==，①PQ AB ⊥且AO BO =（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．①90ACB ∠=︒ ①12OC AB =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ①OA OB OC ==①A B C 三点在以O 为圆心 AB 为直径的圆上．①O 为ABC 的外接圆．故选：D ．【点睛】本题考查作图-复杂作图 线段的垂直平分线的定义 直角三角形斜边中线的性质等知识 解题的关键熟练掌握基本知识 属于中考常考题型．10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A B C D 【答案】C 【分析】如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E 利用勾股定理求出5AC = 进而利用等面积法求出125BE =，则可求出95AE = 再由BD 平分ABC 的周长 求出32AD CD ==， 进而得到65DE =，则由勾股定理得BD ==【详解】解：如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E①在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， ①225AC AB +BC ①1122ABC S AC BE BC AC =⋅=⋅△ ①125AB BC BE AC ⋅== ①2295AE AB BE =-= ①BD 平分ABC 的周长①AD AB BC CD +=+ 即34AD CD +=+又①5AD CD AC +==①32AD CD ==， ①65DE AD AE =-= ①2265BD BE DE =+=故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．ABC 的三边长a b c 满足2()23|320a b a b c ----=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a b c 的等式 从而分别计算得到a b c 的值 再由222+=a b c 的关系 可推导得到ABC 为直角三角形．【详解】解①2()23|320a b a b c ---+-=又①()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--⎨-≥⎪⎩①()2000a b c ⎧-=-=⎪⎩①02300a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-⎩解得33a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ①222+=a b c 且a b =①ABC 为等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识 求解的关键是熟练掌握非负数的和为0 每一个非负数均为0 和勾股定理逆定理．12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得04AC << 再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在ACD 中 2AD CD ==①2222AC -<<+ 即04AC <<当4AC BC ==时 ABC 为等腰三角形 但不合题意 舍去若3AC AB ==时 ABC 为等腰三角形故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．【答案】23【分析】先求出AD=2 BD=4 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得①AMD+①A=①EDF+①BDN 然后求出①AMD=①BDN 从而得到①AMD 和①BDN 相似 根据相似三角形对应边成比例可得MA MD BD DN= 求出MA•DN=4MD 再将所求代数式整理出完全平方的形式 然后根据非负数的性质求出最小值即可．【详解】①AB=6 AB=1：3 ①AD=6×13=2 BD=6﹣2=4 ①①ABC 和①FDE 是形状 大小完全相同的两个等腰三角形①①A=①B=①FDE 由三角形的外角性质得 ①AMD+①A=①EDF+①BDN ①①AMD=①BDN①①AMD①①BDN ①MA MD BD DN= ①MA•DN=BD•MD=4MD ①MD+12⋅MA DN =MD+2233()(2323MD MD MD+- =①3MD MD 即3MD+12⋅MA DN 有最小值为23故答案为考点：相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 旋转的性质 最值问题 综合题．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．【答案】32/112/1.5 【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△ 推出5==BA CE 再利用勾股定理求出BC 最后根据中点的定义即可求CD 的长． 【详解】解：CE AB ∥∴BAD CED ∠=∠点D 为BC 的中点∴BD CD = 又BDA CDE ∠=∠∴BDA CDE △≌△()AAS∴5==BA CERt ABC △中 90ACB ∠=︒ 4AC =∴3BC === ∴1322CD BC ==． 故答案为：32． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 勾股定理 平行线的性质等 证明BDA CDE △≌△是解题的关键．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．541【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当D 在CA 上讨论 画出图形 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N 利用勾股定理解题即可【详解】解：当在线段上时 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N①当D 在线段AC 上时1AD =2CD AC AD ∴=-=90BCD ∠=︒22222313BD CD BC ∴=+=+点O 是线段BD 的中点1132OC OB OD BD ∴====ON BC ⊥1322CN BN BC ∴===AB DE45COE A CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒2CE CD ∴==31222NE ∴=-=221ON CO CN =-2222151()2OE ON NE ∴=++=②当D 在CA 延长线上时，则4CD AD AC =+=O 是线段BD 的中点 90BCD ∠=︒12OC OB OD BD ∴=== ON BC ⊥1322CN BN BC ∴=== OB OD =122ON CD ∴== AB DE45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒4CE CD ∴==35422EN CE CN ∴=-=-=OE ∴==OE ∴【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质 勾股定理 正确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．【答案】32【分析】连接CP 利用勾股定理列式求出AB 判断出四边形CDPE 是矩形 根据矩形的对角线相等可得DE CP = 再根据垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段DE 的值最小 然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CP①90,6C AC BC ∠=︒== ①22226662AB AC BC ++=①PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E 90ACB ∠=︒①四边形CDPE 是矩形①DE CP =由垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段CP 的值最小 此时线段DE 的值最小此时 1122ABC S AC BC AB CP ==△⋅⋅ 代入数据：11666222CP ①32CP =①DE 的最小值为32故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 垂线段最短的性质 勾股定理 判断出CP AB ⊥时 线段DE 的值最小是解题的关键．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．【答案】【分析】连接AC BD 交于点O 过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F 先证明BCD △是等边三角形 AC垂直平分BD 求得30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒ 6AE EC == 再解三角形求出AO AC CO =-= 4BO = 最后运用勾股定理求得AB 即可．【详解】解：如图：连接AC BD 交于点O又①BC DC = 60C ∠=︒①BCD △是等边三角形①8BD BC CD ===①AB AD = BC DC =①AC BD ⊥ 142BO DO BD === ①1302ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒ 又①AE CD ∥①30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒．①6AE EC ==过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F ①3cos30633CF CE =⋅︒==3cos30633AF AE =⋅︒==3cos3083CO BC =⋅︒==①63AC CF AF =+=①634323AO AC CO =-==①在Rt BOA 中 2222(23)427AB BO AO ++= 故答案为：27【点睛】本题属于四边形综合题 主要考查了等边三角形的判定和性质 平行线的性质 垂直平分线 勾股定理 解直角三角形等知识点 正确作出辅助线成为解答本题的关键．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．【答案】65【分析】根据题意可得BD BE = 再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：BD BE =①BDE BED ∠=∠①18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，①65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质 三角形内角和等知识点 掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．【答案】4【分析】利用圆的性质得出AP 垂直平分CD 和5AD AC == 运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知 以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P ①AP 垂直平分CD ,即90AED ∠=︒ ①132DE CD == 又①在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 其中5AC =①5AD AC ==在ADE 中 4AE =故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质 掌握相关知识点是解题的关键.20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M 证明ACG BMG ∽ 得出AG AC AC GB BM BC == 根据96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= 即可求解． 【详解】解：如图所示 过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M①ACM CMB ∠=∠由作图可得CG 是ACB ∠的角平分线①ACM BCM ∠=∠①BCM CMB ∠=∠①BC BM =①BM AC ∥①ACG BMG ∽ ①AG AC AC GB BM BC== ①96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= ①BCG 的面积为8①ACG 的面积为12故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 作角平分线 熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB 然后利用勾股定理即可得出BC 最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：①在Rt ABC △中 CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 5CD =①210AB CD ==①6BC①E 为AC 的中点 ①132DE BC == 故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质 三角形中位线定理 掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．【答案】5【分析】先根据题意画出图形 再运用勾股定理求得AB 然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：①△ACB =90° AC =6 BC =8 ①22226810AB AC BC①①ACB =90° D 为AB 的中点①CD =12AB =12×10=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．【答案】(1)见解析 (2)185BD = 【分析】（1）根据三角形高的定义得出90ADB ∠=︒ 根据等角的余角相等 得出BAD C ∠=∠ 结合公共角B B ∠=∠ 即可得证（2）根据（1）的结论 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：①90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．①90ADB ∠=︒ 90B C ∠+∠=︒①90B BAD ∠+∠=︒①BAD C ∠=∠又①B B ∠=∠①C ABD BA ∽△△（2）①C ABD BA ∽△△ ①AB BD CB AB=又610AB BC ==， ①23618105AB BD CB ===． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质 证出2E ∠=∠ 再利用等边对等角即可．【详解】证明：BD 为等边ABC 的中线BD AC ∴⊥ 160∠=︒330∴∠=︒BD DE =330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒230E ∴∠=∠=︒CD CE ∴=【点睛】本题考查了等边三角形 等腰三角形的性质和判定 理解记忆相关定理是解题的关键．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）由B AED ∠=∠求出BAE CED ∠=∠ 然后利用AAS 证明BAE CED ≅ 可得EA ED = 再由等边对等角得出结论（2）过点E 作EF AD ⊥于F 根据等腰三角形的性质和含30︒直角三角形的性质求出DF 和AD 然后利用勾股定理求出EF 再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：①B AED ∠=∠①180180B AED ︒-∠=︒-∠ 即BEA BAE BEA CED ∠+∠=∠+∠①BAE CED ∠=∠在BAE 和CED △中 B C BAE CED BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BAE CED ≅①EA ED =①EAD EDA ∠=∠（2）解：过点E 作EF AD ⊥于F由（1）知EA ED =①60C AED ︒∠=∠=①30AEF DEF ∠=∠=︒①4DE = ①122DF DE == ①24AD DF == 22224223EF DE DF =--①11422AED S AD EF =⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 含30︒直角三角形的性质以及勾股定理等知识 正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．。
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等腰直角三角形中考题详解一、选择题（共13小题）1、（2008•枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A、（0，0）B、（，﹣）C、（，﹣）D、（﹣，）2、（2003•烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°3、（2006•吉林）如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm4、（2011•黑龙江）在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形5、（2009•宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、90°6、（2006•青海）用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）A、①③B、②④C、②③D、①④7、（2006•长春）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线深圳市菁优网络科技有限公司的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm8、（2001•广州）已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2个B、4个C、6个D、8个9、（2010•攀枝花）如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A、1＜k＜2B、1≤k≤3C、1≤k≤4D、1≤k＜410、△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）A、BE＞CFB、BE=CFC、BE＜CFD、无法确定11、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）A、10cmB、8cmC、12cmD、9cm12、如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD13、己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）A、1B、2C、D、二、填空题（共17小题）14、（2005•南通）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是_________．15、（2008•临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=_________．16、（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=_________BC．17、等腰直角三角形的底角为_________度．18、等腰直角三角形的腰长为，则底边长为_________．19、已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是_________．20、（2011•青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=_________．21、（2010•丹东）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_________．22、（2006•邵阳）图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_________．23、（2002•海南）如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________度．24、（2003•娄底）等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________．25、（2000•黑龙江）等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为_________．26、（1999•贵阳）等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为_________cm．27、（2010•厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为_________厘米．28、（2010•内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．29、（2007•牡丹江）如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为_________．30、（2005•茂名）如图是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_________度（不考虑青蛙的身高）．答案与评分标准一、选择题（共13小题）1、（2008•枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A、（0，0）B、（，﹣）C、（，﹣）D、（﹣，）考点：坐标与图形性质；垂线段最短；等腰直角三角形。
专题：计算题。
分析：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，由题意可知：△AOB 为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标．解答：解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，∵点B在直线y=﹣x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=．作图可知B在x下方，y的右方．∴横坐标正，纵坐标为负．所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）．故选B．点评：动手操作很关键．本题用到的知识点为：垂线段最短．2、（2003•烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形。
分析：先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE∵∠BDF=∠ADC=90°，BF=AC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°故选B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3、（2006•吉林）如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm考点：等腰直角三角形。
专题：应用题。
分析：易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，底边长为8，可得底边上的高．让10减去底边上的高即为水深．解答：解：∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．∴P点到杯口距离为4 cm．∴水深为10﹣4=6cm．故选C．点评：本题考查解直角三角形在生活中应用，背景新颖．4、（2011•黑龙江）在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形考点：等腰直角三角形。
专题：常规题型。
分析：根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC 边相等，所以三角形为等腰直角三角形．解答：解：设BC、AC、AB分别为k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D．点评：本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．5、（2009•宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、90°考点：等腰直角三角形；三角形内角和定理。
分析：根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°，然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数．解答：解：等腰直角三角形一个底角的度数=（180°﹣90°）÷2=45°．故选B．点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质，及三角形内角和定理．难度不大．6、（2006•青海）用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）A、①③B、②④C、②③D、①④考点：等腰直角三角形。