第4讲 土壤水份运动基本方程

或 q =-Ks ▽H
▽ －Hamilton (Nabla)算子：
∂ ∂ ∂ ∇ =i + j +k ∂x ∂y ∂z
grad H－水力梯度：
∂H ∂H ∂H i+ j+ k gradH = ∂y ∂z ∂x
分量形式：
∂H ⎫ qx = − K sx ∂x ⎪ ⎪ ∂H ⎪ q y = − K sy ⎬ ∂y ⎪ ∂H ⎪ qz = − K sz ⎪ ∂z ⎭
m
)
θ方程（扩散型方程）：
引入扩散率D：
D (θ ) = K (θ ) = K (θ C (θ )
)
dθ dψ m
∂ψ m dψ m ∂θ ∂θ = K (θ ) = D(θ ) K (θ ) ∂x dθ ∂x ∂x
∂θ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂K (θ ) = D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ ± ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣
问题讨论
Range of Applicability of Darcy’s Law
Low Gradients ： • Compacted clays and low gradients • Threshold gradient to get flow • Below a certain gradient – nonlinear High Gradients ： 呈紊流状态时，通量与水势梯 度的关系就不再是线性的，以上 各式不再适用。
⎤ ∂ ⎡ ∂ψ m + K (ψ m ) ⎥ ⎢ ∂z ⎦ ∂z ⎣
]± ∂ K (ψ ∂z
m
⎤ ∂ K (ψ m ) ⎥± ∂z ⎦
m
∂ψ m = ∇ ⋅ [ K (ψ ∂t
)
m
m
一维垂直流动：
C (ψ
m )
∂ψ m ∂ ⎡ = ⎢ K (ψ ∂t ∂z ⎣
m )
∂ ψ m ⎤ ∂ K (ψ ⎥± ∂z ⎦ ∂z
非饱和： q=-Kθ ▽ψ
不同型式： q = -K(θ) ▽ψ， q = -K(ψm) ▽ψ q = -K(θ) ▽(ψm±z)
驱动力：土水势（重力势＋基质势）梯度 导水率：小于饱和导水率，是基质势（含水 率）的函数
Darcy定律的分量形式：
∂ψ m q x = − K (ψ m ) ∂x ∂ψ m q y = − K (ψ m ) ∂y ⎛ ∂ψ m ⎞ q z = − K (ψ m )⎜ ± 1⎟ ⎝ ∂z ⎠
Hydraulic gradient K －导水率,Δh －水头差,Δl－渗流路径 K is hydraulic conductivity and has units of velocity (L/T). It is a function of both media and fluid. q is a flow per unit cross section and is not the actual velocity of groundwater flow. Δh represents the frictional energy loss due to flow through media. Darcy’s law is a macroscopic law. It doesn’t tell you about the flow through individual pores.
导水率K
综合反映了多孔介质对流体流动的阻碍作用
多孔介质的基质特征：质地、结构… 流体物理性质：粘滞性、密度…
实验室测定 现场测定
双环入渗试验 Guelph渗透仪 抽水试验
Darcy定律的微分形式：
微分形式与差分 形式有区别吗？
dH q = −K s dL
Return to fluid potential equation, Neglect velocity (kinetic) term, and substitute for p
非饱和导水率的测定方法
瞬时剖面法 垂直下渗通量法 垂直土柱稳定蒸发法 出流法
非饱和导水率的计算方法
毛管模型： 统计模型：(Mualem, 1976)
K (θ ) ⎛ θ − θ r k r (θ ) = =⎜ ⎜ θ −θ Ks r ⎝ s ⎞ ⎟ ⎜ ∫θr ⎜ h(θ ) ⎝
第4讲 土壤水份运动基本方程
1. 孔隙介质流体运动的达西定律 2. 土壤水运动基本方程
4.1 孔隙介质流体运动的 达西（Darcy）定律
Darcy’s Law
In 1856 in Dijon, France, Henry Darcy conducted his now famous experiment of pouring water through sediment-packed pipes to see how much would flow through them in a given amount of time [volume of flow per unit time]. Flow through column is Q in L3/T , most important quantity. The flow per unit area is specific discharge q =Q /A with units of velocity L/T – called Darcian velocity or Darcian flux, but not actual velocity of the fluid.
Richards方程的不同形式
ψm方程（因变量中只有ψm ）：
引入比水容量
C (ψ m )
C= dθ dθ 或C = − dψ m ds
∂ψ m ∂ψ m ∂ ⎡ = K (ψ m ) ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎣
C (ψ )
∂ψ m ⎤ ∂ ⎡ + K (ψ m ) ⎥ ∂y ⎢ ∂y ⎦ ⎣
)∇ ψ
小结：
质量守恒原理══> 连续方程： 假设土壤固相骨架不变形，则土体微元内水 分的增量＝流入、流出微元的水量差：
∂( ρwqx ) ∂( ρwq y ) ∂( ρwqz ) ∂( ρwθ ) ] = −∇⋅ ( ρwq) + + = −[ ∂z ∂x ∂y ∂t
▽• (ρwq)=div (ρwq)——散度 土壤水不可压缩时，ρw为常数：
Thus, head h is a fluid potential.
Flow is always from high h to low h. H is energy per unit weight. H is directly measurable, the height of water above some point.
主要考虑垂直方向qz,，Darcy定律的积分形 式，z↑，h=ψm：
dh z1 − z 2 = ∫ h1 1 + q z / K ( h)
h2
用于分析土壤水稳定流
• 蒸发 • 入渗
土壤非饱和导水率
非饱和导水率随基质势（含水率）的减小 而减小的原因：
部分孔隙充气，随着含水率的降低，实际过水 面积减小； 随着含水率的降低，较大孔隙排水，土壤水在 较小的孔隙流动，水流阻力增大，实际流速减 小； 小孔隙弯曲程度增加。
h=z+ϕ
If the coordinate axes are aligned with the principal directions of the conductivity tensor then the crossterms drop out giving:
简化表示三维形式： q=-Ks grad H
θs dθ ⎞ ∫θr h(θ ) ⎟ ⎟ ⎠
2
经验公式：
• K=as-m ； K=Ks/(csm+1) • K=Ks(θ/θs) m ；K=Ks[(θ-θr)/ (θs-θr)]m • VG-M：
K (h) = K s 1 − (ah) n −1[1 + (ah) n ]1 / n −1 /[1 + (ah) n ]( n −1) / 2 n
{
}
2
根据其他参数计算：K(θ) =C(θ) D(θ)
4.2 土壤水运动基本方程 Richards方程
在∆t时间内，流入和流出单元体的土壤水分质量差总计为:
⎡ ∂ ( ρ w qx ) ∂ ( ρ w q y ) ∂ ( ρ w q z ) ⎤ −⎢ + + ⎥ ΔxΔyΔzΔt ∂y ∂z ⎥ ⎢ ∂x ⎣ ⎦
Darcy showed that: Q is in direction of decreasing head q is proportional to h2 – h1 = Δh given Δl fixed, qα (-Δh) q is inversely proportional to Δl, given Δh fixed, qα (1/Δl) The proportionality constant is K, and flow is from higher to lower hydraulic head.
考虑基质势和重力势，对于各向同性介质：
∂ψ m ⎤ ∂K (θ ) ∂ψ m ⎤ ∂ ⎡ ∂ψ m ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ∂ ⎡ K (θ ) + ⎢ K (θ ) + ⎢ K (θ ) = ⎥ ⎥ ± ∂z ⎥ ∂y ⎢ ∂z ⎦ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂t ∂x ⎣ ∂x ⎦ ⎣
Richards方程为二阶偏微分方程，一般采用 数值方法求解。
∂K (θ ) ∂θ = ∇ ⋅ [ D(θ )∇θ ] ± ∂z ∂t
一维垂直流动：
∂θ ∂ ⎡ ∂θ = ⎢ D (θ ) ∂ z ∂t ∂z ⎣ ⎤ ∂ K (θ ) ⎥ ± ∂z ⎦
∂q x ∂q y ∂q z ∂θ = −( + + ) = −∇ ⋅ q ∂t ∂x ∂y ∂z
Richards方程：
将Darcy方程 q=-K(θ)▽ψ 代入,得：
∂θ = ∇ ⋅ [ K (θ )∇ψ ] ∂t
∂θ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ = K x (θ ) + ⎢ K y (θ ) K z (θ ) ⎥+ ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎥ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎢ ∂z ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
What is hydraulic conductivity?
K is a property of both media and fluid. Experiments show: K is the intrinsic permeability (L2), a property of media only. ρ is the mass density (M/L3) μ is the dynamic viscosity (M/LT) and measures the resistance of fluid to shearing that is necessary for flow.
在单元体内，土壤水分的质量为 ρ θ Δ x Δ y Δ z 由于固相骨架不变形， 则∆x、 ∆y、 ∆z也 不变。因此∆t时间内单元体内土壤水分质量 的变化量为 :
w
∂ ( ρ wθ ) ΔxΔy ΔzΔt ∂t
根据质量守恒：
⎡ ∂ ( ρ w qx ) ∂ ( ρ w q y ) ∂ ( ρ w q z ) ⎤ ∂ ( ρ wθ ) = −⎢ + + ⎥ ∂t ∂y ∂z ⎥ ⎢ ∂x ⎣ ⎦
Term 1 is loss – viscous friction against wall of solids and Term 2 is loss – dissipation of kinetic energy in pores – flow converges and diverges.
Darcy定律的适用范围
层流：与粘滞力相比，惯性力作用可以忽略不 计。在紊流状态下，通量与水势梯度呈非线性 关系。 对于颗粒极细的土壤：克服一定的初始水头差 才能发生流动。 一般情况下，Darcy定律有效。
土壤水流动的Darcy定律
土壤水流动的Darcy定律
1907年：Edgar Buchkingham将Darcy定律 推广到非饱和土壤水。 饱 和： q=-Ks·▽H