初一数学第一学期讲义(8、9)辅导班
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
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七年级数学优秀培训班讲义(教师版)[1]初中一年级基础数学讲义一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二，绝对值的含义:(1)几何意义:通常，从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值，表示为|a|。
(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是；(2)负数的绝对值是它的反数；(3)零的绝对值为零。
也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数；(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。
典型示例示例1。
(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。
那么代数表达式| a | | a | | b | | c-一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二，绝对值的含义:(1)几何意义:通常，从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值，表示为|a|。
(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是；(2)负数的绝对值是它的反数；(3)零的绝对值为零。
也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数；(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。
典型示例示例1。
(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。
然后是代数表达式| a | | ab | | c | a | | ab | | c-a |-| b-c |=-a-(ab)(c-a)b-c=-3a分析:在解决绝对值问题时，通常需要去掉绝对值符号，并将其转换为一般的有理数计算。
当绝对值符号被去掉时，必须先确定绝对值符号，然后根据绝对值的代数意义去掉。
本例利用数形结合的数学思想，从数轴上A、B、C的对应位置判断绝对值符号中的数的符号，从而消除绝对值符号，完成简化。
例2。
已知:然后值(c) a是正数b，是负数c是零d，符号解不能确定:根据主题，x、y、z在数轴上的位置如下图所示:所以分析:数轴是数字和代数领域中数字和形式结合的重要载体。
本例中的三个看似复杂的不平等关系，借助数轴，直观、方便地找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利简化铺平了道路。
人教版七年级数学上册知识点归纳上课讲义
1.1正数和负数(1)正数: 大于0的数;负数: 小于0的数；(2)0既不是正数, 也不是负数；(3)在同一个问题中, 分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4) — a不一定是负数, +a也不一定是正数；(5)自然数: 0和正整数统称为自然数;(6) a>0 a是正数；a>0 a是正数或0 a是非负数；a< 0 a是负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.1.2有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式, 这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:第一章有理数正有理数正整数正整数整数有理数零有理数负有理数负整数分数负整数正分数(4)数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素)(5) 一般地, 当a是正数时, 则数轴上表示数 a的点在原点的右边, 距离原点点在原点的左边, 距离原点 a个单位长度;(6)两点关于原点对称: 一般地, 设 a是正数, 则在数轴上与原点的距离为a的点有两个, 它们分别在原点的左右, 表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称；(7)相反数: 只有符号不同的两个数称为互为相反数；(8) 一般地, a的相反数是一a；特别地, 0的相反数是0;(9)相反数的几何意义: 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)a ,b ,(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)b a(12)a、b互为相反数|a|=|b| ;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值: 一般地, 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值；([a|R)(14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0;a (a 0)(15)绝对值可表示为: a 0 (a 0)a (a 0)(16) —1 a 0 ；— 1 a 0;a a(17)有理数的比较: 在数轴上表示有理数, 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序。
初中数学辅导讲义
初中数学辅导讲义（适用于课外辅导班）2015.10.06一、初中数学知识点七年级上知识点七年级上知识点第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：有理数整式的加减一元一次方程图形的认识初步(1)凡能写成)0p q ,p (pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (aa ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
七年级上册第一章辅导讲义【可修改文字】
可编辑修改精选全文完整版七年级上册第一章辅导讲义年级：初一辅导科目：数学课时数：课题从自然数到有理数教学目的通过这堂课的复习，让学生对这章的内容有个比较清楚的了解，及掌握一些基本的概念。
教学内容一、基础知识回顾§1.1 从自然数到分数自然数有些是用来计数和测量的，而有些数用来标号或排序的。
分数可以看做两个整数相除。
分数可以与小数(有限小数和无限循环小数)互化除外。
§1.2 有理数正数和负数的概念-------- 负数是具有相反意义的量。
注意0即不是正数也不是负数，它是一个整数，它表示正数和负数的分界线。
整数有理数分数易错题例题 1 判断“一个数,如果不是负数,就是正数。
这句话的对错。
”例题2最小的正整数是------- 。
最大的负整数是-----------。
例题 3 给下面给出的各数分类。
-8.4, 22， 0.33， 0， -9， +175，47-，1.5， -0.4，0.67-， 3.0正数：负数：整数：分数：正整数负整数正分数负分数有理数正数分数零有理数正有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数有理数：§1.3数 轴规定了原点．单位长度和正方向的直线叫做数轴。
注意：单位长度不一定每个刻度只能表示1.正方向也可以根据题意确定，不一定向右。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
零的相反数是零。
相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
常考点：a 的相反数是-a, a,b 互为相反数等价于a+b=0等价于a=-b 则|a|=|b|。
数轴在数学上的意义：数轴是研究数学的重要模型，也是数形结合思想的重要体现。
易错题例题 1 判断正误 任何有理数必定大于它的相反数。
例题 2 相反数是它本身的数是_______。
．例题 4 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式mb a cd m ++-2的值为 （ ）。
七年级上册数学讲义
前言同学们，欢迎你们来到卓众培训学校，在新的学期里，学校的全体教职员工祝你们天天拥有：蓬勃的激情，执着的热情，甜美的友情，洒脱的表情，爽朗的神情，愉快的心情！在过去的时光里，你们欢乐过，你们苦恼过；你们成功过，你们也失败过；你们悲伤过，你们也微笑过；你们奋斗过，你们也感到疲惫过。
回忆过去，总结经验和教训，可以让我们成长；面向未来，不断地去学习可以让我们成熟！人生就像一个等式。
它的左边是不思进取，它的右边就是一事无成。
它的左边是付出的艰辛，它的右边就是收获的快乐。
它的左边是少壮不努力，它的右边就是老大徒伤悲。
它的左边是锐意进取，它的右边就是学有所成。
要学好数学，必须做到三点：一、要有一个好的学习态度。
良好的学习态度包括以下几点：1、主动维持学习的兴趣，2、合理安排学习的时间，3、诚挚尊重学习的对象，4、信任自己的学习能力，5、不急于求成。
良好的学习态度，是一个学者应该始终坚持的品质。
良好的学习态度，会使我们走向谦虚、自信。
狂妄的人，多半一知半解；自卑的人，多半似是而非；谦虚的人，多半学富五车；自信的人，多半泾渭分明。
养成一种态度，需要磨炼，必然会有所反复，甚至会有所斗争，但只要我们坚持，良好的学习态度是能够形成的。
二、要有一个好的学习方法。
如何听课？好的方法就是：盯着老师听，跟着老师想，调动所有感觉器官参与学习。
上课要做到情绪饱满，精力集中；抓住重点，弄清关键；主动参与，思考分析；大胆发言，展示思维。
从老师讲课中学会分析问题的方法，掌握解决问题的数学思想的技能技巧，而不是仅仅能听懂，会做。
三、要有一个良好的学习习惯。
良好的学习习惯，包括以下几点：1、主动学习的习惯。
2、预习的习惯。
3、认真听课的习惯。
4、上课主动回答问题的习惯。
5、上课记笔记的习惯。
有实验表明：上课光听不记，仅能掌握当堂内容的30％，一字不落的记也只能掌握50％，而上课时在书上勾画重要内容，在书上记有关要点的关键的语句，课下再去整理，则能掌握所学内容的80％。
初中数学辅导讲义
初中数学辅导讲义（适用于课外辅导班）201６.０６.06一、 初中数学知识点七年级上知识点七年级上知识点第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.有理数整式的加减 一元一次方程 图形的认识初步3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
新湘教版七年级上册数学培优班讲义
B．“快”和“慢”是具有相反意义 D．“+15m”就表示向东走 15m
【例 3.1】有如下 4 个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值
都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这
个数是正数，其中正确的有（ ）个。
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式 3.1】数 a 在数轴位置如下图所示，那么 a, −a, 1 , − 1 大小顺序为。（用不等号连接） aa
则满足该条件的五位数有个。
类型三：找规律
【例
5】观察下面一组数据，探求其规律：
−
1 2
,
2 3
,
−
3 4
,
4 5
,
−
5 6
,
6 7
, .
（1）写出第 7、8、9 项的三个数； （2）第 2010 个数是什么？ （3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？
【变式 5】已知 an = (−1)n +1 时， a1 = 0 ；当 n = 2 时， a2 = 2 ；当 n = 3 时， a3 = 0 ；…. 则 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 的值为。
a1 a5
a6 a4
= 。
【变式 1】定义一种对正整数 n 的“F 运算”：①当 n 为奇数时，结果为 3m + 5 ；②当 n 为偶
n
n
数时，结果为 2k （其中 k 是使 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取 n =26，
则
若 n = 499 ，则第 449 次“F 运算”的结果是。
人教版七年级数学上册辅导讲义
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
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最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
人教版七年级数学上册-暑期辅导讲义(易百分2019暑期)拔高
七年级数学上册培优辅导讲义第一章有理数第一课正数与负数第二课数轴相反数绝对值第三课有理数的加减第四课有理数的乘除第五课有理数的乘方第六课科学记数法、近似数第七课有理数复习练习题第二章整式的加减第八课代数式、单项式第九课多项式第十课整式的加减第十一课整式的加减复习题第三章一元一次方程概念和等式性质第十二课一元一次方程解法第十三讲实际问题与一元一次方程第四章多姿多彩的图形第十四讲直线、射线、线段第十五讲角2019六升七暑期2019.7第一章 有理数知识框架：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧则、除法法则有理数的乘除：乘法法近似数、科学记数法有理数的乘方则、减法法则有理数的加减：加法法相反数、绝对值数轴（三要素）示的意义正数与负数：定义及表有理数叫做负数“+”(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧有理数例1. (1)收入 (3) (5)减少例2.在50，小军的记录为2，小丽的记录为+1，则：（1）四个人中有几个人过关？（2）他们分别背过了几个单词？ （3）记录中的四个数字统属哪一类有理数？例3.把下列各数填入表示它所在的数集的圈内：－5，－1.2，50，0.618，0，722，－1.01001，π，－5%，0.3负分数集合 非负整数集合1.2.3.4.5.在数的是6.7.8.9.下列有关“0”的数选中，错误的是( )A.不是正数，也不是负数B.不是有理数，是整数C.是整数，也是有理数D.不是负数，是有理数 10.下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是-50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100C B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么-12%表示生产成本降低12% C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么-6米表示比海平面低-6米 D. 如果收入增加10元记作+10元，那么-8表示支出减少8元11.欢欢发烧了,妈妈带她去看医生,结果测量出体温是39.2℃ ，.用了退烧药后，以每15分钟下降0.2℃的速度退烧,则两小时后,欢欢的体温是( ) ℃。
初一数学思维培训班讲义(八)
初一数学思维培训班讲义（八）周佩如主要内容：1、简单证明。
2、多边形的内角和与外角和。
3、用正多边形铺地。
目标：1、学会初步说理，训练说理能力。
2、能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题。
3、理解正多边形能够铺满地面的道理。
知识点：1、三角形的内角和是 。
三角形的外角和是 。
2、多边形（n 边形）的内角和是 。
多边形的外角和是 。
3、用正多边形铺地的条件是：当围绕 点拼在一起的几个多边形的 角加在一起恰好组成 时，就能拼成一个平面图形。
4、用正多边形铺地的图形只有 、 、 三种。
5、正n 边形的每个内角都 ，每个内角度数为 。
例1、 如图，ooD A O ED BC 20,27,=∠=∠⊥于求：B ∠与ACB ∠分析：B ∠是ABC ∆的内角，在ABC ∆中，B ∠与ACB ∠都是所要求的角.而ACB ∠又是COD ∆的外角，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求ACB ∠，从而根据三角形内角和定理可求B ∠ 。
本题也可从B ∠ 是BEO ∆的一个内角，而BEO ∠是AED ∆的外角入手解得。
解：ED BO ⊥90=∠∴DOC ACB ∠ 是COD ∆的外角1102090=+=∠+∠=∠∴D COD ACB在ABC ∆中，4311027180180=--=∠-∠-=∠ACB A B .注意：求三角形的角与角的数量关系时，一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析，如果图中出现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常还要考虑三角形外角性质，这些结合起来，就容易使问题得到解决。
例2、 如图，BE 平分ABD ∠交CD 于F ，CE 平分ACD ∠交AB 于G ，AB 、CD 交于O 点，且46,48=∠=∠D A ，求E ∠的度数。
分析：由于所求E ∠与已知D A ∠∠,均不在同一个三角形中，但E A ∠∠,分别在AGC ∆与EGB ∆ 中，此两三角形有一组角是对顶角，则 （1）,21∠+∠=∠+∠E A ，同理（2）34∠+∠=∠+∠E D ，而由角平分线定义可知42,31∠=∠∠=∠故（1）+（2）得：)3()2()4()1(∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠E E D A所以：E D A ∠=∠+∠2 )(21D AE ∠+∠=∠∴ 解：15∠+∠=∠A 25∠+∠=∠E 31∠+∠=∠+∠∴E A （1）同理34∠+∠=∠+∠E D （2）（1）+（2）得 32241∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠E D AACD CE ABD BE ∠∠平分平分,,31,42∠=∠∠=∠∴E D A ∠=∠+∠∴247)4648(21)(21=+=∠+∠=∠∴D A E注意：上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法，根据图形写出几个包括求解一方的等式，然后依据等式性质进行恒等变换，从而求得题解。
【初一数学上册(秋季班)讲义】第02讲_有理数(学生版)A4
高斯七年级上册（秋季班）（学生版）最新讲义高斯七年级上册（秋季班）辅导讲义学员姓名：刘小米年级：辅导科目：小学思维学科教师：五块石1 上课时间2019-06-25 14:00-16:00授课主题第01讲_有理数正数和负数一．正数与负数像2+，0.7+，13等大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数；像 3.5-，1-，12-这样在正数前面加上“-”（读作“负号”，“-”不能省略）的数叫做负数，负数小于0．二．相反意义的量在实际问题中，如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量．如：若6+米表示上升6米，则2-米表示下降2米；若5-米表示向东走5米，则3+米表示向西走3米；若知识图谱错题回顾知识精讲1.8%+表示产量增长了1.8%，则2.3%-表示产量降低了2.3%．相反意义的量必须包含两个要素： 1． 它们的意义相反； 2． 它们都表示同一类量．一．考点：正数和负数的概念二．重难点：相反意义的量．三．易错点：1．0既不是正数，也不是负数； 2．“+”可以省略，“-”不能省略．题模一：正数和负数例1.1.1已知下列各数4-，43-，0，227， 3.14-，2006，5-， 1.88+中，其中负数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 例1.1.2下列各数中，不是负数的是（ ）A ．﹣2B ．3C ．﹣D ．﹣0.10例1.1.3如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A ．-3℃ B ．-2℃ C ．+3℃ D ．+2℃ 例1.1.4有下列各量：①身高1.84米和身高1.74米；②收入200元，支出50元；③向北走3千米，向东走2千米；④胜3局，负2局；⑤节约水4吨，浪费粮食2千克；⑥盈利5万元与支出5万元．其中具有相反意义的量的是__________________随练1.1如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（ ） A ．+3B ．﹣3C ．+D ．﹣随练1.2有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A ．+2 B ．﹣3 C ．+3 D ．+4随练1.3在1、-2、-5.5、0、43、-57、3.14中，负数的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个有理数三点剖析题模精讲随堂练习一．有理数的概念定义：整数与分数统称有理数，无限不循环小数叫无理数，例如π．二．有理数的分类()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数一．考点：有理数概念，有理数的分类．二．重难点：有理数的分类．三．易错点：1．正数和零统称为非负数；2．负数和零统称为非正数；3．正整数和零统称为非负整数； 4．负整数和零统称为非正整数．题模一：有理数的概念例2.1.1-2是（ ） A ．负有理数 B ．正有理数 C ．自然数 D ．无理数 例2.1.20这个数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．整数 D ．无理数 例2.1.3下列说法正确的是（ ）A ．在一个数前面加“-”号就得到负数B ．0既不是正数，也不是负数，但0是有理数C ．非负数就是正数D ．不带“-”号的数是正数例2.1.4下列说法正确的个数是（ ） 一个数前面加“-”号就得到负数； ②0既不是正数也不是负数，但是是有理数； ③非负数就是正数； ④不带“-”号的数就是正数． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题模二：有理数的分类知识精讲三点剖析题模精讲例2.2.1下列各数：1330.70125---，，，，，中，负分数有__________个；负整数有__________个；自然数有__________个例 2.2.2按要求选择下列各数：3，π，0， 3.5-，13，0.03-，0.26+，1-，132，94-，1，7-，2.4．（1）属于整数的有________________________________________________ （2）属于分数的有________________________________________________ （3）属于非正数的有______________________________________________ （4）属于非负数的有______________________________________________ （5）属于非负整数的有____________________________________________ （6）属于有理数的有______________________________________________随练2.1下列四个数中，在-1和2之间的整数是（ ） A ．0 B ．-2 C ．-3 D ．3随练2.2在4-，23，0，2.7这四个有理数中，整数有_______________.数轴一．数轴三要素规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．二．与数轴有关的计算一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是有理数，如π．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都在原点的右侧，负数都在原点的左侧．正数都大于“0”，负数都小于“0”，正数大于负数．一．考点：数轴三要素，数轴有关的计算.二．重难点：数轴有关的计算.三．易错点：是否是数轴只依据三要素进行判断.题模一：数轴三要素随堂练习知识精讲三点剖析题模精讲例 3.1.1下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．题模二：与数轴有关的计算例3.2.1如图，在数轴上点P 的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点P 表示的数可能是（ ）A ．﹣2.6B ．﹣1.4C ．2.6D ．1.4例3.2.2如果数轴上的点A 对应的数为-1，那么数轴上与点A 相距3个单位长度的点所对应的有理数为_______________________．例3.2.3在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“＜“连接起来．2.5-，4-，12，3．例 3.2.4在数轴上任取一条119999个单位长度的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是____________随练3.1如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5B ． 1.5-C ． 2.4-D ．2.4 随练3.2如图，数轴上的点P 表示的数是-1，将点P 向右移动3个单位长度得到点P ′，则点P ′表示的数是____．随练3.3在数轴上取一段210023个单位长度的线段，则此线段在这条数轴上最少能盖住的整数点的个数是__________．相反数和倒数一．相反数定义：像2和2-，5和5-这样，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．A21-4-3-2-1① ②③ ④ ⑤⑥21 0 10 02 1 20 1 5 4 3 2随堂练习知识精讲正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 相反数的几何意义一对相反数（0除外）在数轴上应分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．如：0.8与0.8-互为相反数，它们到原点的距离都是0.8．相反数的性质若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．求一个数或代数式的相反数，只要在这个数或代数式之前添上“-”号即可，即a 的相反数是a -，这里的a 可以为正数、负数、0，也可以是任意代数式．拓展说明：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．二．倒数乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数．乘积是1-的两个数互为负倒数．一．考点：相反数的性质，多重符号的化简，倒数的性质．二．重难点：多重符号的化简：化简多重符号时，只对“－”号进行“奇负偶正”的判断．有奇数个负号则为负数，偶数个负号则为正数．三．易错点：1．求相反数时，“-”号作用于整个数或代数式，并注意符号的变化．2．a -不一定是负数：当0a <时，a -是正数；当0a =时，a -是0；当0a >时，a -是负数．题模一：相反数和倒数例4.1.10.3-的倒数是（ ）A ．310-B ．103-C ．103-D ．103例4.1.2117的倒数的倒数是（ ）A ．87-B ．78-C ．87D ．78例4.1.3﹣2的相反数是（ ）A ．12B ．﹣12C ．2D ．﹣2例4.1.4﹣3的倒数的相反数是（）0.81.7三点剖析题模精讲A ．13-B ．13C ．-3D ．3例4.1.54的倒数是（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣D ．例4.1.6下列说法：①若a ，b 互为相反数，则0a b +=；②若0a b +=，则a ，b 互为相反数；③若a ，b 互为相反数，则1a b =-；④若1ab=-，则a ，b 互为相反数．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 例4.1.7如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数． （1）()a -+ （2）()a -- （3）()a -+-⎡⎤⎣⎦ （4）()a ---⎡⎤⎣⎦ （5）(){}a -+--⎡⎤⎣⎦随练4.1114-的倒数是（ ）A ．54-B ．54C ．45-D ．45随练4.2下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）A ．﹣2B ．2C ．0D ．﹣随练4.3化简下列各数： （1）()4-- （2）(){}9--+-⎡⎤⎣⎦ （3）()()()()()()1193-+----++++个和个（4）()()()()20135-----个随堂练习自我总结作业1如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．-500元 B ．-237元 C ．237元 D ．500元 作业2下列四个数中，小于0的是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．3作业3检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：则质量较好的篮球的编号是（ ） A ．1号 B ．2号 C ．3号 D ．4号 作业4下列说法正确的个数是（ ） ② 一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的； ④一个分数不是正的，就是负的． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 作业5下列说法中正确的是（ ） A ．0既是正数，又是负数 B ．0是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数 作业6把下列各数填入相应的集合中；2+，3-，０，132-， 1.414-，17，23负数：{_____________________……}；整数{________________________……}．课后作业篮球的编号1234与标准质量的差（克）+4 +5作业7与数轴上的点一一对应的数是（）A．整数B．有理数和无理数C．有理数D．无理数作业8如图，在数轴上点A表示（）A．-2B．2C．±2D．0作业9在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且点A在点B的左边，下列结论一定正确的是（）A．0a b+<B．0a b+>C．0a b-<D．0a b->作业10已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O之间的距离为3，那么点B对应的数是_________________.作业11实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a____b．A．＜B．＞C． =作业12数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2012厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（）A．2011或2012B．2011或2013C．2012或2013D．2012或2014作业13化简下列各数的符号．（1）()3-+；（2）()5--；（3）13⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）()8---⎡⎤⎣⎦；（5）23⎧⎫⎡⎤⎛⎫-+--⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭作业14互为相反数的两个数的和为（）A．0B．﹣1C．1D．2作业15下列各对数是互为倒数的是（）A．4和﹣4B．﹣3和C．﹣2和D．0和0作业16下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2B．﹣2和C．﹣2和﹣D．﹣和2。
最新七年级数学上册辅导讲义
最新七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
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初一上册数学辅导[模版仅供参考，切勿通篇使用]三句半篇1:人教版七年级数学上册全册辅导课程初一课程人教版七年级数学上册全册辅导课程人教版七年级数学上册全册辅导课程播放列表第1讲. 第1讲正数和负数（1）第2讲. 第2讲正数和负数（2）第3讲. 第3讲正数和负数（3）第4讲. 第4讲正数和负数（4）第5讲. 第5讲正数和负数（5）第6讲. 第6讲正数和负数（6）第7讲. 第7讲正数和负数（7）第8讲. 第8讲正数和负数（8）第9讲. 第9讲正数和负数（9）第10讲. 第10讲第10节：正数和负数（10）第11讲. 第11讲第11节：正数和负数（11）第12讲. 第12讲第12节：正数和负数（12）第13讲. 第13讲第13节：正数和负数（13）第14讲. 第14讲第14节：正数和负数（14）第15讲. 第15讲有理数（1）第16讲. 第16讲有理数（2）第17讲. 第17讲有理数（3）第18讲. 第18讲有理数（4）第19讲. 第19讲有理数（5）第20讲. 第20讲有理数（6）第21讲. 第21讲有理数（7）第22讲. 第22讲有理数（8）第23讲. 第23讲有理数（9）第24讲. 第24讲第10节：有理数（10）第25讲. 第25讲第11节：有理数（11）第26讲. 第26讲第12节：有理数（12）第27讲. 第27讲第13节：有理数（13）第28讲. 第28讲第14节：有理数（14）第29讲. 第29讲第15节：有理数（15）第30讲. 第30讲第16节：有理数（16）第31讲. 第31讲第17节：有理数（17）第32讲. 第32讲第18节：有理数（18）第33讲. 第33讲第19节：有理数（19）第34讲. 第34讲第20节：有理数（20）第35讲. 第35讲有理数的加减法（1）第36讲. 第36讲有理数的加减法（2）第37讲. 第37讲有理数的加减法（3）第38讲. 第38讲有理数的加减法（4）第39讲. 第39讲有理数的加减法（5）第40讲. 第40讲有理数的加减法（6）第41讲. 第41讲有理数的加减法（7）第42讲. 第42讲有理数的加减法（8）第43讲. 第43讲有理数的加减法（9）第44讲. 第44讲第10节：有理数的加减法（10）第45讲. 第45讲第11节：有理数的加减法（11）第46讲. 第46讲第12节：有理数的加减法（12）第47讲. 第47讲第13节：有理数的加减法（13）第48讲. 第48讲第14节：有理数的加减法（14）第49讲. 第49讲第15节：有理数的加减法（15）第50讲. 第50讲第16节：有理数的加减法（16）第51讲. 第51讲第17节：有理数的加减法（17）第52讲. 第52讲第18节：有理数的加减法（18）第53讲. 第53讲第19节：有理数的加减法（19）第54讲. 第54讲第20节：有理数的加减法（20）第55讲. 第55讲第21节：有理数的加减法（21）第56讲. 第56讲第22节：有理数的加减法（22）第57讲. 第57讲第23节：有理数的乘除法（23）第58讲. 第58讲第24节：有理数的乘除法（24）第59讲. 第59讲有理数的乘除法（1）第60讲. 第60讲有理数的乘除法（2）第61讲. 第61讲有理数的乘除法（3）第62讲. 第62讲有理数的乘除法（4）第63讲. 第63讲有理数的乘除法（5）第64讲. 第64讲有理数的乘除法（6）第65讲. 第65讲有理数的乘除法（7）第66讲. 第66讲有理数的乘除法（8）第67讲. 第67讲有理数的乘除法（9）第68讲. 第68讲第10节：有理数的乘除法（10）第69讲. 第69讲第11节：有理数的乘除法（11）第70讲. 第70讲第12节：有理数的乘除法（12）第71讲. 第71讲第13节：有理数的乘除法（13）第72讲. 第72讲第14节：有理数的乘除法（14）第73讲. 第73讲第15节：有理数的乘除法（15）第74讲. 第74讲第16节：有理数的乘除法（16）第75讲. 第75讲第17节：有理数的乘除法（17）第76讲. 第76讲第18节：有理数的乘除法（18）第77讲. 第77讲第19节：有理数的乘除法（19）第78讲. 第78讲第20节：有理数的乘除法（20）第79讲. 第79讲第21节：有理数的乘除法（21）第80讲. 第80讲有理数的乘方（1）第81讲. 第81讲有理数的乘方（2）第82讲. 第82讲有理数的乘方（3）第83讲. 第83讲有理数的乘方（4）第84讲. 第84讲有理数的乘方（5）第85讲. 第85讲有理数的乘方（6）第86讲. 第86讲有理数的乘方（7）第87讲. 第87讲有理数的乘方（8）第88讲. 第88讲有理数的乘方（9）第89讲. 第89讲第10节：有理数的乘方（10）第90讲. 第90讲数学活动、小结（1）第91讲. 第91讲数学活动、小结（2）第92讲. 第92讲数学活动、小结（3）第93讲. 第93讲数学活动、小结（4）第94讲. 第94讲数学活动、小结（5）第95讲. 第95讲数学活动、小结（6）第96讲. 第96讲数学活动、小结（7）第97讲. 第97讲数学活动、小结（8）第98讲. 第98讲数学活动、小结（9）第99讲. 第99讲第10节：数学活动、小结（10）第100讲. 第100讲第11节：数学活动、小结（11）第101讲. 第101讲第12节：数学活动、小结（12）第102讲. 第102讲第13节：数学活动、小结（13）第103讲. 第103讲复习题（1）第104讲. 第104讲复习题（2）第105讲. 第105讲复习题（3）第106讲. 第106讲复习题（4）第107讲. 第107讲复习题（5）第108讲. 第108讲复习题（6）第109讲. 第109讲复习题（7）第110讲. 第110讲整式（1）第111讲. 第111讲整式（2）第112讲. 第112讲整式（3）第113讲. 第113讲整式（4）第114讲. 第114讲整式（5）第115讲. 第115讲整式（6）第116讲. 第116讲整式（7）第117讲. 第117讲整式（8）第118讲. 第118讲整式（9）第119讲. 第119讲第10节：整式（10）第120讲. 第120讲第11节：整式（11）第121讲. 第121讲第12节：整式（12）第122讲. 第122讲第13节：整式（13）第123讲. 第123讲第14节：整式（14）第124讲. 第124讲第15节：整式（15）第125讲. 第125讲从算式到方程（1）第126讲. 第126讲从算式到方程（2）第127讲. 第127讲从算式到方程（3）第128讲. 第128讲从算式到方程（4）第129讲. 第129讲从算式到方程（5）第130讲. 第130讲从算式到方程（6）第131讲. 第131讲从算式到方程（7）第132讲. 第132讲从算式到方程（8）第133讲. 第133讲从算式到方程（9）第134讲. 第134讲第10节：从算式到方程（10）第135讲. 第135讲第11节：从算式到方程（11）第136讲. 第136讲第12节：从算式到方程（12）第137讲. 第137讲第13节：从算式到方程（13）第138讲. 第138讲第14节：从算式到方程（14）第139讲. 第139讲第15节：从算式到方程（15）第140讲. 第140讲第16节：从算式到方程（16）第141讲. 第141讲合并同类项与移项（1）第142讲. 第142讲合并同类项与移项（2）第143讲. 第143讲合并同类项与移项（3）第144讲. 第144讲合并同类项与移项（4）第145讲. 第145讲合并同类项与移项（5）第146讲. 第146讲合并同类项与移项（6）第147讲. 第147讲合并同类项与移项（7）第148讲. 第148讲合并同类项与移项（8）第149讲. 第149讲合并同类项与移项（9）第150讲. 第150讲第10节：合并同类项与移项（10）第151讲. 第151讲第11节：合并同类项与移项（11）第152讲. 第152讲第12节：合并同类项与移项（12）第153讲. 第153讲第13节：合并同类项与移项（13）第154讲. 第154讲第14节：合并同类项与移项（14）第155讲. 第155讲第15节：合并同类项与移项（15）第156讲. 第156讲第16节：合并同类项与移项（16）第157讲. 第157讲第17节：合并同类项与移项（17）第158讲. 第158讲去括号与去分母（1）第159讲. 第159讲去括号与去分母（2）第160讲. 第160讲去括号与去分母（3）第161讲. 第161讲去括号与去分母（4）第162讲. 第162讲去括号与去分母（5）第163讲. 第163讲去括号与去分母（6）第164讲. 第164讲去括号与去分母（7）第165讲. 第165讲去括号与去分母（8）第166讲. 第166讲去括号与去分母（9）第167讲. 第167讲第10节：去括号与去分母（10）第168讲. 第168讲第11节：去括号与去分母（11）第169讲. 第169讲第12节：去括号与去分母（12）第170讲. 第170讲第13节：去括号与去分母（13）第171讲. 第171讲实际问题与一元一次方程（1）第172讲. 第172讲实际问题与一元一次方程（2）第173讲. 第173讲实际问题与一元一次方程（3）第174讲. 第174讲实际问题与一元一次方程（4）第175讲. 第175讲实际问题与一元一次方程（5）第176讲. 第176讲实际问题与一元一次方程（6）第177讲. 第177讲实际问题与一元一次方程（7）第178讲. 第178讲实际问题与一元一次方程（8）第179讲. 第179讲实际问题与一元一次方程（9）第180讲. 第180讲第10节：实际问题与一元一次方程（10）第181讲. 第181讲第11节：实际问题与一元一次方程（11）第182讲. 第182讲第12节：实际问题与一元一次方程（12）第183讲. 第183讲第13节：实际问题与一元一次方程（13）第184讲. 第184讲第14节：实际问题与一元一次方程（14）第185讲. 第185讲第15节：实际问题与一元一次方程（15）第186讲. 第186讲数学活动、小结（1）第187讲. 第187讲数学活动、小结（2）第188讲. 第188讲数学活动、小结（3）第189讲. 第189讲数学活动、小结（4）第190讲. 第190讲复习题（1）第191讲. 第191讲复习题（2）第192讲. 第192讲复习题（3）第193讲. 第193讲复习题（4）第194讲. 第194讲复习题（5）第195讲. 第195讲复习题（6）第196讲. 第196讲几何图形（1）第197讲. 第197讲几何图形（2）第198讲. 第198讲几何图形（3）第199讲. 第199讲几何图形（4）第200讲. 第200讲几何图形（5）第201讲. 第201讲几何图形（6）第202讲. 第202讲几何图形（7）第203讲. 第203讲几何图形（8）第204讲. 第204讲几何图形（9）第205讲. 第205讲第10节：几何图形（10）第206讲. 第206讲第11节：几何图形（11）第207讲. 第207讲第12节：几何图形（12）第208讲. 第208讲第13节：几何图形（13）第209讲. 第209讲第14节：几何图形（14）第210讲. 第210讲第15节：几何图形（15）第211讲. 第211讲第16节：几何图形（16）第212讲. 第212讲第17节：几何图形（17）第213讲. 第213讲第18节：几何图形（18）第214讲. 第214讲第19节：几何图形（19）第215讲. 第215讲第20节：几何图形（20）第216讲. 第216讲第21节：几何图形（21）第217讲. 第217讲直线、射线、线段（1）第218讲. 第218讲直线、射线、线段（2）第219讲. 第219讲直线、射线、线段（3）第220讲. 第220讲直线、射线、线段（4）第221讲. 第221讲直线、射线、线段（5）第222讲. 第222讲直线、射线、线段（6）第223讲. 第223讲直线、射线、线段（7）第224讲. 第224讲直线、射线、线段（8）第225讲. 第225讲直线、射线、线段（9）第226讲. 第226讲第10节：直线、射线、线段（10）第227讲. 第227讲第11节：直线、射线、线段（11）第228讲. 第228讲第12节：直线、射线、线段（12）第229讲. 第229讲第13节：直线、射线、线段（13）第230讲. 第230讲第14节：直线、射线、线段（14）第231讲. 第231讲第15节：直线、射线、线段（15）第232讲. 第232讲第16节：直线、射线、线段（16）第233讲. 第233讲第17节：直线、射线、线段（17）第234讲. 第234讲第18节：直线、射线、线段（18）第235讲. 第235讲角（1）第236讲. 第236讲角（2）第237讲. 第237讲角（3）第238讲. 第238讲角（4）第239讲. 第239讲角（5）第240讲. 第240讲角（6）第241讲. 第241讲角（7）第242讲. 第242讲角（8）第243讲. 第243讲角（9）第244讲. 第244讲第10节：角（10）第245讲. 第245讲第11节：角（11）第246讲. 第246讲第12节：角（12）第247讲. 第247讲第13节：角（13）第248讲. 第248讲第14节：角（14）第249讲. 第249讲第15节：角（15）第250讲. 第250讲第16节：角（16）第251讲. 第251讲复习题（1）第252讲. 第252讲复习题（2）第253讲. 第253讲复习题（3）第254讲. 第254讲复习题（4）第255讲. 第255讲复习题（5）第256讲. 第256讲复习题（6）第257讲. 第257讲复习题（7）第258讲. 第258讲复习题（8）第259讲. 第259讲复习题（9）第260讲. 第260讲第10节：复习题（10）第261讲. 第261讲第11节：复习题（11）人教版七年级数学上册全册辅导课程介绍人教版七年级数学上册全册辅导课程，内容包括：第一章的有理数，主要内容是有理数的有关概念及其运算。
初中数学辅导讲义
初中数学辅导讲义（适用于课外辅导班）201６.０６.06一、初中数学知识点七年级上知识点七年级上知识点第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜0.有理数整式的加减 一元一次方程 图形的认识初步6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1 a 、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
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初一数学讲义（8、9）一元一次方程
姓名______________成绩_______________
【基础百分百】
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.将方程5x －1=4x 变形为5x －4x=1，这个过程利用的性质是 ( ) A.等式性质1 B.等式性质2 C.移项 D.以上说法都不对
2.方程3－
2
1
-x =1变形如下，正确的是 ( ) A.6－x+1=2 B.3－x+1=2 C.6－x+1=1 D.6－x －1=2 3.如果x=－8是方程3x+8=
4
x
－a 的解，则a 的值为 ( ) A.－14 B.14 C.30 D.－30
4.某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工，解决此问题可设x 人挖土，其他人运土，列方程(1) x x 372-=3；(2)72－x=3
x
；(3)
x
x
-72=3；(4)x+3x=72，上述所列方程正确的是 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h ，逆水航行需6h ，水流速度是2km ／h ，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm ，得到方程 ( ) A.
42-x =62+x B.4x －2=6x +2 C.4x －6x =2 D.642+x =4
x
－2 二、填空题(每小题8分，共24分)
6.若2的2倍与3的差等于2的一半，则可列方程为 .
7.已知5x+3=8x －3和
65a x +=3
7
这两个方程的解是互为相反数，则a= . 8.国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：(1)稿费低于800元的不纳税；(2)稿费高于800元，又不高于4000元，应纳超过800元的那一部分稿费的14％的税；(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11％的税.某作家缴纳了280元税，那么他获得的稿费是 元. 三、解答题：(46分)
9.(10分)解下列方程： (1)4x －2(x －3)=x ； (2)x －6
2
31+=-x x －1.
10.(5分)当x
取何值时，代数式
6
2
3
x
和x－2是
互为相反数?
11.(5分)若代数式3a3b4－5n“与－6a6－(m+1)b m－1是同类项，求m2－5mn的值.
12.(5分)如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽
为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 13.(5分)一项工程，由甲队独做需12个月完工，由
乙队独做需15个月完工.现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率.
若甲队的工作效率提高40％，乙队的工作效率提高25％，则两队合作，几个月可以完工?
14.(6分)某市按以下规定收取每月水费：若每月每
户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分每立方米按2元收费.如果某居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这个月他共用了多少立方米水?
15.(10分)温州和杭州同时生产某种型号的机器若
干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台.现决定给武汉8台，南昌6台.每台机器的运费如下表.设杭州运往南昌的机器为x台.
(1)用x的代数式来表示总运费(单位：百元)；
(2)若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？
(3)试问有无可能使总运费是7400元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由.
【综合提高题】
一、学科内综合题（每题6分，共42分）
1．解方程：1）52247
4
5210
x x x
-+-
-=-．
2）3
5.0
1
02
.0
2.0
1.0
=
+
-
-x
x
2．解关于x的方程：kx+m=（2k-1）x+4．
3．已知x=-4是方程m（x-1）=4x-m的解，求m的
值．
4．有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移
至第一位最左边时，所得到的新六位数是原数
的4倍，求这个六位数．
5．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，•乙每秒钟跑6米，甲的速
度是乙的11
3
倍．
（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，•那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
6．要锻造一个直径为100mm，高为80mm的圆柱形毛坯，应截取直径为160mm的圆钢多长？
7．把800元钱按一年定期储蓄存入银行，如果到期可以得到本息共881.6元，那么这种储蓄的年息是存款的百分之几？月息是存款的千分之几？（不考虑利息税）二、学科间综合题（每题7分，共14分）
8．某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C•码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米/时，水流速度为2.5•千米/时，A、C两码头间的航程为10千米，求A、B两码头间的航程．
9．已知a：b：c=1：2：3，a+b+c=18，求3a-b+2c 的值．
三、应用题（每题5分，共16分）
10．当k为何值时，关于x的方程
3
4
+8x=7k+6x的解比方程k（2+x）=x（k+2）•的解大6．
11．11．小名沿着路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“你后面有一辆电动车吗？”司机回答：“我10分钟之前超过一辆。
”小名又问：“你的车速是多少？”司机回答：“75千米/小时！”小名继续走了20分钟就遇上了这辆电动车。
小名估计自己的速度是3千米/小时，这样小名就能算出电动车的速度了，你知道他是怎么做的吗？
四、创新题（12分）
12．李洁家的住所是三层楼房，楼房的管理员告诉她，第三楼里住有18人，第二层楼里住有20人；其中，成年男子第三层有7人，第二层有8人；成年女子第三层有5人，第一层有7人；
还知道第三层楼里男孩4人，女孩2人，第二层楼里男孩2人，第一层楼里男孩2人，女孩6人，且成年男子总数与成年女子总数一样多，女孩总数比男孩总数多4人，那么第一层住了多少人？这幢楼共住了多少人？五、中考题（每题8分，共16分）
13．某酒店客房
部有三人间、双
人间客房，收费
如下表：
为吸引游
客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些普通三人间和双人普通间客房若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1 510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？
14．为了解决农民工子女入学难的问题，•我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”，据统计，2004•年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005•年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1 160名农民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果“借读费”按小学每生每年收500元，•中学每生每年收1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，•若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？。