大学概率论习题六详解.doc

大学概率论习题六详解

（A ）

1、设n X X X ,,,21 是取自总体),2(~p B X 的样本，其中10<

i i

X

1

的分布列、

期望与方差；（2）1X 与2X 的联合分布列。

解 （1）因为),2(~p B X i ，n i ,,2,1 =且独立，则

∑=n

i i

X

1

的分布是),2(p n B ，期望为

np X E n

i i 2)(1

=∑=，方差为)1(2)(1

p np X D n

i i -=∑=。

（2）因为),2(~p B X i ，2,1=i 且独立，则1X 与2X 的联合分布列为

)()(),(2121y X P x X P y X x X P =====y x y x y x p p C C --+-=422)1(

其中2,1,0,=y x

2、设321,,X X X 是取自总体),(~2

σμN X 的样本，其中μ、σ为参数，求：（1）样本3

21,,X X X 的联合分布密度；（2）样本均值的期望、方差与标准差。

解 （1）因为),(~2

σμN X i ，3,2,1=i 且独立，则样本1X ，2X ，3X 的联合分布密度为

]})()()[(21ex p{)2(1),,(2

222

3

μμμσ

σπ-+-+--

=

z y x z y x p （2）μ=)(X E ，3

)(2

σ=

X D ，3

)()(σ

σ=

=X D X 。

3、设某地两个调查员，分别在该地东部与西部调查职工的月收入。调查员甲在东部随机调查了200

位职工，得样本均值为800元，样本标准差为200元；调查员乙在西部随机调查了180位职工，得样本均值为620元，样本标准差为150元。现将这两个样本看成一个容量为380的样本，求样本均值与样本标准差。

解 设调查员甲调查的样本容量为200=n ，样本均值为800=x ，样本标准差为200=x S ，样本方

差为2

2200=x S 。调查员乙调查的样本容量为180=m ，样本均值为620=y ，样本标准差为150=y S ，

样本方差为2

2150=y S 。

如果将甲、乙调查员调查的职工月收入合为一个样本，则该样本的样本容量为380180200=+=+m n ，其样本均值为

74.714)620180800200(380

1

)(1=⨯+⨯=++=

y m x n m n z 样本方差为

])()()1()1[(1

1222

22z y m z x n S m S n m n S y x -+-+-+--+=

])()()()1()1[(1122

222m

n y m x n y m x n S m S n m n y x ++-++-+--+= 2

22800200150179200199[379

1⨯+⨯+⨯=]380)620180800200(62018022⨯+⨯-

⨯+ 16.39728=

所以，该样本的标准差为：32.199=S 。

4、设1021,,,X X X 是取自总体),1(~p B X 的样本，其中10<

（1）∑==

10

1

110i i

X T ；（2）)(1102X E X T -= （3）p X T -=3；（4）},,,m ax {10214X X X T =

解 （1）、（4）是统计量，因为它们是样本的函数且不含未知参数p ；而（2）、（3）不是统计量，因

为它们虽然是样本的函数，但含未知参数p 。

5、从总体)3.6,52(~2

N X 中随机抽取了一个容量为36的样本，求样本均值X 落在区间[50.8，53.8]内的概率。

解 因为总体)3.6,52(~2N X ，所以(

)2

05

.1,52~N X ，故

()⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤05.1528.5005.1528.538.538.50X P

8293.0=

6、设总体)5.0,(~2

μN X ，样本n X X X ,,,21 取自总体X 。如果要以95.4%的概率保证

1.0<-μX 成立，那么样本容量n 应取多大？

解 由于总体()25.0,~μN X ，所以⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛n

N X 2

5.0,~μ，由于 因为()

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

Φ=<-n n X P /5.01.0/5.01

.01.0μ

954.01/5.01.02≥-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛Φ=n

即要求977.0/5.01

.0≥⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

Φn

利用标准正态分布表，确定0.977的分位数为2.00，故

00.2/5.01.0≥n

解得200≥n ，所以样本容量n 应取200=n 。

7、设有一枚均匀的硬币，以X 表示“抛一次硬币正面朝上的次数”，试问要抛多少次才能使样本均值X 落在区间[0.4，0.6]内的概率不少于0.9？

解 因为)5.0,1(~B X ，在n 充分大时，由中心极限定理，可以近似认为()n N X /25.0,5.0~，则要求

()

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ≈<

9.01/5.01

.02≥-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

Φ=n

即要求()

95.02.0/5.01

.0≥Φ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

Φn n

由正态分布表查得645.12.0≥n ，解得,65.67≥n 即至少应抛68次。

8、 设随机变量21Y Y X 和，相互独立且都服从标准正态分布，求随机变量

2

22

12Y Y X Z +=

的概率分布．

解 由条件知21Y Y X 和，相互独立且都服从标准正态分布．随机变量

22212Y Y +=χ

作为两个独立标准正态随机变量的平方和，服从自由度为2的2χ分布．因为

2

22

2

22

1χ

X

Y Y X Z =

+=

，

其中（1）)10(~，N X ，（2）2χ服从自由度为2的2χ分布，（3）X 和22212Y Y +=χ相互独立，所以由服从t 分布的随机变量的典型模式知，随机变量Z 服从自由度为2的t 分布．

9、在所调查的100

绘出家庭中拥有电脑频率的线条图。

解 设X 表示城市每户家庭拥有的电脑数，则被调查家庭中拥有电脑数的频率分布表为

则家庭中拥有电脑频率的线条图为