成比例线段 2

E
F
E
F
试一试
AB AB
2,
BC BC
2
得 AB BC AB BC
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
相似形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线
段的长度的比与另两条线段的长度的比相等
3条
相似三角形的应用：
• 1、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）；
• 2、利用三角形相似，求线段的长等 • 3、利用三角形相似，可以解决一些不
能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
概括：
像这样，对于四条线段a,b,c,d,如果其中 两条线段的长度的比等于另外两条线段的 比，如 a c （或a:b=c:d）,那么，这四
bd
天线段叫做成比例线段，简称比例线段。此 时也称这四条线段成比例。
例1.判断下列线段是否是成比例线段。 （1）a=4,b=6,c=5,d=10; （2）a=2,b= 5 ,c= 2 15 ,d=5 3
解：（1） a 4 2 , c 5 1 ,
b 6 3 d 10 2 a c ,
bd
，
，即简ab称=比dc 例，线那段么这四条线段叫做成比例线段
(1)比例基本性质
ac b=d
ab cd
ad=bc
ab b=c
b2=ac
合比性质： 等比性质：
a cab cd
a
bc
ed
m
b
a c de
m
a
c
a
b d f n bd f n bd b
• 相似三角形的判定
• （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似。
• （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。
• （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似。
• （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对 应相等，那么这两个三角形相似。
• 相似三角形的性质
• （1）对应边的比相等，对应角相等
（2）如果 a b
c d
那, 么a
a
b
c cd
.
证明：（1） a c
在等式b两边同d时加上1，
a 1 c 1,
b
d
a b c d . bd
（2） a c ad=bc, bd
在等式两边同加上ac,
ad+ac=bc+ac, ac-ad=ac-bc, a(c-d)=(a-b)c,
两边同时除以 a - bc - d
即 a c.
ab cd
想一想
1 a c a c
b d bd
2 a b b d
ac
3 a c 等等
ab cd
a,b, c, d都不等于零，且 a b 0,b d 0, c d
0
下去自己推导
小结： 1.成比例线段的定义 2.比例的基本性质
线段a,b, c, d不是成比例线段。
（2） a 2 2 5 , c 2 15 2 5 ,
b 5 5 d 53 5
a c , bd
线段a, b, c, d是成比例线段。
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果 a c , ，那么ad=bc, bd
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么
a b
c d
,
此结论为比例的基本性质
证明：设
a b
c d
k,
则
a
bk, c
dk
ad=bkd=bdk,bc=bdk,即ad=bc成立。
设ad=bc=k(k 0) ,
k
,a
k d
,b
k c
, a b
d k
c d
,即 a b
c d
c
例2，证明：（1）如果 a c 那, 么a b c d ;
bd b d
• （2）相似三角形的周长比等于相似比
• （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
• （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
三角形的中位线的定义连接三角形两边中点的线段 叫做三角
形的中位线
A
三角形的中位线平
D
E
行于第三边，并且等
于它的一半。
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B
C
想一想 ：一个三角形有几条中位线？